基于CEV模型的上证50股指期权定价研究

Research on the Pricing of SSE 50 Index Options Based on the CEV Model

摘要: 股指期权作为中国市场中较新的金融产品，能够有效对冲市场波动。传统期权评估方法基于波动率恒定假设具有局限性，无法解释尖峰厚尾、波动率微笑等反市场现象；而方差常弹性(Constant elasticity of variance, CEV)模型将假定推广到波动率变化的情况，更符合实际市场。本研究探讨CEV模型在上证50股指期权价值评估中的应用及有效性，并对不同参数组合下的CEV期权定价结果进行多层次分析。通过单因素及多因素敏感性分析，得到期权在误差最小时的不确定因素取值及期权理论价值。CEV期权定价结果非常贴近市场价格，具有更准确的预测效果，可以作为投资者期权定价及风险管理决策的理论依据。

Abstract: As a relatively new financial product in the Chinese market, index options can effectively hedge against market volatility. Traditional option evaluation methods, based on the assumption of constant volatility, have limitations and cannot explain market anomalies such as leptokurtosis and volatility smiles. The Constant Elasticity of Variance (CEV) model extends this assumption to accommodate changing volatility, making it more aligned with actual market conditions. This paper uses the SSE 50 as an example to explore the application and effectiveness of the CEV model in evaluating the value of SSE 50 index options. It conducts a multi-level analysis of CEV option pricing results under different parameter combinations. Through single-factor and multi-factor sensitivity analyses, the study identifies the values of uncertain factors and theoretical option values that minimize errors. The CEV option pricing results closely align with market prices, offering more accurate predictive capabilities. This can serve as a theoretical basis for investors in option pricing and risk management decisions.

1. 引言

股指期权是一种重要的金融衍生工具，近年来在全球的金融市场中获得了广泛应用。作为中国资本市场中的一项创新产品，上证50股指期权自上市以来，凭借独特的优势迅速吸引了市场的广泛关注。上证50股指期权的标的指数——上证50指数包括了中国证券市场中最具代表性的50只蓝筹股。上证50股指期权不仅具有较高的市场代表性和流动性，还能够反映中国经济的整体走势，因而是投资者进行风险管理和资产配置的理想工具。

身为中国市场中一种相对较新的金融产品，上证50股指期权为投资者提供了更多样化的投资策略。投资者在不同的市场条件下，通过看涨期权和看跌期权的组合策略可以实现收益优化并降低风险。此外，上证50股指期权的引入标志着中国资本市场的进一步成熟和国际化，推动了现代金融工具的应用以及市场机制的完善。目前我国已推出的期权品种和具体信息见下表1 [1]。

Table 1. Domestic financial options variety

表1. 国内金融期权品种

交易所	期权品种	上市时间	标的资产
中国金融期货交易所	沪深300股指期权	2019年12月23日	沪深300指数
	中证1000股指期权	2022年7月22日	中证1000指数
	上证50股指期权	2022年12月19日	上证50指数
上海证券交易所	上证50ETF期权	2015年2月9日	上证50交易型开放式指数证券 投资基金
	华泰柏瑞沪深300ETF期权	2019年12月23日	华泰柏瑞沪深300交易型开放 式指数证券投资基金
	南方中证500ETF期权	2022年9月19日	中证500交易型开放式指数证 券投资基金
	华夏科创50ETF期权	2023年6月5日	华夏上证科创板50成份交易 型开放式指数证券投资基金
	易方达科创50ETF期权	2023年6月5日	易方达上证科创板50成份交 易型开放式指数证券投资基金
深圳证券交易所	嘉实沪深300ETF期权	2019年12月23日	嘉实沪深300交易型开放式指 数证券投资基金
	嘉实中证500ETF期权	2022年9月19日	嘉实中证500交易型开放式指 数证券投资基金
	创业板ETF期权	2022年9月19日	易方达创业板交易型开放式指 数证券投资基金
	深证100ETF期权	2022年12月12日	易方达深证100交易型开放式 指数证券投资基金

期权定价在金融市场中扮演着重要角色。传统的Black-Scholes期权定价模型由于其简洁性和易用性被广泛使用(Black等，1973) [2]。然而，随着市场的变化和复杂性增加，BS模型的一些假设(如波动率的恒定性)受到质疑，其忽视了随着标的资产价格变化波动率也会变化。在此基础上，Cox等(1976)提出方差常弹性期权定价(Constant elasticity of variance, CEV)模型[3]，通过引入弹性参数来调整波动率的水平，允许波动率随资产价格的变化而变化，提供了更灵活的框架来捕捉市场中的波动性，使CEV模型能够更好地模拟实际市场中观察到的“波动率微笑”现象。而CEV模型在期权定价、投资与保险策略以及资产负债管理问题等方面也有着广泛的应用[4]-[7]。

本研究将综合考虑不同到期日和不同行权价格的期权定价差异，以提高研究结果的全面性。同时，将分析市场异常情况如极端行情对CEV模型的影响，提升研究结果的稳健性。

2. 模型介绍——方差常弹性期权定价模型

CEV模型是对传统BS模型的有效改进，通过引入一个弹性参数来反映波动率随资产价格变化的特性，使模型能够捕捉股价波动率的不对称性和非线性特征，更准确地反映市场实际。本文将探讨如何根据中国市场的特殊性，调整CEV模型中的参数，以提升其在中国股市的适用性[8]。

CEV期权定价模型假设标的资产价格的运动过程，可描述为：

$\begin{array}{c}dS\left(t\right)=rSdt+\sigma S^{\alpha }dW\left(t\right)\end{array}$ (1)

其中，r和σ分别为无风险利率和波动率，都为常数，S是标的资产的价格，α为常弹性系数，0 < α < 1，dW服从标准维纳过程。在CEV模型中，当标的资产价格变动dS，波动率变为$\sigma S^{\alpha }$ ，而不是B-S模型里的$\sigma S$ ，也就是说，波动率σ随着标的资产价格S的变动而变化，S的变化与隐含波动率之间存在很强的负相关关系，因此可以很好地说明波动率微笑现象。

当α = 1时，CEV模型即为经典的B-S模型，此时资产价格遵循几何布朗运动。当α < 1时，模型显示出资产价格较低时波动率较高，而资产价格较高时波动率较低的特性，这意味着股价在低价位时更容易出现大幅波动，导致价格分布的尾部变得更厚，在统计分布上表现为“尖峰厚尾”，这种设定允许CEV模型捕捉到实际市场中观察到的波动率对于价格水平的依赖性。

CEV期权模型满足微分方程：

$\begin{array}{c}\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^{2\alpha }\frac{{\partial }^{2}v}{\partial S^2}+rS\frac{\partial v}{\partial S}=rv,S\gg 0,0\le t\le T\end{array}$ (2)

以及边界条件：

$v\left(S,T\right)=\{\begin{array}{l}\max \left\{K-S,0\right\},看涨期权\hfill \\ \max \left\{S-K,0\right\},看跌期权\hfill \end{array}$ (3)

其中T是到期时间，K是期权的执行价格。有学者用非中心卡方分布函数对CEV模型进行研究，提出CEV公式的近似解析解，但计算非常复杂(Schroder, 1989) [9]。Zhang等(2019)提出一种无网格的径向基配置算法对CEV期权进行数值仿真，具有精度高、稳定性好的优点，本研究借鉴该方法对CEV期权价值进行求解[10]。

CEV模型作为一种改进的期权定价工具，其在中国市场的有效性受到市场特殊性(如政策干预和投资者行为)的影响。通过深入探讨和针对性改进CEV模型，在每个时期选择合适的参数，可以显著提高股价拟合度和期权定价的准确性。

3. 数据选取与参数设置

3.1. 数据来源

上证50股指期权在上海证券交易所上市交易，因此，上海证券交易所是该期权数据的主要来源。交易所提供的市场数据包括每日的开盘价、收盘价、最高价、最低价和成交量等。

选用2023年12月20日至2024年10月30日的标的物上证50指数及其期权进行实证，考虑到样本数据的时间跨度较短，主要数据涵盖标的物收盘价以及多个执行价格下的看涨期权和看跌期权收盘价。看涨期权包括上证50指数购12月2400 (ho2412C2400)、上证50指数购12月2500 (ho2412C2500)、上证50指数购12月2600 (ho2412C2600)、上证50指数购12月2700 (ho2412C2700)；看跌期权包括上证50指数沽12月2400 (ho2412P2400)、上证50指数沽12月2500 (ho2412P2500)、上证50指数沽12月2600 (ho2412P2600)、上证50指数沽12月2700 (ho2412P2700)。其他数据例如标的资产的历史波动率、无风险利率以及到期时间等，均根据初始数据计算得到。

3.2. 参数确定

3.2.1. 标的资产的初始价格S

选取2023年12月20日至2024年10月30日这个时间区间内，每个交易日的上证50指数的收盘价作为标的物初始价格。

3.2.2. 标的物波动率σ

选取2023年12月20日至2024年10月30日的上证50指数收盘价，以每日收益率的标准差来表示。具体公式如下：

$\begin{array}{c}\sigma =\sqrt{242}\times \sqrt{\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^{242}{\left(R_i-\overline{R}\right)}^2}{n}}\end{array}$

$\begin{array}{c}{R}_i=\frac{P_i-P_{i-1}}{P_{i-1}}\end{array}$

式中，σ为碳汇价格波动率，$R_i$ 为第日标的物资产收益率，$\overline{R}$ 为日标的物资产收益率在242个交易日内的均值，$P_i$ 和$P_{i-1}$ 表示第i日和上一期碳交易价格收盘价。

3.2.3. 行权价K

上证50股指期权ho2412C2400和ho2412P2400的行权价均为2400；期权ho2412C2500和ho2412P2500的行权价均为2500；期权ho2412C2600和ho2412P2600的行权价均为2600；期权ho2412C2700和ho2412P2700的行权价均为2700。

3.2.4. 无风险利率r

选取1个月、3个月、6个月、9个月和1年的上海银行间同业拆借利率(SHIBOR)，采用线性插值法来计算得到2023年12月20日至2024年10月30日区间内每个交易日与期权剩余期限相应的无风险利率[11]。

3.2.5. 到期时间T

计算2023年12月20日至2024年10月30日区间内每个交易日距离到期日2024年12月20日的时间天数，并将天数并进行年化。

综上所述，2023年12月20日至2024年10月30日时间区间内的参数取值的描述性统计如表2所示。

Table 2. Descriptive statistics of parameters for domestic financial options

表2. 国内金融期权参数的描述性统计

	计数	均值	标准差	最小值	最大值	中位数
S	205	2402.5710	121.8762	2199.2590	2853.1380	2404.3470
σ	205	0.1370	0.0133	0.1203	0.1787	0.1364
T	205	0.5708	0.2482	0.1397	1.0027	0.5630
r	205	0.0209	0.0023	0.0183	0.0265	0.0204

4. 实证结果

4.1. 期权定价结果

4.1.1. 上证50股指看涨期权定价分析

从图1可以看出，当α = 1时，上证50股指看涨期权与其理论价格的贴合程度总体较高，呈现出真实价格围绕理论价值上下波动的状态，偏差较小。当α < 1时，期权的理论价格随着α的减小而降低，更加偏离实际市场价格。在2023年12月20日至2024年10月30日的大部分时间区间内，上证50股指看涨期权中的ho2412C2700期权的市场价格高于理论价格，即上证50指数购12月2700期权的市场价格在部分时间区间内处于被高估的状态；上证50股指看涨期权中的ho2412C2400、ho2412C2500、ho2412C2600期权的理论价格大体上围绕实际价格上下波动。

Figure 1. Theoretical values of four call options under different α parameters

图1. 不同α下四个看涨期权的理论价值

4.1.2. 上证50股指看跌期权定价分析

同理，在图2中，当α = 1时，上证50股指看涨期权与其理论价格的贴合程度总体较高，偏差较小。当α < 1时，期权的理论价格随着α的减小而降低，更加偏小而远离市价。在2023年12月20日至2024年10月30日的时间区间内，上证50股指看跌期权(包括ho2412P2400、ho2412P2500、ho2412P2600、ho2412P2700期权)的市场价格始终高于理论价格，也即看跌期权的理论价格被低估，市场价格则一直被高估。

Figure 2. Theoretical values of four put options under different α parameters

图2. 不同α下四个看跌期权的理论价值

4.2. 敏感性分析

为了探究常弹性系数α、标的物波动率σ和无风险利率r等不确定因素对于期权定价的影响程度，通过比较不同α、σ、r值下的期权定价结果，对上述期权进行敏感性分析[12]-[14]。

4.2.1. 单因素敏感性分析

选取上证50股指看涨期权为研究对象，分别就单个不确定因素常弹性系数α、标的物波动率σ和无风险利率r进行单因素敏感性分析，以探究CEV期权定价模型中α、σ、r对于期权价值的影响程度。关于常弹性系数α的单因素敏感性分析，在前文中的图1、图2分析中已经涉及，接下来分别对σ、r的敏感性进行探究。

关于标的物波动率σ的单因素敏感性分析，如图3所示，当其他不确定因素相同，标的物波动率在0.1至0.2之间时，上证50股指看涨期权的理论价格更加贴近其市场价格，而这也与上证50指数的实际波动率所处区间相符合。

关于无风险利率r的单因素敏感性分析，在图4中，当其他不确定因素相同，大部分看涨期权于大部分时间中，在利率处于0.01至0.03之间时，理论价格靠近其市场价格，而这也与实际的无风险利率所处的区间相符合。

Figure 3. Single-factor sensitivity analysis for volatility

图3. 波动率的单因素敏感性分析图

Figure 4. Single-factor sensitivity analysis for interest rates

图4. 利率的单因素敏感性分析图

综上所述，无论α、σ、r如何变化，CEV期权定价模型计算得到的期权理论价值的变化与市场价格的变化趋势基本一致，而看涨期权的期权价格会随着常弹性系数α、标的物波动率σ和无风险利率r的增加而逐渐增加。

4.2.2. 多因素敏感性分析

为了探究三种不确定性因素α、σ、r同时发生变动对期权价值的影响程度，首先在假定其它因素不变的条件下，进行三因素敏感性分析，计算三种不确定性因素α、σ、r同时发生变动所对应的不同的理论期权价值；接着对每种情况下的理论价值与市场价格计算误差指标，衡量理论价值与实际市场价格的误差水平，以确定各个上证50股指期权在误差最小的情况下的α、σ、r取值。

采用平均相对误差MRE和决定系数R²作为误差指标衡量定价误差水平：

$\text{MRE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left|\frac{y_i-{\widehat{y}}_i}{y_i}\right|\times 100\%$

$R^2=1-\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{\left(y_i-{\widehat{y}}_i\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}$

通过比较每种期权在不确定性因素α、σ、r同时发生变动的所有情形下的误差指标，确定每种期权误差水平最小时的α、σ、r及其误差大小，如表3所示。

Table 3. Error levels of option pricing under optimal uncertain factors

表3. 期权定价在最优不确定因素下的误差水平

期权	Alpha	r	Sigma	MRE	R2
C2400	0.90	0.01	0.30	0.1335	0.9206
C2500	0.90	0.02	0.30	0.1848	0.8828
C2600	0.90	0.04	0.30	0.2416	0.8106
C2700	0.90	0.05	0.30	0.2947	0.6445
P2400	0.90	0.01	0.40	0.1657	0.9146
P2500	1.00	0.02	0.20	0.1061	0.9274
P2600	1.00	0.04	0.25	0.0691	0.9191
P2700	1.00	0.02	0.25	0.0514	0.9774

Figure 5. Comparison of theoretical value and market price for call options under optimal α, σ, and r

图5. 看涨期权在最优α、σ、r下的理论价值与市场价格对比图

Figure 6. Comparison of theoretical value and market price for put options under optimal α, σ, and r

图6. 看跌期权在最优α、σ、r下的理论价值与市场价格对比图

同时，对上证50指数的各期权在各自最优α、σ、r下的理论价值预测结果与实际市场价格分别作图，如图5、图6所示。观察发现，不论是看涨期权函数看跌期权，由CEV期权定价模型计算得到的理论价值十分贴近实际市场价格，具有优良的预测效果。

5. 结论

运用方差常弹性期权定价(CEV)模型对上证50股指期权进行了实证分析。研究结果表明，CEV模型在捕捉市场实际波动方面具有更高的精确度，尤其是在观察到“波动率微笑”现象时。分析显示，针对样本数据的短期特性和市场异常情况的分析，CEV模型在波动率较大的条件下，尤其有效。

在对常弹性系数α、标的物波动率σ和无风险利率r的单因素敏感性分析中，对于看涨期权来说，随着α、σ或r的增加，期权理论价格亦随之增加，并且这种变化趋势与市场价格变化的方向一致，表明CEV模型能够较好地反映市场中价格波动的动态特性。

在多因素敏感性分析中，通过误差指标分析，在α、σ、r同时变动的不同参数组合下，CEV模型计算得到的期权理论价值与实际市场价格之间的误差水平在合理范围内，尤其是在特定参数条件下，理论价值与市场价格高度吻合，说明CEV模型具有良好的预测能力。

致 谢

衷心感谢导师张胜良，在整个研究过程中给予的宝贵指导和支持。