树上加权$L_{\lambda }^p\left(T\right)$空间上的加权复合算子

Weighted Composition Operator on Weighted $L_{\lambda }^p\left(T\right)$ Spaces of a Tree

摘要: 本文给出了加权$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间之间加权复合算子$W_{\psi ,\phi }$ 的有界性与紧性特征的刻画。

Abstract: Characterizations of boundedness and compactness of weighted composition operators $W_{\psi ,\phi }$ between the weighted $L_{\lambda }^p\left(T\right)$ spaces are provided.

1. 引言

加权复合算子在函数空间上已取得大量研究成果，相关论著可参阅文献[1] [2]。在文献[3] [4]中，Contreras、Zhao等详细讨论了单位圆盘$\mathbb{D}$ 上Hardy空间与加权Bergman空间的加权复合算子。此外，Tien等研究了Fock空间上的加权复合算子[5]。

函数空间的离散结构与算子理论已得到广泛研究，其中最具有研究价值的离散结构是树结构——该结构可视为边计数度量的完备度量空间。在许多情形下，树上的函数空间可视为经典函数空间的离散结构，如单位开圆盘$\mathbb{D}$ 上的Hardy空间、有界解析函数空间及加权Lebesgue空间等。

首先研究的离散空间是树上Lipschitz空间，其定义见文献[6]。该空间实质上是Bloch空间的离散形式。文献[6]与[7]中，Allen、Hosokawa等分别研究了树上Lipschitz空间的乘法算子与加权复合算子。对于其他离散空间，Muthukumar、Ponnusamy等学者[8]-[12]系统研究了树上Hardy空间与Lipschitz空间上的加权复合算子、复合算子及乘法算子。其中，Hardy空间是$L^p\left(T\right)$ 空间的子空间。这些空间在边计数测度下均为Banach空间。Allen等[13] [14]刻画了树上加权Banach空间上乘法算子与复合算子的性质，而Xu与Zhang研究了树结构加权$L^p\left(T\right)$ 空间上的复合算子[15]。

本文结构如下：第二节给出加权$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间与加权复合算子的基本性质；第三、四节刻画不同$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间之间加权复合算子的有界性与紧性特征。

下文采用如下记号约定：对任意实数$A$ 与$B$ ，若存在正常数$C$ 使得$A\le CB$ ，则称$A$ 几乎小于$B$ ，记作$A\lesssim B$ 。类似可定义$\gtrsim$ 。当$A\lesssim B$ 与$A\gtrsim B$ 同时成立时，记作$A\approx B$ 。

2. 预备知识

设${ℝ}^{+}$ 、$ℝ$ 、$ℂ$ 和$\mathbb{N}$ 分别表示全体正实数、全体实数、全体复数和全体非负整数构成的集合。图$G=\left(V,E\right)$ 是由满足$E\subset V\times V$ 的集合对构成，其中$V$ 称为$G$ 的顶点集，$E$ 称为$G$ 的边集。特别地，树$T$ 作为图的特殊结构，它是一个无向、连通且无圈的图。通常将树的所有顶点集合视为$T$ 本身，并用$o$ 表示$T$ 的根顶点。若两个顶点$u$ 与$v$ 通过一条边相连，则称它们相邻，记作$u~v$ 。对于任意$u,v\in T$ ，$\left[u,v\right]$ 表示连接$u$ 与$v$ 的路径。路径的长度定义为其包含的边数，因此顶点$u$ 与$v$ 之间的距离$d\left(u,v\right)$ 即为路径$\left[u,v\right]$ 的长度。关于树的更多细节可参阅文献[15] [16]。下面我们回顾$L^p\left(T\right)$ 空间的定义。

定义2.1：对于任意$1\le p<\infty$ ，设$T$ 为树，则$L^p\left(T\right)$ 空间为满足

${\displaystyle \sum _{v\in T}\left|f\left(v\right)\right|}<\infty$

的复值函数$f:T\to ℂ$ 的全体。

与复平面单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的Bergman空间$A^p\left(\mathbb{D}\right)$ 对比，由范数${\Vert f\Vert }_p={\displaystyle \sum _{v\in T}\left|f\left(v\right)\right|}<\infty$ 可知$L^p\left(T\right)$ 是Banach空间。

定义2.2：对于$1\le p<\infty$ ，设${\left\{\lambda \left(v\right)\right\}}_{v\in T}$ ​为$T$ 上的非负函数，则$T$ 上的加权$L^p\left(T\right)$ 空间为满足

${\displaystyle \sum _{v\in T}{\left|f\left(v\right)\right|}^p\lambda \left(v\right)}<\infty$

的函数$f$ 的全体，记作$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 。特别地，$L_{\lambda }^{\infty }\left(T\right)$ 为满足

${\Vert f\Vert }_{\lambda ,\infty }=\underset{v\in T}{\sup }\left\{\left|f\left(v\right)\right|\lambda \left(v\right)\right\}$

的函数所$f$ 的全体。

因此，对于任意$f\in L_{\lambda }^p\left(T\right)$ ，它的范数为

${\Vert f\Vert }_{\lambda ,p}={\left[{\displaystyle \sum _{v\in T}{\left|f\left(v\right)\right|}^p\lambda \left(v\right)}\right]}^{\frac{1}{p}}.$

易得$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 和$L_{\lambda }^{\infty }\left(T\right)$ 关于各自范数是Banach空间。特别地，$L_{\lambda }^2\left(T\right)$ 的内积为

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle \sum _{v\in T}f}\left(v\right)g\left(v\right)\lambda \left(v\right).$

因此$L_{\lambda }^2\left(T\right)$ 是可分Hilbert空间。

对于给定的树$T$ 的自映射$\phi$ 和$T$ 上的复值函数$\psi$ ，则加权复合算子$W_{\psi ,\phi }$ 为

$W_{\psi ,\phi }\left(f\right)=\psi \left(f\circ \phi \right)$

其中$f\in L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 。

若$\psi \equiv 1$ ，则$W_{\psi ,\phi }$ 为复合算子$C_{\phi }$ （定义为$C_{\phi }\left(f\right)=f\circ \phi$ ）；若对任意$v\in T$ 有$\phi \left(v\right)=v$ ，则$W_{\psi ,\phi }$ 为乘法算子$M_{\psi }$ (定义为$M_{\psi }f=\psi f$ )。

3. 有界性

本文中，${\lambda }_1$ 和${\lambda }_2$ 表示树$T$ 上的权函数。本节主要研究加权复合算子$W_{\psi ,\phi }$ 在$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间之间的有界性。

定理3.1：设$1\le p\le \infty$ ，则加权复合算子$W_{\psi ,\phi }$ 从$L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)$ 到$L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是有界的充要条件为

$\frac{\psi }{{\lambda }_1\circ \phi }\in L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right).$

证明：假设$\frac{\psi }{{\lambda }_1\circ \phi }\in L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 。对任意$f\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ ，当$p<\infty$ 时有

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }f\Vert }_{{\lambda }_2,p}={{\displaystyle \sum _{u\in T}{\left|\psi \left(u\right)f\left(\phi \left(u\right)\right)\right|}^p{\lambda }_2\left(u\right)}}^{\frac{1}{p}}\\ ={\displaystyle \sum _{u\in T}{\left|\frac{\psi \left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|}^p}{\lambda }_2\left(u\right){\left|f\left(\phi \left(u\right)\right){\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)\right|}^{\frac{1}{p}}\\ \le {\Vert \frac{\psi }{{\lambda }_1\circ \phi }\Vert }_{{\lambda }_2,p}{\Vert f\Vert }_{{\lambda }_1,\infty }.\end{array}$

当$p=\infty$ 时，

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }f\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{u\in T}{\sup }\left(\psi \left(u\right)f\left(\phi \left(u\right)\right)\right){\lambda }_2\left(u\right)\\ =\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|{\lambda }_2\left(u\right)\left|f\left(\phi \left(u\right)\right){\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)\right|\\ \le \underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|{\lambda }_2\left(u\right)\underset{u\in T}{\sup }\left|f\left(\phi \left(u\right)\right){\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)\right|\\ ={\Vert \frac{\psi }{{\lambda }_1\circ \phi }\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }{\Vert f\Vert }_{{\lambda }_1,\infty }.\end{array}$

故算子$W_{\psi ,\phi }$ 是有界的。

反之，若$W_{\psi ,\phi }:L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 为有界算子，则

$\frac{\psi }{{\lambda }_1\circ \phi }=W_{\psi ,\phi }\left(\frac{1}{{\lambda }_1}\right)\in L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ ，

当$\frac{1}{{\lambda }_1}\in L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)$ 时。因为${\Vert 1/{\lambda }_1\Vert }_{{\lambda }_1,\infty }=1$ ，则

$\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert \ge {\Vert \frac{\psi }{{\lambda }_1°\phi }\Vert }_{{\lambda }_2,p}.$

推论3.2：(i) 对$1\le p\le \infty$ ，复合算子$C_{\phi }$ 从$L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)$ 到$L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是有界的当且仅当

$\frac{1}{{\lambda }_1\circ \phi }\in L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right).$

(ii) 对$1\le p\le \infty$ ，乘法算子$M_{\psi }$ 从$L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)$ 到$L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是有界的当且仅当。

$\frac{\psi }{{\lambda }_1}\in L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right).$

下面给出$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间中函数的估计。

命题3.3：设$f\in L_{\lambda }^p\left(T\right)$ ($1\le p<\infty$ )，则对任意$v\in T/\left\{o\right\}$ 有

${\left|f\left(v\right)\right|}^p\lambda \left(v\right)\le {\Vert f\Vert }_{\lambda ,p}^p.$

证明：对$v\in T/\left\{o\right\}$ ，设$n=\left|v\right|$ ，则

${\left|f\left(v\right)\right|}^p\lambda \left(v\right)\le {\displaystyle \sum _{\left|w\right|=n}{\left|f\left(w\right)\right|}^p\lambda \left(w\right)}\le {\displaystyle \sum _{w\in T}{\left|f\left(w\right)\right|}^p\lambda \left(w\right)}.$

定理3.4：设$1\le p<\infty$ ，则算子$W_{\psi ,\phi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^{\infty }\left(T\right)$ 是有界的充要条件为

$\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right){\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|<\infty .$

证明：我们首先给出必要性的证明，给定一个函数$f_u\left(v\right)=\frac{{\chi }_u\left(v\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}$ ，易得${\Vert f_u\Vert }_{{\lambda }_1}^p=1$ 且

$\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert \gtrsim {\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_u\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{{\lambda }_2\left(u\right)\psi \left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|.$

反之，对任意$f\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ ，

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }f\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{u\in T}{\sup }\left|\psi \left(u\right)f\left(\phi \left(u\right)\right)\right|\lambda \left(u\right)\\ =\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right){\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|\left|f\left(\phi \left(u\right)\right){\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(u\right)\right)\right|\\ \le \underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right){\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|{\Vert f\Vert }_{{\lambda }_1,p}^{}\\ \lesssim {\Vert f\Vert }_{{\lambda }_1,p}^{}\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right){\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|.\end{array}$

推论3.5：(i) 对$1\le p\le \infty$ ，算子$C_{\phi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^{\infty }\left(T\right)$ 是有界的当且仅当

$\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(u\right)\right)}\right|<\infty .$

(ii) 对$1\le p\le \infty$ ，算子$M_{\psi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^{\infty }\left(T\right)$ 是有界的当且仅当

$\underset{u\in T}{\sup }\left|\frac{\psi \left(u\right){\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(u\right)}\right|<\infty .$

定理3.6：设$1\le p<\infty$ ，则算子$W_{\psi ,\phi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是有界的充要条件为

$\underset{u\in T}{\sup }\left|\psi \left(u\right)\right|{\left(\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}<\infty .$

证明：首先，我们定义函数$f_u\left(v\right)=\frac{{\chi }_u\left(v\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(u\right)}$ ，则

$\begin{array}{c}\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert \ge {\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_u\Vert }_{{\lambda }_2,p}\\ ={\left({\displaystyle \sum _{v\in T}{\left|\psi \left(v\right)f_u\left(\phi \left(v\right)\right)\right|}^p{\lambda }_2\left(v\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ =\left|\psi \left(u\right)\right|{\left(\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}.\end{array}$

反之，对任意$f\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ ，

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }f\Vert }_{{\lambda }_2,p}={\left({\displaystyle \sum _{u\in T}{\left|\psi \left(u\right)f\left(\phi \left(u\right)\right)\right|}^p{\lambda }_2\left(u\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ ={\left({\displaystyle \sum _{u\in T}{\left|\psi \left(u\right)\right|}^p\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}{\left|f\left(\phi \left(u\right)\right)\right|}^p{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le \underset{u\in T}{\sup }\left|\psi \left(u\right)\right|{\left(\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}{\Vert f\Vert }_{{\lambda }_1,p}.\end{array}$

推论3.7：(i) 对$1\le p<\infty$ ，算子$C_{\phi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是有界的当且仅当

$\underset{u\in T}{\sup }{\left(\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(u\right)\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}<\infty .$

(ii) 对$1\le p<\infty$ ，算子$M_{\psi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是有界的当且仅当

$\underset{u\in T}{\sup }\left|\psi \left(u\right)\right|{\left(\frac{{\lambda }_2\left(u\right)}{{\lambda }_1\left(u\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}<\infty .$

Xu和Zhang研究了由自映射$\phi$ 诱导的复合算子$C_{\phi }$ 在加权$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间上的有界性[15]。

定理3.8：对任意$1\le p\le \infty$ ，设$T$ 为树，$\phi$ 为$T$ 的单射自映射，则加权复合算子$W_{\phi ,\phi }$ 在加权$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间上有界的充要条件是：存在正常数$m,M$ 使得对所有$u\in T$ 有$m\le \lambda \left(u\right)\le M$ ，且$\psi \in L^{\infty }\left(T\right)$ 。

证明过程与文献[15]中的定理3.4类似，此处从略。

4. 紧性

本节将研究加权复合算子$W_{\psi ,\phi }$ 紧性的特征。根据文献[15]，当$\left|u\right|\to \infty$ 时，由特征函数${\chi }_u$ 构成的归一化函数$f_u\left(v\right)=\frac{{\chi }_u\left(v\right)}{{\lambda }^{1/p}\left(u\right)}$ 逐点收敛于0。

引理4.1 [15]：若归一化函数$f_u\left(v\right)=\frac{{\chi }_u\left(v\right)}{{\lambda }^{1/p}\left(u\right)}$ 是$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 的单位向量，则存在$T$ 中满足$\left|v_n\right|\to \infty$ 的序列$\left\{v_n\right\}$ 使得函数序列$\left\{f_u\right\}$ 在$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 中有界且逐点收敛于0。

首先刻画$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间之间加权复合算子的紧性：

定理4.2：对$1\le p<\infty$ ，算子$W_{\psi ,\phi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 是紧的充要条件是对任意的$\left\{f_n\right\}\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 是有界的且逐点收敛于0，有${\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_{{\lambda }_2,p}\to 0$ 。

证明：如果算子$W_{\psi ,\phi }$ 是从$L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 到$L_{{\lambda }_2}^p\left(T\right)$ 的紧算子，并且序列$\left\{f_n\right\}\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 收敛到0，那么存在$\left\{f_n\right\}$ 的一个子序列$\left\{f_{n_k}\right\}$ 使得$W_{\psi ,\phi }$ 在$\Vert \cdot {\Vert }_{{\lambda }_2,p}$ 范数下收敛到某个函数，记为$f$ 。这意味着$W_{\psi ,\phi }{f}_{n_k}$ 逐点收敛到$f$ 。由于$\left\{f_n\right\}$ 逐点收敛到0，我们有$f\equiv 0$ 。因此，$W_{\psi ,\phi }{f}_{n_k}$ 在${\Vert \cdot \Vert }_{{\lambda }_2,p}$ 范数下收敛到0。

反之，假设对于$L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 中任何趋于0的有界序列$\left\{f_n\right\}$ ，当$n$ 趋于无穷时，${\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_{{\lambda }_2,p}\to 0$ 。如果$\left\{g_n\right\}$ 是$L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 中的一个有界序列，不妨设对所有$n\in \mathbb{N}$ 有${\Vert g_n\Vert }_{{\lambda }_1,p}\le 1$ 。那么，根据命题3.3，对于任意$v\in T$ ，序列$g_n\left(v\right)$ 也是一个有界序列。根据对角化方法，存在$\left\{g_n\right\}$ 的一个子序列$\left\{g_{n_k}\right\}$ 使得$\left\{g_{n_k}\right\}$ 收敛到某个函数$g$ 。由于${\Vert g_{n_k}\Vert }_{{\lambda }_1,p}\to {\Vert g\Vert }_{{\lambda }_1,p}$ 且对所有$k$ 有$\Vert g_{n_k}\Vert \le 1$ ，因此$g\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 且${\Vert g\Vert }_{{\lambda }_1,p}\le 1$ 。令$f_k=g_{n_k}-g\in L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ ，则$f_k$ 逐点收敛到0。根据上述假设，序列${\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_k\Vert }_{{\lambda }_2,p}\to 0$ 当$k\to \infty$ 。证明完成。

定理4.3：设加权复合算子$W_{\psi ,\phi }:L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^{\infty }\left(T\right)$ 是有界的，则这个算子是紧的充要条件是

$\underset{\left|u\right|\to \infty }{\lim }\underset{v\in {\phi }^{-1}\left(u\right)}{\sup }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|=0.$

证明：若算子$W_{\psi ,\phi }$ 是紧的，则对任意满足${\Vert f_u\Vert }_{{\lambda }_1,\infty }=1$ 且当$\left|u\right|\to \infty$ 时逐点趋于零的函数$f_u\left(v\right)=\frac{{\chi }_u\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(u\right)}$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_u\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{v\in T}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_u\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)\\ =\underset{v\in {\phi }^{-1}\left(u\right)}{\sup }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|.\end{array}$

由于$W_{\psi ,\phi }$ 是紧算子，根据引理4.1可得，当$\left|u\right|\to \infty$ 时，

$\underset{v\in {\phi }^{-1}(u)}{\sup }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|\to 0$

反之，给定$\epsilon >0$ ，存在常数$M>0$ ，当$\left|u\right|>M$ 时

$\underset{v\in {\phi }^{-1}(u)}{\sup }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|<\frac{\epsilon }{2}$

等价地，

$\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|<\frac{\epsilon }{2}.$

设序列$\left\{f_n\right\}\subset L_{{\lambda }_1}^{\infty }\left(T\right)$ 满足${\Vert f_n\Vert }_{{\lambda }_1,\infty }\le 1$ 对所有$n\in \mathbb{N}$ 成立，且当$n\to \infty$ 时$f{}_n$ 逐点趋于0。由于集合$\left\{u\in T:\left|u\right|\le M\right\}$ 有限，存在$N\in \mathbb{N}$ 使得

$\underset{\left|u\right|\le M}{\sup }\left|f_n\left(u\right)\right|{\lambda }_1\left(u\right)\le \frac{\epsilon }{2\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert }$

因此，当$n>N$ 时：

$\begin{array}{c}\underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|\le \underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|\frac{{\lambda }_2\psi }{{\lambda }_1°\phi }\left(v\right)\right|\underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|f_n\left(\phi \left(v\right)\right){\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)\right|\\ \le \Vert W_{\psi ,\phi }\Vert \cdot \frac{\epsilon }{2\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert }=\frac{\epsilon }{2},\end{array}$

以及

$\begin{array}{c}\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|{\lambda }_2\left(v\right)\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|\le \underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|\frac{{\lambda }_2\psi }{{\lambda }_1°\phi }\left(v\right)\right|\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|f_n\left(\phi \left(v\right)\right){\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)\right|\\ \le \frac{\epsilon }{2}{\Vert f_n\Vert }_{{\lambda }_1,\phi }\le \frac{\epsilon }{2}.\end{array}$

综上，对所有$n>N$ 有，

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{v\in T}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)\\ \le \underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|+\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|{\lambda }_2\left(v\right)\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|\\ \le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$

推论4.4：(i) 乘法算子$M_{\psi }$ 为紧的当且仅当

$\underset{\left|v\right|\to \infty }{\lim }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(v\right)}\right|=0;$

(ii) 复合算子为$C_{\phi }$ 为紧的当且仅当

$\underset{\left|u\right|\to \infty }{\lim }\underset{v\in {\phi }^{-1}\left(u\right)}{\sup }\left|\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|=0.$

定理4.5：对$1\le p<\infty$ ，有界算子$W_{\psi ,\phi }:L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)\to L_{{\lambda }_2}^{\infty }\left(T\right)$ 是紧的充要条件是

$\underset{\left|u\right|\to \infty }{\lim }\underset{v\in {\phi }^{-1}\left(u\right)}{\sup }\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(\phi \left(v\right)\right)}=0.$

证明：首先，假设当$\left|u\right|\to \infty$ 时，

$\underset{v\in {\phi }^{-1}(u)}{\sup }\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\to 0.$

给定$\epsilon >0$ ，存在常数$M>0$ ，当$\left|u\right|>M$ 时，

$\underset{v\in {\phi }^{-1}(u)}{\sup }\left|\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|<\frac{\epsilon }{2}.$

等价地，

$\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|<\frac{\epsilon }{2}.$

设序列$\left\{f_n\right\}\subset L_{{\lambda }_1}^p\left(T\right)$ 满足当$n\to \infty$ 时$f_n$ 逐点趋于零。由于$\left\{u\in T:\left|u\right|\le M\right\}$ 是有限集，存在$N\in \mathbb{N}$ ，对所有$n>N$ ，

$\underset{\left|u\right|\le M}{\sup }\left|f_n\left(u\right)\right|{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(u\right)\le \frac{\epsilon }{2\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert }.$

因此，我们得到

$\underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)\le \underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|\underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)\le \Vert W_{\psi ,\phi }\Vert \cdot \frac{\epsilon }{2\Vert W_{\psi ,\phi }\Vert }\le \frac{\epsilon }{2},$

以及

$\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)\le \underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|{\Vert f_n\Vert }_{{\lambda }_1,p}\le \frac{\epsilon }{2}.$

于是，对所有$n>N$ 有

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{v\in T}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)\\ \le \underset{|\phi (v)|\le M}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)+\underset{|\phi (v)|>M}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_n\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)\\ <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$

反之，假设算子$W_{\psi ,\phi }$ 是紧的。我们定义函数

$f_u\left(v\right)=\frac{{\chi }_u\left(v\right)}{{\lambda }_1^{1/p}\left(u\right)},$

其中${\Vert f_u\Vert }_{{\lambda }_1,p}=1$ 且当$\left|u\right|\to \infty$ 时$f_u$ 逐点趋于零。于是

${\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_u\Vert }_{{\lambda }_2,\infty }=\underset{v\in T}{\sup }\left|\psi \left(v\right)f_u\left(\phi \left(v\right)\right)\right|{\lambda }_2\left(v\right)=\underset{v\in {\phi }^{-1}(u)}{\sup }\left|\psi \left(v\right)\frac{{\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\right|.$

由于算子$W_{\psi ,\phi }$ 是紧的，根据引理4.1可得，当$\left|u\right|\to \infty$ 时，

$\underset{v\in {\phi }^{-1}(u)}{\sup }\frac{\psi \left(v\right){\lambda }_2\left(v\right)}{{\lambda }_1^{\frac{1}{p}}\left(\phi \left(v\right)\right)}\to 0.$

5. 结语

本文作为加权复合算子在不同树上加权Hardy空间[8]结果的推广，我们主要研究了加权复合算子在加权$L_{\lambda }^p\left(T\right)$ 空间上的有界性和紧性。特别地，齐次树作为一种特殊的树，Muthukumar、Ponnusamy等研究了乘法算子和复合算子在齐次树上的性质[9] [10] [12]。由前面的定理可知，算子$W_{\psi ,\phi }$ 的有界性与树的节点树有关，因此在齐次树的情况下，我们的结果可以得到更加具体的结果。