高阶Haar小波配置法求解五阶微分方程

The Solution of Fifth-Order Differential Equations by the High-Order Haar Wavelet Collocation Method

摘要: 本文利用高阶Haar小波方法求解具有不同边界条件的五阶微分方程。对线性微分方程，使用高阶Haar小波配置法，将微分方程转化为线性代数方程组求解；对于非线性微分方程，则使用拟线性化方法将其转化为线性微分方程后求解。通过计算方程组系数矩阵的条件数，判断出方法的稳定性。数值实验表明，高阶Haar小波方法比经典的Haar小波方法有着更高的数值精度，可以用更少的配置点获得更小的误差，并且增加尺度误差下降得更快，通过求解最大绝对误差和均方根误差，得到了高阶Haar小波方法具有四阶精度的结论，数值计算结果与其他方法进行了比较。

Abstract: This paper utilizes the high-order Haar wavelet method to solve fifth-order differential equations with different boundary conditions. For linear differential equations, the high-order Haar wavelet collocation method is employed to transform the differential equation into a system of linear algebraic equations for solution. For nonlinear differential equations, the quasi-linearization method is used to convert them into linear differential equations before solving. The stability of the method is determined by calculating the condition number of the coefficient matrix of the equation system. Numerical experiments show that the high-order Haar wavelet method has higher numerical accuracy than the classical Haar wavelet method, achieving smaller errors with fewer collocation points. Moreover, as the scale increases, the error decreases more rapidly. By solving the maximum absolute error and the root mean square error, it is concluded that the high-order Haar wavelet method has a fourth-order accuracy. The numerical results are compared with those of other methods.

1. 引言

微分方程在力学、生物数学[1]等众多领域都有着广泛的应用，其中五阶微分方程在高阶非线性动力学和流体力学中有着重要的作用。对于一般的五阶微分方程，通常难以获得其精确解，因此有必要去使用数值方法进行求解。Mechee等采取了一种直接显式的Runge-Kutta方法来求解一种特殊的五阶微分方程[2]，Al-fayyadh等采用指数拟合–对角隐式Runge-Kutta法直接求解五阶微分方程[3]，也有许多学者使用了小波方法去求解微分方程[4]-[6]。2018年，Majak等采用了高阶Haar小波方法(HOHWM)去求解微分方程[7]，相比于经典的Haar小波方法(HWM)，HOHWM的精度更高，并可以将HWM的收敛阶从2提升到4，该方法得到了广泛的关注，随后有学者将高阶Haar小波方法用于求解各种应用问题，比如Ratas等将HOHWM用于求解非线性演化方程，通过与HWM的对比，验证HOHWM在精度和计算效率上的优势[8]。Bulut等采用HOHWM求解正则化长波方程(RLW) [9]。Yasmeen等将HOHWM用于求解积分方程，观察到4阶收敛[10]。也有学者用HOHWM去求解高阶微分方程[11]。就我们所知，目前没有学者将HOHWM作用在五阶微分方程上。

本文旨在用高阶的Haar小波方法(HOHWM)求解如下的五阶微分方程：

$y^{\left(5\right)}=F\left(x,y^{\left(1\right)},y^{\left(2\right)},y^{\left(3\right)},y^{\left(4\right)}\right)$ , ${\theta }_0\le x\le {\theta }_1$ (1)

考虑以下三种边界条件：

1) 简单边界条件

$y\left({\theta }_0\right)={\alpha }_1$ , $y\left({\theta }_1\right)={\alpha }_2$ , $y^{\left(1\right)}\left({\theta }_0\right)={\alpha }_3$ , $y^{\left(1\right)}\left({\theta }_1\right)={\alpha }_4$ , $y^{\left(2\right)}\left({\theta }_0\right)={\alpha }_5$ .

2) 两点边界条件

$y\left({\theta }_0\right)+y\left({\theta }_1\right)={\epsilon }_1$ , $y\left({\theta }_0\right)+y^{\prime }\left({\theta }_0\right)={\epsilon }_2$ , $y\left({\theta }_0\right)+y^{\prime }\left({\theta }_1\right)={\epsilon }_3$ ,

$y\left({\theta }_0\right)+y^{″}\left({\theta }_0\right)={\epsilon }_4$ , $y^{\prime }\left({\theta }_0\right)+y\left({\theta }_1\right)={\epsilon }_5$ .

3) 两点积分边界条件

${\omega }_1{\displaystyle {\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}y\left(x\right)\text{d}x}={\gamma }_1$ , $y\left({\theta }_0\right)+{\omega }_1{\displaystyle {\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}y\left(x\right)\text{d}x}={\gamma }_2$ , $y\left({\theta }_1\right)+{\omega }_1{\displaystyle {\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}y\left(x\right)\text{d}x}={\gamma }_3$ ,

$y^{\prime }\left({\theta }_0\right)+{\omega }_1{\displaystyle {\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}y\left(x\right)\text{d}x}={\gamma }_4$ , $y^{\prime }\left({\theta }_1\right)+{\omega }_1{\displaystyle {\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_1}y\left(x\right)\text{d}x}={\gamma }_5$ ,

其中，${\alpha }_i$ 、${\epsilon }_i$ 、${\gamma }_i$ 、$i=1,2,3,4,5$ 和${\omega }_1$ 为常数。

2. Haar小波函数

Haar小波函数定义[12]

在$\left[{\theta }_0,{\theta }_1\right]$ 上的Harr小波定义如下：

$i=1$ 时，${\phi }_1\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \left[{\theta }_1,{\theta }_2\right)\\ 0& 其他\end{array}$ ，$i>1$ 时，${\phi }_i\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \left[{\eta }_1\left(i\right),{\eta }_2\left(i\right)\right)\\ -1& x\in \left[{\eta }_2\left(i\right),{\eta }_3\left(i\right)\right)\\ 0& 其他\end{array}$ ，

其中，${\eta }_1\left(i\right)={\theta }_0+\frac{\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)k}{2^j}$ ，${\eta }_2\left(i\right)={\theta }_0+\frac{\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)\left(k+0.5\right)}{2^j}$ ，${\eta }_3\left(i\right)={\theta }_0+\frac{\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)\left(k+1\right)}{2^j}$ ，$i=2^j+k+1$ ，$j=0,1,\cdots ,J$ ，$k=0,1,\cdots ,2^j-1$ 。

若函数$u\left(x\right)\in L^2\left[{\theta }_0,{\theta }_1\right)$ ，则可以由Haar小波表示为：

$u(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{c}_i}{\phi }_i\left(x\right)$ (2)

对式子(2)进行截断，得到$u\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i}{\phi }_i\left(x\right)$ ，其中$M=2^J$ 。为了简化计算，引入Haar小波函数的n次积分，记作${\psi }_{n.i}\left(x\right)$ ，积分公式如下：$i=1$ 时，${\psi }_{n,1}\left(x\right)=\frac{x^n}{n!}$ ；

$i>1$ 时，${\psi }_{n,i}\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0\hfill & x\in \left[0,{\eta }_1\left(i\right)\right)\hfill \\ \frac{1}{n!}{\left(x-{\eta }_1\left(i\right)\right)}^n\hfill & x\in \left[{\eta }_1\left(i\right),{\eta }_2\left(i\right)\right)\hfill \\ \frac{1}{n!}\left[{\left(x-{\eta }_1\left(i\right)\right)}^n-2{\left(x-{\eta }_2\left(i\right)\right)}^n\right]\hfill & x\in \left[{\eta }_2\left(i\right),{\eta }_3\left(i\right)\right)\hfill \\ \frac{1}{n!}\left[{\left(x-{\eta }_1\left(i\right)\right)}^n-2{\left(x-{\eta }_2\left(i\right)\right)}^n+{\left(x-{\eta }_3\left(i\right)\right)}^n\right]\hfill & x\in \left[{\eta }_3\left(i\right),1\right)\hfill \end{array}$ 。

3. 算法介绍

Haar小波方法(HWM)求解微分方程是将方程中未知函数的最高阶导数用Haar小波表示，而高阶Haar小波方法(HOHWM)求解五阶微分方程是将$u^{\left(5+2s\right)}\left(x\right)$ 展开为Haar小波函数，本文中取$s=1$ ，即：

$u^{\left(7\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\phi }_i\left(x\right)}$ ，

对上述方程两边关于变量x连续积分七次，得到未知函数及其低阶导数的表达式：

$u^{\left(6\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{1,i}\left(x\right)}+a_6$ ,

$u^{\left(5\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{2,i}\left(x\right)}+a_{6}x+a_5$ , (3)

$u^{\left(4\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{3,i}\left(x\right)}+\frac{a_6{x}^2}{2}+a_{5}x+a_4$ , (4)

$u^{\left(3\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{4,i}\left(x\right)}+\frac{a_6{x}^3}{6}+\frac{a_5{x}^2}{2}+a_{4}x+a_3$ , (5)

$u^{\left(2\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{5,i}\left(x\right)}+\frac{a_6{x}^4}{24}+\frac{a_5{x}^3}{6}+\frac{a_4{x}^2}{2}+a_{3}x+a_2$ , (6)

$u^{\left(1\right)}\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{6,i}\left(x\right)}+\frac{a_6}{120}{x}^5+\frac{a_5}{24}{x}^4+\frac{a_4}{6}{x}^3+\frac{a_3}{2}{x}^2+a_{2}x+a_1$ , (7)

$u\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\psi }_{7,i}\left(x\right)}+\frac{a_6}{720}{x}^6+\frac{a_5}{120}{x}^5+\frac{a_4}{24}{x}^4+\frac{a_3}{6}{x}^3+\frac{a_2}{2}{x}^2+a_{1}x+a_0$ , (8)

其中，$a_i\left(i=0,1,\cdots ,6\right)$ 是未知的积分常数。把式子(3)~(8)代入方程(1)中，并且使用配置点

$x_l={\theta }_0+\frac{\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)\left(l-1/2\right)}{2M},l=1,2,\cdots ,2M$ ,

进行离散，得到$2M$ 个方程，方程中共含有$2M+7$ 个未知数，再根据初值条件可构造五个方程。根据高阶Haar小波方法[7]，另外选择$x_0={\theta }_0$ 与$x_{2M+1}={\theta }_1$ 为配置点，使方程(1)在$x_0$ 和$x_{2M+1}$ 上成立，可得到两个方程，构成了包含$2M+7$ 个未知数的方程组。

为了更好地理解所提出的技术，这里给出(1)的一种特殊情况：

$y^{\left(5\right)}\left(x\right)+xy\left(x\right)=5\left(x-1\right)\sin \left(x\right)+5\left(x-x^2-5\right)\cos \left(x\right)$ ,

简单边界条件为：$y\left(0\right)=5$ ，$y^{\left(1\right)}\left(0\right)=-5$ ，$y^{\left(2\right)}\left(0\right)=-5$ ，$y^{\left(1\right)}\left(1\right)=-5\cos \left(1\right)$ ，$y\left(1\right)=0$ 。

记

$C^{\text{T}}=\left[c_1,c_2,\cdots ,c_{2M}\right]$ , $I^n\Phi \left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{\psi }_{n,1}\left(x\right)\\ {\psi }_{n,2}\left(x\right)\\ ⋮\\ {\psi }_{n,2M}\left(x\right)\end{array}\right]$ ,

则由公式(3)和(8)可得：

$y^{\left(5\right)}\left(x\right)+xy\left(x\right)=\left[C^{\text{T}},a_6,a_5,\cdots ,a_0\right]\left[\begin{array}{c}{I}^2\Phi \left(x\right)+x{I}^7\Phi \left(x\right)\\ x+\frac{x^7}{720}\\ 1+\frac{x^6}{120}\\ \begin{array}{c}⋮\\ x\end{array}\end{array}\right]$ ,(9)

根据式子(3)~(8)可知，五个边界条件可以表示为：

$\left[C^{\text{T}},a_6,a_5,\cdots ,a_0\right]\left[\begin{array}{cccc}{I}^7\Phi \left(0\right)& I^6\Phi \left(0\right)& \cdots & I^7\Phi \left(1\right)\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{720}\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{120}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 0& \cdots & 1\end{array}\right]=\left[5,-5,\cdots ,0\right]$ ,

在式子(9)中代入配置点0、$\frac{l-1/2}{2M},l=1,2,\cdots ,2M$ 、1，并结合边界条件，可以得到：

$AX=B$ ，(10)

其中，$A=\left[C^{\text{T}},a_6,a_5,\cdots ,a_0\right]$ ，$B=\left[-25,\cdots ,-25\cos \left(1\right),5,-5,\cdots ,0\right]$ ，

$X=\left[\begin{array}{cccccc}{I}^2\Phi \left(0\right)& \cdots & I^2\Phi \left(1\right)+I^7\Phi \left(1\right)& I^7\Phi \left(0\right)& \cdots & I^7\Phi \left(1\right)\\ 0& \cdots & 1+\frac{1}{720}& 0& \cdots & \frac{1}{720}\\ 1& \cdots & 1+\frac{1}{720}& 0& \cdots & \frac{1}{120}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$ .

对于两点边界条件和积分边界条件，同理根据式子(3)~(8)得出边界条件的表达式进行计算。

所举的例子是线性方程，可以直接使用高斯消去法来求解方程组(10)，可得小波系数$c_i$ 和积分常数$a_i$ ，再通过表达式(8)，可以得到函数$u\left(x\right)$ 在定义域内任何点处的近似值，但是若方程组是非线性的，则需要使用拟线性方法，方法一是对方程中的非线性项进行Taylor展开，将非线性项转化为线性的之后再代回原方程[5]，方法二是将方程进行Picard迭代，直接转化为线性方程进行求解，为了更好地理解Picard迭代，这里举一个非线性微分方程的例子：$y^{\left(5\right)}\left(x\right)-{\text{e}}^{-x}{y}^2\left(x\right)=0$ ，简单边界条件：$y\left(0\right)=1$ ，$y\left(1\right)=\text{e}$ ，$y^{\left(1\right)}\left(0\right)=1$ ，$y^{\left(1\right)}\left(1\right)=\text{e}$ ，$y^{\left(2\right)}\left(0\right)=1$ 。对方程采用Picard迭代可得：${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)-{\text{e}}^{-x}{\left({\left[y\right]}^z\right)}^2=0$ ，$z$ 表示当前迭代步数为，下一步为$z+1$ ，这是一个关于${\left[y\right]}^{z+1}$ 的五阶线性微分方程，可以直接对其采用HOHWM。

4. Haar小波收敛性和稳定性分析

4.1. 收敛性分析[13]

定理1 (HOHWM)设$\frac{{\text{d}}^{p+2s}u\left(x\right)}{\text{d}{x}^{p+2s}},p=1,2,3,4,5,6$ 存在，且在$\left[{\theta }_0,{\theta }_1\right]$ 上有界，用$u\left(x\right)$ 代表精确解，$u_{2M}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{2M}{c}_i{\phi }_i\left(x\right)}$ 代表高阶Haar小波数值解，$M=2^J,J=0,1,2,\cdots$ ，$s=1,2$ ，有${\Vert u\left(x\right)-u_{2M}\left(x\right)\Vert }_2=O\left[{\left(\frac{1}{2^{J+1}}\right)}^{2+2s}\right]$ 。

4.2. 稳定性分析

定义1 假设对于式子(10)的方程组$AX=B$ ，若$X^{-1}$ 的范数小于某个常数C，即$\Vert X^{-1}\Vert \le C$ ，则称线性方程组是稳定的[5]。

对于方程组$AX=B$ ，考虑其稳定性，首先要检查X是否可逆，若X不可逆，则说明方程组的解不唯一，在表1中给出了本文所举例子在不同J下X的条件数，观察到条件数均不为零，即矩阵X是可逆的。同时，由条件数的定义可知，对于给定元素的X，当其条件数为有限值时，可得$\Vert X^{-1}\Vert$ 有界，并且由表1可知，随着J的增加，条件数不会增加得很快，从而说明稳定性。

5. 数值算例

将高阶Haar小波方法用于给定了不同初值条件的线性或非线性五阶微分方程，并且与其他的方法进行了比较，展示高阶Haar小波方法的优势。为了检验所得结果的准确性和可靠性，采取了最大逐点误差：

Table 1. Condition numbers under different parameter conditions

表1. 不同参数情况下的条件数

	例子1	例子2		例子3		例子4
J	边界1	边界3	边界1	Taylor边界1	Picard边界1	Taylor边界2	Picard边界2
1	4.54e+02	7.76e+03	2.76e+02	2.77e+02	2.75e+02	1.42e+05	4.00e+02
2	1.71e+03	8.31e+03	1.37e+03	1.38e+03	1.37e+03	2.10e+05	1.46e+03
3	8.75e+03	1.00e+04	7.25e+03	7.27e+03	7.26e+03	3.45e+05	7.26e+03
4	4.71e+04	4.55e+04	3.96e+04	3.97e+04	3.97e+04	1.52e+06	3.97e+04
5	2.60e+05	2.50e+05	2.21e+05	2.21e+05	2.21e+05	8.11e+06	2.21e+05
6	1.45e+06	1.39e+06	1.24e+06	1.24e+06	1.24e+06	4.45e+07	1.24e+06

$L_{\infty }\left(J\right)=\underset{i}{\max }\left|u\left(x_i\right)-u_{2M}\left(x_i\right)\right|$

以及均方根误差：

$L_2\left(J\right)=\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^9\left[{\left(u\left(x_i\right)-u_{2M}\left(x_i\right)\right)}^2\right]}}{9}}$

其中，$u\left(x\right)$ 代表精确解，$u_{2M}\left(x\right)$ 代表通过表达式(8)得出的近似解，$x_i={\theta }_0+i\frac{\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)}{10},i=1,2,\cdots ,9$ ，$M=2^J$ 。为了展示HOHWM相对于HWM的优势，定义收敛阶为$k_J=\frac{\log \left(L_{\infty }\left(J-1\right)\right)-\log \left(L_{\infty }\left(J\right)\right)}{\log \left(2\right)}$ 以及$k_J=\frac{\log \left(L_2\left(J-1\right)\right)-\log \left(L_2\left(J\right)\right)}{\log \left(2\right)}$ 。

例1 求解五阶线性微分方程：

$y^{\left(5\right)}\left(x\right)+xy\left(x\right)=5\left(x-1\right)\sin \left(x\right)+5\left(x-x^2-5\right)\cos \left(x\right)$ ,

简单边界条件为：$y\left(0\right)=5$ ，$y^{\left(1\right)}\left(0\right)=-5$ ，$y^{\left(2\right)}\left(0\right)=-5$ ，$y^{\left(1\right)}\left(1\right)=-5\cos \left(1\right)$ ，$y\left(1\right)=0$ ，其精确解为$y\left(x\right)=5\left(1-x\right)\cos \left(x\right)$ 。

表2给出了例1简单边界条件下HOHWM的$L_{\infty }$ 和$L_2$ 误差，并计算收敛阶，与文献[5]中HWM的$L_{\infty }$ 误差和收敛阶对比。由表2可知，相对于HWM，HOHWM的误差更小，并且随着J的增加，HOHWM误差下降得更快，收敛阶为4。

Table 2. $L_{\infty }$ errors、$L_2$ errors and the convergence orders of the HWM and HOHWM methods in Example 1

表2. 例1 HWM和HOHWM方法的$L_{\infty }$ 误差、$L_2$ 误差以及收敛阶

	HWM [5]		HOHWM
J	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_2$	收敛阶
J = 1	2.48e−5	-	1.82e−07	-	1.16e−07	-
J = 2	6.04e−6	2.0363	1.07e−08	4.0864	6.81e−09	4.0869
J = 3	1.52e−6	1.9920	6.63e−10	4.0139	4.21e−10	4.0151
J = 4	3.79e−7	2.0046	4.14e−11	4.0024	2.63e−11	4.0025
J = 5	9.47e−8	1.9984	2.58e−12	4.0036	1.64e−12	4.0043

例2 考虑线性五阶微分方程：

$y^{\left(5\right)}\left(x\right)-y\left(x\right)=-15{\text{e}}^x-10x{\text{e}}^x$ ,

考虑两种边界条件：1) 两点积分边值条件为：${\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(x\right)\text{d}x}=3-\text{e}$ ，$y\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(x\right)\text{d}x}=3-\text{e}$ ，$y\left(1\right)+{\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(x\right)\text{d}x}=3-\text{e}$ ，$y^{\left(1\right)}\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(x\right)\text{d}x}=4-\text{e}$ ，$y^{\left(1\right)}\left(1\right)+{\displaystyle {\int }_0^{1}y\left(x\right)\text{d}x}=3-2\text{e}$ 。2) 简单边界条件为：$y\left(0\right)=0$ ，$y\left(1\right)=0$ ，$y^{\left(1\right)}\left(0\right)=1$ ，$y^{\left(1\right)}\left(1\right)=-\text{e}$ ，$y^{\left(2\right)}\left(0\right)=0$ 。

方程的精确解为$y\left(x\right)=\left(x-x^2\right){\text{e}}^x$ 。

表3给出了例2在两点积分边界条件下HOHWM的$L_{\infty }$ 和$L_2$ 误差，并计算收敛阶，与文献[5]中HWM的$L_{\infty }$ 误差和收敛阶对比。由表3可知，相对于HWM，HOHWM的误差更小，并且随着J的增加，HOHWM误差下降得更快，收敛阶为4。表4给出了例2在简单边界条件下，不同配置点个数n的HOHWM的$L_{\infty }$ 误差，并于其他方法进行了对比。由表4可知，HOHWM可以在配置点个数n更少时，取得更小的误差，效果更好。表5给出了例2在简单边界条件下HOHWM的$L_{\infty }$ 和$L_2$ 误差，并计算收敛阶，由表5可知，HOHWM的收敛阶为4。

Table 3. $L_{\infty }$ errors、$L_2$ errors and convergence orders of the HWM and HOHWM methods under two-point integral boundary conditions in Example 2

表3. 例2两点积分边界条件下HWM和HOHWM方法的$L_{\infty }$ 误差、$L_2$ 误差以及收敛阶

	HWM [5]		HOHWM
J	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_2$	收敛阶
J = 2	4.62e−6	-	7.93e−09	-	5.69e-09	-
J = 3	1.40e−6	1.7215	4.95e−10	4.0018	3.55e-10	4.0029
J = 4	3.62e−7	1.9510	3.10e−11	4.0000	2.22e-11	3.9993
J = 5	9.11e−8	1.9923	1.93e−12	4.0009	1.39e-12	3.9965
J = 6	2.28e−8	2.0000	1.30e−13	3.8999	8.66e-14	4.0036

Table 4. $L_{\infty }$ errors of HOHWM and other methods under simple boundary conditions with different collocation points in Example 2

表4. 例2简单边界条件下HOHWM和其他方法在不同配置点下的$L_{\infty }$ 误差

方法	n	$L_{\infty }$	n	$L_{\infty }$	n	$L_{\infty }$
HOHWM	8	2.85e−8	16	1.78e−9	32	1.11e−10
HWM [5]	8	1.16e−5	16	3.00e−6	32	7.57e−7
Sextic spline [14]	8	5.59e−4	16	3.41e−5	32	1.59e−7
Cubic B-spline [15]	10	1.84e−4	20	4.54e−5	40	1.14e−5
NSM [5]	10	1.28e−4	20	2.79e−4	40	9.39e−4
NSSM [5]	10	3.75e−5	20	6.20e−6	40	8.87e−4

Table 5. $L_{\infty }$ errors, $L_2$ errors and the convergence orders of the HOHWM methods under simple boundary conditions in Example 2

表5. 例2简单边界条件下HOHWM的$L_{\infty }$ 误差、$L_2$ 误差以及收敛阶

	J = 1	J = 2	J = 3	J = 4	J = 5
$L_{\infty }$	4.67e−7	2.85e−8	1.78e−9	1.11e−10	6.97e−12
收敛阶	-	4.0359	3.9981	3.9987	3.9995
$L_2$	2.95e−7	1.80e−8	1.13e−9	7.06e−11	4.41e−12
收敛阶	-	4.0353	3.9982	3.9986	3.9995

例3 考虑如下形式的五阶非线性微分方程：

$y^{\left(5\right)}\left(x\right)-{\text{e}}^{-x}{y}^2\left(x\right)=0$ ,(11)

考虑简单边界条件：$y\left(0\right)=1$ ，$y\left(1\right)=\text{e}$ ，$y^{\left(1\right)}\left(0\right)=1$ ，$y^{\left(1\right)}\left(1\right)=\text{e}$ ，$y^{\left(2\right)}\left(0\right)=1$ ，其精确解为：$y={\text{e}}^x$ 。

对于非线性微分方程，采用线性化方法。方法一：Taylor展开法。对式子中的非线性项$y^2$ 进行泰勒展开[5]，设当前迭代步数为$z$ ，下一步为$z+1$ ，对${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^2$ 在${\left[y\right]}^z$ 处进行Taylor展开：

${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^2\approx {\left({\left[y\right]}^z\right)}^2+2{\left[y\right]}^z\left({\left[y\right]}^{z+1}-{\left[y\right]}^z\right)$ ,

即：

${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^2\approx 2{\left[y\right]}^z{\left[y\right]}^{z+1}-{\left({\left[y\right]}^z\right)}^2$ (12)

把式子(12)代入到式子(11)中可得：${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^{\left(5\right)}+2\left(-{\text{e}}^{-x}\right){\left[y\right]}^z{\left[y\right]}^{z+1}=\left(-{\text{e}}^{-x}\right){\left({\left[y\right]}^z\right)}^2$ ，这是一个关于$y^{z+1}$ 的五阶线性微分方程。

方法二：Picard迭代法。对式子(11)应用Picard迭代得：${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)-{\text{e}}^{-x}{\left({\left[y\right]}^z\right)}^2=0$ ，$z$ 表示当前迭代步数，下一步为$z+1$ ，这是一个关于${\left[y\right]}^{z+1}$ 的五阶线性微分方程。

表6给出了例3经过Taylor展开法后，在简单边界下HOHWM的误差，与文献[5]中的HWM误差对比。由表6可知，相对于HWM，HOHWM的在各个点处的误差都更小，并且随着J的增加，HOHWM的误差下降得更快。表7给出了例3经过Picard迭代法后，在J = 4时HOHWM方法和其他方法在各点的对比，由表7可知，相对于其他方法，HOHWM方法的误差更小。表8和表9给出了例3在两个线性化方法下使用HOHWM的$L_{\infty }$ 和$L_2$ 误差，并计算收敛阶。由表8和表9可知，HOHWM的收敛阶为4。

Table 6. Comparison of the errors at each point between HWM and HOHWM after using the Taylor expansion method in Example 3

表6. 例3经过Taylor展开法后HWM和HOHWM在各点处的误差对比

	J = 4		J = 5		J = 6
x	HWM [5]	HOHWM	HWM [5]	HOHWM	HWM [5]	HOHWM
0.1	3.9e−10	3.4e−14	9.8e−11	2.2e−15	2.4e−11	2.2e−16
0.2	2.5e−9	2.2e−13	6.3e−10	1.4e−14	1.5e−10	8.9e−16
0.3	6.6e−9	5.7e−13	1.6e−9	3.6e−14	4.1e−10	2.2e−15
0.4	1.1e−8	1.0e−12	2.9e−9	6.3e−14	7.3e−10	4.0e−15
0.5	1.6e−8	1.4e−12	4.0e−9	8.7e-14	1.0e−9	5.6e−15
0.6	1.8e−8	1.6e−12	4.5e−9	9.8e−14	1.1e−9	6.0e−15
0.7	1.6e−8	1.4e−12	4.1e−9	8.9e−14	1.0e−9	5.8e−15
0.8	1.1e−8	9.6e−13	2.8e−9	6.0e−14	7.0−10	4.0e−15
0.9	4.0e−9	3.5e−13	1.0e−9	2.2e−15	2.5e−10	1.8e−15

Table 7. Comparison of the errors at each point between HOHWM and other methods after applying the Picard iterative method in Example 3 when J = 4

表7. J = 4时，例3经过Picard迭代法后HOHWM和其他方法在各点的误差对比

x	HOHWM	HPM [16]	B-spline [16]	VIM [17]
0.1	3.4e−14	1.0e−9	7.0e−9	0
0.2	2.2e−13	2.0e−9	7.2e−9	1.0e−5
0.3	5.8e−13	1.0e−8	4.1e−8	1.0e−5
0.4	1.0e−12	2.0e−8	4.6e−8	1.0e−4
0.5	1.4e−12	3.1e−8	4.7e−8	3.2e−4
0.6	1.6e−12	3.7e−8	4.8e−8	3.6e−5
0.7	1.4e−12	4.1e−8	3.9e−8	1.4e−4
0.8	9.7e−13	3.1e−8	3.1e−8	3.1e−4
0.9	3.5e−13	1.4e−8	1.4e−8	5.8e−4

Table 8. $L_{\infty }$ errors, $L_2$ errors and the convergence orders of the HOHWM methods after using the Taylor expansion method in Example 3

表8. 例3经过Taylor展开法后HOHWM方法的$L_{\infty }$ 误差、$L_2$ 误差以及收敛阶

	J = 1	J = 2	J = 3	J = 4	J = 5
$L_{\infty }$	6.52e−9	4.00e−10	2.50e−11	1.57e−12	9.79e−14
收敛阶	-	4.0286	3.9961	3.9981	4.0004
$L_2$	4.12e−9	2.53e−10	1.59e−11	9.92e−13	6.21e−14
收敛阶	-	4.0258	3.9962	3.9979	3.9981

Table 9. $L_{\infty }$ errors, $L_2$ errors and the convergence orders of the HOHWM methods after applying the Picard iteration in Example 3

表9. 例3经过Picard迭代后HOHWM方法的$L_{\infty }$ 误差、$L_2$ 误差以及收敛阶

	J = 1	J = 2	J = 3	J = 4	J = 5
$L_{\infty }$	6.52e−9	4.00e−10	2.50e−11	1.58e−12	1.09e−13
收敛阶	-	4.0285	3.9955	3.9884	3.8499
$L_2$	4.12e−09	2.53e−10	1.59e−11	1.00e−12	6.93e−14
收敛阶	-	4.0257	3.9956	3.9882	3.8501

例4 考虑五阶非线性微分方程：

$y^{\left(5\right)}\left(x\right)+24{\text{e}}^{-5y}=\frac{48}{{\left(1+x\right)}^5},x\in \left(0,1\right)$ ,(13)

考虑两点边界条件：$y\left(1\right)+y\left(0\right)=\ln 2$ ，$y\left(0\right)+y^{\left(1\right)}\left(0\right)=1$ ，$y\left(0\right)+y^{\left(1\right)}\left(1\right)=0.5$ ，$y\left(0\right)+y^{\left(2\right)}\left(0\right)=-1$ ，$y\left(1\right)+y^{\left(1\right)}\left(0\right)=\ln \left(2\right)+1$ ，其精确解为$y\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)$ 。

同理对非线性方程采用线性化的方法，方法一：Taylor展开法，对于这个方程中的非线性项${\text{e}}^{-5y}$ 进行线性化，设当前迭代步数为$z$ ，下一步为$z+1$ ，对${\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^{z+1}}$ 在${\left[y\right]}^z$ 处进行泰勒展开：

${\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^{z+1}}\approx {\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^z}-5{\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^z}\left({\left[y\right]}^{z+1}-{\left[y\right]}^z\right)$ ,(14)

把式子(14)代入到(13)中可得：

${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^{\left(5\right)}-120{\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^z}{\left[y\right]}^{z+1}=\frac{48}{{\left(1+x\right)}^5}-120{\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^z}{\left[y\right]}^z-24{\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^z}$ .

方法二：Picard迭代法：对式子(13)应用Picard迭代可得：${\left({\left[y\right]}^{z+1}\right)}^{\left(5\right)}\left(x\right)+24{\text{e}}^{-5{\left[y\right]}^z}=\frac{48}{{\left(1+x\right)}^5}$ ，$z$ 表示当前迭代步数，下一步为$z+1$ 。

表10给出了例4 Taylor展开法和Picard迭代法的线性化后的使用HOHWM的$L_{\infty }$ 和$L_2$ 误差，并计算收敛阶，与文献[5]中HWM的$L_{\infty }$ 误差和收敛阶对比。由表10可知，相对于HWM，HOHWM的误差更小，并且随着J的增加，HOHWM误差下降得更快，收敛阶为4。

Table 10. $L_{\infty }$ errors, $L_2$ errors and convergence orders of the HWM and HOHWM methods under two-point boundary conditions in Example 4

表10. 例4两点边界条件下HWM和HOHWM方法的$L_{\infty }$ 误差、$L_2$ 误差以及收敛阶

	HWM [5]		Taylor展开法HOHWM				Picard迭代法HOHWM
J	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_2$	收敛阶	$L_{\infty }$	收敛阶	$L_2$	收敛阶
J = 2	1.8e−5	-	7.9e−7	-	5.2e−07	-	7.9e−7	-	5.2e−7	-
J = 3	4.2e−6	2.078	4.8e−8	4.164	3.1e−08	4.042	4.8e−8	4.035	3.2e−8	4.042
J = 4	1.0e−6	2.010	3.0e−9	4.035	2.0e−09	4.002	3.0e−9	4.000	2.0e−9	4.002
J = 5	2.6e−7	2.003	1.9e−10	4.000	1.2e−10	3.999	1.9e−10	3.994	1.2e−10	3.995
J = 6	6.4e−8	2.001	1.1e−11	3.998	7.8e−12	3.999	1.2e−11	3.932	8.1e−12	3.935

6. 小结

本文将高阶Haar小波的方法用于求解具有不同初值条件的五阶微分方程。对于线性微分方程，该方法可直接获得数值解；对于非线性问题，则通过拟线性化方法将其转化为线性方程后再进行求解。通过对比分析发现，与经典Haar小波方法相比，高阶Haar小波方法在数值精度方面具有显著优势，最大逐点误差和均方根误差显著降低，可以用更少的配置点获得更高精度的数值解，并且具有四阶收敛特性，随着尺度参数的增大，数值解的精度可进一步提升。数值实验结果验证了所提方法的有效性和优越性。

基金项目

江西省自然科学基金项目(2020BABL201006)。

NOTES

^*通讯作者。