1. 引言
目前，在国际上，工业发达的国家都非常重视机床行业，为了加快工业和国民经济的发展，正在积极开发机电一体化、高精度、高效、自动化的先进机床。欧、美、亚等国家在世界范围内的竞争一直很激烈，已经形成了一个看不见的战场，尤其是随着微电子和计算机技术的不断发展。上个世纪八十年代之后，数控机床的发展速度越来越快，不同的客户对它的要求也越来越高，四大国际机床发展早已成为各国机床制造商竞相展示先进技术、争夺用户、扩大市场的焦点[1]。中国加入WTO后，正式参与世界市场的激烈竞争，今后如何加强机床工业实力、加速数控机床产业发展，确实是紧迫而又艰巨的任务[2]。
机床在加工过程中的振动，无论是强迫振动还是白激振动过大，都会降低机床加工的精度和表面质量，影响机床加工效率的发挥。因此，现代机床的发展越来越重视对机床结构动态特性的研究[3]。
机床结构的动态特性主要包括振动固有频率、阻尼比和振型。由于机床结构是多自由度系统，必然存在多个具有特定固有频率、阻尼比和振型的模态。试验模态分析是一种在频域内研究结构动态特性的方法，其特点是理论分析与测试实验密切结合，运用模态参数识别技术得到机床结构的模态频率、阻尼比和振型，从而为机床动态特性的深入研究、分析机床动态薄弱环节及机床结构优化设计提供科学的依据[4] [5]。
2. 机床床身的模态分析
2.1. 模态分析的基本理论
一个N自由度线性定常数振动系统，其运动方程为：
(1)
式中[M]、[C]、[K]为该振动系统的质量、阻尼和刚度矩阵，{x}和{F}分别为系统各点的位移向量和激励力向量。[M]、[K]通常为实系数对称矩阵，阻尼矩阵[C]为非对称矩阵。
模态分析方法就是以无阻尼的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使振动系统的微分方程解变成独立的微分方程组。对式(1)两边进行拉氏变换，可得：
(2)
其令s = j\omega，将其代入上式得到一组耦合方程，为了解耦，引入模态坐标令{x} = [φ]{q}，其中[φ]为振型矩阵，{q}为模态坐标。将其代入耦合方程中得：
(3)
将质量、刚度矩阵和系统的阻尼矩阵对角化，并对(3)乘[φ]−1得：
(4)
通过解耦，N个互相耦合的方程就变成了在模态坐标下相互独立的方程组，采用模态坐标后，N个自由度振动的响应相当于N个模态坐标下单自由度系统的响应之和，即模态叠加原理。在模态坐标下的模态参数就变成模态质量、模态刚度、模态阻尼和模态振型。
2.2. 建立床身的有限元模型
以CA6140机床床身零件图为基础，在三维建模软件SolidWorks原模型进行简化，最终的结果如图1所示：
Figure 1. Machine tool bed model
图1. 机床床身模型
在ANSYS中导入床身结构模型，依次单击主菜单 > 模态 > 工程数据 > 几何结构，在导入模型前对机床床身的材料属性进行设置。打开材料属性：依次点击工程数据 > 物理属性(Density) > 线性弹性(Isotropic Elasticity)，材料选用HT200，各要求如表1所示。
Table 1. Material details
表1. 材料详细信息
材料名称 |
密度(Density) |
杨氏弹性模量(EX) |
泊松比(PRXY) |
HT200 |
7850 kg/m3 |
200 GPa |
0.3 |
2.3. 网格划分与约束设置
在插入三维模型并对其赋予材料属性后，进行网格划分。网格划分是用节点、单元填充实体模型建立有限元模型的过程。首先定义单元属性，指定单元尺寸为30 mm，采用自动生成的方法生成网格，得到65,386个节点和14,016个单元，见图2。
根据实际工况分析对床身施加约束，在床身底侧施加固定支撑，见图3。
Figure 2. Machine bed meshing effect
图2. 机床床身网格化效果图
Figure 3. Applying constraints in ANSYS
图3. ANSYS中施加约束
2.4. 求解结果分析
在求解之前，在模态主菜单的分析中设置最高模态阶数为6阶。随后进入求解器主菜单，右击求解得出前6阶的固有频率，如表2所示。
机床床身模型前6阶相应的模态振型如图4所示。
Table 2. The first 10 natural frequencies and vibration modes of the bed structure
表2. 床身结构的前10阶固有频率和振型
阶数 |
固有频率(Hz) |
振型 |
1 |
1300.1 |
整体前后振动 |
2 |
1332.6 |
左右局部前后振动 |
3 |
1447.6 |
整体前后振动 |
4 |
1475.8 |
导轨和侧面局部振动 |
5 |
1499.4 |
导轨左右前后振动 |
6 |
1597.3 |
整体绕Z轴振动 |
一阶振型
二阶振型
三阶振型
四阶振型
五阶振型
六阶振型
Figure 4. Sixth-order vibration pattern of the front of the machine bed
图4. 机床床身前六阶振型图
由表2可知，机床床身的前六阶固有频率在1300 Hz~1597 Hz之内，在车床实际作业过程中，要避免发生共振现象，虽然局部的振动不能代表床身的整体振动品质，但它却影响噪声水平和稳定性。应采取提高其刚度的措施，如在底板和左右侧板配置数根加强筋。
3. 机床床身的静力学分析
3.1. 静力学分析基础
静态分析主要从静力学、几何学、物理学三个方面对结构进行分析。通过结构强度和刚度的有限元静力分析，可以找到床身在各种工况下的变形和材料应力的最大值以及分布情况。以此为依据，通过改变结构的形状尺寸或者改变材料的特性来调整质量和刚度分布，使床身各部位的变形和应力情况尽量均衡。同时可以在保证结构强度和刚度满足使用要求的前提下，最大限度地降低材料用量，使床身的自重减轻，从而节省材料和降低能耗，提高整机性能[6]。
第四强度理论认为：单元体的均方根剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素。对于大型数控落地镗铣床床身，保证其在各工况下材料的最大应力值不超过材料的极限应力，是确保床身实现其功能的必备条件。床身材料一般为HT200，其抗拉强度为200 Mpa，材料的失效以材料发生塑性变形为标志[7]，因此对车身骨架的静态强度校核可以根据第四强度理论，选择Von Mises等效应力来判断结构的强度。
Von Mises等效应力可以表示为：
(5)
3.2. 施加载荷和约束
床身分析过程中，边界条件的正确确定和设置是正确分析的必要条件[8]。床身的三维模型、网格划分和约束都按照模态分析时的设置，不做改变。参考车床的整机三维模型，在床身与主轴箱、溜板箱和尾座的接触面上施加450 N~500 N的力，施加的载荷如图5所示。随后在求解器中插入总变形、等效应力和三个方向的定向变形，右击评估所有结果，得到其变形、应力云图。
Figure 5. Machine bed load application effect
图5. 机床床身载荷施加效果图
3.3. 求解结果分析
Figure 6. Von Mises distribution of equivalent stresses in lathe bed
图6. 车床床身等效应力Von Mises分布云图
Figure 7. Distribution of X-direction deformation of lathe bed structure
图7. 车床床身结构X向变形分布图
Figure 8. Distribution of Y-direction deformation of lathe bed structure
图8. 车床床身结构Y向变形分布图
Figure 9. Distribution of Z-direction deformation of lathe bed structure
图9. 车床床身结构Z向变形分布图
应力分析：
从等效应力Von Mises分布云图(图6)可以看出，床身等效应力Von Mises值为最大值为0.02613 Mpa，位于导轨的直角线处。床身应力分布不均；从应力分析角度，材料抵抗破坏的能力还是有很大的潜力。
刚度分析：
从结构X、Y、Z方向的变形云图及从结构总变形云图(图7~10)可以看出，床身结构大部分区域的总变形最大值为5.5081e−5mm，位于床身导轨处，三个方向的变形值分布不均匀。结构在三个方向最大位移分别为2.9415e−7 mm、4.4918e−5 mm、1.774e−6 mm，说明床身结构的变形较小，能在最大承载条件下保证加工产品具有较高的精度，结构在三个方向的位移差距较大，在三个方向刚度分布不均匀，可以对结构进一步分析，应通过结构改进来合理分布。
Figure 10. Distribution of total deformation of lathe bed structure
图10. 车床床身结构总变形分布图
4. 机床床身的谐响应分析
4.1. 谐响应分析的原理和约束
谐响应分析用于确定结构在承受随时间按正弦变化的载荷的稳态响应。运动方程为：
(6)
其位移响应为：
(7)
式中：
为位移响应滞后激励载荷的相位角，A为位移幅值向量，
为激振力的频率[8]。
基于对车床床身模态分析结果，采用模态叠加法(Mode Superposition)进行谐响应分析。模态叠加法通过对模态分析得到的振型(特征向量)乘上因子并求和来计算出结构的响应，它的优点是：能够使解按照结构的固有频率聚集，响应曲线可以更平滑，更精确[9]。
将模态分析中的基本数据信息导入至谐响应分析中，材料、约束、施加的载荷都与上述一致。
4.2. 求解及结果分析
在模态分析中，低阶模态的作用占主要地位，高阶模态影响较小，且阶数越高，影响越小[10]。谐响应扫频频宽要比模态振动频宽小1.5倍，所以频宽设置为880 Hz~1000 Hz采用模态叠加法得到频率响应应力频率曲线如图11~13所示。
从图11~13中可以发现在X、Y、Z三个方向上最大振幅分别为：2.0896e−005 MPa、1.593e−004 MPa、1.302e−005 MPa，对应的频率均为1000 Hz。实际工作中要注意避免外部激励频率落在上述频率附近。
Figure 11. Amplitude-frequency curves in the X-direction
图11. X方向的幅频曲线
Figure 12. Amplitude-frequency curves in the Y-direction
图12. Y方向的幅频曲线
Figure 13. Amplitude-frequency curves in the Z-direction
图13. Z方向的幅频曲线
5. 结论
本文主要围绕机床床身的模态分析、静力学分析以及谐响应分析展开研究，旨在通过有限元方法深入探究机床床身的动态特性和静态特性，为其结构优化提供科学依据。计算得到了床身的固有频率和振型，并通过对其分析，得到了床身在切削过程中容易发生共振的频率范围，验证了车床床身设计的合理性；对床身进行静力分析，通过对床身的应力、变形的分析也验证了其刚度和强度的合理性；对床身前6阶模态分析结果进行谐响应分析，发现实际工作中要注意避免外部激励频率落在1000 Hz附近。
综上所述，本文通过模态分析、静力学分析和谐响应分析，全面评估了机床床身的动态和静态性能，明确了其在不同工况下的薄弱环节，为后续的结构优化设计和性能提升提供了详细的理论分析和数据支持，对增强机床工业实力、加快数控机床产业发展具有重要的参考价值。