等周型不等式及其稳定性

The Isoperimetric Type Inequality and Its Stability

摘要: 本文建立了一个新的几何量——沿外法线向量的曲率轨迹，探讨了其几何意义及其与曲率中心轨迹的关系。并利用新的几何量建立了一组参数不等式：$\begin{array}{l}\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}ds+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)d\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)d\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+\nu {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)d\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\ge 0\end{array}$同时，本文还通过所建立的等周不等式推导出了一些新的几何Bonnesen型不等式，并研究了这些不等式的稳定性。

Abstract: In this paper, we establish a new geometric quantity-locus of curvature along outer normal vector. Its geometric meaning and its relationship with the curvature center locus are discussed. And, we use the new geometric quantity to establish a family of parametric inequalities:$\begin{array}{l}\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}ds+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)d\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)d\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+\nu {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)d\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\ge 0\end{array}$And we also use our isoperimetric inequalities to derive some new geometric Bonnesen-type in equalities. Furthermore, we investigate the stability property of such inequalities.

1. 介绍及主要结果

在本文中，我们介绍欧几里得平面${ℝ}^2$ 中的等周不等式，其表述为：

定理1. (经典等周不等式)若$\gamma$ 是一条长度为$L$ 的简单闭曲线，它所围成区域的面积为$A$ ，那么：

$L^2-4\pi A\ge 0$ (1)

当且仅当$\gamma$ 是一个圆时，等号成立。

这一著名事实为古希腊人所熟知，但直到19 世纪才给出了完整的数学证明。自那以后，这一著名不等式的证明方法、加强形式、推广和应用不断涌现。

1933年，得到了一个著名的反向博内森型不等式：

定理2. 对于平面${ℝ}^2$ 中的凸区域$D$ ，若$D$ 的边界$\partial D$ 是一条长度为$L$ 的卵形曲线，它所围成区域的面积为$A$ ，那么：

$L^2-4\pi A\le {\pi }^2{\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2$ (2)

其中${\rho }_M$ 和${\rho }_m$ 分别是$\partial D$ 的连续曲率半径$\rho$ 的最大值和最小值。当且仅当${\rho }_M={\rho }_m$ ，即$\partial D$ 是一个圆时，等号成立。

1955年，Pleijel对反向博内森型不等式 结果进行了如下改进[1]：

$L^2-4\pi A\le \pi \left(4-\pi \right){\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2$ (3)

当且仅当$\partial D$ 是一个圆时，等号成立。

潘生亮等人[2]利用分析方法和曲率，得到了平面凸区域的反向不等式，如下所示：

定理3. 若$\gamma$ 是一条长度为$L$ 的简单闭曲线，它所围成区域的面积为$A$ ，那么：

$L^2\le 4\pi \left(A+\left|\tilde{A}\right|\right)$ (4)

其中$\tilde{A}$ 是曲率中心轨迹所围成区域的面积，当且仅当$\gamma$ 是一个圆时，等号成立。

高翔对该结果进行了如下改进[3]：

$L^2\le 4\pi A+\pi \left|\tilde{A}\right|$ (5)

当且仅当$\gamma$ 是一个圆时，等号成立。

定理4. [4]设$\gamma$ 是欧几里得平面${ℝ}^2$ 中一条${\ell }^2$ 闭且严格凸的曲线，长度为$L$ ，所围成面积为$A$ ，那么：

${\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s\ge \frac{4\pi L}{4\left|A\right|+\left|\tilde{A}\right|}$ (6)

其中$\kappa$ 是$\gamma$ 的曲率，$\tilde{A}$ 是曲率中心轨迹所围成区域的面积，当且仅当$\gamma$ 是一个圆时，(6)式中等号成立。

注1. 显然，如果$\gamma$ 是一个圆，那么它的曲率中心轨迹只是一个点，因此其面积$\left|\tilde{A}\right|=0$ 。反之，如果$\left|\tilde{A}\right|=0$ ，那么$L^2=4\pi A$ ，所以$\gamma$ 是一个圆。

本文首先证明一个新的几何量如下：

若$\gamma$ 是平面中的一条简单闭曲线，$P\left(\theta \right)$ 是闵可夫斯基支撑函数，那么$\gamma$ 可以用$P\left(\theta \right)$ 参数化表示为：

$\gamma \left(\theta \right)=\left(P\left(\theta \right)\cos \theta -P\prime \left(\theta \right)\sin \theta ,P\left(\theta \right)\sin \theta +P\prime \left(\theta \right)\cos \theta \right)$

我们考虑由下式参数化的轨迹：

$\widehat{\beta }\left(\theta \right)=\gamma \left(\theta \right)+\frac{\text{d}s}{\text{d}\theta }\widehat{N}\left(\theta \right)=\left(P\left(\theta \right)\cos \theta -P^{\prime }\left(\theta \right)\sin \theta ,P\left(\theta \right)\sin \theta -P^{\prime }\left(\theta \right)\cos \theta \right)$

其中$\widehat{N}\left(\theta \right)=\frac{1}{P\left(\theta \right)+P{\left(\theta \right)}^{\prime \text{}\prime }}$是沿$\gamma$ 的外法向量场。

曲率轨迹是曲率中心轨迹的加权形式，权重为法向量方向。曲率轨迹的分布反映了曲线的凸性和对称性：若$\gamma$ 为圆，曲率轨迹退化为圆心；若$\gamma$ 为一般凸曲线，曲率轨迹反映了曲线的局部弯曲程度如何随法向变化；若$\gamma$ 对称，曲率轨迹会呈现对称分布；若$\gamma$ 不对称，曲率轨迹会表现出非均匀性。

然后，我们可以计算出长度$\widehat{L}$ 、封闭面积$\widehat{A}$ 、曲率$k_{\widehat{\beta }}\left(\theta \right)$ 和曲率半径${\rho }_{\widehat{\beta }}\left(\theta \right)$ 如下：

$\begin{array}{l}\widehat{L}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{d}}s={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(1+P+P^{″}\right)\text{d}\theta }\\ \widehat{A}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\widehat{\beta }}{\widehat{\beta }}_1}\text{d}{\widehat{\beta }}_2-{\widehat{\beta }}_2\text{d}{\widehat{\beta }}_1={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(1+P+P^{″}\right)\text{d}\theta }\\ \kappa \left(\widehat{\beta }\right)=\frac{\text{d}\theta }{\text{d}s}=\frac{1}{1+P+P^{″}}\\ {\rho }_{\widehat{\beta }}\left(\theta \right)=1+P+P^{″}\end{array}$

之后，我们利用这个新几何量以及以下量：曲线的长度、曲线和曲率中心轨迹所围成的封闭面积、曲线和曲率中心轨迹的曲率半径积分，以及连续曲率半径的最大值与最小值之差的积分，得到了一族等周不等式：

定理5. (主要定理)设$\gamma$ 是欧几里得平面${ℝ}^2$ 中一条闭且严格凸的曲线，长度为$L$ ，所围成面积为$A$ 。设$\widehat{A}$ 表示由轨迹$\widehat{\beta }$ 所围成区域的面积，${\rho }_{\widehat{\beta }}$ 是轨迹$\widehat{\beta }$ 的曲率半径。那么对于任意满足

$\{\begin{array}{l}\alpha ,\lambda \ge 0\hfill \\ \mu +2\nu +4\xi \pi \ge 0\hfill \\ 2\beta +4\delta +\sigma -\alpha +\mu +2\nu +4\xi \pi \ge 0\hfill \\ 8\beta +4\omega +8\nu -8\lambda -\alpha \ge 0\hfill \\ 6\beta +4\omega +6\nu +24\lambda +\frac{4\zeta }{4-\pi }-\sigma -\mu \ge 0\hfill \end{array}$ (7)

的常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ ，有：

$\begin{array}{l}\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+\nu {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\ge 0\end{array}$ (8)

其中$\kappa$ 是曲线$\gamma$ 的曲率，$\rho$ 和${\rho }_{\beta }$ 分别是曲线$\gamma$ 和曲率中心轨迹的曲率半径，${\rho }_M$ 和${\rho }_m$ 分别是$\partial D$ 的连续曲率半径$\rho$ 的最大值和最小值，$\tilde{A}$ 是曲率中心轨迹所围成区域的面积。当且仅当$\gamma$ 是一个圆，且任意常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ 满足

$\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ 2\beta +4\pi \delta +\sigma =0\end{array}\text{}$ (9)

时，(8)式中等号成立。

注2.

1) 当$\alpha =\beta =\lambda =\omega =\mu =\nu =\zeta =\xi =0$ ，$\delta =-1$ ，$\sigma =4\pi$ 以及$\delta =-1$ ，$\sigma =4\pi$ ，$\omega =\pi$ ，$\alpha =\beta =\lambda =\omega =\mu =\nu =\zeta =\xi =0$ 时，(7)式显然满足，并且等周不等式(8)分别变为(4)式和(5)式。

2) 如果我们令$\alpha =\beta =\lambda =\omega =\mu =\nu =\xi =0$ ，$\delta =-1$ ，$\sigma =\zeta =4\pi$ 以及$\delta =-1$ ，$\sigma =4\pi$ ，$\zeta =\pi \left(4-\pi \right)$ ，$\alpha =\beta =\lambda =\omega =\mu =\nu =\xi =0$ ，那么(7)式显然满足，并且等周不等式(8)分别变为(2)式和(3)式。

3) 如果我们选取满足(7)式的参数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ 的其他值，那么我们可以得到一些新的几何等周不等式。

定理6. 若$\gamma$ 是欧几里得平面${ℝ}^2$ 中一条闭且严格凸的曲线，长度为$L$ ，所围成面积为$A$ 。设$\left|\widehat{A}\right|$ 表示由轨迹$\widehat{\beta }$ 所围成区域的面积，那么我们有：

${\widehat{L}}^2\le 3\pi \left|\widehat{A}\right|+\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta$ (10)

$L^2\le 4\pi A+\pi \left|\widehat{A}\right|+{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta$ (11)

$L^2\le 4\pi A+\pi \left|\widehat{A}\right|+\frac{2}{3}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta -\frac{{\left(4-\pi \right)}^2}{4}{\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2$ (12)

$L^2\le {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+2{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2\left(\theta \right)\text{d}\theta +}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2\left(\theta \right)\text{d}\theta +}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2\left(\theta \right)\text{d}\theta }$ (13)

其中$\rho$ 和${\rho }_{\beta }$ 分别是曲线$\gamma$ 和曲率中心轨迹的曲率半径，${\rho }_{\widehat{\beta }}$ 是轨迹$\widehat{\beta }$ 的曲率半径，${\rho }_M$ 和${\rho }_m$ 分别是$\partial D$ 的连续曲率半径$\rho$ 的最大值和最小值。当且仅当$\gamma$ 是一个圆时，(10)~(13)式中等号成立。

与等周不等式相关的稳定性问题也很有趣且具有重要意义。一个著名且最常用的例子是施泰纳圆盘$S\left(K\right)$ (关于$S\left(K\right)$ 的定义见第4节)。

潘世龙和许海平[5]通过比较凸体$K$ 与其施泰纳圆盘$S\left(K\right)$ ，得到了反向等周不等式(4)的如下稳定性估计：

$\begin{array}{c}{h}_1{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2={\left({\max }_u\left|P_K\left(u\right)-P_M\left(u\right)\right|\right)}^2\\ \le \frac{4{\pi }^2-33}{96{\pi }^2}\left(4\pi \left(A\left(K\right)+\tilde{A}\left(K\right)\right)-L^2\left(K\right)\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{h}_2{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2=\left({\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left|P_K\left(\theta \right)-P_{S\left(K\right)}\left(\theta \right)\right|}^2\text{d}\theta }\right)\\ \le \frac{1}{18\pi }\left(4\pi \left(A\left(K\right)+\tilde{A}\left(K\right)\right)-L^2\left(K\right)\right)\end{array}$

其中$P_K\left(\theta \right)$ 表示给定区域$K$ 的闵可夫斯基支撑函数，$S\left(K\right)$ 表示与$K$ 相关的施泰纳圆盘，满足

$4\pi \left(A\left(S\left(K\right)\right)+\left|\tilde{A}\left(S\left(K\right)\right)\right|\right)-L^2\left(S\left(K\right)\right)=0$

对于任意$\epsilon >0$ ，使得

$\phi \left(K\right)=4\pi \left(A\left(K\right)+\left|\tilde{A}\left(K\right)\right|\right)-L^2\left(K\right)<\epsilon$

由上述不等式的稳定性估计可得

$\max \left\{h_1\left(K,S\left(K\right)\right),h_2{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2\right\}\le C\left|\phi \left(K\right)-\phi \left(S\left(K\right)\right)\right|\le C\epsilon$

这意味着反向等周不等式(4)在豪斯多夫距离和$L^2$ 度量下都具有良好的稳定性。

在本文中，我们还将研究等周不等式(8)在豪斯多夫距离和$L^2$ 度量下的稳定性。本文结构如下。在第2节中，我们回顾一些关于平面凸几何的基本事实。在第3节中，我们利用傅里叶级数给出定理5的一个更简单的证明，这与[2] [6]中的方法不同。在第4节中，我们研究不等式(8)的稳定性(接近等式意味着曲线接近圆形)。我们相信我们的方法可用于推导更多有趣的等周不等式。

2. 几何量及其傅里叶级数

在本节中，我们回顾一些关于凸平面曲线的基本事实，这些事实将在后面用到。本文假设γ是一条封闭且凸的平面曲线，它具有足够的正则性，实际上它应该是欧几里得平面${ℝ}^2$ 中的一条${\ell }_{+}^2$ 封闭且严格凸的曲线，因此这些几何量可以用傅里叶级数展开，如下[7]：

设$P\left(\theta \right)$ 是曲线$\gamma \left(\theta \right)$ 的闵可夫斯基支撑函数，其中$\theta$ 是$x$ 轴与对应点$P$ 处的外法向量之间的夹角。它给出了$\gamma \left(\theta \right)$ 关于$\theta$ 的参数化表示：

$\gamma \left(\theta \right)=\left({\gamma }_1\text{}\left(\theta \right),{\gamma }_2\text{}\left(\theta \right)\right)=\left(P\left(\theta \right)\cos \theta -P\prime \left(\theta \right)\sin \theta ,P\left(\theta \right)\sin \theta +P\prime \left(\theta \right)\cos \theta \right)$

因此，$\gamma \left(\theta \right)$ 的长度$L$ 、围成的面积$A$ 、曲率$k\left(\theta \right)$ 和曲率半径$\rho \left(\theta \right)$ 可以通过以下公式计算：

$\begin{array}{l}L={\displaystyle {\int }_{\gamma }\text{d}s}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }P\left(\theta \right)\text{d}\theta }\\ A=\frac{1}{2}\text{}{\displaystyle {\int }_{\gamma }P\left(\theta \right)\text{d}s}=\frac{1}{2}\text{}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(P{\left(\theta \right)}^2-P\prime {\left(\theta \right)}^2\right)\text{d}\theta }\\ k\left(\theta \right)=\frac{\text{d}s\text{}}{\text{d}\theta }=\frac{1}{P\left(\theta \right)+P^{″}\left(\theta \right)}\text{}\\ \rho \left(\theta \right)=\frac{\text{d}s\text{}}{\text{d}\theta }\text{}=P\left(\theta \right)+P^{″}\left(\theta \right)\end{array}$

同时，我们可以得到$\gamma \left(\theta \right)$ 的曲率中心轨迹如下：

$\beta \left(\theta \right)=\gamma \left(\theta \right)+\rho \left(\theta \right)N\left(\theta \right)=\left(-P\prime \left(\theta \right)\sin \theta -P^{″}\left(\theta \right)\cos \theta ,P\prime \left(\theta \right)\cos \theta -P^{″}\left(\theta \right)\sin \theta \right)$

因此，曲率中心轨迹$\beta \left(\theta \right)$ 的曲率$k_{\beta }\left(\theta \right)$ 和曲率半径${\rho }_{\beta }\left(\theta \right)$ 可以通过以下公式计算：

$\begin{array}{l}{k}_{\beta }\text{}\left(\theta \right)=\frac{\text{d}\theta }{\text{d}s}=\frac{1}{P\prime \left(\theta \right)+P^{‴}\left(\theta \right)}\text{}\text{}\\ {\rho }_{\beta }\text{}\left(\theta \right)=\frac{\text{d}s}{\text{d}\theta }=P\prime \left(\theta \right)+P^{‴}\left(\theta \right)\text{}\end{array}$

此外，由$\beta \left(\theta \right)$ 围成的有向区域面积为：

$\tilde{A}=\frac{1\text{}}{2}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(P\prime {\left(\theta \right)}^2-P^{″}{\left(\theta \right)}^2\right)\text{d}\theta }$

由于给定区域$K$ 的闵可夫斯基支撑函数总是连续、有界且$2\pi$ 周期的，它具有如下形式的傅里叶级数：

$P\left(\theta \right)=a_{0\text{}}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty \text{}}\left(a_n\text{}\cos n\theta +b_{n\text{}}\sin n\theta \right)}$ (14)

对(2.1)关于$\theta$ 求导，可以得到：

$P^{\prime }\left(\theta \right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}\left(-a_n\sin n\theta +b_n\cos n\theta \right)$ (15)

$P^{″}\left(\theta \right)=-{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^2}\left(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta \right)$ (16)

$P^{‴}\left(\theta \right)=-{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^3}\left(-a_n\sin n\theta +b_n\cos n\theta \right)$ (17)

因此，通过(14)、(15)、(16)、(17)以及帕塞瓦尔等式，我们可以用$P\left(\theta \right)$ 的傅里叶系数来表示这些几何量，如下：

$\begin{array}{l}L=2\pi a_0\\ A=\pi a_0^2-\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2-1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\rho }{\left(\theta \right)}^2\text{d}\theta ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left(P\left(\theta \right)+P^{″}\left(\theta \right)\right)}^2}\text{d}\theta =2\pi a_0^2+\pi {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left(n^2-1\right)}^2}\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ \left|\tilde{A}\right|=\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^2}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }}{\left(\theta \right)}^2\text{d}\theta ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left(P^{\prime }\left(\theta \right)+P^{‴}\left(\theta \right)\right)}^2}\text{d}\theta =\pi {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^2}{\left(n^2-1\right)}^2\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ \widehat{L}=2\pi a_0+2\pi \\ \left|\widehat{A}\right|=\pi \left(a_0^2+2a_0+1-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2-1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)\\ {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}}{\left(\theta \right)}^2\text{d}\theta ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left(P^{\prime }\left(\theta \right)+P^{″}\left(\theta \right)+1\right)}^2}\text{d}\theta =2\pi \left(1+a_0^2+2a_0+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left(n^2-1\right)}^2}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)\end{array}$

3. 证明与主要定理

在本节中，由(6)式与(3)式可以推出：

$\begin{array}{l}\left(A+\frac{1}{4}\left|\tilde{A}\right|\right)+{\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s\ge \sqrt{\left(A+\frac{1}{4}\left|\tilde{A}\right|\right){\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s}\ge 2\sqrt{\pi L}\\ {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2\le \frac{L^2-4\pi A}{\pi \left(4-\pi \right)}\end{array}$

现在我们开始证明主要结果定理5，而要证明定理6，我们只需证明在条件(5)下以下不等式成立：

$\begin{array}{l}\alpha \left({\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+A+\frac{1}{4}\left|\tilde{A}\right|\right)+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+\nu {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\\ \ge \alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+\nu {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2\\ \ge 0\end{array}$

然后，利用第2节中用$P\left(\theta \right)$ 的傅里叶系数表示的几何量表达式，我们有：

$\begin{array}{l}2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+\nu {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2\\ =2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\beta \left(2\pi a_0^2+\pi {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left(n^2-1\right)}^2}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)+\lambda \left(\pi {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^2}{\left(n^2-1\right)}^2\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)\\ +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)\left(4{\pi }^2{a}_0^2\right)+\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)\left(\pi a_0^2-\frac{2}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2-1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)\\ +\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left(\frac{2}{\pi }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^2}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)+\mu \pi \left(a_0^2+1+2a_0-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2-1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)\\ +\nu 2\pi \left(a_0^2+1+2a_0+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left(n^2-1\right)}^2}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)+\xi \left(4{\pi }^2{\left(a_0+1\right)}^2\right)\\ =2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\left(\mu +2\nu +4\xi \pi \right)\pi +\left(\mu +2\nu +4\xi \pi \right)2\pi a_0\\ +\left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\frac{4\zeta }{4-\pi }+\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }+\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\\ +\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\left(n^2-1\right)(\left(2n^2-1\right)\beta +2\lambda n^2\left(n^2-1\right)-\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)}+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)n^2-\mu +2\nu \left(n^2-1\right))\left(a_n^2+b_n^2\right))\\ =2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\left(\mu +2\nu +4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)+\left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\\ +\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\left(n^2-1\right)(n^2\left(2\beta +\omega +2\nu -2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)}+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2\nu )\left(a_n^2+b_n^2\right))\end{array}$

其中我们利用了$a_0=\frac{L}{2\pi }\ge 0$ 这一事实。因此，由(7)式可得：

$\{\begin{array}{l}2\sqrt{2\pi }\alpha \sqrt{a_0\text{}}\ge 0\text{}\\ \left(\mu +2\nu +4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)\ge 0\text{}\\ \left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\ge 0\text{}\end{array}\text{}$

并且：

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ \ge \frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(6\beta +4\omega +6v+24\lambda +\frac{4\zeta }{4-\pi }-\sigma -\mu \right)3\left(a_n^2+b_n^2\right)}\\ \ge 0\end{array}$

这意味着：

$\begin{array}{l}2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2\\ \ge 0\end{array}$

然后我们完成了不等式(8)的证明。

此外，如果$\gamma \left(\theta \right)$ 是一个圆，那么轨迹$\beta \left(\theta \right)$ 和$\widehat{\beta }\left(\theta \right)$ 都只是一个点，因此它们的面积$\tilde{A}=\widehat{A}=\widehat{L}=0$ ，曲率中心轨迹的曲率半径 ${\rho }_{\widehat{\beta }}\left(\theta \right)={\rho }_{\beta }\left(\theta \right)=0$ ，并且我们有${\rho }_M={\rho }_m=0$ ，结合(4)中的等式条件，我们有：

$L^2=4\pi \left(A+\left|\tilde{A}\right|\right)=4\pi A$

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\rho }{\left(\theta \right)}^2\text{d}\theta =2A$

因此

$\begin{array}{l}\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\\ =\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+2\beta A+4\pi \delta A+\sigma A\end{array}$

那么对于满足

$\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ 2\beta +4\pi \delta +\sigma =0\end{array}\text{}$

的参数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ ，有：

$\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A+\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2=0$

另一方面，如果(8)中的等式成立，那么在

$\begin{array}{l}\alpha \left({\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+A+\frac{1}{4}\left|\tilde{A}\right|\right)+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\\ \ge 2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2\end{array}$

中的这些不等式都取等号，特别地，有：

${\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s=\frac{4\pi L}{4\left|A\right|+\left|\tilde{A}\right|}$

根据定理1.4的条件，我们可知$\gamma$ 是一个圆。然后我们完成了定理1.6的证明。

证明. 一方面，如果我们令参数$\alpha =\beta =\lambda =\delta =\sigma =\omega =\zeta =0,v=\frac{2}{\pi },\mu =3\pi ,\xi =-1$ ，我们有：

$\begin{array}{l}3\left|\widehat{A}\right|+\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta -{\widehat{L}}^2\\ =3{\pi }^2\left(a_0^2+2a_0+1-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2-1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)\\ +\frac{\pi }{2}\left(2\pi \left(1+a_0^2+2a_0+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left(n^2-1\right)}^2}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)-{\left(2\pi a_0+2\pi \right)}^2\right)\\ \ge \frac{{\pi }^2}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2-4\right)}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ \ge 0\end{array}$

因此，我们证明了不等式(10)。同样地，我们也可以用相同的方法证明不等式(11)~(13)。

另一方面，我们可以证明，如果(10)~(13)中的等式成立，那么利用(8)中的等式条件，可知$\gamma$ 是一个圆。

4. 等周不等式的稳定性性质

设$K$ 和$M$ 为两个凸区域，它们各自的闵可夫斯基支撑函数分别为$P_K$ 和$P_M$ 。衡量$K$ 和$M$ 之间差异最常用的函数是豪斯多夫距离：

$h_1\text{}\left(K,M\right)={\max }_u\text{}\left|P_K\text{}\left(u\right)-P_M\left(u\right)\right|$

另一种在稳定性问题中具有特殊价值的度量是与函数空间中的$L^2$ 度量相对应的度量，其定义为：

$h_{2\text{}}\left(K,M\right)=\left({\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left|P_K\text{}\left(\theta \right)-P_M\text{}\left(\theta \right)\right|}^2\text{d}\theta }\right){\text{}}^{\frac{1}{2}}\text{}$ (18)

其中，$\theta$ 是$x$ 轴与对应点$P$ 处的外法向量之间的夹角。显然，当且仅当$K=M$ 时，$h_1\text{}\left(K,M\right)=0$ 或$h_2\text{}\left(K,M\right)=0$ 。著名且最常用的斯坦纳圆盘$S\left(K\right)$ 的定义如下：

定理7. [4]区域$K$ 的斯坦纳圆盘，记为$S\left(K\right)$ ，是半径为$\frac{L\left(K\right)}{2\pi }$ ，圆心位于斯坦纳点$s\left(K\right)$ 的圆盘。斯坦纳点$s\left(K\right)$ 可以通过闵可夫斯基支撑函数$P_K\left(\theta \right)$ 定义为：

$s\left(K\right)=\frac{1\text{}}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }u\left(\theta \right)P_K\left(\theta \right)\text{d}\theta }\text{}$ (19)

其中，$u\left(\theta \right)$ 是对应点$P$ 处的单位切向量，$L\left(K\right)$ 表示区域$K$ 的周长。

我们现在考虑不等式(7)关于豪斯多夫距离$h_1$ 和$h_2$ 度量的稳定性性质。

定理8. 设$K$ 是由${\ell }_{+}^2$ 闭且严格凸的平面曲线$\gamma$ 所围成的区域，其面积为$A\left(K\right)$ ，周长为$L\left(K\right)$ 。设$\tilde{A}\left(K\right)$ 表示由$\gamma$ 的曲率中心轨迹所围成区域的有向面积，$\widehat{A}$ 表示由轨迹$\widehat{\beta }$ 所围成区域的面积，$S\left(K\right)$ 表示与$K$ 相关的斯坦纳圆盘。那么，对于满足

$\{\begin{array}{l}\alpha ,\lambda \ge 0\hfill \\ \mu +2\nu +4\xi \pi \ge 0\hfill \\ 2\beta +4\delta +\sigma -\alpha +\mu +2\nu +4\xi \pi \ge 0\hfill \\ 8\beta +4\omega +8\nu -8\lambda -\alpha \ge 0\hfill \\ 6\beta +4\omega +6\nu +24\lambda +\frac{4\zeta }{4-\pi }-\sigma -\mu \ge 0\hfill \end{array}$ (20)

的参数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ ，有：

$\begin{array}{c}{h}_1{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2\le C\left(\alpha ,\beta ,\lambda ,\sigma ,\omega ,\mu ,v,\zeta ,\xi \right)(\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta \\ +\delta L^2+\sigma A+\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2)\end{array}$ (21)

其中，$\kappa$ 是$\gamma$ 的曲率，$\rho$ 和${\rho }_{\beta }$ 分别表示曲线$\gamma$ 和曲率中心轨迹的曲率半径，${\rho }_{\widehat{\beta }}$ 表示曲线$\widehat{\beta }$ 的曲率半径，

$\begin{array}{l}C\left(\alpha ,\beta ,\lambda ,\sigma ,\omega ,\mu ,v,\zeta ,\xi \right)\\ =\left\{1,{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\frac{2}{\pi \left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)\left(n^2-1\right)}}\right\}\end{array}$ (22)

并且(21)式中的等号成立当且仅当$\gamma$ 是一个圆，且任意常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ 满足：

$\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ 2\beta +4\pi \delta +\sigma =0\end{array}\text{}$ (23)

证明. 可以假设$s\left(K\right)=0$ 。由(2.1)式可知，支撑函数$P_K$ 和$P_{S\left(K\right)}$ 具有以下傅里叶级数：

$P_K\left(\theta \right)=\frac{L\left(K\right)}{2\pi }+{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta \right)}$ (24)

$P_{S\left(K\right)}\left(\theta \right)=\frac{L\left(K\right)}{2\pi }$ (25)

可以观察到，(24)式和(25)式给出了关于下列量(用傅里叶系数表示)的显式表达式：

$\begin{array}{l}\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\\ \ge 2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2\\ =2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\left(\mu +2v+4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)+\left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\\ +\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right)\end{array}$ (26)

因为很容易看出：

$\left|a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta \right|\le \sqrt{a_n^2+b_n^2}$

所以有：

$\begin{array}{c}\left|P_K\left(\theta \right)-P_{s\left(K\right)}\left(\theta \right)\right|=\left|\frac{L\left(K\right)}{2\pi }+{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta \right)}-\frac{L\left(K\right)}{2\pi }\right|\\ \le {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left|a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta \right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\end{array}$

利用赫尔德不等式，结合(26)式，我们有：

$\begin{array}{l}{h}_1{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2\le {\left({\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\sqrt{a_n^2+b_n^2}}\right)}^2\\ \le 2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\left(\mu +2v+4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)+\left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\\ +{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\frac{2}{\pi \left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)\left(n^2-1\right)}}\\ \times (\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right))\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \max \left\{1,{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\frac{2}{\pi \left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)\left(n^2-1\right)}}\right\}\\ \times (2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2)\\ \le C\left(\alpha ,\beta ,\lambda ,\sigma ,\omega ,\mu ,v,\zeta ,\xi \right)(\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta \\ +\delta L^2+\sigma A+\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2)\end{array}$

对于满足(20)的任意常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ 都成立。

此外，如果$\gamma$ 是一个圆，如定理5的证明中所示，我们有：

$\begin{array}{l}\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A+\omega \left|\tilde{A}\right|\\ +\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\\ =\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+2\beta A+4\pi \delta A+\sigma A\end{array}$

那么，对于满足

$\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ 2\beta +4\pi \delta +\sigma =0\end{array}\text{}$

的参数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ ，有：

$\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A+\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2=0$

显然，$h_1\left(K,S\left(K\right)\right)=0$ ，因此(19)式中的等式成立。

定理9. 在与定理8相同的假设下，对于满足：

$\{\begin{array}{l}\alpha ,\lambda \ge 0,\hfill \\ \mu +2v+4\xi \pi \ge 0,\hfill \\ 2\beta +4\delta +\sigma -\alpha +\mu +2v+4\xi \pi \ge 0,\hfill \\ 8\beta +4\omega +8v-8\lambda -\alpha \ge 0,\hfill \\ 18\beta +12\omega +18v+72\lambda +\frac{12\xi }{4-\pi }-3\sigma -3\mu -1\ge 0\hfill \end{array}$ (27)

的任意常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ ，有：

$\begin{array}{c}{h}_2{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2\le \alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\end{array}$ (28)

并且(28)式中的等号成立当且仅当$\gamma$ 是一个圆，且任意常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ 满足：

$\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ 2\beta +4\pi \delta +\sigma =0\end{array}\text{}$ (29)

此外，如果(28)式中的等式成立，且参数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,v,\zeta$ 满足(27)，那么$\gamma$ 是一个圆。

证明. 与定理8的证明类似，我们利用帕塞瓦尔等式、(24)式和(25)式推导出：

$h_2{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2=\left({\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left|P_K\left(\theta \right)-P_M\left(\theta \right)\right|}^2\text{d}\theta }\right)=\pi {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)}$

结合(26)式可得：

$\begin{array}{l}2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\xi }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{\xi }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2-h_2{\left(K,M\right)}^2\\ =2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\left(\mu +2v+4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)+\left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\\ +\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{\delta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)}\left(n^2-1\right)\left(a_n^2+b_n^2\right)-\pi {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)}\\ =2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}+\left(\mu +2v+4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)+\left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\\ +\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{\delta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)\left(n^2-1\right)-1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ -\pi {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)}\end{array}$

因此，对于满足(27)的任意常数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ ，以及满足(27)的$\gamma$ ，有：

$\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}\pi \alpha \sqrt{a_0}\ge 0\\ \left(\mu +2v+4\xi \pi \right)\left(\pi +2\pi a_0\right)\ge 0\\ \left(2\pi \beta +4{\pi }^2\delta +\sigma -\alpha +\mu +4\xi \pi \right)\pi a_0^2\ge 0\end{array}$

并且

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{\delta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)}\\ \stackrel{}{}\times \left(n^2-1\right)-1)\left(a_n^2+b_n^2\right)-\pi {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)}\\ \ge \frac{\pi }{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(18\beta +12\omega +18v+72\lambda +\frac{12\zeta }{4-\pi }-3\sigma -3\mu -1\right)}\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ \ge 0\end{array}$

意味着：

$\begin{array}{c}{h}_2{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2\le 2\alpha \sqrt{\pi L}+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\left(\delta +\frac{\zeta }{\pi \left(4-\pi \right)}\right)L^2\\ +\left(\sigma -\alpha -\frac{4\zeta }{4-\pi }\right)A+\left(\omega -\frac{1}{4}\alpha \right)\left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\xi {\widehat{L}}^2\\ \le \alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\delta L^2+\sigma A\\ +\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2\end{array}$

而且，如果$\gamma$ 是一个圆，并且参数$\alpha ,\beta ,\lambda ,\delta ,\sigma ,\omega ,\mu ,\nu ,\zeta ,\xi$ 满足

$\{\begin{array}{l}\alpha =0\\ 2\beta +4\pi \delta +\sigma =0\end{array}\text{}$ (30)

正如在定理8的证明中那样，(28)式中的等式成立。反之，如果(28)式中的等式成立且参数满足(27)，那么正如在定理5的证明中那样，$\gamma$ 是一个圆。这样就完成了定理19的证明。

注3. 定理8和定理9的结合可以推出：

$\begin{array}{l}\max \left\{h_1{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2,h_2{\left(K,S\left(K\right)\right)}^2\right\}\\ \le C\left(\alpha ,\beta ,\lambda ,\sigma ,\omega ,\mu ,v,\zeta ,\xi \right)\times (\alpha {\displaystyle {\int }_{\gamma }{\kappa }^2}\text{d}s+\beta {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\lambda {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\beta }^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta \\ +\delta L^2+\sigma A+\omega \left|\tilde{A}\right|+\mu \left|\widehat{A}\right|+v{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\rho }_{\widehat{\beta }}^2}\left(\theta \right)\text{d}\theta +\zeta {\left({\rho }_M-{\rho }_m\right)}^2+\xi {\widehat{L}}^2)\end{array}$

其中：

$\begin{array}{l}C\left(\alpha ,\beta ,\lambda ,\sigma ,\omega ,\mu ,v,\zeta ,\xi \right)\\ =\left\{1,{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\frac{2}{\pi \left(n^2\left(2\beta +\omega +2v-2\lambda -\frac{1}{4}\alpha \right)+2\lambda n^4+\alpha +\frac{4\zeta }{4-\pi }-2\beta -\sigma -\mu -2v\right)\left(n^2-1\right)}}\right\}\end{array}$

说明等周不等式(8)在豪斯多夫距离和$L^2$ 度量下都具有良好的稳定性。