时间分数阶BBM-Burger方程的新精确解

A New Exact Solution of Time Fractional Order BBM-Burger Equation

摘要: 基于保形分数阶微积分的定义及性质，通过分数阶行波变换，将分数阶BBM-Burger方程简化为一个非线性常微分方程。然后利用三次多项式的完全判别系统法得到了该方程的三角函数解、有理函数解、雅可比椭圆函数解和双曲函数解等四种形式的精确解，其中雅可比椭圆函数解为新解。

Abstract: Based on the definition and properties of conformal fractional calculus, the fractional BBM-Burger equation is simplified to a nonlinear ordinary differential equation by fractional travelling wave transformation. Then by using the complete discriminant system method of cubic polynomials, the exact solutions of trigonometric function, rational function, Jacobi elliptic function and hyperbolic function are obtained, among which the Jacobi elliptic function is a new solution.

1. 引言

随着分数阶偏微分方程的理论的发展与应用，人们有了可以模拟自然科学或工程技术中一些具有遗传和记忆性质的复杂系统的工具[1]-[3]，非线性分数阶偏微分方程精确解的求解工作早在二十一世纪初就已经陆续开始了。随着科学技术的发展，工程领域总结出的各类数学模型，其中很多结果都可以转化为分数阶非线性偏微分方程。随着计算机技术的迭代升级，人们开始尝试利用计算机来探求一些非线性分数阶偏微分方程的数值解，即无限逼近拟合各类方程的解析解。近些年来，尤其是从2014年开始，对于分数阶偏微分方程的精确解的研究突飞猛进，这是因为在2014年，R. Khalil等人首次提出了保形分数阶微积分的定义[4]，该定义也被称为修正的黎曼–刘维尔型分数阶微积分，其较完美的弥补了Caputo型等经典的分数阶微积分定义不满足链式法则的缺陷，从而为各类分数阶微分方程的精确解的求解工作做了关键的理论铺垫，保形分数阶微积分近几年在分数阶偏微分方程的研究中得到了广泛的应用，它以极限的方式进行定义，形式相对其他分数阶微积分的定义更加简洁且延续了整数阶微积分中许多比较不错的数学性质。而且保形分数阶微积分目前已经有了一定的应用背景，例如在文献[5]中，林鸿夸利用保形分数阶微积分讨论了时空分数阶双Sine-Gordon方程的精确解。因此，本文采用保形分数阶微积分进行定义，为后续的运算转化做铺垫。即可以使分数阶偏微分方程通过恰当的行波变换转化为一个非线性常微分方程，然后运用相应的求解非线性常微分方程的方法，求得该方程的各种解后，最终构建原方程不同类型的精确解。

分数阶BBM-Burger方程精确解的构造面临两大挑战：一是分数阶导数与传统解析方法(如行波约化)的兼容性问题；二是非线性项与分数阶算子的耦合导致方程解析结构的强复杂性。针对前者，本文引入保形分数阶微积分的定义与性质，然后通过其局部性与运算兼容性，将原方程转化为具有明确物理意义的行波方程；针对后者，结合三阶多项式判别法，对约化后的常微分方程进行系统性分类。该方法通过分析四阶多项式系数的符号与组合关系，严格区分方程解的分支类型(如有理解、周期解、孤子解等)，从而避免传统试探法的不完备性，为分数阶非线性偏微分方程的解析研究提供严格的数学基础。

尽管针对分数阶BBM-Burger方程的精确解已经有了一些成果，但无人尝试过运用多项式判别法求解。传统展开法(如双曲函数法)在分数阶框架中常因导数算子的非局部性失效，而四阶多项式完全判别法的引入，使得分数阶行波方程的解结构可通过多项式根的性质直接解析刻画，显著降低了非线性约束条件的分析难度。此外，保形分数阶微积分的参数灵活性为调控解的动力学行为(如孤子衰减速率、对称性破缺等)提供了理论工具，从而更精确地揭示了分数阶参数对波传播机制的影响。

本文所采用的求解方法为多项式完全判别系统法[6]-[9]，也叫试探方程法，该方法最早由刘成仕[10]提出，目前该方法已经被广泛应用于求解非线性常微分方程的精确解。而本文所考虑的分数阶偏微分方程为如下的保形分数阶修正的BBM-Burger方程：

$D_t^{\alpha }u-u_{xxt}+u_x+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0,t>0,0<\alpha \le 1$ (1)

其中$D_t^{\alpha }u$ 表示未知函数$u$ 关于时间变量$t$ 的分数阶导数，$u_{xxt}$ 为$u$ 对$t$ 和$x$ 的整数阶偏导数。该方程描述的是黏性流体现象的一种模型，张练等人运用改进的辅助方程映射法[11]已经求得了该方程大量的双曲函数解；而更早的Muhammad Shakeel等人运用改进的$\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)$ 展开法[12]求得了该方程大量的有理函数解，双曲函数解和三角函数解；但这些文献均未构建出该方程的雅可比椭圆函数形式的解。

2. 保形分数阶导数的定义及性质

定义[4]

设$f:\left[0,+\infty \right)\to R$ ，若极限$D_x^{\alpha }f\left(x\right)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\Delta x^{1-\alpha }\right)-f\left(x\right)}{\Delta },\forall x\in \left(0,+\infty \right),\alpha \in \left(0,1\right]$ 存在，则称该极限为$f$ 在$x$ 点处的$\alpha$ 阶保形分数阶导数。

根据上述定义，假设$\alpha \in \left(0,1\right]$ ，且$f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在点$x>0$ 处$\alpha$ 阶保形分数阶可导，则有下列性质成立：

(1) $D_x^{\alpha }\left(x^m\right)=m{x}^{m-\alpha },\forall m\in R$ ；

(2) $D_x^{\alpha }\left(\lambda f\left(x\right)+\mu g\left(x\right)\right)=\lambda D_x^{\alpha }f\left(x\right)+\mu D_x^{\alpha }g\left(x\right),\forall \lambda ,\mu \in R$ ；

(3) $D_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]=g\left(x\right)D_x^{\alpha }f\left(x\right)+f\left(x\right)D_x^{\alpha }g\left(x\right)$ ；

(4) $D_x^{\alpha }\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{g\left(x\right)D_x^{\alpha }f\left(x\right)-f\left(x\right)D_x^{\alpha }g\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}$ ；

(5) 若$f\left(x\right)$ 可导，则$D_x^{\alpha }\left[f\left(x\right)\right]=x^{1-\alpha }\frac{\text{d}f\left(x\right)}{\text{d}x}$ ；

(6) 设g为定义在f的定义域内的可导函数，那么$D_x^{\alpha }f\left[g\left(x\right)\right]=f^{\prime }\left[g\left(x\right)\right]g^{\prime }\left(x\right)x^{1-\alpha }$ 。

3. 时间分数阶BBM-Burger方程的精确解

引入如下的分数阶行波变换：

$u\left(x,t\right)=u\left(\omega \right),\omega =kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}$ (2)

其中k和b为待定的常系数。将行波变换(2)带入方程(1)并关于$\omega$ 积分一次，那么方程(1)被简化为：

$-b{k}^2{u}^{″}+\frac{k}{2}{u}^2+\left(k+b\right)u+c_1=0$ (3)

其中$c_1$ 为积分常数。在方程(3)的两端同时乘$u^{\prime }$ ，并关于$\omega$ 积分一次，得：

${\left(u^{\prime }\right)}^2=\frac{1}{3bk}{u}^3+\frac{k+b}{b{k}^2}{u}^2+\frac{2c_1}{b{k}^2}u+\frac{2c_2}{b{k}^2}$ (4)

其中$c_2$ 为积分常数。

继续做代换：$\{\begin{array}{l}v\left(\theta \right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}u\left(\omega \right)\\ \theta ={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\omega \end{array}$ ，则$v^{\prime }\left(\theta \right)=u^{\prime }\left(\omega \right)$ .

将上述内容代入方程(4)得：

${\left(v^{\prime }\right)}^2=f\left(v\right)=v^3+a_2{v}^2+a_{1}v+a_0$ (5)

其中：$a_2=\frac{k+b}{b{k}^2}{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{2}{3}}$ ，$a_1=\frac{2c_1}{b{k}^2}{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}$ ，$a_0=\frac{2c_2}{b{k}^2}$ 。

由于反函数的导数为原函数导数的倒数，故多项式(5)的积分形式为：

$\pm \left(\theta -{\theta }_0\right)={\displaystyle \int \frac{1}{f\left(v\right)}\text{d}v}={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{v^3+a_2{v}^2+a_{1}v+a_0}}\text{d}v}$ (6)

又有$f\left(v\right)$ 的完全判别系统为：

$\{\begin{array}{l}{D}_1=a_1-\frac{a_2^2}{3}\\ \Delta =-27{\left(\frac{2a_2^3}{27}+a_0-\frac{a_2{a}_1}{3}\right)}^2-4{\left(a_1-\frac{a_2^2}{3}\right)}^3\end{array}$

则根据上述系统，可分为以下几类情况讨论：

类型1 $\Delta =-27{\left(\frac{2a_2^3}{27}+a_0-\frac{a_2{a}_1}{3}\right)}^2-4{\left(a_1-\frac{a_2^2}{3}\right)}^3<0$

此时，$f\left(v\right)=0$ 有且仅有一个实根，故可令$f\left(v\right)=\left(v-\rho \right)\left(v^2+mv+n\right)$ ，其中$m^2-4n<0$ 。那么，只有$v>\rho$ 时，积分式(6)才有意义。所以当$v>\rho$ 时，令$v=\rho +\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}{\tan }^2\frac{\phi }{2}$ (可变形化为：$\cos \phi =\frac{2\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}{v-\rho +\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}-1$ )，则由式(6)得：

$\begin{array}{c}\theta -{\theta }_0={\displaystyle \int \frac{\text{d}v}{\sqrt{\left(v-\rho \right)\left(v^2+mv+n\right)}}}={\displaystyle \int \frac{\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}\frac{\tan \frac{\phi }{2}}{{\cos }^2\frac{\phi }{2}}}{{\left({\rho }^2+m\rho +n\right)}^{\frac{3}{4}}\frac{\tan \frac{\phi }{2}}{{\cos }^2\frac{\phi }{2}}\sqrt{1-{\sigma }^2{\sin }^2\phi }}\text{d}\phi }\\ =\frac{1}{{\left({\rho }^2+m\rho +n\right)}^{\frac{1}{4}}}{\displaystyle \int \frac{\text{d}\phi }{\sqrt{1-{\sigma }^2{\sin }^2\phi }}}\end{array}$ (7)

式中${\sigma }^2=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\rho +\frac{m}{2}}{\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}\right)$ 。

根据式(6)和椭圆余弦函数的定义，得：$cn\left[{\left({\rho }^2+m\rho +n\right)}^{\frac{1}{4}}\left(\theta -{\theta }_0\right),\sigma \right]=\cos \phi$ ，而又因为$\cos \phi =\frac{2\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}{v-\rho +\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}-1$ ，即当$v>\rho$ 时，有：$v=\rho +\frac{2\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}{1+cn\left[{\left({\rho }^2+m\rho +n\right)}^{\frac{1}{4}}\left(\theta -{\theta }_0\right),\sigma \right]}-\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}$ ，故可得：

$u_1\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{\rho +\frac{2\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}}{1+cn\left[{\left({\rho }^2+m\rho +n\right)}^{\frac{1}{4}}\left[{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right],\sigma \right]}-\sqrt{{\rho }^2+m\rho +n}\right\}$ (8)

当$m=2$ ，$n=8$ ，$\rho =2$ ，$b=3$ ，$k=3$ ，$\alpha =\frac{1}{2}$ ，${\theta }_0=0$ 时，$u_1\left(t,x\right)$ 的二维图和三维图如下：

类型2 $\Delta =-27{\left(\frac{2a_2^3}{27}+a_0-\frac{a_2{a}_1}{3}\right)}^2-4{\left(a_1-\frac{a_2^2}{3}\right)}^3=0,D_1=a_1-\frac{a_2^2}{3}<0$

此时$f\left(v\right)=0$ 有1个单重实根和1个二重实根，所以可以设$f\left(v\right)={\left(v-{\rho }_1\right)}^2\left(v-{\rho }_2\right)$ ，其中${\rho }_1\ne {\rho }_2$ ，那么当$v>{\rho }_2$ 时，代入式(6)，得：

$\pm \left(\theta -{\theta }_0\right)={\displaystyle \int \frac{\text{d}v}{\left(v-{\rho }_1\right)\sqrt{v-{\rho }_2}}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}}\ln \frac{\sqrt{v-{\rho }_2}-\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}}{\sqrt{v-{\rho }_2}+\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}},{\rho }_2<{\rho }_1<v\\ \frac{1}{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}}\ln \frac{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}-\sqrt{v-{\rho }_2}}{\sqrt{v-{\rho }_2}+\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}},{\rho }_2<v<{\rho }_1\\ \frac{2}{\sqrt{{\rho }_2-{\rho }_1}}{\tan }^{-1}\sqrt{\frac{v-{\rho }_2}{{\rho }_2-{\rho }_1}},{\rho }_1<{\rho }_2<v\end{array}}$ (9)

令$\{\begin{array}{l}z=\frac{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}\left(\theta -{\theta }_0\right)}{2}\\ \complement =\sqrt{\frac{v-{\rho }_2}{{\rho }_1-{\rho }_2}}\end{array}$ ，则根据式(9)及双曲函数的定义，得：$\{\begin{array}{l}\complement =\mp \coth \pm z,{\rho }_2<{\rho }_1<v\\ \complement =\mp \tanh \pm z,{\rho }_2<v<{\rho }_1\end{array}$ ，故：

$\{\begin{array}{l}v=\left({\rho }_1-{\rho }_2\right){\coth }^2\frac{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}\left(\theta -{\theta }_0\right)}{2}+{\rho }_2,{\rho }_2<{\rho }_1<v\\ v=\left({\rho }_1-{\rho }_2\right){\tanh }^2\frac{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}\left(\theta -{\theta }_0\right)}{2}+{\rho }_2,{\rho }_2<v<{\rho }_1\\ v=\left({\rho }_2-{\rho }_1\right){\tan }^2\frac{\sqrt{{\rho }_2-{\rho }_1}\left(\theta -{\theta }_0\right)}{2}+{\rho }_2,{\rho }_1<{\rho }_2<v\end{array}$ (10)

即：

$u_2\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{\left({\rho }_1-{\rho }_2\right){\coth }^2\frac{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}\left[{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right]}{2}+{\rho }_2\right\},{\rho }_2<{\rho }_1<v$ (11)

$u_3\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{\left({\rho }_1-{\rho }_2\right){\tanh }^2\frac{\sqrt{{\rho }_1-{\rho }_2}\left[{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right]}{2}+{\rho }_2\right\},{\rho }_2<v<{\rho }_1$ (12)

$u_4\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{\left({\rho }_2-{\rho }_1\right){\tanh }^2\frac{\sqrt{{\rho }_2-{\rho }_1}\left[{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right]}{2}+{\rho }_2\right\},{\rho }_1<{\rho }_2<v$ (13)

类型3 $\Delta =-27{\left(\frac{2a_2^3}{27}+a_0-\frac{a_2{a}_1}{3}\right)}^2-4{\left(a_1-\frac{a_2^2}{3}\right)}^3=0,D_1=a_1-\frac{a_2^2}{3}=0$

此时$f\left(v\right)=0$ 有1个三重实根，故设$f\left(v\right)={\left(v-\rho \right)}^3$ ，将其带入积分式(6)，解得：$v=4{\left(\theta -{\theta }_0\right)}^{-2}+\rho$ ，即：

$u_5\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{4{\left[{\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right]}^{-2}+\rho \right\}$ (14)

类型4 $\Delta =-27{\left(\frac{2a_2^3}{27}+a_0-\frac{a_2{a}_1}{3}\right)}^2-4{\left(a_1-\frac{a_2^2}{3}\right)}^3>0,D_1=a_1-\frac{a_2^2}{3}<0$

在该类型下，$f\left(v\right)=0$ 有3个互不相同的实根，所以可以设$f\left(v\right)=\left(v-{\rho }_1\right)\left(v-{\rho }_2\right)\left(v-{\rho }_3\right)$ ，并且不妨令${\rho }_1<{\rho }_2<{\rho }_3$ 。那么，只有当${\rho }_1<v<{\rho }_2$ 或$v>{\rho }_3$ 时，积分式(6)才有意义。

当${\rho }_1<v<{\rho }_2$ 时，令$v={\rho }_1+\left({\rho }_2-{\rho }_1\right){\sin }^2\phi$ ，则积分式(6)可化为：

$\begin{array}{c}\pm \left(\theta -{\theta }_0\right)={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{\left(v-{\rho }_1\right)\left(v-{\rho }_2\right)\left(v-{\rho }_3\right)}}\text{d}v}\\ ={\displaystyle \int \frac{2\left({\rho }_2-{\rho }_1\right)\sin \phi \cos \phi }{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}\left({\rho }_2-{\rho }_1\right)\sin \phi \cos \phi \sqrt{1-{\sigma }^2{\sin }^2\phi }}\text{d}\phi }\\ =\frac{2}{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}}{\displaystyle \int \frac{\text{d}\phi }{\sqrt{1-{\sigma }^2{\sin }^2\phi }}}\end{array}$ (15)

其中${\sigma }^2=\frac{{\rho }_2-{\rho }_1}{{\rho }_3-{\rho }_1}$ 。

根据式(15)和椭圆正弦函数的定义可知：$v={\rho }_1+\left({\rho }_2-{\rho }_1\right)s{n}^2\left[\frac{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}}{2}\left(\theta -{\theta }_0\right),\sigma \right]$ ，转化得：

$u_6\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{{\rho }_1+\left({\rho }_2-{\rho }_1\right)s{n}^2\left[\frac{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}}{2}\left({\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right),\sigma \right]\right\}$ (16)

当$v>{\rho }_3$ 时，令$v={\rho }_2+\frac{{\rho }_3-{\rho }_2}{1-{\sin }^2\phi }$ ，代入(6)可得：

$\begin{array}{c}\pm \left(\theta -{\theta }_0\right)={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{\left(v-{\rho }_1\right)\left(v-{\rho }_2\right)\left(v-{\rho }_3\right)}}\text{d}v}\\ ={\displaystyle \int \frac{2\left({\rho }_3-{\rho }_2\right)\sin \phi {\cos }^{-3}\phi }{\left({\rho }_3-{\rho }_2\right)\sin \phi {\cos }^{-2}\phi \sqrt{{\rho }_2-{\rho }_1+\frac{{\rho }_3-{\rho }_2}{{\cos }^2\phi }}}\text{d}\phi }\\ =\frac{2}{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}}{\displaystyle \int \frac{\text{d}\phi }{\sqrt{1-{\sigma }^2{\sin }^2\phi }}}\end{array}$ (17)

其中${\sigma }^2=\frac{{\rho }_2-{\rho }_1}{{\rho }_3-{\rho }_1}$ 。

根据上式及椭圆正弦函数的定义，得：$v={\rho }_2+\frac{{\rho }_3-{\rho }_2}{1-s{n}^2\left(\frac{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}}{2}\left(\theta -{\theta }_0\right),\sigma \right)}$ ，转化得：

$u_7\left(t,x\right)={\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left\{{\rho }_2+\frac{{\rho }_3-{\rho }_2}{1-s{n}^2\left[\frac{\sqrt{{\rho }_3-{\rho }_1}}{2}\left({\left(\frac{1}{3bk}\right)}^{\frac{1}{3}}\left(kx+b\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right)-{\theta }_0\right),\sigma \right]}\right\}$ (18)

4. 结论

本文利用分数阶行波变换将分数阶偏微分方程转化为非线性常微分方程，然后借助三阶多项式判别法构建了分数阶BBM-Burger方程的有理函数解、双曲函数解、三角函数解和雅可比椭圆函数解，与文献[11]和文献[12]所求得的方程的精确解结果做对比，$u_1\left(x,t\right)$ 、$u_6\left(x,t\right)$ 和$u_7\left(x,t\right)$ 均为新解，这些新解为该方程所描述的流体模型做了进一步的理论支撑，本文还绘制了部分新解的二维图与三维图，有助于更好地理解其精确解的物理意义，从而更生动具体地描述该流体模型，更好地彰显研究成果的实际应用价值。并且，本文所求结果也进一步表明了多项式判别法对于求解一些分数阶偏微分方程的精确解有奇效，可以相对简洁高效地构建出一些用其他方法构建不出的精确解类型。

基金项目

国家自然科学基金(61364015)。

NOTES

^*通讯作者。