抛物方程的变网格连续时空有限体积元法

Variable Mesh Continuous Space-Time Finite Volume Element Method for Parabolic Equations

摘要: 从三次Lagrange插值最佳应力点的理论出发，本文提出一种变网格连续时空有限体积元格式，旨在解决抛物方程数值求解问题。通过耦合Legendre-Lobatto节点的Lagrange插值多项式与Gauss积分准则，在时空非匹配网格剖分条件下严格证明了数值解的存在唯一性，并建立$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 和$L^{\infty }\left(H^1\right)$ 的最优阶误差估计理论。数值实验结果表明收敛数据与理论预测高度一致，验证了算法在非均匀网格环境中的计算优势与理论分析的有效性。

Abstract: Based on the theoretical framework of cubic Lagrange interpolation with optimal stress nodes, this study develops a variable mesh continuous space-time finite volume element scheme to resolve numerical challenges in solving parabolic equations. By integrating Lagrange interpolation polynomials at Legendre-Lobatto nodes with Gauss quadrature rules, we rigorously prove the existence and uniqueness of numerical solutions under spacetime non-matching grid partitions. Optimal-order error estimates in $L^{\infty }\left(L^2\right)$ and $L^{\infty }\left(H^1\right)$ norms are theoretically established. Numerical experiments demonstrate excellent agreement between convergence rates and theoretical predictions, confirming the computational advantages of the proposed algorithm in non-uniform grid environments and the validity of theoretical analysis.

1. 引言

连续时空有限元方法自20世纪80年代发展以来，其时空离散方式主要呈现两种典型特征：其一为固定空间网格方法，即在所有时间层采用相同的空间剖分[1]-[4]，其二为变网格方法，允许不同时间层对应不同的空间剖分[5]-[7]，尽管变网格方法在理论上具有显著优势，但相关研究仍较为有限，且多集中于特定类型的偏微分方程。

变网格连续时空有限元方法的理论分析框架最早由Karakashian和Makridakis (1999)建立。他们针对非线性Schrödinger方程，在弱时空网格约束条件下，实现了最优$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 和$L^{\infty }\left(H^1\right)$ 模误差估计[5]。其核心创新在于引入基于Legendre与Lobatto点的Lagrange插值多项式及Gauss积分准则，巧妙结合插值多项式特性与积分高精度优势，为后续研究奠定了基础。基于此，候和李(2008)将变网格方法拓展至半线性抛物方程，并得到了最大模$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 误差估计[8]，进一步地，赵和李(2017)针对不含对流项的Sobolev方程，在无时空网格限制条件下，建立了$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 和$L^{\infty }\left(H^1\right)$ 范数的误差估计，显著扩展了方法的适用范围[7]。

相比于文献[5]-[8]的方法，本文突破传统有限元框架，将有限体积元方法引入变网格时空离散体系。所提方法兼具双重优势：一方面继承有限体积元方法的高精度与计算高效性，另一方面严格保持物理量的局部守恒特性。这一创新不仅弥补了现有变网格方法在守恒性方面的不足，还为多尺度、多物理场问题的数值模拟提供了更稳健的解决方案。

本文使用标准的Sobolev空间$H^m\left(\left[a,b\right]\right)$ 及其范数${\Vert \upsilon \Vert }_m$ 与半范数${\left|\upsilon \right|}_m$ ，$L^2\left(\left[a,b\right]\right)$ 空间及其相应的内积。文中常数$c,c{}_i$ 均与时空步长无关，且在不同上下文中可能取不同值。

2. 构造变网格时空有限体积元格式

考虑如下抛物方程初边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}_t-\epsilon u_{xx}+\gamma u=f\left(x,t\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right],\\ u\left(x,t\right)=0,\left(x,t\right)\in \partial \Omega \times \left[0,T\right],\\ u\left(x,0\right)=u\left(x\right),x\in \overline{\Omega }\end{array}$ (1)

其中$\Omega =\left(a,b\right)$ ，$\left(0,T\right]$ 为时间区间，$u\left(x,t\right)$ 是未知函数，$\epsilon$ 和$\gamma$ 是两个正常数，$u_0\left(x,t\right)$ 和$f\left(x,t\right)$ 是给定的光滑函数。

本文基于等距节点三次Lagrange插值的导数超收敛特性。构建了一种高精度时空离散格式。在$\left[-h,h\right]$ 上，用等距节点$\left(-h,u\left(-h\right)\right),\left(-\frac{h}{3},u\left(-\frac{h}{3}\right)\right),\left(\frac{h}{3},u\left(\frac{h}{3}\right)\right),\left(h,u\left(h\right)\right)$ 构造插值多项式${\prod }_{h}u$ ，令$\xi =\frac{x}{h}$ ，则

$\begin{array}{l}{\prod }_{h}u=-\frac{\left(9{\xi }^2-1\right)\left(\xi -1\right)}{16}u\left(-h\right)+\frac{9\left(3\xi -1\right)\left({\xi }^2-1\right)}{16}u\left(-\frac{h}{3}\right)\\ -\frac{9\left(3\xi +1\right)\left({\xi }^2-1\right)}{16}u\left(\frac{h}{3}\right)+\frac{\left(9{\xi }^2-1\right)\left(\xi +1\right)}{16}u\left(h\right)\end{array}$

对插值节点函数值$u\left(-h\right),u\left(-\frac{h}{3}\right),u\left(\frac{h}{3}\right),u\left(h\right)$ 在$x_0$ 处进行Taylor展开，可得

$\begin{array}{l}{\left({\prod }_{h}u\right)}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{1}{16h^3}[\left(h^2+18h{x}_0-27x_0^2\right)u\left(-h\right)-9\left(3h^2+2h{x}_0-9x_0\right)u\left(-\frac{h}{3}\right)\\ +\left(27h^2-18h{x}_0-81x_0^2\right)u\left(\frac{h}{3}\right)+\left(-h^2+18h{x}_0+27x_0^{2}u\left(h\right)\right)]\\ =u^{\prime }\left(x_0\right)+\frac{1}{54}\left(5h^2{x}_0-9x_0^3\right)u^{\left(4\right)}\left(x_0\right)-\frac{1}{1080}\left(h^4+70h^2{x}_0^2-135x_0^4\right)u^{\left(5\right)}\left(x_0\right)+o\left(h^5\right).\end{array}$

可见，当$x_0=\pm \frac{\sqrt{5}h}{3}$ 及$x_0=0$ 时，${\left({\prod }_{h}u\right)}^{\prime }\left(x_0\right)=u^{\prime }\left(x_0\right)+o\left(h^4\right)$ 。

这表明在标准单元$\left[-1,1\right]$ 上，上述三点构成等距节点三次Lagrange插值的导数超收敛点。

基于此，我们建立时间间断时空有限体积元格式，首先将时间区间$\left[0,T\right]$ 离散为$0=t^0<t^1<\cdots <t^N=T$ ，定义时间单元$I_n=\left(t^n,t^{n+1}\right]$ ，步长$\Delta t_n=t^{n+1}-t^n,n=0,1,\cdots ,N-1$ 。记$\Delta t=\underset{0\le n\le N-1}{\max }\Delta t_n$ 。在每个时空层$I_n\times \Omega$ 上，采用原始空间剖分${\Sigma }_h^n$ ，其单元定义为${\tau }_i=\left[x_{3i-3},x_{3i}\right],\left(i=1,2,\cdots ,M\right)$ 。为进一步加密，将每个空间单元进行三等分剖分，记剖分节点为$x_{3i-3}<x_{3i-2}<x_{3i-1}<x_{3i}$ ，$h_i$ 为步长。设$h_n=\underset{1\le i\le M}{\max }{h}_i$ ，$h=\underset{0\le n\le N-1}{\max }{h}_n$ 。允许采用非匹配网格剖分${\Sigma }_h^n$ ，即在时间界面$t=t^n$ 处可存在网格节点不连续。

在单元${\tau }_i=\left[x_{3i-3},x_{3i}\right]$ 上，确定三次Lagrange插值的三个最佳应力点：$x_{3i-\frac{3+\sqrt{5}}{2}},x_{3i-\frac{3}{2}},x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ ，建立控制体${\tau }_i^{*}=\left[x_{3i-\frac{3+\sqrt{5}}{2}},x_{3i-\frac{3}{2}}\right]$ ，${\tau }_i^{**}=\left[x_{3i-\frac{3}{2}},x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right]$ $\left(i=1,2,\cdots ,M\right)$ 和${\tau }_i^{***}=\left[x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}},x_{3(i+1)-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right]$ $\left(i=1,2,\cdots ,M-1\right)$ ，${\tau }_0^{***}=\left[x_0,x_{3-\frac{\sqrt{5}}{2}}\right]$ ，${\tau }_M^{***}=\left[x_{3M-\frac{\sqrt{5}}{2}},x_{3M}\right]$ 。并建立${\Sigma }_{h}u$ 的对偶剖分为${\Sigma }_h^{*n}=\left(\underset{i=1}{\overset{M}{\cup }}{\tau }_i^{*}\right)\cup \left(\underset{i=1}{\overset{M}{\cup }}{\tau }_i^{**}\right)\cup \left(\underset{i=0}{\overset{M}{\cup }}{\tau }_i^{***}\right)$ ，各时空层在界面$t=t^n$ 处允许网格非匹配。

试探函数空间$S_h^n\subset H_0^1\left(\Omega \right)$ 定义为分片三次Lagrange有限元空间：

$S_h^n=\left\{u_h:u_h\in C\left(\Omega \right)且{u_h|}_{{\tau }_i}为三次\text{Lagrange}多项式,{u_h|}_{\partial \Omega }=0\right\}$ 。记$t^0$ 对应的空间为$S_h^{-1}$ ，令$S_h^{-1}=S_h^0$ 。同时构造$q$ 次分块多项式$\phi :\Omega \times I_n\to R$ 组成的空间：

$V^q=\left\{\phi :{\phi |}_{\Omega \times I_n}={\displaystyle \sum _{j=0}^q{t}^j{\chi }_j\left(x\right)},{\chi }_j\left(x\right)\in S_h^n\right\}$

根据$V^q$ 的空间特性可知，对$\forall t\in I_n$ ，函数$\phi$ 是$S_h^n$ 上关于$x$ 的三次多项式，对$\forall x\in \Omega$ ，函数$\phi$ 是关于$t$ 的$q$ 次分片多项式，在时间节点$t^n\left(n=1,2,\cdots ,N-1\right)$ 处允许间断。进一步，令$V_n^q=\left\{{\phi |}_{I_n\times \Omega }:\phi \in V^q\right\}$ 。

构造检验函数空间时，令时空片$I_n\times {\Sigma }_h^{*n}$ 中的$S_h^{*n}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$ 为分片常函数空间，即

$S_h^{*n}=\left\{{\upsilon }_h:{{\upsilon }_h|}_{{\tau }_i^{*},{\tau }_i^{**},{\tau }_i^{***}}为常数,且{{\upsilon }_h|}_{{\tau }_0^{***}}=0,{{\upsilon }_h|}_{{\tau }_M^{***}}=0\right\},$

$V^{*q}=\left\{\phi :{\phi |}_{\Omega \times I_n}={\displaystyle \sum _{j=0}^q{t}^j{\chi }_j}\left(x\right),{\chi }_j\left(x\right)\in S_h^{*n}\right\},$

$V_n^{*q}=\left\{{\phi |}_{I_n\times \Omega }:\phi \in V^{*q}\right\}$ 。

为简化分析，取参数$\epsilon =\gamma =1$ 。在对偶时空单元${\Sigma }_h^{*n}$ 上对方程(1)式积分，引入迁移算子${\pi }_h^{*}:S_h^n\to S_h^{*n}$ ，对问题(1)构建如下变分格式：求$U\in V^q$ ，使得

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{I_{{}_n}}\left(U_t,{\pi }_h^{*}{\upsilon }_t\right)\text{d}t+{\displaystyle {\int }_{I_n}a\left(U,{\pi }_h^{*}{\upsilon }_t\right)}\text{d}t={\displaystyle {\int }_{I_n}\left(f,{\pi }_h^{*}{\upsilon }_t\right)\text{d}t,\forall \upsilon \in V_n^q,}}\\ U^{n+}={\prod }^{n}U\left(t^n\right),n=0,1,\cdots ,N-1.\end{array}$ (2)

上式可等价地写为

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(U_t,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t+{\displaystyle {\int }_{I_n}a\left(U,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{I_n}\left(f,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t},\forall \phi \in V_n^{q-1},}\\ U^{n+}={\prod }^{n}U\left(t^n\right),n=0,1,\cdots ,N-1.\end{array}$ (3)

其中初值满足$U^0=u^0,{\upsilon }^{n+}=\underset{t\to t^{n+}}{\lim }\upsilon \left(t\right)$ 。数值解从$S_h^{n-1}$ 投影到$S_h^n$ 上的恰当算子用${\prod }^n$ 来表示。

数值求解格式允许各个时空片间的变网格剖分，一般选取$S_h^n$ 上的椭圆投影或$L^2$ 投影算子。若$S_h^{n-1}\subset S_h^n$ ，则解函数$U$ 在节点$t^n$ 处保持连续。即$U^{n+}=U\left(t^n\right)$ ，定义控制体${\tau }_i^{*},{\tau }_i^{**},{\tau }_i^{***}$ 上的特征函数分别为${\psi }_{3i-2},{\psi }_{3i-1},{\psi }_{3i}$ ，则

$\begin{array}{l}{\pi }_h^{*}{\omega }_h={\displaystyle \sum _{i=1}^M\left({\omega }_{3i-2}{\psi }_{3i-2}+{\omega }_{3i-1}{\psi }_{3i-1}\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{M-1}{\omega }_{3i}{\psi }_{3i}},\\ a\left(u_h,{\pi }_h^{*}{\upsilon }_h\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^M\left({\upsilon }_{3i-2}a\left(u_h,{\psi }_{3i-2}\right)+{\upsilon }_{3i-1}a\left(u_h,{\psi }_{3i-1}\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{M-1}{\upsilon }_{3i}a\left(u_h,{\psi }_{3i}\right),}\\ a\left(u_h,{\psi }_{3i-2}\right)={u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)-{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3}{2}}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_i^{*}}{u}_h}\text{d}x,\\ a\left(u_h,{\psi }_{3i-1}\right)={u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3}{2}}\right)-{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_i^{**}}{u}_h}\text{d}x,\\ a\left(u_h,{\psi }_{3i}\right)={u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)-{u^{\prime }}_h\left(x_{3(i+1)-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_i^{***}}{u}_h}\text{d}x.\end{array}$

定义1 椭圆投影算子$P_h^n:H_0^1\left(\Omega \right)\to S_h^n$ 的定义如下[9]-[11]

$\tilde{a}\left(P_h^{n}u-u,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)=0,\forall \upsilon \in S_h^n,$

其中

$\begin{array}{l}\tilde{a}\left(u_h,{\pi }_h^{*}{\upsilon }_h\right)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^M\left\{{\upsilon }_{3i-2}\left[{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)-{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3}{2}}\right)\right]+{\upsilon }_{3i-1}\left[{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3}{2}}\right)-{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\right]+{\upsilon }_{3i}\left[{u^{\prime }}_h\left(x_{3i-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)-{u^{\prime }}_h\left(x_{3(i+1)-\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)\right]\right\}}\end{array}$

于是对$u\in H_0^1\left(\Omega \right)\cap H^5\left(\Omega \right)$ ，定义1中的椭圆投影算子有估计式[9]

$\Vert u-P_h^{n}u\Vert \le c{\Vert h_n^{4}u\Vert }_5,\Vert {\left(u-P_h^{n}u\right)}_x\Vert \le c{\Vert h_n^{3}u\Vert }_4$ (4)

定义2 定义$L^2$ 投影算子$P^n:H_0^1\left(\Omega \right)\to S_h^n$ ，则有

$\left(P^n\upsilon -\upsilon ,\chi \right)=0\forall \chi \in S_h^n,$

且满足估计式

$\Vert P^n\upsilon \Vert \le \Vert \upsilon \Vert ,\forall \upsilon \in H_0^1\left(\Omega \right).$ (5)

定义3 定义时空范数为

${\left|\Vert \upsilon \Vert \right|}_n={\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert \upsilon \Vert }^2}\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}},\forall \upsilon \in L^2\left(I_n;L^2\left(\Omega \right)\right).$

3. 时空有限体积元解的存在唯一性

Lagrange插值基函数及Gauss积分准则被构造通过Legendre多项式的零点，可证数值解的存在唯一性。Gauss-Legendre积分公式如下：

${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(s\right)\text{d}s}\cong {\displaystyle \sum _{j=1}^q{\omega }_{j}g}\left(s_j\right),0<s_1<s_2\cdots <s_q<1,q\ge 1,$

该式对所有次数不超过$2q-1$ 的多项式精确成立。

定义基于$q$ 个零点$s_1,s_2,\cdots ,s_q$ 的Lagrange插值基函数${\left\{l_i\left(s\right)\right\}}_{i=1}^q$

$l_i\left(s\right)={\displaystyle \prod _{j=1,i\ne j}^q\frac{s-s_j}{s_i-s_j}}$

通过线性变换$t=t^n+s\Delta t_n$ 将区间${\overline{I}}_n$ 映射到$\left[0,1\right]$ ，可得如下性质

$\begin{array}{l}{t}^{n,j}=t^n+s_j\Delta t_n,t^{n,q}=t^{n+1},l_{n,i}\left(t\right)=l_i\left(s\right),\\ {\omega }_{n,i}={\displaystyle {\int }_{t^n}^{t^{n+1}}{l}_{n,i}\left(t\right)\text{d}t}=\Delta t_n{\displaystyle {\int }_0^1{l}_i\left(s\right)\text{d}s}=\Delta t_n{\omega }_i,i=1,2,\cdots ,q.\end{array}$

进一步引入对应于$q+1$ 个点$0=s_0<s_1\cdots <s_q<1$ 的$q$ 次Lagrange插值多项式${\left\{{\widehat{l}}_i\left(s\right)\right\}}_{i=0}^q$ ，即${\widehat{l}}_i\left(s\right)={\displaystyle \prod _{j=0,i\ne j}^q\frac{s-s_j}{s_i-s_j}}$ 。若取${\left\{{\widehat{l}}_{n,i}\left(t\right)\right\}}_{i=0}^q$ (其中${\widehat{l}}_{n,i}\left(t\right)={\widehat{l}}_i\left(s\right)$ )作为空间$P_q\left(I_n\right)$ 的基函数，则解函数${U|}_{I_n}$ 可唯一由函数$U^{n,j}\in S_h^n\left(U^{n,j}=U\left(x,t^{n,j}\right)\right)$ 表示，即

$U\left(x,t\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^q{\widehat{l}}_{n,j}\left(t\right)U^{n,j}}\left(x\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times I_n,t^{n,0}=t^n,$

数值格式中，初值满足$U^{n,0}=U^{n+}={\prod }^{n}U\left(t^n\right)$ ，其中$U\left(t^n\right)$ 由前一时间层确定。在(3)中取$\phi =l_{n,i}\varphi$ ，(其中$\varphi \in S_h^n$ )，结合Gauss-Legendre积分公式可得

${\displaystyle \sum _{j=1}^q{m}_{ij}}\left(U^{n,j},{\pi }_h^{*}\varphi \right)+\Delta t_n{\omega }_{i}a\left(U^{n,i},{\pi }_h^{*}\varphi \right)=-m_{i0}\left(U^{n+},{\pi }_h^{*}\varphi \right)+{\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}}\left(f,{\pi }_h^{*}\varphi \right)\text{d}t$ (6)

其中

$m_{ij}={\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}\left(t\right){{\widehat{l}}^{\prime }}_{n,j}\left(t\right)\text{d}t},i=1,2,\cdots ,q;j=0,1,\cdots ,q.$

定义与$\Delta t_n$ 无关的$q\times q$ 矩阵$M,N$ ，其中

$\begin{array}{l}N=\left(N_{ij}\right)={\omega }_i{s}_i{l^{\prime }}_j\left(s_i\right),i,j=1,2,\cdots ,q,\\ M=\left(W+N\right)D^{-1},W:=diag\left\{{\omega }_1,{\omega }_2\cdots ,{\omega }_q\right\}.\end{array}$

由于${\widehat{l}}_i\left(s\right)=\frac{s}{s_i}{l}_i\left(s\right)\left(i=1,2,\cdots ,q\right)$ ，${\widehat{l}}_j\left(s\right)=\frac{s}{s_j}{{\widehat{l}}^{\prime }}_j\left(s\right)+\frac{l_j\left(s\right)}{s_j}$ ，所以结合上式与Gauss-Legendre求积公式可得

$\begin{array}{l}{m}_{ij}={\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}\left(t\right){{\widehat{l}}^{\prime }}_{n,j}\left(t\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^1{\widehat{l}}_j\left(s\right)l_i}\left(s\right)\text{d}s\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{s_j}\left[l_j\left(s\right)+s{\widehat{l}}_j\left(s\right)\right]l_i\left(s\right)\text{d}s}=\frac{{\omega }_i}{s_j}\left[{\delta }_{i,j}+s_i{l^{\prime }}_j\left(s_i\right)\right],\end{array}$

因此$m_{ij}=M_{ij}$ 。

引理1 [5] 设矩阵$\tilde{M}=D^{-\frac{1}{2}}M{D}^{\frac{1}{2}},D=diag\left\{s_1,s_2\cdots ,s_q\right\}$，则有

$X^{\text{T}}\tilde{M}X\ge \alpha {\left|X\right|}^2=\alpha \left({\displaystyle \sum _{i=1}^q{x}_i^2}\right),\forall X={\left(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_q\right)}^{\text{T}}\in R^q.$

其中$\alpha :=\frac{1}{2}\underset{j}{\min }\frac{{\omega }_j}{s_j}$ 。

引理2 [9]-[12] 对于任意的$u_h\in S_h^n$ ，有

$c_1{\Vert u_h\Vert }^2\le \left(u_h,{\pi }_h^{*}{u}_h\right)\le c_2{\Vert u_h\Vert }^2,\Vert {\pi }_h^{*}{u}_h\Vert \le c\Vert u_h\Vert .$

引理3 [9]-[11] 对于充分小的$h$ ，存在正常数$c_3,c_4$ 和$c_5,\lambda <\infty$ ，使得

$\begin{array}{l}\tilde{a}\left(\upsilon ,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)\ge c_3{\left|\upsilon \right|}_1^2,\forall \upsilon \in S_h^n,\\ \left|a_1\left(\upsilon ,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)-{\overline{a}}_h\left(\upsilon ,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)\right|\le c_{5}h{\left|\upsilon \right|}_1^2,\forall \upsilon \in S_h^n,\\ a\left(\upsilon ,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)+\lambda {\Vert \upsilon \Vert }^2\ge c_4{\Vert \upsilon \Vert }_1^2,\forall \upsilon \in S_h^n,\end{array}$

上述常数$\beta$ 满足$r_{\min }>\beta >0,r_{\min }=\underset{x\in \Omega }{\min }r\left(x\right)$ ，且

${\overline{a}}_h\left(\upsilon ,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^M\left[\frac{\sqrt{5}}{2}{h}_i\left(\left(r_{3i-2}-\beta \right){\upsilon }_{3i-2}^2+\left(r_{3i-1}-\beta \right){\upsilon }_{3i-1}^2\right)+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\left(h_i+h_{i+1}\right)\left(r_{3i}-\beta \right){\upsilon }_{3i}^2\right]}$

下面定义有限维希尔伯特空间${\left(S_h^n\right)}^q$ (向量空间)，其内积与范数分别定义为

$\left(\left(\Phi ,\Psi \right)\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^q\left({\varphi }_i\right)},\Phi ={\left\{{\varphi }_1,{\varphi }_2\cdots ,{\varphi }_q\right\}}^{\text{T}},\Psi ={\left\{{\psi }_1,{\psi }_2\cdots ,{\psi }_q\right\}}^{\text{T}}\in {\left(S_h^n\right)}^q,$

${\left({\displaystyle \sum _{j=1}^q{\Vert \cdot \Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$ 记为$\left|\Vert \cdot \Vert \right|$ 。

为证明解$U$ 的存在唯一性，利用矩阵$\tilde{M}$ 的性质，$I_n$ 上的插值形式将$U$ 表示为

$U\left(x,t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^q{s}_j^{\frac{1}{2}}}{l^{\prime }}_{n,j}\left(t\right){\tilde{U}}^{n,j}\left(x\right)+{l^{\prime }}_{n,0}\left(t\right)U^{n+}\left(x\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times I_n,$

其中${\tilde{U}}^{n,j}=s_j^{-\frac{1}{2}}{U}^{n,j},j=1,2,\cdots ,q$ 。

在(3)中取$\phi =s_i^{-\frac{1}{2}}{l}_{n,i}\varphi$ ，(其中$\varphi \in S_h^n$ )，结合上式可得

${\displaystyle \sum _{j=1}^q{\tilde{m}}_{ij}}\left({\tilde{U}}^{n,j},{\pi }_h^{*}\varphi \right)+\Delta t_n{\omega }_{i}a\left({\tilde{U}}^{n,i},{\pi }_h^{*}\varphi \right)=-s_i^{\frac{1}{2}}\left(m_{i0}\left(U^{n+},{\pi }_h^{*}\varphi \right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}}\left(f,{\pi }_h^{*}\varphi \right)\text{d}t\right),i=1,2,\cdots ,q.$ (7)

这里${\tilde{m}}_{ij}={\tilde{M}}_{ij}=s_j^{\frac{1}{2}}{m}_{ij}{s}_i^{-\frac{1}{2}},i,j=1,2,\cdots ,q$。

定理1 设$U\left(t^n\right)$ 在前一时间层$I_{n-1}$ 给定，并设$f\in L^2\left(I_n;L^2\right)$ ，当时间步长$\Delta t_n$ 充分小时，方程组(7)中存在唯一的解向量${\left\{U^{n,j}\right\}}_{j=1}^q\in {\left(S_h^n\right)}^q$ ，因此(1)存在唯一的解$U\in V_n^q$ 。

证明 在(7)式中取$\varphi ={\tilde{U}}^{n,i}$ ，并对$i$ 从1到$q$ 求和，可得

$\begin{array}{l}\left(\left(L\left(\tilde{U}\right),\tilde{U}\right)\right)=-{\displaystyle \sum _{i=1}^q{s}_i^{\frac{1}{2}}{m}_{i0}\left(U^{n+},{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{s}_i^{\frac{1}{2}}}{\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}}\left(f,{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)\text{d}t\\ -{\displaystyle \sum _{i=1}^q\Delta t_n{\omega }_{i}a}\left({\tilde{U}}^{n,i},{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right),i=1,2,\cdots ,q.\end{array}$ (8)

其中$\tilde{U}={\left({\tilde{U}}^{n,1},\cdots ,{\tilde{U}}^{n,q}\right)}^{\text{T}}\in {\left(S_h^n\right)}^q$，并记$\left(\left(L\left(\tilde{U}\right),\tilde{U}\right)\right)={\displaystyle \sum _{i,j=1}^q{\tilde{m}}_{ij}\left({\tilde{U}}^{n,j},{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)}$ 。

由引理1和引理2对(8)式的左端进行整理可得

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^q{\tilde{m}}_{ij}\left({\tilde{U}}^{n,j},{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)}=\left(\left(\tilde{M}\tilde{U},{\pi }_h^{*}\tilde{U}\right)\right)\ge \alpha {\left|\Vert \tilde{U}\Vert \right|}^2.$ (9)

选取${\prod }^n=P^n$ ，($P^n$ 是投影到$S_h^n$ 的$L^2$ 投影算子)。对于(8)右端逐项分析，

第一项，结合Cauchy不等式，Hölder不等式以及引理2、定义3可得

$\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^q{s}_i^{\frac{1}{2}}{m}_{i0}\left(U^{n+},{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)}\right|\le c\Vert U\left(t^n\right)\Vert \cdot \left|\Vert \tilde{U}\Vert \right|.$ (10)

第二项，利用Hölder不等式及引理2可得

$\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^q{s}_i^{\frac{1}{2}}}{\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}}\left(f,{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)\text{d}t\right|\le c\Delta t_n^{\frac{1}{2}}\left|\Vert \tilde{U}\Vert \right|\cdot {\left|\Vert f\Vert \right|}_n.$ (11)

第三项，注意到${\omega }_i={\displaystyle {\int }_0^1{l}_i^2}\left(s\right)\text{d}s>0$ ，则

${\displaystyle \sum _{i=1}^q\Delta t_n{\omega }_{i}a\left({\tilde{U}}^{n,i},{\pi }_h^{*}{\tilde{U}}^{n,i}\right)}\ge 0.$ (12)

将(8)~(12)结合可得

$\left|\Vert \tilde{U}\Vert \right|\le \frac{c}{\alpha }\left\{\Vert U\left(t^n\right)\Vert +{\left|\Vert f\Vert \right|}_n\right\}.$ (13)

当$U\left(t^n\right)$ 与$f$ 分别为零时，由(13)可知$\tilde{U}=0$ 。结合线性方程组解的存在唯一性，证得问题(1)存在唯一解$U\in V_n^q$ 。

4. 收敛性分析及误差估计

为进行收敛性分析，引入区间$I_n$ 上的$q$ 个点$t^{n,1}<t^{n,2}<\cdots <t^{n,q}$ 确定的Lagrange插值算子${\widehat{I}}_{n,q-1}^{GL}:C\left(I_n\right)\to P_{q-1}\left(I_n\right)$ 满足插值条件：

$\left({\widehat{I}}_{n,q-1}^{GL}y\right)\left(t^{n,j}\right)=y\left(t^{n,j}\right),j=1,2,\cdots ,q.$ (14)

利用Gauss-Legendre积分公式对次数不超过$2q-1$ 多项式的精确性，可得对任意的$\upsilon \in P_q\left(I_n\right)$ 及$\varphi \in P_{q-1}\left(I_n\right)$ 有

${\displaystyle {\int }_{I_n}\left({\widehat{I}}_{n,q-1}^{GL}\upsilon \right)\varphi \text{d}t}={\displaystyle \sum _{j=1}^q{\omega }_{n,j}}\left({\widehat{I}}_{n,q-1}^{GL}\upsilon \right)\left(t^{n,j}\right)\varphi \left(t^{n,j}\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^q{\omega }_{n,j}}\upsilon \left(t^{n,j}\right)\varphi \left(t^{n,j}\right)={\displaystyle {\int }_{I_n}\upsilon }\varphi \text{d}t.$ (15)

这表明将算子${\widehat{I}}_{n,q-1}^{GL}$ 限定在空间$P_q\left(I_n\right)$ 时，其是一个$L^2$ 投影算子。

为构建数值分析工具，引入Gauss-Lobatto积分公式如下

${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(\xi \right)\text{d}\xi }\cong {\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_j}g\left({\xi }_j\right),$ (16)

其对所有不高于$2q-1$ 次多项式都准确成立，积分节点$0={\xi }_0<\cdots <{\xi }_q=1$ 是Lobatto多项式$L\left(x\right)=\frac{{\text{d}}^{q-1}}{\text{d}{x}^{q-1}}{\left[x\left(1-x\right)\right]}^q$ 的$q+1$ 个根，类比Gauss-Legendre点的定义方式，定义相应于区间$I_n$ 的${\xi }_{n,i}$ 和$b_{n,i}$ ，进一步，为了定义函数$W$ ，引入$q+1$ 个Lobatto点确定$t^n={\xi }_{n,0}<\cdots <{\xi }_{n,q}=t^{n+1}$ 的Lagrange插值算子${\widehat{I}}_{n,q}^{Lo}:C\left({\overline{I}}_n\right)\to P_q\left({\overline{I}}_n\right)$ ，即有

$\left({\widehat{I}}_{n,q}^{Lo}y\right)\left({\xi }_{n,j}\right)=y\left({\xi }_{n,j}\right),j=1,2,\cdots ,q.$ (17)

并且，定义$W:\left[0,T\right]\to H_0^1\left(\Omega \right)$ 使得

${W\left(x,t\right)|}_{I_n}={\widehat{I}}_{n,q}^{Lo}\omega \left(x,t\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times I_n.$ (18)

其中

$\omega \left(x,t\right)=P_h^{n}u\left(x,t\right),\eta =u-\omega ,\left(x,t\right)\in \Omega \times I_n,n=0,1,\cdots ,N-1.$

为简化符号，将$W$ 仍记为${W|}_{I_n}$ 。此定义基于两点考虑：其一，$W\left(t^{n+1}\right)$ 和$W^{n+}$ 分别对应于$\omega \left(t^{n+1}\right)$ 和${\omega }^{n+}$ 。其二，便于后续理论分析中构造满足精度要求的积分准则。

引理4 [5] 根据插值逼近性质，误差$u-W\left(x,t\right)$ 满足以下估计式

$\begin{array}{l}{\left|\Vert u-W\Vert \right|}_n\le c\Delta t_n^{q+1}{\left|\Vert u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n+c\Delta t_n^{\frac{1}{2}}\underset{I_n}{\max }{\Vert h_n^{4}u\Vert }_5,\\ \underset{I_n}{\max }\Vert u-W\Vert \le c\Delta t_n^{q+1}\underset{I_n}{\max }\Vert u^{\left(q+1\right)}\Vert +c\underset{I_n}{\max }{\Vert h_n^{4}u\Vert }_5.\end{array}$

定理2 假如$u$ 和$U$ 分别为方程(1)和(3)的解，并假设$S_h^{n-1}\subset S_h^n\left(n=0,1,\cdots ,N-1\right)$ ，则满足以下估计式

$\begin{array}{l}\underset{t\in [0,T]}{\max }\Vert u\left(t\right)-U\left(t\right)\Vert \le c\underset{n}{\max }\Delta t_n^{q+1}\underset{I_n}{\max }\left(\Vert u^{\left(q+2\right)}\Vert +\Vert \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right)\\ +c{h}^4\underset{n}{\max }\underset{I_n}{\max }\left({\Vert \Im u\Vert }_5+{\Vert u_t\Vert }_5+{\Vert u\Vert }_5\right)+c{N}_c\underset{n}{\max }\Vert J\left[{\omega }^n\right]\Vert .\end{array}$ (19)

上式$N_c$ 表示$S_h^j\ne S_h^{j-1}\left(j=1,\cdots ,N-1\right)$ 的总数，$J\left[{\omega }^n\right]:={\omega }^n-{\omega }^{n+}=\left(P_h^n-P_h^{n-1}\right)u\left(t^n\right)$ 。

证明 令误差项$e=U-u=\left(U-W\right)+\left(W-u\right)=\theta +\rho$ 。其中$\rho$ 的估计由引理4直接给出，故仅需对$\theta$ 进行估计。基于变网格有限体积元格式(3)，函数$\theta ={\theta |}_{I_n}=U-W$ 满足如下方程：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{I_n}\left({\theta }_t,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}a\left(\theta ,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t}\\ =-\left\{\left(W\left(t^{n+1}\right),{\pi }_h^{*}{\phi }^{n+1}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(W,{\pi }_h^{*}{\phi }_t\right)\text{d}t}-\left(W^{n+},{\pi }_h^{*}{\phi }^{n+}\right)\right\}-{\displaystyle {\int }_{I_n}a\left(W,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(f,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t},\end{array}$ (20)

其中对积分项${\displaystyle {\int }_{I_n}\left(W_t,{\pi }_h^{*}\phi \right)\text{d}t}$ 应用分部积分公式。在(20)中取$\phi =l_{n,i}\varphi ,\left(\varphi \in S_h^n\right)$ ，结合Gauss-Legendre和Gauss-Lobatto及定义1，可得关于$\theta$ 的误差方程：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=0}^q{m}_{ij}}\left({\theta }^{n,j},{\pi }_h^{*}\phi \right)+\Delta t_n{\omega }_{i}a\left({\theta }^{n,i},{\pi }_h^{*}\phi \right)\\ =\left({\sum }_1+{\sum }_2+{\sum }_3+{\sum }_4,{\pi }_h^{*}\phi \right)+{\omega }_{n,i}\overline{a}\left(u^{n,i}-{\omega }^{n,i},{\pi }_h^{*}\phi \right),i=1,2,\cdots ,q\end{array}$ (21)

其中

$\begin{array}{l}{\sum }_1:=-l_{n,i}\left(t^{n+1}\right)\eta \left(t^{n+1}\right)-{\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l^{\prime }}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)u\left({\xi }_{n,j}\right)-l_{n,i}\left(t^{n+}\right){\eta }^{n+},\\ {\sum }_2:={\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l^{\prime }}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)u\left({\xi }_{n,j}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}{l^{\prime }}_{n,i}\left(t\right)u\text{d}t},\\ {\sum }_3:={\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}\left(t\right)\Im u\text{d}t}-{\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)\Im u\left({\xi }_{n,j}\right),\left(\Im u=-\epsilon u_{xx}+\gamma u\right)\\ {\sum }_4:={\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)\Im \eta \left({\xi }_{n,j}\right).\end{array}$

上式中的$u$ 需满足

$\left(u^{n+1},{\pi }_h^{*}{\varphi }^{n+1}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(u,{\pi }_h^{*}{\varphi }_t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}a\left(u,{\pi }_h^{*}\varphi \right)\text{d}t}-\left(u^{n+},{\pi }_h^{*}{\varphi }^{n+}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(f,{\pi }_h^{*}\varphi \right)\text{d}t}=0$

令${\tilde{\theta }}^{n,j}=s_j^{-\frac{1}{2}}{\theta }^{n,j}\left(j=1,2,\cdots ,q\right)$ ，在$I_n$ 上有$\theta ={\displaystyle \sum _{j=1}^q{s}_j^{\frac{1}{2}}}{\widehat{l}}_{n,j}{\tilde{\theta }}^{n,j}+{\widehat{l}}_{n,0}{\theta }^{n+}$ ，则关于${\tilde{\theta }}^{n,j}$ 的(21)式等价为

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=1}^q{\tilde{m}}_{ij}}\left({\tilde{\theta }}^{n,j},{\pi }_h^{*}\varphi \right)+\Delta t_n{\omega }_{i}a\left({\tilde{\theta }}^{n,i},{\pi }_h^{*}\varphi \right)\\ =s_i^{-\frac{1}{2}}\left\{-m_{i0}\left({\theta }^{n+},l_{n,i}\left(t^n\right){\pi }_h^{*}\varphi \right)+{\omega }_{n,i}\overline{a}\left(u^{n,i}-{\omega }^{n,i},{\pi }_h^{*}\varphi \right)+\left({\sum }_1+{\sum }_2+{\sum }_3+{\sum }_4,{\pi }_h^{*}\varphi \right)\right\},i=1,2,\cdots ,q.\end{array}$ (22)

引理5 对任意的$0\le n\le N-1$ ，下述估计式成立：

$\begin{array}{l}\Vert {\sum }_1\Vert \le c\Delta t_n^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4{u}_t\Vert }_5^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}},\Vert {\sum }_2\Vert \le c\Delta t_n^{q+\frac{3}{2}}{\left|\Vert u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n,\\ \Vert {\sum }_3\Vert \le c\Delta t_n^{q+\frac{3}{2}}{\left|\Vert \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n,\Vert {\sum }_4\Vert \le c\Delta t_n^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4\Im u\Vert }_5^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}.\end{array}$ (23)

其中${\sum }_1,{\sum }_2,{\sum }_3,{\sum }_4$ 的定义由式(21)给出。

证明 基于$I_n$ 上的Lobatto积分准则，对任意的$i=1,2,\cdots ,q$ ，可得

$l_{n,i}\left(t^{n+1}\right)-{\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l^{\prime }}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)-l_{n,i}\left(t^{n+}\right)=l_{n,i}\left(t^{n+1}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}{l^{\prime }}_{n,i}\left(t\right)\text{d}t}-l_{n,i}\left(t^{n+}\right)=0$

上式表明存在与$n$ 无关的常数${\beta }_{ij}$ ，使得

${\sum }_1={\displaystyle \sum _{j=1}^q{\beta }_{ij}}\left(\eta \left({\xi }_{n,j}\right)-\eta \left({\xi }_{n,j-1}\right)\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^q{\beta }_{ij}{\displaystyle {\int }_{{\xi }_{n,j-1}}^{{\xi }_{n,j}}{\eta }_t}}\left(s\right)\text{d}s.\left(\eta \left({\xi }_{n,0}\right):={\eta }^{n+}\right)$

由${\eta }_t=\left(I-P_h^n\right)u_t$ 及式(4)，可得

$\Vert {\sum }_1\Vert \le c{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4{u}_t\Vert }_5^{}\text{d}t}\le c\Delta t_n^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4{u}_t\Vert }_5^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

对任意的$x\in \Omega$ ，$l_{n,i}{\widehat{I}}_{n,q}^{LO}\Im u$ 是关于$t$ 的一个$2q-1$ 次多项式，有

${\sum }_3={\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}\left(t\right)\Im u\text{d}t}-{\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)\Im u\left({\xi }_{n,j}\right)={\displaystyle {\int }_{I_n}{l}_{n,i}\left(t\right)}\left(I-{\widehat{I}}_{n,q}^{LO}\right)\Im u\text{d}t.$

结合Hölder不等式及插值算子的性质，得

$\begin{array}{l}\Vert {\sum }_3\Vert \le c{\left({{\displaystyle {\int }_{I_n}\left|l_{n,i}\left(t\right)\right|}}^2\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}}{\left|\Vert \left(I-{\widehat{I}}_{n,q}^{Lo}\right)\Im u\Vert \right|}_n\\ \le c{\left(\Delta t_n{\displaystyle {\int }_0^1{\left|l_{n,i}\left(s\right)\right|}^2\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{2}}\Delta t_n^{q+1}{\left|\Vert \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n\le \Delta t_n^{q+\frac{3}{2}}{\left|\Vert \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n.\end{array}$

类似可得

$\Vert {\sum }_4\Vert \le c{\left({{\displaystyle {\int }_{I_n}\left|l_{n,i}\left(t\right)\right|}}^2\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert \left(I-P_h^n\right)\Im u\Vert }^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}\le c\Delta t_n^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4\Im u\Vert }_5^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

为了估计${\sum }_2$ ，定义区间$\left[t^n,t^{n+1}\right]$ 上基于$q+2$ 个节点的Lagrange插值算子$I_{n,q+1}^{Lo}$ ，基于区间$\left[t^n,t^{n+1}\right]$ 上的$q+1$ 个Lobatto点，对于给定的$x\in \Omega$ ，${l^{\prime }}_{n,i}{I}_{n,q+1}^{Lo}u$ 是一个关于$t$ 的$2q-1$ 次多项式，则有

${\sum }_2={\displaystyle \sum _{j=0}^q{b}_{n,j}}{l^{\prime }}_{n,i}\left({\xi }_{n,j}\right)u\left({\xi }_{n,j}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}{l^{\prime }}_{n,i}\left(t\right)u\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{I_n}{l^{\prime }}_{n,i}\left(t\right)}\left(I-I_{n,q+1}^{Lo}\right)u\text{d}t.$

因此

$\begin{array}{l}\Vert {\sum }_2\Vert \le c{\left({{\displaystyle {\int }_{I_n}\left|{l^{\prime }}_{n,i}\left(t\right)\right|}}^2\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}}{\left|\Vert \left(I-{\widehat{I}}_{n,q+1}^{Lo}\right)u\Vert \right|}_n\\ \le c{\left(\Delta t_n^{-1}{\displaystyle {\int }_0^1{\left|l_{n,i}\left(s\right)\right|}^2\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{2}}\Delta t_n^{q+2}{\left|\Vert u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n\le c\Delta t_n^{q+\frac{3}{2}}{\left|\Vert u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n.\end{array}$

在(21)式中选取$\varphi \in {\theta }^{n,i}$ ，并对$i$ 从1到$q$ 求和，结合引理3及$L^2$ 投影的性质(15)式可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^q{\displaystyle \sum _{j=0}^q{m}_{ij}}\left({\theta }^{n,j},{\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}={\displaystyle {\int }_{I_n}\left({\theta }_t,I_{n,q-1}^{GL}{\pi }_h^{*}\theta \right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{I_n}\left({\theta }_t,{\pi }_h^{*}\theta \right)\text{d}t}\\ =\left({\theta }^{n+1},{\pi }_h^{*}{\theta }^{n+1}\right)-\left({\theta }^{n+},{\pi }_h^{*}{\theta }^{n+}\right)-{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(\theta ,{\pi }_h^{*}{\theta }_t\right)\text{d}t}\end{array}$ (24)

进一步可得

$\begin{array}{l}\left({\theta }^{n+1},{\pi }_h^{*}{\theta }^{n+1}\right)-\left({\theta }^{n+},{\pi }_h^{*}{\theta }^{n+}\right)+c_4{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert \theta \Vert }_1^2\text{d}t}\\ \le {\displaystyle \sum _{i=1}^q\left({\sum }_1+{\sum }_2+{\sum }_3+{\sum }_4,{\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}+\lambda {\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n^2+{\displaystyle {\int }_{I_n}\overline{a}\left(u-\omega ,{\pi }_h^{*}\theta \right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(\theta ,{\pi }_h^{*}{\theta }_t\right)\text{d}t}.\end{array}$

由${\omega }_i={\displaystyle {\int }_0^1{l}_i^2}\left(s\right)\text{d}s>0$ 可得

${\displaystyle \sum _{i=1}^q\Delta t_n{\omega }_{i}a\left({\theta }^{n,i},{\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}\ge 0.$ (25)

此外，结合见引理3中$\overline{a}\left(u-\omega ,{\pi }_h^{*}\upsilon \right)$ 的定义及Cauchy-Schwarz不等式，有

$\Vert \overline{a}\left(u-\omega ,{\pi }_h^{*}\theta \right)\Vert \le c\Vert u-\omega \Vert {\Vert \theta \Vert }_1.$ (26)

进一步地，对任意$\upsilon ={\displaystyle \sum _{j=0}^q{\widehat{l}}_{n,j}}{\upsilon }^j\in V_n^q$ ，其范数满足等价性：

$c_1{\left\{\Delta t_n{\displaystyle \sum _{j=0}^q{\Vert \upsilon \Vert }^j{}^2}\right\}}^{\frac{1}{2}}\le {\left|\Vert \upsilon \Vert \right|}_n\le c_2{\left\{\Delta t_n{\displaystyle \sum _{j=0}^q{\Vert {\upsilon }^j\Vert }^2}\right\}}^{\frac{1}{2}}.$ (27)

基于逆不等式$\underset{n}{\max }\left|y\left(t\right)\right|\le c_1\Delta t_n^{-\frac{1}{2}}{\left({{\displaystyle {\int }_{I_n}\left|y\left(t\right)\right|}}^2\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}},\forall y\in P_q\left(I_n\right)$ 及估计式${\displaystyle {\int }_{I_n}{\widehat{l}}_{n,j}^2}\text{d}t\le c\Delta t_n$，可得前两项不等式。

结合式(25)和(27)，对式(24)右端应用Cauchy不等式和Hölder不等式，并结合引理5可得，

${\Vert {\theta }^{n+1}\Vert }^2\le c{\Vert {\theta }^{n+}\Vert }^2+c{\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n^2+c\Delta t_n^{-1}{\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n^2+c{\epsilon }_n.$ (28)

其中

${\epsilon }_n=c\Delta t_n^{2q+2}\left({\left|\Vert u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n^2+{\left|\Vert \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n^2\right)+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4{u}_t\Vert }_5^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^4\Im u\Vert }_5^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^{4}u\Vert }_5^2\text{d}t}.$

考虑$\Vert {\theta }^{n+}\Vert$ ，取$L^2$ 投影算子${\prod }^n=P^n$ ，则

${\theta }^{n+}=U^{n+}-W^{n+}=P^n\theta \left(t^n\right)+P^{n}J\left[{\omega }^n\right],$

其中椭圆投影在$t^n$ 处的跳跃项为$J\left[{\omega }^n\right]={\omega }^n-{\omega }^{n+}=\left(P_h^n-P_h^{n-1}\right)u\left(t^n\right)$ 。将式(28)代入(27)式，结合Cauchy不等式，式(5)及Young不等式可得

${\Vert {\theta }^{n+1}\Vert }^2\le c\left(1+{\beta }_n\right){\Vert {\theta }^n\Vert }^2+c{\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n^2+c\Delta t_n^{-1}{\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n^2+c{\epsilon }_n+c{M}_n{\Vert J\left[{\omega }_n\right]\Vert }^2,$ (29)

其中$M_n$ 是与$n$ 无关的常数，定义参数如下：

${\beta }_n=\{\begin{array}{l}0,S_h^{n-1}=S_h^n,\\ \frac{1}{M_n-1},S_h^{n-1}\ne S_h^n,n=1,2,\cdots ,N-1.\end{array}$

为了估计${\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n$ ，在式(22)中取$\varphi ={\tilde{\theta }}^{n,i}$ ，并对$i$ 从1到$q$ 求和，结合引理1可得

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^q{\tilde{m}}_{ij}}\left({\tilde{\theta }}^{n,j},{\pi }_h^{*}{\tilde{\theta }}^{n,i}\right)\ge \alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^q{\Vert {\tilde{\theta }}^{n,i}\Vert }^2}.$ (30)

$\begin{array}{l}\left(\alpha -\lambda \Delta t_n\right){\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(1-{\omega }_i\right)}{\Vert {\tilde{\theta }}^{n,i}\Vert }^2+c_4\Delta t_n{\displaystyle \sum _{i=1}^q{\omega }_i}{\Vert {\tilde{\theta }}^{n,i}\Vert }_1^2\\ \le c{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^q{\Vert {\tilde{\theta }}^{n,i}\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\left(\Vert {\theta }^n\Vert +\Vert J\left[{\eta }^n\right]\Vert +{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^q\left[{\Vert {\sum }_1\Vert }^2+{\Vert {\sum }_2\Vert }^2+{\Vert {\sum }_3\Vert }^2\right]}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)+\Delta t_n{\displaystyle \sum _{i=1}^q{\omega }_i}\Vert u^{n,i}-{\omega }^{n,i}\Vert {\Vert {\tilde{\theta }}^{n,i}\Vert }_1^{}.\end{array}$ (31)

注意到${\displaystyle \sum _{i=1}^q{\Vert {\tilde{\theta }}^{n,i}\Vert }^2}$ 和${\displaystyle \sum _{i=1}^q{\Vert {\theta }^{n,i}\Vert }^2}$ 仅依赖于$s_i$ 的常数，对式(31)利用(26)和(27)式及引理5可得

${\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n^2\le c\Delta t_n^{}\left\{{\Vert {\theta }^n\Vert }^2+{\Vert J\left[{\omega }^n\right]\Vert }^2+c\Delta t_n^{}{\epsilon }_n\right\}.$ (32)

将式(29)右端代入迭代格式，经递推整理得

$\begin{array}{l}{\Vert {\theta }^{n+1}\Vert }^2\le c{\displaystyle \prod _{j=0}^n\left(1+{\beta }_j+c\Delta t_j\right)}{\Vert {\theta }^0\Vert }^2\\ +c{\displaystyle \sum _{m=0}^n\left({\displaystyle \prod _{j=m+1}^n\left(1+{\beta }_j+c\Delta t_j\right)}\right)}\times \left({\epsilon }_m+c\left(\Delta t_m+M_m+1\right){\Vert J\left[{\omega }^n\right]\Vert }^2\right)\end{array}$

固定$n$ ，取$M_m=M=N_c\left(n\right)\left(m=1,\cdots ,n\right)$ 。其中$N_c\left(n\right)$ 表示$S_h^{j-1}\ne S_h^j$ 的总数，当$N_c\left(n\right)=0$ 或1时，取$M=2$ 时。此时$S_h^{j-1}\ne S_h^j$ ，${\beta }_j=\beta =\frac{1}{M-1}$ 。从而

$\begin{array}{l}{\displaystyle \prod _{j=0}^n\left(1+{\beta }_j+c\Delta t_j\right)}\le {\displaystyle \prod _{j=0,\beta <c\Delta t_j}^n\left(1+2c\Delta t_j\right)}{\displaystyle \prod _{j=0,\beta \ge c\Delta t_j}^n\left(1+2\beta \right)}\\ \le {\displaystyle \prod _{j=0}^n\left(1+2c\Delta t_j\right)}{\left(1+2{\beta }_j\right)}^M\le {\text{e}}^{2c{t}^{n+1}}\cdot 3{\text{e}}^2.\end{array}$

令$C_n:={\left(3{\text{e}}^{2c{t}^n+2}\right)}^{\frac{1}{2}}$ 。结合初始条件${\theta }^0=u_0-P_h^0{u}_0,J\left[{\omega }^0\right]=0$ 得

$\Vert {\theta }^{n+1}\Vert \le {\Vert u_0-P_h^0{u}_0\Vert }^2+c{C}_{n+1}{\left({\displaystyle \sum _{m=0}^n{\epsilon }_m}\right)}^{\frac{1}{2}}+c{C}_{n+1}\sqrt{M+1}{\left({\displaystyle \sum _{m=1}^n{\Vert J\left[{\omega }^m\right]\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$

其中，$M=N_c\left(n\right)$ 。利用式(32)和式(4)，对$n=0,\cdots ,N-1$ ，有

${\left|\Vert \theta \Vert \right|}_n\le \Delta t_n^{\frac{1}{2}}c{C}_n{\Vert h_0^4{u}_0\Vert }_5+\Delta t_n^{\frac{1}{2}}c{C}_n{\left({\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}{\epsilon }_n}\right)}^{\frac{1}{2}}+\Delta t_n^{\frac{1}{2}}c{C}_{n+1}\sqrt{N_c\left(n-1\right)+1}{\left({\displaystyle \sum _{m=1}^n{\Vert J\left[{\omega }^m\right]\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$

基于${\theta |}_{I_n}\in V_{hk}^n$ 的性质，应用逆不等式$\underset{n}{\max }\left|\theta \left(t\right)\right|\le c\Delta t_n^{-\frac{1}{2}}{\left({{\displaystyle {\int }_{I_n}\left|\theta \left(t\right)\right|}}^2\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}}$ 可得

$\begin{array}{l}\underset{I_n}{\max }\Vert \theta \Vert \\ \le C_n\{{\Vert h_0^4{u}_0\Vert }_5+{\left({\displaystyle \sum _{m=0}^n\Delta t_m^{2q+2}\left({\left|\Vert u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_m^2+{\left|\Vert \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_m^2\right)}+{\displaystyle \sum _{m=0}^n{\displaystyle {\int }_{I_m}{\Vert h_m^4{u}_t\Vert }_5^2\text{d}t}+{\displaystyle \sum _{m=0}^n{\displaystyle {\int }_{I_m}{\Vert h_m^4\Im u\Vert }_5^2\text{d}t}}+{\displaystyle \sum _{m=0}^n{\displaystyle {\int }_{I_m}{\Vert h_m^{4}u\Vert }_5^2\text{d}t}}}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ +\sqrt{N_c\left(n-1\right)+1}{\left({\displaystyle \sum _{m=1}^n{\Vert J\left[{\omega }^m\right]\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\}.\end{array}$

通过三角不等式整合$\theta$ 与$\rho$ 的估计，最终得误差估计式(19)。

注1 通过应用${\Vert h_{n-1}^{4}u\Vert }_5+{\Vert h_n^{4}u\Vert }_5$ ；以此来估计$\Vert J\left[{\omega }^m\right]\Vert$ 。从而验证定理2的估计式是收敛的。若空间$S_h^n\left(n=1,2,\cdots ,N-1\right)$ 的网格变化不是很频繁时，则定理2所构建的$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left(\left[\Omega \right]\right)\right)$ ——模误差估计是$O\left(k^{q+1},h^4\right)$ 。

为了给出$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H_0^1\left(\Omega \right)\right)$ ——模误差估计，首先给出所需的一个引理。

引理6 [5] 对任意的$1\le n\le N-1$ ，满足

$\begin{array}{l}{S}_h^{n-1}\subset S_h^n,\\ \Vert \nabla P^n\upsilon \Vert \le C\Vert \nabla \upsilon \Vert ,\forall \upsilon \in H_0^1\left(\Omega \right),\end{array}$ (33)

其中$p^n$ 是$S_h^n$ 上的$L^2$ 投影。

引理7 设$u$ 和$U$ 分别为(1)和式(3)的解，且$S_h^{n-1}\subset S_h^n\left(n=0,1,\cdots ,N-1\right)$ ，则

$\begin{array}{l}\underset{t\in [0,T]}{\max }\Vert \nabla \left(u\left(t\right)-U\left(t\right)\right)\Vert \le C_n\underset{n}{\max }\Delta t_n^{q+1}\underset{I_n}{\max }\left(\Vert \nabla u^{\left(q+2\right)}\Vert +\Vert \nabla \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right)\\ +C_n{h}^3\underset{n}{\max }\underset{I_n}{\max }\left({\Vert \Im u\Vert }_4+{\Vert u_t\Vert }_4+{\Vert u\Vert }_4\right)+C_n{N}_c\underset{n}{\max }\Vert \nabla J\left[{\omega }^n\right]\Vert .\end{array}$ (34)

其中$C_n=c{\text{e}}^{c{t}^n}$ 。

证明 将误差分解为$e=\nabla \left(U-u\right)=\nabla \left(U-W\right)+\nabla \left(W-u\right)=\nabla \theta +\nabla \rho$ 。其中$\nabla \rho$ 有类似引理4的估计结果，故仅需对$\nabla \theta$ 进行估计。

定义离散算子$A_h^n:H_0^1\left(\Omega \right)\to S_h^n$ [5]满足

$\left(A_h^n\upsilon ,\chi \right)=\left(\nabla \upsilon ,\nabla \chi \right),\forall \chi \in S_h^n.$ (35)

在(21)式中取$\varphi =A_h^n{\theta }^{n,i}$ ，并对$i$ 从1到$q$ 求和，结合$L^2$ 投影的性质和(31)式可得

$\begin{array}{l}\left(\nabla {\theta }^{n+1},\nabla {\theta }^{n+1}\right)-\left(\nabla {\theta }^{n+},\nabla {\theta }^{n+}\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^q\Delta t_n{\omega }_i}a\left(\nabla P^n{\theta }^{n,i},\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(\nabla P^n\left[{\sum }_1+{\sum }_2+{\sum }_3+{\sum }_4\right],\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{\omega }_{n,i}}\overline{a}\left(\nabla P^n\left[u^{n,i}-{\omega }^{n,i}\right],\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)+{\displaystyle {\int }_{I_n}\left(\nabla \theta ,\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }_t\right)\text{d}t}.\end{array}$ (36)

由式(26)和$L^2$ 投影的性质，类似可知

${\displaystyle \sum _{i=1}^q\Delta t_n{\omega }_i}a\left(\nabla P^n{\theta }^{n,i},\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)\ge {\displaystyle \sum _{i=1}^q\Delta t_n{\omega }_i}{\left|\nabla {\theta }^{n,i}\right|}_1^2\ge 0.$

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla {\theta }^{n+1}\Vert }^2\le c{\Vert \nabla {\theta }^{n+}\Vert }^2+{\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(\nabla P^n\left[{\sum }_1+{\sum }_2+{\sum }_3+{\sum }_4\right],\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^q{\omega }_{n,i}}\overline{a}\left(\nabla P^n\left[u^{n,i}-{\omega }^{n,i}\right],\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)+c\Delta t_n^{-1}{\left|\Vert \nabla {\theta }^n\Vert \right|}_n^2.\end{array}$ (37)

结合引理5、引理6、引理2、(4)式及(28)式中$\nabla \theta$ 的等价估计式，可类似证得下式

$\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(\nabla P^n{\sum }_1,\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}\right|\le c{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3{u}_t\Vert }_4^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left|\Vert \nabla \theta \Vert \right|}_n,$

此处$\nabla {\sum }_2={\displaystyle {\int }_{I_n}{l^{\prime }}_{n,i}}\left(I_{n,q+1}^{Lo}-I\right)\nabla u\text{d}t$ ，由引理6及参照$\Vert {\sum }_2\Vert$ 的证明过程可得

$\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(\nabla P^n{\sum }_2,\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}\right|\le c\Delta t_n^{q+1}{\left|\Vert \nabla u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n{\left|\Vert \nabla \theta \Vert \right|}_n.$

进一步类似可得

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(\nabla P^n{\sum }_3,\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}\right|\le c\Delta t_n^{q+1}{\left|\Vert \nabla \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n{\left|\Vert \nabla \theta \Vert \right|}_n,\\ \left|{\displaystyle \sum _{i=1}^q\left(\nabla P^n{\sum }_4,\nabla {\pi }_h^{*}{\theta }^{n,i}\right)}\right|\le c{\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3\Im u\Vert }_4^2\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left|\Vert \nabla \theta \Vert \right|}_n.\end{array}$

将(34)下面的几个估计式及(27)，结合Young不等式合并可得

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla {\theta }^{n+1}\Vert }^2\le c{\Vert \nabla {\theta }^{n+}\Vert }^2+c{\left|\Vert \nabla {\theta }^n\Vert \right|}_n^2+c\Delta t_n^{2q+2}\left({\left|\Vert \nabla u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n^2+{\left|\Vert \nabla \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n^2\right)\\ +c\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3{u}_t\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^{3}u\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3\Im u\Vert }_4^2\text{d}t}\right)+c\Delta t_n^{-1}{\left|\Vert \nabla {\theta }^n\Vert \right|}_n^2.\end{array}$ (38)

考虑$\Vert \nabla {\theta }^{n+}\Vert$ ，取${\prod }^n=P^n$ 是$L^2$ 投影，由于${\theta }^{n+}=U^{n+}-W^{n+}=P^n\theta \left(t^n\right)+P^{n}J\left[{\omega }^n\right]$ ，因此结合Cauchy不等式、(5)式及Young不等式可得

${\Vert \nabla {\theta }^{n+}\Vert }^2\le \left(1+{\beta }_n\right){\Vert \nabla {\theta }^n\Vert }^2+M_n{\Vert \nabla J\left[{\omega }^n\right]\Vert }^2,$ (39)

其中关于${\beta }_n,M_n$ 的定义在(29)式中已给出，这里的

$\left(\nabla J\left[{\omega }^n\right],\nabla {\pi }_h^{*}\phi \right)=\left(\nabla \left({\omega }^n-{\omega }^{n+}\right),\nabla {\pi }_h^{*}\phi \right)=0,\forall \phi \in S_h^{n-1}.$

在式(22)中取$\varphi =A_h^n{\tilde{\theta }}^{n,i}$ ，且参照(34)式的证明过程，有

$\begin{array}{c}{\left|\Vert \nabla \theta \Vert \right|}_n^2\le c\Delta t_n\{{\Vert \nabla {\theta }^n\Vert }^2+c\Delta t_n^{2q+1}\left({\left|\Vert \nabla u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n^2+{\left|\Vert \nabla \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n^2\right)\\ \stackrel{}{}+c\Delta t_n\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3{u}_t\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^{3}u\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3\Im u\Vert }_4^2\text{d}t}\right)+{\Vert \nabla J\left[{\omega }^n\right]\Vert }^2\}\end{array}$ (40)

将(38)和(40)式代入(37)式合并可得

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla {\theta }^{n+1}\Vert }^2\le c\left(1+{\beta }_n+c\Delta t_n\right){\Vert \nabla {\theta }^n\Vert }^2+c\Delta t_n^{2q+2}\left({\left|\Vert \nabla u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_n^2+{\left|\Vert \nabla \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_n^2\right)\\ +c\left({\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3{u}_t\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^{3}u\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{I_n}{\Vert h_n^3\Im u\Vert }_4^2\text{d}t}\right)+c\left(M_n+\Delta t_n+1\right){\Vert \nabla J\left[{\omega }^n\right]\Vert }^2.\end{array}$ (41)

对上式进行$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left(\Omega \right)\right)$ ——模误差估计，式(34)以后的证明类似可得

$\begin{array}{l}\underset{I_n}{\max }\Vert \nabla \theta \Vert \le C_n\{{\Vert h_0^3{u}_0\Vert }_4+({\displaystyle \sum _{m=0}^n\Delta t_m^{2q+2}\left({\left|\Vert \nabla u^{\left(q+2\right)}\Vert \right|}_m^2+{\left|\Vert \nabla \Im u^{\left(q+1\right)}\Vert \right|}_m^2\right)}\\ +{{\displaystyle \sum _{m=0}^n{\displaystyle {\int }_{I_m}{\Vert h_m^3{u}_t\Vert }_4^2\text{d}t}+{\displaystyle \sum _{m=0}^n{\displaystyle {\int }_{I_m}{\Vert h_m^{3}u\Vert }_4^2\text{d}t}}+{\displaystyle \sum _{m=0}^n{\displaystyle {\int }_{I_m}{\Vert h_m^3\Im u\Vert }_4^2\text{d}t}}})}^{\frac{1}{2}}\\ +\sqrt{N_c\left(n-1\right)+1}{\left({\displaystyle \sum _{m=1}^n{\Vert \nabla J\left[{\omega }^m\right]\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\}.\end{array}$ (42)

通过三角不等式将上述$\nabla \theta$ 的估计与$\nabla \rho$ 的估计合并，可得误差估计(37)式。

注2 通过应用${\Vert h_{n-1}^{3}u\Vert }_4+{\Vert h_n^{3}u\Vert }_4$ ；可有效估计$\Vert \nabla J\left[{\omega }^m\right]\Vert$ 。从而验证定理2的收敛性。进一步地，若空间$S_h^n\left(n=0,1,\cdots ,N-1\right)$ 的网格变化频繁较低时，则定理2所建立的$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^1\left(\left[\Omega \right]\right)\right)$ ——模误差估计是$O\left(k^{q+1},h^3\right)$ 。

5. 数值算例

为检验所提格式的有效性及理论推导结论的可靠性，选取如下抛物方程初边值问题：

$\{\begin{array}{l}{u}_t-u_{xx}+u=f\left(x,t\right),0\le x\le 1,0<t\le 1,\\ u\left(0,t\right)=u\left(1,t\right)=0,0<t\le 1,\\ u\left(x,0\right)=\sin \left(\pi x\right),0\le x\le 1,\end{array}$

其解析解为$u\left(x,t\right)={\text{e}}^{-t}\sin \left(\pi x\right)$ 。数值实验中，试探函数空间采用时间二次多项式$\left(q=2\right)$ 与空间三次Lagrange插值基函数，检验函数空间采用时间线性多项式及空间分片常数基函数。

表1展示了固定时间步长$\Delta t=0.002$ ，空间依次取$h=1/15,1/30,1/60,1/120$ 时，时空误差${\Vert u-U\Vert }_{L^{\infty }\left(L^2\right)}$ 和${\Vert u-U\Vert }_{L^{\infty }\left(H^1\right)}$ 的数值结果及其收敛阶数。由数据可知，当空间步长$h$ 逐次减半时，$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 的模误差的收敛阶接近四阶，$L^{\infty }\left(H^1\right)$ 半模误差的收敛阶接近三阶，实验结果与理论分析高度吻合。

表2进一步研究了时间离散对计算精度的影响。实验中，空间步长固定为$h=0.0006$ ，时间步长依次取$\Delta t=1/2,1/4,1/8,1/16$ ，数值结果表明，随着时间步长$\Delta t$ 逐次减半，$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 模误差的收敛阶趋近于理论最优的三阶精度，而$L^{\infty }\left(H^1\right)$ 半模误差的收敛阶也接近三阶，实验结果与理论推导近乎相等。

Table 1. With the temporal discretization parameter $\Delta t$ fixed at 0.002, the spatial error and its convergence rate

表1. 固定时间剖分$\Delta t=0.002$ ，空间误差及收敛阶

$h$	${\Vert u-U\Vert }_{L^{\infty }\left(L^2\right)}$	收敛阶	${\Vert u-U\Vert }_{L^{\infty }\left(H^1\right)}$	收敛阶
$\frac{1}{15}$	$3.5835\text{e}-05$	-	$1.7532\text{e}-03$	-
$\frac{1}{30}$	$2.2511\text{e}-06$	3.9926	$2.1982\text{e}-04$	2.9955
$\frac{1}{60}$	$1.4127\text{e}-07$	3.9941	$2.7499\text{e}-05$	2.9988
$\frac{1}{120}$	$9.2835\text{e}-09$	3.9276	$3.4381\text{e}-06$	2.9997

Table 2. With the spatial discretization parameter h fixed at 0.0006, the temporal error and its convergence rate

表2. 固定空间剖分$h=0.0006$ ，时间误差及收敛阶

$\Delta t$	${\Vert u-U\Vert }_{L^{\infty }\left(L^2\right)}$	收敛阶	${\Vert u-U\Vert }_{L^{\infty }\left(H^1\right)}$	收敛阶
$\frac{1}{2}$	$7.8147\text{e}-03$	-	$2.5764\text{e}-02$	-
$\frac{1}{4}$	$1.1651\text{e}-03$	2.7457	$3.8413\text{e}-03$	2.7457
$\frac{1}{8}$	$1.8786\text{e}-04$	2.6327	$6.1937\text{e}-04$	2.6327
$\frac{1}{16}$	$2.8305\text{e}-05$	2.7305	$9.3321\text{e}-05$	2.7305

6. 结论

针对抛物型偏微分方程的数值求解问题，本文设计了一种基于变网格策略的连续时空有限体积元算法，通过构造Legendre和Lobatto点上的Lagrange插值多项式，并结合Gauss数值积分准则，形成了系统的理论分析体系。研究证明：该方法在不依赖网格限制条件下，严格保证了数值解的唯一存在性，同时达到了$L^{\infty }\left(L^2\right)$ 与$L^{\infty }\left(H^1\right)$ 模误差估计的理论最优阶。最后通过数值算例验证了所提格式的有效性。

基金项目

国家自然科学基金(12161034)，包头师范学院青年科研项目(BSYKJ2022-ZQ06)，自治区规划课题(NZJGH2023264, NZJGH2024327)。