一类具有无症状感染及接种疫苗的随机SAIRS传染病模型的平稳分布

The Stationary Distribution of a Stochastic SAIRS Infectious Disease Model with Asymptomatic Infections and Vaccination

摘要: 本文综合研究了一类无症状感染，有症状感染，以及接种疫苗的随机SAIRS传染病模型的平稳分布，首先证明了模型正解的存在唯一性。然后，利用构造Lyapunov函数的方法建立了参数${ℛ}_0^s$ ，并且证明了当${ℛ}_0^s>1$ 时，模型的解在${ℝ}_{+}^3$ 上存在一个唯一的平稳分布。最后，对本文主要研究内容进行了总结，发现${ℛ}_0^s$ 受到白噪声的影响，并且${ℛ}_0^s$ 小于等于确定型SAIRS模型的基本再生数${ℛ}_0$ 。

Abstract: This article comprehensively studies the stationary distribution of a stochastic SAIRS infectious disease model with asymptomatic infection, symptomatic infection, and vaccination. Firstly, we prove the existence and uniqueness of the positive solution of the model. Then, we established the parameters ${ℛ}_0^s$ by using the method of constructing Lyapunov function, and proven that when ${ℛ}_0^s>1$ , the solution of the model has a unique stationary distribution in ${ℝ}_{+}^3$ . Finally, we summarize the main results of this article and find that ${ℛ}_0^s$ is affected by white noise. In addition, ${ℛ}_0^s$ is less than or equal to the basic reproduction number ${ℛ}_0$ of the deterministic SAIRS model.

1. 引言

近二十年来，全球公共卫生领域面临了多次重大挑战，从严重急性呼吸综合征(SARS)到禽流感(H5N1)，甲型H1N1流感，中东呼吸综合征(MERS)，再到近年发生的新型冠状病毒肺炎(COVID-19)，多种传染病的暴发和流行给人类社会造成了巨大的健康危害，同时对社会经济造成了严重冲击。这充分表明传染病严重威胁着人类的生存和发展。为研究疾病的传播规律，学者们基于不同的传染病具有不同的传播特点，建立了多种仓室模型以模拟疾病的传播过程。例如，Robinson等[1]提出了一类在无症状感染的情况下出现耐药性的SAIRS模型，明确考虑无症状和有症状的感染个体的情况下，分析了流行病的动态是由基本再生数决定的。Ansumali等[2]在文献[1]基础上简化了模型，即假设康复者不会失去免疫力，且无症状和有症状个体的感染率相等，其康复率也相等。2022年Ottaviano等[3]在文献[1]的模型基础上提出了如下带有疫苗接种的SAIRS型传染病模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=\mu -\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\mu +\nu \right)S+\gamma R,\\ \frac{\text{d}A\left(t\right)}{\text{d}t}=\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)A,\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=\alpha A-\left({\delta }_I+\mu \right)I,\\ \frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}={\delta }_{A}A+{\delta }_{I}I+\nu S-\left(\gamma +\mu \right)R,\end{array}$ (1.1)

其中$S\left(t\right)$ 表示易感者，$A\left(t\right)$ 表示无症状感染者，$I\left(t\right)$ 表示有症状感染者，$R\left(t\right)$ 表示恢复者，$\mu$ 表示出生率和死亡率，${\beta }_A$ 表示易感者与无症状感染者的感染率，${\beta }_I$ 表示易感者与有症状感染者之间疾病的传播率，$v$ 表示疫苗接种率，$\gamma$ 表示恢复者丧失免疫力又重新回到易感人群的速率，$\frac{1}{\alpha }$ 表示无症状感染者出现症状的平均时间，${\delta }_A$ 表示无症状感染者的恢复率，${\delta }_I$ 表示有症状感染者的恢复率。

模型(1.1)的初值$\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)$ 属于集合$\Gamma =\left\{\left(S,A,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4|S+A+I+R=1\right\}$ ，其中${ℝ}_{+}^4$ 是${ℝ}^4$ 的非负象限。由于$S\left(t\right)+A\left(t\right)+I\left(t\right)+R\left(t\right)=1$ ，故模型(1.1)等价于下列三维模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=\mu -\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\mu +\nu +\gamma \right)S+\gamma \left(1-A-I\right),\\ \frac{\text{d}A\left(t\right)}{\text{d}t}=\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)A,\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=\alpha A-\left({\delta }_I+\mu \right)I,\end{array}$ (1.2)

其中模型(1.2)的初值$\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)$ 属于集合${\Gamma }_1=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3|S+A+I\le 1\right\}$ 。

此外，Ottaviano等[3]确定了模型(1.2)的无病平衡点$x_0=\left(S_0,A_0,I_0\right)=\left(\frac{\mu +\gamma }{\mu +v+\gamma },0,0\right)$ 以及地方病平衡点$x_1=\left(S^{*},A^{*},I^{*}\right)$ ，其中$S^{*}=\frac{\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)\left({\delta }_I+\mu \right)}{{\beta }_A\left({\delta }_I+\mu \right)+{\beta }_I\alpha }$ ，$A^{*}=\frac{\left({\delta }_I+\mu \right)}{\alpha }{I}^{*}$ ，$I^{*}=\frac{\alpha \left({\delta }_I+\mu \right)\left(\mu +\nu +\gamma \right)\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)}{\left({\beta }_A\left({\delta }_I+\mu \right)+{\beta }_I\alpha \right)\left(\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\gamma \right)\left({\delta }_I+\mu \right)+\gamma \alpha \right)}\left({ℛ}_0-1\right)$ ，且利用下一代矩阵方法[4]，通过${ℛ}_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)$ 建立了模型的基本再生数

${ℛ}_0=\left({\beta }_A+\frac{\alpha {\beta }_I}{{\delta }_I+u}\right)\frac{\gamma +\mu }{\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)\left(v+\gamma +\mu \right)}$ ,

并证明了当${ℛ}_0<1$ 时，模型(1.2)的无病平衡点是全局渐进稳定的；当${ℛ}_0>1$ 时，模型(1.2)的无病平衡点是不稳定的，存在一个唯一的地方病平衡点。

一方面，在现实世界中，疾病传播受众多随机因素的影响。因此学者们广泛关注随机模型的阈值问题[5]-[10]。研究发现随机扰动能够抑制疾病的传播[11]-[16]。例如，Zhao和Tan等[17] [18]研究了媒体报道对随机SIS传染病模型阈值动力学的影响。Nguyen等[19]提出了一类具有一般发病率的随机SIRS模型。Du [20]等研究了一类随机SIR传染病模型的持久与灭绝。Zhang和Zhang [21]给出了具有不同总人口规模的确定性和随机性SIQS传染病模型的阈值。

综上，在模型(1.2)的基础上，本文假设随机扰动的类型为白噪声，且与变量$S,A,I$ 成正比。因此得到模型(1.2)的随机模型：

$\{\begin{array}{l}\text{d}S\left(t\right)=\left[\mu -\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\mu +\nu +\gamma \right)S+\gamma \left(1-A-I\right)\right]\text{d}t+{\sigma }_{1}S\text{d}{B}_1\left(t\right),\\ \text{d}A\left(t\right)=\left[\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)A\right]\text{d}t+{\sigma }_{2}A\text{d}{B}_2\left(t\right),\\ \text{d}I\left(t\right)=\left[\alpha A-\left({\delta }_I+\mu \right)I\right]\text{d}t+{\sigma }_{3}I\text{d}{B}_3\left(t\right),\end{array}$ (1.3)

其中$B_i\left(t\right)\left(i=1,2,3\right)$ 表示相互独立的标准布朗运动，${\sigma }_i^2\left(t\right)\left(i=1,2,3\right)$ 表示随机扰动的强度。

文章剩余结构如下。在第二部分给出本文将会用到的定义和公式。第三部分，将证明模型(1.3)在状态空间${ℝ}_{+}^4$ 上存在唯一的全局正解。第四部分，首先构造随机模型(1.3)的阈值参数${ℛ}_0^s$ ，其次通过构造合适的Lyapunov函数将证明当${ℛ}_0^s>1$ 时，模型(1.3)在状态空间${ℝ}_{+}^4$ 上存在一个唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。第五部分，总结本文主要结论，并展望了将来的研究。

2. 预备知识

在本文中，设$\left(\Omega ,ℱ,{\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0},\mathbb{P}\right)$ 是一个完备的概率空间，其中${\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0}$ 满足右连续，且${ℱ}_0$ 包含所有$\mathbb{P}$ -null集。并记$a\wedge b=\min \left\{a,b\right\}$ 和$a\vee b=\max \left\{a,b\right\}$ 。

定义1 [22]

设$x\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 是Itô过程，并且满足下面的随机微分

$\text{d}x\left(t\right)=f\left(t\right)\text{d}t+g\left(t\right)\text{d}B\left(t\right)$

其中$f\in L^1\left({ℝ}_{+};{ℝ}^n\right)$ ，$g\in L^2\left({ℝ}_{+};{ℝ}^{n\times m}\right)$ 。令$V\left(x,t\right)\in C^{2,1}\left({ℝ}^n\times {ℝ}_{+};ℝ\right)$ ，则$V\left(x,t\right)$ 仍是Itô过程，其随机微分具有如下形式

$\text{d}V\left(x\left(t\right),t\right)=ℒV\left(x,t\right)\text{d}t+V_x\left(x,t\right)g\left(t\right)\text{d}B\left(t\right)a.s.$

其中

$ℒV\left(x,t\right)=V_t\left(x,t\right)+V_x\left(x,t\right)f\left(t\right)+\frac{1}{2}trace\left[g^T\left(x,t\right)V_{xx}g\left(x,t\right)\right]$

称上式为Itô公式。

3. 全局正解的存在唯一性

在这一节中，将通过构造合适的Lyapunov函数$V$ 来证明模型(1.3)正解的存在唯一性。首先，定义状态空间${ℝ}_{+}^3=\left\{x=\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {ℝ}^3:x_i>0,i=1,2,3\right\}$ 。下面证明模型(1.3)解的正不变集是${ℝ}_{+}^3$ 。

定理3.1.

对任意的初始值$\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ ，模型(1.3)在$t\ge 0$ 上存在唯一的解$\left(S\left(t\right),A\left(t\right),I\left(t\right)\right)$ ，且解$\left(S\left(t\right),A\left(t\right),I\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ 的概率为1，即对任意的$t\ge 0$ ，有$\left(S\left(t\right),A\left(t\right),I\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ a.s.。

证明 由于模型(1.3)的系数是局部Lipschitz连续的，则对任意的初值$\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ 和$t\in \left[0,{\tau }_e\right)$ ，模型(1.3)存在唯一的局部解，其中${\tau }_e$ 表示爆破时间。要想证得解是全局的，则只需证明${\tau }_e=\infty$ a.s.因此，令$k_0>1$ ，使得$\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)$ 在区间$\left[\frac{1}{k_0},k_0\right]$ 。对于任意的整数$k>k_0$ ，定义停时：

$t\in \left[0,{\tau }_e\right):S\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或A\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或I\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)$ ,

在本文中，令$\inf \varnothing =\infty$ 。显然，当$k\to \infty$ 时，${\tau }_e$ 是单调递增的。记${\tau }_{\infty }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\tau }_k$ ，则${\tau }_{\infty }<{\tau }_e$ a.s.。如果${\tau }_{\infty }=\infty$ a.s.，那么${\tau }_e=\infty$ a.s.。下面用反证法证明${\tau }_{\infty }=\infty$ 。设${\tau }_{\infty }\ne \infty$ ，则存在$T>0$ 和任意的$\epsilon \in \left(0,1\right)$ 使得

$\mathbb{P}\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$ .

因此存在整数$k_1>k_0$ 使得

$\mathbb{P}\left\{{\Omega }_k\right\}\ge \epsilon ,\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}k>k_1$ ,

其中${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$ 。

考虑${ℂ}^2$ -函数$V:{ℝ}_{+}^3\to ℝ$ ，

$V\left(S,A,I\right)=S-a-a\ln \frac{S}{a}+A-1-\ln A+I-1-\ln I$ ,

其中$a$ 是待定得常数。令$k\ge k_0$ 和$T$ 是任意的。根据Itô公式可得

$\text{d}V\left(S,A,I\right)=ℒV\left(S,A,I\right)\text{d}t+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(A-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)+{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)\text{}\text{}\text{}$ ,

其中

$\begin{array}{c}ℒV\left(S,A,I\right)=\mu -\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\mu +\nu +\gamma \right)S+\gamma \left(1-A-I\right)\\ -\frac{a\mu }{S}+a\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+a\left(\mu +\nu +\gamma \right)-a\gamma \left(1-A-I\right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2\\ +\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)S-\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)A-\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)\frac{S}{A}+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\\ +\alpha A-\left({\delta }_I+\mu \right)I-\alpha \frac{A}{I}+\left({\delta }_I+\mu \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ \le \mu +\gamma +\left[a\left({\beta }_A+\gamma \right)-\gamma -{\delta }_A-\mu \right]A+\left[a\left({\beta }_I+\gamma \right)-\gamma -{\delta }_I-\mu \right]I\\ +a\left(\mu +\nu +\gamma \right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\left({\delta }_I+\mu \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2.\end{array}$

令$a=\min \left\{\frac{\gamma +{\delta }_A+\mu }{{\beta }_A+\gamma },\frac{\gamma +{\delta }_I+\mu }{{\beta }_I+\gamma }\right\}>0$ ，故

$a\left({\beta }_A+\gamma \right)-\gamma -{\delta }_A-\mu \le 0$ , $a\left({\beta }_I+\gamma \right)-\gamma -{\delta }_I-\mu \le 0$ .

因此

$\begin{array}{c}ℒV\left(S,A,I\right)\le \mu +\gamma +a\left(\mu +\nu +\gamma \right)+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)+\left({\delta }_I+\mu \right)\\ +\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2,\end{array}$

且

$\begin{array}{c}\text{d}V\left(S,A,I\right)\le \mu +\gamma +a\left(\mu +\nu +\gamma \right)+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)+\left({\delta }_I+\mu \right)\\ +\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)\\ +{\sigma }_2\left(A-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)+{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)\\ =C++{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(A-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)+{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right).\end{array}$

其中$C=\mu +\gamma +a\left(\mu +\nu +\gamma \right)+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)+\left({\delta }_I+\mu \right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2$ 。因此对于任意的$k\ge k_1$ ，得到

则

令${\Omega }_k=\{{\tau }_k\le T\}$ ，显然有$\mathbb{P}\left\{{\Omega }_k\right\}\ge \epsilon$ ，则$\forall \omega \in {\Omega }_k$ 可知$S\left({\tau }_k,\omega \right),A\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right)$ 至少有一个等于$k$ 或$\frac{1}{k}$ 。则

$\begin{array}{c}V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),A\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\ge \min \left\{k-1-a\ln \frac{k}{a},\frac{1}{k}-a+\ln ak,k-1-\ln k\right\}\\ :=g\left(k\right).\end{array}$

所以

$\begin{array}{c}V\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)+CT\ge \mathbb{E}V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),A\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\\ \ge \mathbb{E}\left[1_{{\tau }_k}\left(\delta \right)V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),A\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\right]\\ \ge \epsilon g\left(k\right).\end{array}$

令$k\to \infty$ ，可知$\infty >V\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)+CT=\infty$ ，显然矛盾。因此${\tau }_{\infty }=\infty$ 。

4. 平稳分布的存在性

这一节，首先确定了阈值参数${ℛ}_0^{\text{s}}$ ，其次证明了当参数${ℛ}_0^{\text{s}}>1$ 时，模型(1.3)在空间${ℝ}_{+}^3$ 中存在一个唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。

引理4.1. [23]

如果存在一个具有正则边界的有界开域$U\in {ℝ}^l$ ，使得以下条件成立：

(i) 在定义域$U$ 及其邻域内，扩散矩阵$D\left(x\right)$ 的最小特征值非零。

(ii) 对任意的$x\in {ℝ}^l\backslash U$ 从$x$ 出发到达$U$ 的平均时间$\tau$ 是有限的，且对每个紧子集$K\subset {ℝ}^l$ 满足${\sup }_{x\in K}{E}^x\tau <\infty$ 。

那么马尔科夫过程$X\left(t\right)$ 有唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。

定理4.1.

假设随机模型(1.3)中决定疾病是否灭绝的阈值为：

${ℛ}_0^{\text{s}}:=\frac{\mu }{\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I\alpha }{{\delta }_I+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2}\right).$

则对于任意的初值$\left(S\left(0\right),A\left(0\right),I\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ ，当${ℛ}_0^{\text{s}}>1$ 时。疾病将持续存在，且模型(1.3)在${ℝ}_{+}^3$ 上存在一个唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。

证明 要证明定理4.1，则仅需要证明引理4.1的条件(i)和(ii)均成立即可。首先证明条件(i)。由模型(1.3)可知其扩散矩阵为

$D=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1^2{S}^2& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2^2{A}^2& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3^2{I}^2\end{array}\right]$ .

显然，矩阵$D$ 对于${ℝ}_{+}^3$ 中的任意紧子集都是正定的，因此条件(i)成立。

其次证明引理4.1的条件(ii)。定义

$V_1\left(S,A,I\right)=-\ln A\left(t\right)-a_1\ln I\left(t\right)-a_2\ln S\left(t\right)-a_3\ln S\left(t\right).$

其中$a_1,a_2,a_3$ 为待定正常数。根据Itô公式可得，

$\begin{array}{l}ℒV_1\left(S,A,I\right)=-{\beta }_{A}S-{\beta }_I\frac{SI}{A}-a_1\alpha \frac{A}{I}+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+a_1\left({\delta }_I+\mu \right)+a_1\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ -\left(a_2+a_3\right)\left[\frac{\mu }{S}-\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)-\left(\mu +\nu +\gamma \right)+\frac{\gamma \left(1-A-I\right)}{S}-\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right]\\ \le -2\sqrt{a_2\mu {\beta }_A}-3\sqrt[3]{a_1{a}_3{\beta }_I\alpha \mu }+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)+a_1\left({\delta }_I+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)\\ +\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+\left(a_2+a_3\right)\left(\mu +\nu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right).\end{array}$ (4.1)

令

$\begin{array}{l}{a}_1=\frac{{\beta }_I\alpha \mu }{{\left({\delta }_I+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)}^2\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)},\\ a_2=\frac{{\beta }_A\mu }{{\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}^2},\\ a_3=\frac{{\beta }_I\alpha \mu }{\left({\delta }_I+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right){\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}^2},\end{array}$

将$a_1,a_2,a_3$ 代入到(4.1)得到

$\begin{array}{l}ℒV_1\left(S,A,I\right)\le -\frac{{\beta }_A\mu }{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2}-\frac{{\beta }_I\alpha \mu }{\left({\delta }_I+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}+\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\\ +\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)\\ =-\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right).\end{array}$ (4.2)

其中

${ℛ}_0^{\text{s}}=\frac{\mu }{\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I\alpha }{{\delta }_I+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2}\right)$ .

接下来，定义$V_2\left(S,A,I\right)=V_1\left(S,A,I\right)+\frac{{\beta }_A\left(a_2+a_3\right)I}{\mu +{\delta }_I}$ ，根据(4.2)式，得到

$ℒV_2\left(S,A,I\right)\le -\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A.$ (4.3)

再定义$V_3\left(S,I\right)=-\ln S-\ln I$ ，$V_4\left(S,A,I\right)=\frac{1}{\theta +1}{\left(S+E+I\right)}^{\theta +1}$ 其中$\theta$ 充分小且$0<\theta <\frac{2\mu }{{\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2}$ 。根据Itô公式得到

$ℒV_3\left(S,I\right)=-\frac{\mu }{S}+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)-\frac{\gamma \left(1-A-I\right)}{S}-\alpha \frac{A}{I}+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)$ (4.4)

且

$\begin{array}{l}ℒV_4\left(S,A,I\right)={\left(S+A+I\right)}^{\theta }\left[\mu -\left(\mu +\nu +\gamma \right)S-\gamma \left(1-A-I\right)-\left({\delta }_A+\mu \right)A-\left({\delta }_I+\mu \right)I\right]\\ +\frac{\theta }{2}{\left(S+A+I\right)}^{\theta -1}\left[{\sigma }_1^2{S}^2+{\sigma }_2^2{A}^2+{\sigma }_3^2{I}^2\right]\\ \le {\left(S+A+I\right)}^{\theta }\mu -\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]{\left(S+A+I\right)}^{\theta +1}\\ \le L-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]{\left(S+A+I\right)}^{\theta +1}\\ \le L-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right),\end{array}$ (4.5)

其中$L={\sup }_{(S,A,I)\in {ℝ}_{+}^3}\left\{{\left(S+A+I\right)}^{\theta }\mu -\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]{\left(S+A+I\right)}^{\theta +1}\right\}<\infty .$

考虑${ℂ}^2$ -函数$\overline{V}:{ℝ}_{+}^3\to ℝ$ ，$\overline{V}\left(S,A,I\right)=k{V}_2\left(S,A,I\right)+V_3\left(S,I\right)+V_4\left(S,A,I\right)$ ，其中$k$ 是充分大的一个正常数且满足

$-k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+C\le -2.$ (4.6)

其中

$\begin{array}{l}C=\underset{(S,A,I)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)+{\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I+L\\ +\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\}.\end{array}$ (4.7)

此外，由于$\overline{V}\left(S,A,I\right)$ 在${ℝ}_{+}^3$ 上是连续的，且当$\left(S,A,I\right)$ 趋于$0$ 或$+\infty$ 时，均有$\overline{V}\left(S,A,I\right)=+\infty$ 。因此$\overline{V}\left(S,A,I\right)$ 在${ℝ}_{+}^4$ 内部可以取到最小值，设最小值点为$\left(S^{\ast },A^{\ast },I^{\ast }\right)$ 。

定义${ℂ}^2$ -函数$V:{ℝ}_{+}^3\to {ℝ}^{+}$ ，$V\left(S,A,I\right)=\overline{V}\left(S,A,I\right)-\overline{V}\left(S^{\ast },A^{\ast },I^{\ast }\right)$ 。根据(4.3)，(4.4)和(4.5)，可以得到

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,A,I\right)\le -k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A\\ -\frac{\mu }{S}+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)-\frac{\gamma \left(1-A-I\right)}{S}-\alpha \frac{A}{I}+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ L-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ \le -k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A\\ -\frac{\mu }{S}-\frac{\gamma \left(1-A-I\right)}{S}-\alpha \frac{A}{I}\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +L+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right).\end{array}$ (4.8)

下面，证明引理4.1中的条件(ii)成立，首先定义一个有界开域

$U_{\epsilon }=\left\{\epsilon <S<\frac{1}{\epsilon },\epsilon <A<\frac{1}{\epsilon },{\epsilon }^2<I<\frac{1}{{\epsilon }^2}\right\}$ ,

其中$0<\epsilon <1$ 且充分小。在集合${ℝ}_{+}^3\backslash U_{\epsilon }$ 中，在证明引理4.1中的条件(ii)成立时需选择充分小的$\epsilon$ 使得以下各式成立：

$-\frac{\mu }{\epsilon }+D\le -1$ ， (4.9)

$k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)\epsilon \le -1$ ， (4.10)

$-\frac{\alpha }{\epsilon }+D\le -1$ ， (4.11)

$-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\le -1$ ， (4.12)

$-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{2\theta +2}}+D\le -1$ ， (4.13)

其中

$\begin{array}{l}D=\underset{(S,A,I)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A\\ +L+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\}.\end{array}$

下面将把${ℝ}_{+}^3\backslash U_{\epsilon }$ 划分为6个区域：

$\begin{array}{l}{U}_1=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3:S\le \epsilon \right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}{U}_2=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3:A\le \epsilon \right\},\\ U_3=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3:A>\epsilon ,I\le {\epsilon }^2\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}{U}_4=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3:S\ge \frac{1}{\epsilon }\right\}\\ U_5=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3:A\ge \frac{1}{\epsilon }\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}{U}_6=\left\{\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3:S\ge \frac{1}{{\epsilon }^2}\right\}\text{}.\text{}\end{array}$

则${ℝ}_{+}^3\backslash U_{\epsilon }=U_1\cup U_2\cup U_3\cup U_4\cup U_5\cup U_6$ 。下面证明对任意$\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3\backslash U_{\epsilon }$ 有$ℒV\left(S,A,I\right)\le -1$ 成立，即证明在上述6个区域中，均有$ℒV\left(S,A,I\right)\le -1$ 成立。

(1) 对任意的$\left(S,A,I\right)\in U_1$ ，根据(4.8)和(4.9)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,A,I\right)\le -\frac{\mu }{S}-k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +L+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ \le -\frac{\mu }{\epsilon }+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.15)

(2) 对任意的$\left(S,A,I\right)\in U_2$ ，根据(4.6)，(4.7)，(4.8)和(4.10)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,A,I\right)\le -k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +L+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ \le -k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A+C\\ \le -1.\end{array}$ (4.16)

(3) 对任意的$\left(S,A,I\right)\in U_3$ ，根据(4.8)和(4.11)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,A,I\right)\le -\alpha \frac{A}{I}-k\left(\alpha +{\delta }_A+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({ℛ}_0^{\text{s}}-1\right)+k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +L+\left({\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I\right)+\left(2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I\right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ \le -\frac{\alpha }{\epsilon }+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.17)

(4) 对任意的$\left(S,A,I\right)\in U_4$ ，根据(4.8)和(4.12)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A+L+{\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I+2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.18)

(5) 对任意的$\left(S,A,I\right)\in U_5$ ，根据(4.8)和(4.12)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,A,I\right)\le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A+L+{\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I+2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.19)

(6) 对任意的$\left(S,A,I\right)\in U_6$ ，根据(4.8)和(4.13)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,A,I\right)\le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\left(A^{\theta +1}+I^{\theta +1}\right)\\ +k\left(a_2+a_3\right)\left({\beta }_A+\frac{{\beta }_I}{\mu +{\delta }_I}\right)A+L+{\beta }_{A}A+{\beta }_{I}I+2\mu +\nu +\gamma +{\delta }_I+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{2\theta +2}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.20)

因此，根据(4.15)~(4.20)，对充分小的$\epsilon$ 使得当$\left(S,A,I\right)\in {ℝ}_{+}^3\backslash U_{\epsilon }$ 时，均有

$ℒV\left(S,A,I\right)\le -1.$

故引理4.1的条件(ii)成立。则由引理4.1得到，模型(1.3)在${ℝ}_{+}^3$ 上存在唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。定理4.1证明完成。

5. 结论与展望

本文研究了一类综合无症状感染，有症状感染，以及接种疫苗的随机SAIRS传染病模型的平稳分布并证明了模型正解的存在唯一性。然后，利用构造Lyapunov函数的方法建立了参数${ℛ}_0^s$ ，并且证明了当${ℛ}_0^s>1$ 时，模型的解在${ℝ}_{+}^3$ 上存在唯一一个的平稳分布。另外，由确定性模型(1.2)的基本再生数和随机模型(1.3)的阈值可知：${ℛ}_0^s\le {ℛ}_0^{}$ ，且当${\sigma }_1\to 0\left(i=1,2,3\right)$ ，有${ℛ}_0^s\to {ℛ}_0^{}$ 。这意味着当白噪声的随机扰动较小时，随机模型在${ℝ}_{+}^3$ 上存在唯一的一个平稳分布，这一结果也是对确定型SAIRS模型的一个扩展。

最后，本文的研究内容并不全面，仍有诸多问题亟待深入探讨，并具有广阔的应用前景。未来的研究可以从以下几个方面展开：一是考虑构建更复杂的模型，例如将年龄结构、空间扩散以及脉冲控制等因素纳入模型框架，从而更准确全面地预测疾病灭绝的可能性。二是探索非连续性随机扰动对疾病传播的影响，本文主要关注的是连续的白噪声对疾病传播的影响，然而现实世界中，许多随机因素表现出非连续性，例如电报噪声或Levy噪声。未来研究可以探索非连续性随机扰动对疾病动力学行为的影响，例如，研究Levy噪声的跳跃幅度和频率如何影响疾病的爆发规模和传播速度。此外，还可以探索将随机模型应用于特定传染病(如COVID-19、流感等)的传播预测，为公共卫生决策提供依据。