基于能量–气动耦合的旋翼无人机运输能力量化模型与验证

Quantitative Modeling and Validation of Rotorcraft UAV Transport Capacity Based on Energy-Aerodynamic Coupling

摘要: 本文提出以“运输量(D = ML)”作为旋翼无人机运输能力的综合量化指标，结合能量守恒与空气动力学原理，构建基于通用参数的运输量计算模型。通过分析无人机功率分配、螺旋桨尺寸、载重量、风阻等参数的耦合关系，推导出运输量的量化公式，并揭示载重量与运输距离的动态平衡机制。研究发现，运输量与无人机携带能量、螺旋桨尺寸正相关，与自重、迎风面积负相关；载重增加时运输距离非线性下降，且存在最高效载重量(M最效)使运输量最大化。通过验证，模型计算结果与实际数据一致，表明该模型可为无人机选型与设计优化提供理论支持。

Abstract: This study proposes “Transport Metric (D = ML)” as a comprehensive quantitative indicator for evaluating the transport capacity of rotorcraft UAVs. By integrating the principles of energy conservation and aerodynamics, we developed a generalized parameter-based computational model to quantify transport capacity. Through an analysis of the coupling relationships among parameters such as UAV power allocation, propeller size, payload mass, and aerodynamic drag, we derived a quantitative formula for the transport metric and revealed a dynamic equilibrium mechanism between payload and transport distance. Key findings include: Positive correlations between transport metric and UAV energy reserves or propeller size; Negative correlations with UAV self-weight and frontal wind-facing area; A nonlinear decline in transport distance with increased payload, identifying an optimal payload mass (M_opt) that maximizes transport metric. Validation experiments confirmed the model’s consistency with empirical data, demonstrating its utility in UAV selection and design optimization.

1. 引言

旋翼无人机机动灵活、操作方便，正在被广泛运用到运输领域，解决“最后一公里”投送难题[1]。我国有成熟的无人机产业链，各类运输无人机技术日趋完善，为运输应用提供了丰富选项。但是，面对不同厂家、不同参数的大量可用机型，如何通过出厂参数准确测算运输能力，从而科学进行择优排序，可靠遂行运输任务，成为用户单位面临的一大难题。

当前，对旋翼无人机运输效能的研究还处在初步阶段。国外方面，Kamran Turkoglu等人提出一种具有VTOL能力的亚音速运输无人机的概念研究和原型设计，对大型四旋翼无人机运输效能作了模拟分析[2]。Donkyu Baek等人提出了一种无人机运输任务规划算法，能够使同样能耗下无人机完成运输任务最大化[3]。Campbell James F.等人以快递无人机为对象，提出一种解析不同类型无人机能耗与性能相互关系的模型[4]。国内方面，袁子怡等人使用模糊层次分析法对无人机运输效能进行评估，并尝试使用三解模糊数降低主观因素影响[5]。崔栋等人提出一种基于超效率平行网络数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)的民用无人机岛礁运输效能评估方法，相较经典CCR模型和平行网络DEA模型能使评估结果区分度更加明显[6]。张勇等人结合无人运输机任务和使用特点构建指标体系，使用模糊层次分析法对运输无人机效能进行评估[7]。

上述研究主要聚焦外部环境、任务因素、电池对旋翼无人机运输效能的制约与影响，属于间接性、反馈性的计算方法，直观性和可解释性还不够强。本文从旋翼无人机空气动力学物理原理出发，利用可查询、可测量的机械参数直接求解无人机运输能力，能够直观反映不同参数、机械规格对运输能力的影响，在运输无人机型开发、选型方面更有可参考性。

2. 对无人机运输能力的解析

运输能力通常指在一定时期内，运用各种运输工具和手段，将人员、装备、物资等从一个地点运送到另一个地点的能力，概括的讲，就是把“特定数量”的物资运送到“特定距离”的能力。

概括上述定义，可认为“运载数量M”和“运输距离L”这两项指标是表征无人机运输能力强弱的基本指标，不妨设两者的乘积为“运输量D”，其单位为“千克米”(kg∙m)或“吨千米”(t∙km)，作为衡量不同机型运输能力大小的主要指标。即：

$D=M\cdot L$ (1)

无人机出厂标定的动力参数通常包括最大载重量M_max、最大航程L_max、续航时间t、功率P、电池容量等参数，对同一无人机来说，通常载重量与运输距离是大致成反比的($M\propto L^{-1}$ )，即载重加大则可运输距离变小、反之载重减小则可运输距离增大；而由于无人机自身重量也占用载重能力，且发动机、电动机在不同载重下能量转化效率不同，因此载重量与运输不严格正反比。因此，厂家标定的最大载重量M_max、最大航程L_max是不计其他条件的各自极限值，只能用作取值范围，不能直接用来计算运输量[8]-[10]。

3. 运输量计算公式推导

根据空气动力学，无人机运输的过程就是为货物加装一个能推动空气的装置，通过向下、向后推动空气，实现货物升高后横向移动到目标点，消耗总做功量等于螺旋桨反向推进空气做功量之和。

设旋翼无人机输出功率为P，单位为瓦(W)；自重为M₀，单位为千克(kg)；负载货物质量为M，单位为千克(kg)；运输距离为L，单位为米(m)。根据能量守恒定律，无人机输出功率P被用来推动向上、向前做功，可分解为升力功率$P_{升力}$ 与推进功率$P_{推�}$ 之和[11]-[16]，即：

$P=P_{升力}+P_{推�}=\frac{\left(M+M_0\right)\cdot g\cdot v_{反推空气}}{{\eta }_{系�}}+\frac{F_{平均�阻}\cdot v_{�人机}}{{\eta }_{推�}}$ (2)

式中，$v_{反推空气}$ 为旋翼反推空气流出的速度，单位为米每秒(m/s)；$v_{�人机}$ 为无人机飞行速度，单位为米每秒(m/s)；${\eta }_{系�}$ 为系统效率、${\eta }_{推�}$ 为推进效率(输出功率的转化效率，通常设0.6~0.8之间)；$F_{平均�阻}$ 为无人机横向运输平均空气阻力，根据空气动力学，有：

$v_{反推空气}=\sqrt{\frac{2\left(M+M_0\right)\cdot g}{{\rho }_{空气密度}\cdot \pi R_{螺旋�}^2}}=K_1\cdot \sqrt{M+M_0}$ (3)

$F_{平均�阻}=\frac{1}{2}{\rho }_{空气密度}\cdot v_{�人机}^2\cdot A_{迎�面�}\cdot C_d=K_2\cdot v_{�人机}^2$ (4)

上式中，C_d为空气风阻系数，$R_{螺旋�}$ 为螺旋桨直径，单位为米(m)；$A_{迎�面�}$ 为无人机携货物飞行的迎风面积，单位为平方米(m²)；K₁、K₂为简化计算所取的综合系数[17] [18]，综上可得：

$P=K_1\cdot \frac{{\left(M+M_0\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}}+K_2\cdot \frac{v_{�人机}^3}{{\eta }_{推�}}$ (5)

将式(6)变形，可得：

$v_{�人机}^3=\left[P-K_1\cdot \frac{{\left(M+M_0\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}}\right]\cdot \frac{{\eta }_{推�}}{K_2}$ (6)

又因为：

$W=P\cdot t$ (7)

上式中，W是无人机携带能量总数，P是无人机输出功率，t是完成任务飞行时间，无人机可携带能量总数W是固定的，假设无人机在任务飞行中的功率P是恒定的(货物质量不发生变化且匀速飞行)，则有：

$L=v_{�人机}\cdot t=\sqrt[3]{\left[P-K_1\cdot \frac{{\left(M+M_0\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}}\right]\cdot \frac{{\eta }_{推�}}{K_2}}\cdot \frac{W}{P}$ (8)

由此可得，无人机运输量的函数式为：

$D\left(m\right)=ML=\frac{WM}{P}\cdot \sqrt[3]{\left[P-K_1\cdot \frac{{\left(M+M_0\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}}\right]\cdot \frac{{\eta }_{推�}}{K_2}}$ (9)

其中：$\{\begin{array}{l}{K}_1=\sqrt{\frac{2g}{{\rho }_{空气密度}\cdot \pi R_{螺旋�}^2}}\\ K_2=\frac{1}{2}{\rho }_{空气密度}\cdot A_{迎�面�}\cdot C_d\end{array}$

上述公式是对旋翼无人机简单模型的近似计算，主要用来反应不同参数、变量之间的函数关系，揭示无人机运输量主要决取于哪些因素；实践当中对不同结构类型的无人机(如四旋翼、六旋翼)在空气动力学方面有所不同，还需加入其它修正系数。

4. 变量分析

式(9)为无人机载重量计算公式，展示了载重量M与对应可达成运输量D的函数关系。通过公式，可以较直观地分析无人机各参数之间，以及各参数与运输量的关系。

4.1. 运输量与动力参数、载重量的关系

从式(9)可得，无人机运输量D与所携带能量总数W、系统效率$1/{\eta }_{系�}$ 、螺旋桨尺寸R正相关，这3个参数增大时运输量相应增大；与无人机自重M₀、迎风面积A负相关，这两个参数变小时运输量相应增大；与功率P、载货量M关系较复杂，存在最优区间。因此：

推论1：无人机携带能量越多，运输量越大；同等能量下，提高机械效率、增大螺旋桨尺寸、轻量化机身、改进风阻设计等措施可提高无人机运输量。

从式(2)来看，无人机功率P可分解为升力功率$P_{升力}$ 与推进功率$P_{推�}$ 之和，若取$P_{推�}$ 为0，将P全部用来提供升力，此时求得的M值为无人机最大载重量。联立(2)，(3)得：

$M_{\max }={\left(\frac{P\cdot {\eta }_{系�}}{K_1}\right)}^{\frac{2}{3}}-M_0$ (10)

式中，M_max为无人机最大可负载重量。由上式可得，无人机负载能力M与功率P、螺旋桨尺寸R正相关，且总负载(M + M₀)的1.5次幂与功率P、螺旋桨直径R均成正比，即：$\left(M+M_0\right)\propto P^{2/3}$ ，$\left(M+M_0\right)\propto R_{螺旋�}^{2/3}$ 因此：

推论2：提高功率、增大螺旋桨尺寸均可提高无人机载重量。

4.2. 载重量与飞行速度、运输距离关系

式(5)变形可得$v_{�人机}\propto {\left(P-P_{升力功率}\right)}^{1/3}$ ，体现了升力与推进功率的竞争关系。当载重M增大时，升力功率占比增加，导致可用于推进的功率减少，飞行速度下降。

式(6)展示了无人机飞行速度与载重量的关系，显然，载重量M与无人机飞行速度$v_{�人机}$ 的2次幂概略成线性负相关，即$\left(M+M_0\right)\propto v_{�人机}^2$ 。

式(8)展示了无人机载重量M与运输距离的关系，显然，运输距离L与载重量的2次方根(M + M₀)^1/2线性负相关，即$L\propto 1/{\left(M+M_0\right)}^{1/2}$ ，因此：

推论3：无人机动运输速度、运输距离与载重量负相关，且运输速度对载重量变化相对不敏感，载重每增加10%，无人机速度和运输距离分别下降约3%~5% (具体依赖气动参数)。

4.3. 最高效率载重量及相关因素分析

若以M、$v_{�人机}$ 为自变量，对式(5)求偏导∂P/∂M、∂P/∂v，并求导数等于0时的极值，可得方程：

$\frac{K_1{M}_{最效}\text{}{\left(M_{最效}+M_0\text{}\right)}^{\frac{1}{2}}}{2{\eta }_{系�}}=\frac{K_2{v}_{�人机}^3}{{\eta }_{推�}}$

再将式(6)与式(10)联立，消去$v_{�人机}^3$ ，可得：

$P=\frac{K_1\text{}{\left(M_{最效}+M_0\text{}\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}}\left(1+\frac{M_{最效}}{\sqrt{M_{最效}+M_0}}\cdot \frac{K_2}{{\eta }_{推�}}\right)$

式中，$M_{最效}$ 为最高效载重量。从上式可得，在无人机功率P确定的情况下，无人机载重量为$M_{最效}$ 概略与无人机迎风面的尺寸(系数K₂中的子系数$A_{迎�面�}$ )成反比，即$M_{最效}\propto 1/A_{迎�面�}^{1/2}$ ；与螺旋桨直径(系数K₁中的子系数$R_{螺旋�}$ )成正比，即$M_{最效}\propto R_{螺旋�}$ ，因此：

推论4：无人机最高效载重量由无人机功率、系统效率、自身重量、迎风面积、螺旋桨等参数相关；在确定功率下，无人机尺寸越小(迎风面积越小)，螺旋桨直径越大，最高效载重量越大。

5. 算例验证

选取现有无人机典型参数值，对式(9)“无人机运输量计算公式”和式(12)“最高效载重量计算公式”进行验证。

设旋翼无人机A在Z地执行运输任务，无人机及环境参数见表1：

Table 1. UAV and environmental parameters

表1. 无人机及环境参数

参数名称	功率	自重	系统效率	推进效率	螺旋桨半径	迎风面积	满功率飞行时间	空气密度	风阻系数
符号	P	M0	${\eta }_{系�}$	$H_{推�}$	R	A	t	ρ	Cd
数值	1000	2	0.7	0.65	0.15	0.1	3600	1.225	0.3
单位	W	kg	——	——	m	m^2	s	kg/m^3	h

5.1. 系数计算

升力系数：

$K_1=\sqrt{\frac{2g}{\rho \cdot \pi R^2}}=\sqrt{\frac{2\times 9.81}{1.225\times \pi \times {0.15}^2}}\approx 6.24$

风阻系数：

$K_2=\frac{1}{2}\rho \cdot A\cdot C_d=0.5\times 1.225\times 0.1\times 0.3\approx 0.0184$

5.2. 运输量公式计算验证

M值取从1到5的自然数，依次代入下式分别求解运输距离L和运输量D：

$L=v_{�人机}\cdot t=\sqrt[3]{\left[P-K_1\cdot \frac{{\left(M+M_0\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}\text{}}\right]\cdot \frac{{\eta }_{推�}}{K_2}}\cdot \frac{W}{P}$

$D\left(m\right)=ML=\frac{WM}{P}\cdot \sqrt[3]{\left[P-K_1\cdot \frac{{\left(M+M_0\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}\text{}}\right]\cdot \frac{{\eta }_{推�}}{K_2}}$

计算结果见表2：

Table 2. Simulation and Computational Results of Transport Metric

表2. 运输量模拟计算结果

载重量(kg)	运输距离(km)	速度(m/s)	运输量(kg∙m)
1	12.3	28.1	12.3
2	10.1	26.4	20.2
3	8.2	24.2	24.6
4	6.5	21.5	26
5	4.9	18	24.5

对计算结果进行图形分析，见图1：

Figure 1. Graphical analysis of transport metric simulation results

图1. 运输量模拟计算结果图形分析

从计算结果看：

1. 自重2 kg无人机可携带1 kg货物飞行12 km左右，与市场上相应参数无人机性能一致，表明该公式计算结果与实际值大体一致，验证了公式有效性；

2. 功率确定情况下，随着载重量增加，运输距离、飞行速度对应下降，但下降幅度较小，与推论3一致；

3. 运输量不同，同时，在载重量M取4 kg时，运输量取得了最大值26,000 kg∙m，验证了存在最高效载重量。

5.3. 最高效载重量公式计算验证

将相关参数代入式(12)：

$P=\frac{K_1{\left(M_{最效}+M_0\text{}\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\eta }_{系�}}\left(1+\frac{M_{最效}}{\sqrt{M_{最效}+M_0}}\cdot \frac{K_2}{{\eta }_{推�}}\right)$

利用代入逼近法求解近似值，可得$M_{最效}\approx 3.86\text{kg}$ 。在上面式(9)的验证计算中，M以自然数为取值范围，当取4 kg时对应运输量最大，与此处计算结果相一致，验证了公式的有效性。

6. 结论

本研究提出一种利用市面上无人机参数和可查询、可测量数据近似计算旋翼无人机运输量的数据模型，可用于量化评估不同参数旋翼无人机运输能力及运输效能评估。区别于传统的采集任务数据、人的使用反馈等建模方法，减少了主观因素影响，结果更精确、计算更简便。通过模拟通用旋翼无人机在不同运输负载下的运输量，可得到以下结论：

(1) 提高机械效率、增大螺旋桨尺寸、轻量化机身、改进风阻设计等措施可提高无人机运输量。

(2) 旋翼无人机运输速度对载重量变化相对不敏感，载重每增加10%，无人机速度和运输距离分别下降约3%~5% (具体依赖气动参数)。

(3) 在确定功率下，无人机尺寸越小(迎风面积越小)，螺旋桨直径越大，最高效载重量越大。

本文的工作有待进一步的完善与发展，在建模方面，一是对假设无人机功率、能量数是恒定的，实际上无人机功率在上升、降落等环节无人机功率是变化的，电池、燃料在不同使用强度下转化率也是可变的，可能导致理论计算值与实践数值有一定出入；二是本研究对个别环境参数，如多旋翼无人机不同螺旋桨之间的空气扰动影响作了简化或忽略，可能导致少数特定构型的多旋翼机型计算结果不够准确，下步还需深化研究。

基金项目

2024年军队某重大理论与现实问题研究项目。