D₅型电子李代数的单Quasi-Whittaker模

The Simple Quasi-Whittaker Modules for Electrical Lie Algebra of Type D₅

摘要: 本文主要对D₅型电子李代数的单Quasi-Whittaker模进行了分类，通过讨论Quasi-Whittaker模的极大真子模给出了Quasi-Whittaker模是单模的充要条件。

Abstract: In this paper, we mainly investigate the simple Quasi-Whittaker modules for electrical Lie algebra of Type D₅. We discuss the maximum proper submodules of electrical Lie algebra of type D₅ and obtain the classification of simple Quasi-Whittaker modules.

1. 引言

李代数的表示理论因其在理论物理中的重要应用而得到广泛关注。对于李代数的权表示，例如Harish-Chandar模、最高权模、Verma模等的分类，已有大量的研究成果。对于非权模的研究，如Whittaker模、$\mathfrak{h}$ -自由模、Quasi-Whittaker模等的分类，也有一些结果。例如，文献[1]-[4]研究了Virasoro代数、Heisenberg-Virasoro代数、Weyl代数等，无限维李代数的Whittaker模的分类。

Quasi-Whittaker模可以看作是Whittaker模的一种推广，它在构造和性质上更加灵活，能够适应更广泛的代数结构和表示理论研究。这是因为Quasi-Whittaker模的构造不依赖于三角分解，这使得它在处理某些非半单李代数时更具优势。2014年，Y. Cai等人提出了Quasi-Whittaker模的概念，并给出了Schrödinger代数的单Quasi-Whittaker模的分类[5]。2015年，X. Zhang和Y. Cheng证明了一个上局部有限模或是一个最高权模，或是一个Whittaker模，或是一个Quasi-Whittaker模。同时，他们还对Schrödinger代数的Whittaker模进行了分类[6]。之后，Quasi-Whittaker模的表示引起了一些研究者的兴趣，相关研究可参考文献[7]。但对于电子李代数的Quasi-Whittaker模的分类，目前尚未有相关研究。

本文主要研究$D_5$ 型电子李代数单Quasi-Whittaker模的分类，通过计算极大真子模给出了Quasi-Whittaker模为单模的充分必要条件。

2. 预备知识

本节主要介绍一些相关的基本概念。

在文献[8]中给出了$D_5$ 型电子李代数${\mathfrak{e}}_{D_5}$ 的结构，即${\mathfrak{e}}_{D_5}$ 有一组基

$\left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f,v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1,w_1^{-},w_2^{-},z\right\}$ ,

其对应李括积见表1。

Table 1. Lie bracket of ${\mathfrak{e}}_{{\text{D}}_5}$

表1. ${\mathfrak{e}}_{{\text{D}}_5}$ 的李括积

[ , ]	$e$	$p_2^{+}$	$p_1^{+}$	$h$	$p_1$	$p_2$	$p_3$	$p_1^{-}$	$p_2^{-}$	$f$	$v^{+}$	$v_1$	$v_2$	$v^{-}$	$w_2^{+}$	$w_1^{+}$	$w_1$	$w_1^{-}$	$w_2^{-}$	$z$
$e$	0	0	0	$-2e$	0	0	0	$-p_1^{+}$	$p_2^{+}$	$h$	0	0	0	$-v^{+}$	0	0	0	$w_1^{+}$	$-w_2^{+}$	0
$p_2^{+}$	0	0	$2e$	$-p_2^{+}$	$p_2^{+}$	0	$p_1^{+}$	$h-p_1$	$-2p_2$	$-p_2^{-}$	0	$v^{+}$	0	$-v_2$	0	0	$2w_1^{+}$	0	$w_1$	0
$p_1^{+}$	0	$2e$	0	$-p_1^{+}$	$-p_1^{+}$	$p_2^{+}$	0	$-2p_3$	$h+p_1$	$p_1^{-}$	0	0	$-v^{+}$	$-v_1$	0	0	2$w_2^{+}$	$w_1$	0	0
$h$	$2e$	$p_2^{+}$	$p_1^{+}$	0	0	0	0	$-p_1^{-}$	$-p_2^{-}$	$-2f$	$v^{+}$	0	0	$-v^{-}$	$w_2^{+}$	$w_1^{+}$	0	$-w_1^{-}$	$-w_2^{-}$	0
$p_1$	0	$-p_2^{+}$	$p_1^{+}$	0	0	$-2p_2$	$2p_3$	$p_1^{-}$	$-p_2^{-}$	0	0	$v_1$	$-v_2$	0	$w_2^{+}$	$-w_1^{+}$	0	$-w_1^{-}$	$w_2^{-}$	0
$p_2$	0	0	$-p_2^{+}$	0	$2p_2$	0	$-p_1$	$p_2^{-}$	0	0	0	$-v_2$	0	0	$-w_1^{+}$	0	0	0	$w_1^{-}$	0
$p_3$	0	$-p_1^{+}$	0	0	$-2p_3$	$p_1$	0	0	$p_1^{-}$	0	0	0	$-v_1$	0	0	$-w_2^{-}$	0	$w_2^{-}$	0	0
$p_1^{-}$	$p_1^{+}$	$-h+p_1$	$3p_3$	$p_1^{-}$	$-p_1^{-}$	$-p_2^{-}$	0	0	$-2f$	0	$v_1$	0	$-v^{-}$	0	0	$w_1$	$2w_2^{-}$	0	0	0
$p_2^{-}$	$p_2^{+}$	$2p_2$	$-h-p_1$	$p_2^{-}$	$p_2^{-}$	0	$-p_1^{-}$	$2f$	0	0	$-v_2$	$-v^{-}$	0	0	$w_1$	0	$2w_1^{-}$	0	0	0
$f$	$-2h$	$p_2^{-}$	$-p_1^{-}$	$2f$	0	0	0	0	0	0	$-v^{-}$	0	0	0	$-w_2^{+}$	$w_1^{-}$	0	0	0	0
$v^{+}$	0	0	0	$-v^{+}$	0	0	0	$-v_1$	$v_2$	$v^{-}$	0	$2w_2^{+}$	$2w_1^{+}$	$-w_1-z$	0	0	0	0	0	0
$v_1$	0	$-v^{+}$	0	0	$-v_1$	$v_2$	0	0	$v^{-}$	0	$-2w_2^{+}$	0	$w_1-z$	$-2w_2^{-}$	0	0	0	0	0	0
$v_2$	0	0	$v^{+}$	0	$v_2$	0	$v_1$	$v^{-}$	0	0	$-2w_1^{+}$	$-w_1+z$	0	$2w_1^{-}$	0	0	0	0	0	0
$v^{-}$	$v^{+}$	$v_2$	$v_1$	$v^{-}$	0	0	0	0	0	0	$w_1+z$	2$w_2^{-}$	$-2w_1^{-}$	0	0	0	0	0	0	0
$w_2^{+}$	0	0	0	$-w_2^{+}$	$-w_2^{+}$	$w_1^{+}$	0	0	$-w_1$	$w_2^{-}$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
$w_1^{+}$	0	0	0	$-w_1^{+}$	$w_1^{+}$	0	$w_2^{+}$	$-w_1$	0	$-w_1^{-}$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
$w_1$	0	$-2w_1^{+}$	$-2w_2^{+}$	0	0	0	0	$-2w_2^{-}$	$-2w_1^{-}$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
$w_1^{-}$	$-w_1^{+}$	0	$-w_1$	$w_1^{-}$	$w_1^{-}$	0	$-w_2^{-}$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
$w_2^{-}$	$w_2^{+}$	$-w_1$	0	$w_2^{-}$	$-w_2^{-}$	$-w_1^{-}$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

令$ℒ={\mathfrak{e}}_{D_5}$ ，$\mathcal{S}=span\left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}$ ，$\mathcal{G}=span\left\{v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1^{-},w_2^{-},z\right\}$ 。易知$\mathcal{G},ℛ$ 是$ℒ$ 的理想，且$\mathcal{G}$ 是一个极大理想，$ℒ$ 的中心$Z\left(ℒ\right)=ℂz$ 。文献[9]中，证明了$\mathcal{S}\cong \mathfrak{s}{\mathfrak{p}}_4$ ，$\mathcal{G}\cong \mathfrak{g}\left(T_4,c\right)$ ，其中$\mathfrak{s}{\mathfrak{p}}_4$ 为辛李代数，$\mathfrak{g}\left(T_4,c\right)$ 为二步幂零李代数。故有

引理2.1. [9] $D_5$ 型电子李代数

$ℒ=\mathcal{S}⋉\mathcal{G}\cong \mathfrak{s}{\mathfrak{p}}_4⋉\mathfrak{g}\left(T_4,c\right).$

定义2.1 [6] 设任意的$\varphi :\mathcal{G}\to ℂ$ 是一个李代数同态，我们将其称为Quasi-Whittaker函数。令V是一个$ℒ$ 模。

(i) 若存在一个非零向量$v\in V$ 满足$xv=\varphi \left(x\right)v$ ，对于$\forall x\in \mathcal{G}$ 均成立，则称v是一个Quasi-Whittaker向量。

(ii) 若V包含一个循环Quasi-Whittaker向量v，则称V是$ℒ$ 的一个Quasi-Whittaker模。

注2.1 由定义很容易得出，$\varphi \left(z\right)=0$ 。

引理2.2 若$\varphi$ 是一个零同态。则V是一个单Quasi-Whittaker模当且仅当他是一个单$\mathcal{S}$ -模。也就是说，$\mathcal{G}V=0$ 。

证明. 因为$\mathcal{G}$ 是$ℒ$ 的一个理想，所以$\left\{v|\mathcal{G}v=0\right\}$ 是一个$ℒ$ -子模。 □

定义$\varphi :\mathcal{G}\to ℂ$ 是一个非零李代数同态，定义一个一维$\mathcal{G}$ -模${ℂ}_{\varphi }=ℂw$ ，其中$xw=\varphi \left(x\right)w$ ，$zw=0$ ，$\forall x\in \mathcal{G}$ 。则

$M_{\varphi }=u\left(ℒ\right){\otimes }_{u\left(\mathcal{G}\right)}{ℂ}_{\varphi }.$

叫做$\varphi$ 的泛Quasi-Whittaker模。

对于$\mathcal{S}$ 的一组基$\left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}$ ，则$M_{\varphi }$ 有如下基

$\left\{h^{k_1}{\left(p_1\right)}^{k_2}{\left(p_2\right)}^{k_3}{\left(p_3\right)}^{k_4}{e}^{k_5}{f}^{k_6}{\left(p_2^{+}\right)}^{k_7}{\left(p_2^{-}\right)}^{k_8}{\left(p_1^{+}\right)}^{k_9}{\left(p_1^{-}\right)}^{k_{10}}w|k_i\in \mathbb{N},w\in V\right\}.$

若$\varphi :\mathcal{G}\to ℂ$ 是一个零同态，由引理1.2知，$M_{\varphi }$ 为单Quasi-Whittaker模当且仅当$M_{\varphi }$ 为单$\mathcal{S}$ -模。

引理2.3 对于$\forall x,y\in ℒ$ ，$n\in \mathbb{N}$ ，$\left[x,y^n\right]$ 由换位运算表2给出。

证明. 经过基础运算便可以得出。 □

Table 2. Multiplication table of $\left[x,y^n\right]$

表2. $\left[x,y^n\right]$ 换位运算表

$\left[x,y^n\right]$	$e^n$	${\left(p_2^{+}\right)}^n$	${\left(p_1^{+}\right)}^n$	$h^n$	${\left(p_1\right)}^n$
$v^{+}$	0	0	0	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{h}^{n-i}{v}^{+}$	0
$v_1$	0	$-n{\left(p_2^{+}\right)}^{n-1}$	0	0	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{\left(p_1\right)}^{n-i}{v}_1$
$v_2$	0	0	$-n{\left(p_1^{+}\right)}^{n-1}{v}^{+}$	0	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(p_1\right)}^{n-i}{v}_2$
$v^{-}$	$-n{e}^{n-1}{v}^{+}$	$-n{\left(p_2^{+}\right)}^{n-1}{v}_2$	$-n{\left(p_1^{+}\right)}^{n-1}{v}_1$	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)h^{n-i}{v}^{-}}$	0
$w_2^{+}$	0	0	0	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{h}^{n-i}{w}_2^{+}$	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{\left(p_1\right)}^{n-i}{w}_2^{+}$
$w_1^{+}$	0	0	0	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{h}^{n-i}{w}_1^{+}$	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(p_1\right)}^{n-i}{w}_1^{+}$
$w_1$	0	$-2n{\left(p_2^{+}\right)}^{n-1}{w}_1^{+}$	$-2n{\left(p_1^{+}\right)}^{n-1}{w}_2^{+}$	0	0
$w_1^{-}$	$-n{e}^{n-1}{w}_1^{+}$	0	$\begin{array}{l}-n{\left(p_1^{+}\right)}^{n-1}{w}_1\\ +n\left(n-1\right){\left(p_1^{+}\right)}^{n-2}{w}_1\end{array}$	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{h}^{n-i}{w}_1^{-}$	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{\left(p_1\right)}^{n-i}{w}_1^{-}$
$w_2^{-}$	$n{e}^{n-1}{w}_2^{+}$	$\begin{array}{l}-n{\left(p_2^{+}\right)}^{n-1}{w}_1\\ +n\left(n-1\right){\left(p_2^{+}\right)}^{n-2}{w}_1\end{array}$	0	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{h}^{n-i}{w}_2^{-}$	${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(p_1\right)}^{n-i}{w}_2^{-}$
$z$	0	0	0	0	0
$\left[x,y^n\right]$	${\left(p_2\right)}^n$	${\left(p_3\right)}^n$	${\left(p_1^{-}\right)}^n$	${\left(p_2^{-}\right)}^n$	$f^n$
$v^{+}$	0	0	$-n{\left(p_1^{-}\right)}^{n-1}{v}_1$	$-n{\left(p_2^{-}\right)}^{n-1}{v}_2$	$-n{f}^{n-1}{v}^{-}$
$v_1$	$-n{\left(p_2\right)}^{n-1}{v}_2$	0	0	$-n{\left(p_2^{-}\right)}^{n-1}{v}^{-}$	0
$v_2$	0	$-n{\left(p_3\right)}^{n-1}{v}_1$	$-n{\left(p_1^{-}\right)}^{n-1}{v}^{-}$	0	0
$v^{-}$	0	0	0	0	0
$w_2^{+}$	$n{\left(p_2\right)}^{n-1}{w}_1^{+}$	0	0	$\begin{array}{l}n{\left(p_2^{-}\right)}^{n-1}{w}_1\\ +n\left(n-1\right){\left(p_2^{-}\right)}^{n-2}{w}_1\end{array}$	$n{f}^{n-1}{w}_2^{-}$
$w_1^{+}$	0	$n{\left(p_3\right)}^{n-1}{w}_2^{+}$	$\begin{array}{l}-n{\left(p_1^{-}\right)}^{n-1}{w}_1\\ +n\left(n-1\right){\left(p_1^{-}\right)}^{n-2}{w}_1\end{array}$	0	$-n{f}^{n-1}{w}_1^{-}$
$w_1$	0	0	$-2n{\left(p_1^{-}\right)}^{n-1}{w}_2^{-}$	$-2n{\left(p_2^{-}\right)}^{n-1}{w}_1^{-}$	0
$w_1^{-}$	0	$-n{\left(p_3\right)}^{n-1}{w}_2^{-}$	0	0	0
$w_2^{-}$	$-n{\left(p_2\right)}^{n-1}{w}_1^{-}$	0	0	0	0
z	0	0	0	0	0

引理2.4 令w是一个Quasi-Whittaker向量，对于$w^{\prime }=uw,u\in u\left(ℒ\right)$ ，则对$\forall x\in y$ ，

$\left(x-\varphi \left(x\right)\right)w^{\prime }=\left[x,u\right]w.$

证明. 由定义可得$xw=\varphi \left(x\right)w$ ，$\forall x\in \mathcal{G}$ 。所以

$\left(x-\varphi \left(x\right)\right)w^{\prime }=\left(x-\varphi \left(x\right)\right)uw=xuw-u\varphi \left(x\right)w=xuw-uxw=\left[x,u\right]w.$ □

3. $ℒ$ 的单Quasi-Whittaker模的分类

本节将通过讨论$ℒ$ 的单Quasi-Whittaker模的极大真子模来对单Quasi-Whittaker模进行分类。

定义 $\varphi :\mathcal{G}\to ℂ$ 是一个非零李代数同态，$y\in \left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}$ ，构造集合

$\Phi \left(y\right)=\left\{x\in \left\{v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1,w_1^{-},w_2^{-},z\right\}|\left[x,y\right]\ne 0\right\},$

$Y=\left\{y\in \left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}|\varphi \left(x\right)=0,\forall x\in \Phi \left(y\right)\right\}.$

定理3.1 设w为一个循环Quasi-Whittaker向量，则

(i) 当$Y=\varnothing$ 时，则$M_{\varphi }$ 是不可约的；

(ii) 当$Y\ne \varnothing$ 时，则$V=C\left[Y\right]w$ 是$M_{\varphi }$ 的极大真子模。

证明. 设$u={\displaystyle \sum u_{i}w}$ 为Quasi-Whittaker向量，其中$u_i\in u\left(\mathcal{S}\right)$ 且$u_i=a\left(k_i\right){\left(p_2^{+}\right)}^{k_1^i}{\left(p_2^{-}\right)}^{k_2^i}{\left(p_1^{+}\right)}^{k_3^i}{\left(p_1^{-}\right)}^{k_4^i}{h}^{k_5^i}{\left(p_1\right)}^{k_6^i}{\left(p_2\right)}^{k_7^i}{\left(p_3\right)}^{k_8^i}{e}^{k_9^i}{f}^{k_{10}^i}$ ，$a\left(k_i\right)\in ℂ$ ；$i,k_j^i\in \mathbb{N}$ 。

令$\varphi :\mathcal{G}\to ℂ$ 是一个非零李代数同态，则对$\forall x\in \mathcal{G}$ ，有

$xu=\varphi \left(x\right)u.$

即

$\left(x-\varphi \left(x\right)\right)u=0,x\in \mathcal{G},$

另一方面，由引理2.4

$\left(x-\varphi \left(x\right)\right)u=\left[x,{\displaystyle \sum u_i}\right]w,x\in \mathcal{G},$

所以

$\left[x,{\displaystyle \sum u_i}\right]w=0.$

记$D_{\varphi }$ 为$\left\{v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1,w_1^{-},w_2^{-},z\right\}$ 中使得$\varphi \left(x\right)=0$ 的x的个数，则$0\le D_{\varphi }\le 8$ 。记$V_{D_{\varphi }}$ 表示该条件下的极大真子模。

(1) 当$D_{\varphi }=0$ 时，

将${\displaystyle \sum u_i}$ 按字典序$\left(p_2^{+},p_2^{-},p_1^{+},p_1^{-},h,p_1,p_2,p_3,e,f\right)$ 排列，设${\displaystyle \sum u_i}$ 的最高次项$u_0=a\left(k_0\right){\left(p_2^{+}\right)}^{k_1^0}{\left(p_2^{-}\right)}^{k_2^0}{\left(p_1^{+}\right)}^{k_3^0}{\left(p_1^{-}\right)}^{k_4^0}{h}^{k_5^0}{\left(p_1\right)}^{k_6^0}{\left(p_2\right)}^{k_7^0}{\left(p_3\right)}^{k_8^0}{e}^{k_9^0}{f}^{k_{10}^0}$ ，令$x=w_1$ ，则

$\left[w_1,{\displaystyle \sum u_i}\right]w=\left[w_1,{\displaystyle \sum a\left(k_i\right)}{\left(p_2^{+}\right)}^{k_1^i}{\left(p_2^{-}\right)}^{k_2^i}{\left(p_1^{+}\right)}^{k_3^i}{\left(p_1^{-}\right)}^{k_4^i}{h}^{k_5^i}{\left(p_1\right)}^{k_6^i}{\left(p_2\right)}^{k_7^i}{\left(p_3\right)}^{k_8^i}{e}^{k_9^i}{f}^{k_{10}^i}\right]w=0.$

由引理2.3得

$\begin{array}{l}\left[w_1,a\left(k_0\right){\left(p_2^{+}\right)}^{k_1^0}{\left(p_2^{-}\right)}^{k_2^0}{\left(p_1^{+}\right)}^{k_3^0}{\left(p_1^{-}\right)}^{k_4^0}{h}^{k_5^0}{\left(p_1\right)}^{k_6^0}{\left(p_2\right)}^{k_7^0}{\left(p_3\right)}^{k_8^0}{e}^{k_9^0}{f}^{k_{10}^0}\right]w\\ =-2a\left(k_0\right)k_1^0{\left(p_2^{+}\right)}^{k_1^0-1}{w}_1^{+}{\left(p_2^{-}\right)}^{k_2^0}{\left(p_1^{+}\right)}^{k_3^0}{\left(p_1^{-}\right)}^{k_4^0}{h}^{k_5^0}{\left(p_1\right)}^{k_6^0}{\left(p_2\right)}^{k_7^0}{\left(p_3\right)}^{k_8^0}{e}^{k_9^0}{f}^{k_{10}^0}w\\ =0.\end{array}$

由$\varphi \left(w_1^{+}\right)\ne 0$ ，所以$k_1^0=0$ 。同理可得$k_2^0=k_3^0=k_4^0=0$ 。由$u_0$ 是最高次项，任意$u_i$ 有形式

$u=\sum u_{i}w,u_i=a\left(k_i\right)h^{k_5^i}{\left(p_1\right)}^{k_6^i}{\left(p_2\right)}^{k_7^i}{\left(p_3\right)}^{k_8^i}{e}^{k_9^i}{f}^{k_{10}^i}.$

再将${\displaystyle \sum u_i}$ 按新字典序$\left(h,p_1,p_2,f,e,p_3\right)$ 排列，设${\displaystyle \sum u_i}$ 的最高次项$u_1=a\left(k_1\right)h^{k_5^1}{\left(p_1\right)}^{k_6^1}{\left(p_2\right)}^{k_7^1}{f}^{k_{10}^1}{e}^{k_9^1}{\left(p_3\right)}^{k_8^1}$ 。令$x=w_2^{+}$ ，则

$\left[w_2^{+},{\displaystyle \sum u_i}\right]w=\left[w_2^{+},{\displaystyle \sum a}\left(k_i\right)h^{k_5^i}{\left(p_1\right)}^{k_6^i}{\left(p_2\right)}^{k_7^i}{f}^{k_{10}^i}{e}^{k_9^i}{\left(p_3\right)}^{k_8^i}\right]w=0.$

由引理2.3得

$\begin{array}{l}\left[w_2^{+},a\left(k_1\right)h^{k_5^1}{\left(p_1\right)}^{k_6^1}{\left(p_2\right)}^{k_7^1}{f}^{k_{10}^1}{e}^{k_9^1}{\left(p_3\right)}^{k_8^1}\right]w\\ =a\left(k_1\right){\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k_5^1}\left(\begin{array}{c}{k}_5^1\\ i\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^i{h}^{k_5^1-i}{w}_2^{+}{\left(p_1\right)}^{k_6^1}{\left(p_2\right)}^{k_7^1}{f}^{k_{10}^1}{e}^{k_9^1}{\left(p_3\right)}^{k_8^1}w=0.\end{array}$

故

$\left(\begin{array}{c}{k}_5^1\\ i\end{array}\right)=0,k_1^1\ge i\ge 1.$

由$\varphi \left(w_2^{+}\right)\ne 0$ ，所以$k_5^1=0$ 。同理可得$k_6^1=k_7^1=k_{10}^1=0$ 。所以

$u={\displaystyle \sum u_{i}w},u_i=a\left(k_i\right){\left(p_3\right)}^{k_8^i}{e}^{k_9^i}.$

将$u_i$ 按新字典序$\left(p_3,e\right)$ 排列，${\displaystyle \sum u_i}$ 的最高次项$u_2=a\left(k_2\right){\left(p_3\right)}^{k_8^1}{e}^{k_9^1}$ 。令$x=w_1^{-}$ ，则

$\left[w_2^{+},{\displaystyle \sum u_i}\right]w=\left[w_2^{+},{\displaystyle \sum a\left(k_i\right)}{\left(p_3\right)}^{k_8^i}{e}^{k_9^i}\right]w=0.$

由引理2.3得

$\left[w_2^{+},a\left(k_2\right){\left(p_3\right)}^{k_8^1}{e}^{k_9^1}\right]w=-a\left(k_2\right)k_8^1{\left(p_3\right)}^{k_8^1-1}{w}_2^{-}{e}^{k_9^1}=0.$

由$\varphi \left(w_2^{-}\right)\ne 0$ ，所以$k_8^2=0$ 。同理可得$k_9^2=0$ 。

所以，当$\forall x\in \mathcal{G}$ ，$\varphi \left(x\right)\ne 0$ 时，$k_j^i=0$ 。则$V=a\left(k_i\right)w=ℂw$ ，即$M_{\varphi }$ 不可约，此时$Y=\varnothing$ 。

(2) 当$1\le D_{\varphi }\le 2$ 时，计算方法同(1)，则$V_{1,2}=V_0=ℂw$ ，此时$Y=\varnothing$ 。

(3) 当$D_{\varphi }=3$ 时，

(i) 若$\varphi \left(w_2^{+}\right)=\varphi \left(w_1^{+}\right)=\varphi \left(v^{+}\right)=0$ ，则$V_3=C\left[f\right]w$ ；

(ii) 若$\varphi \left(w_2^{-}\right)=\varphi \left(w_1^{-}\right)=\varphi \left(v^{-}\right)=0$ ，则$V_3=C\left[e\right]w$ ；

(iii) 若$\varphi \left(w_2^{+}\right)=\varphi \left(w_2^{-}\right)=\varphi \left(v_1\right)=0$ ，则$V_3=C\left[p_2\right]w$ ；

(iv) 若$\varphi \left(w_2^{-}\right)=\varphi \left(w_1^{-}\right)=\varphi \left(v^{-}\right)=0$ ，则$V_3=C\left[p_3\right]w$ ；

在上述条件下，$V_3\subseteq V=C\left[Y\right]w$ 。

(v) 其余情况$V_3=ℂw$ ，此时$Y=\varnothing$ 。

(4) 当$D_{\varphi }=4$ 时，

(i) $V_3\subseteq V_4$ 。而当$V_4$ 满足$V_3$ 的条件时，可以证得$V_4\cong V_3$ ；

(ii) 若$\varphi \left(w_2^{-}\right)=\varphi \left(w_1\right)=\varphi \left(v_1\right)=\varphi \left(v^{-}\right)=0$ ，则$V_4=C\left[p_2^{+}\right]w$ ；

(iii) 若$\varphi \left(w_1^{-}\right)=\varphi \left(w_1\right)=\varphi \left(v_2\right)=\varphi \left(v^{-}\right)=0$ ，则$V_4=C\left[p_1^{+}\right]w$ ；

(iv) 若$\varphi \left(w_2^{+}\right)=\varphi \left(w_1\right)=\varphi \left(v_1\right)=\varphi \left(v^{+}\right)=0$ ，则$V_4=C\left[p_2^{-}\right]w$ ；

(v) 若$\varphi \left(w_1^{+}\right)=\varphi \left(w_1\right)=\varphi \left(v_2\right)=\varphi \left(v^{-}\right)=0$ ，则$V_4=C\left[p_1^{-}\right]w$ ；

在上述条件下，$V_4\subseteq V=C\left[Y\right]w$ 。

(vi) 其余情况$V_4=ℂw$ ，此时$Y=\varnothing$ 。

(5) 当$D_{\varphi }=5$ 时，

(i) 若$\exists y\in \left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}$ ，使得$\varphi \left(x\right)$ 满足对使得$\left[x,y\right]\ne 0$ 的所有$x\in \left\{v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1,w_1^{-},w_2^{-},z\right\}$ ，均有$\varphi \left(x\right)=0$ ，此时可以构造出唯一极大真子模$V=C\left[Y\right]w$ ，且$Y\ne \varnothing$ 。

(ii) 若$\forall y\in \left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}$ ，使得$\varphi \left(x\right)$ 满足对使得$\left[x,y\right]\ne 0$ 的所有$x\in \left\{v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1,w_1^{-},w_2^{-},z\right\}$ ，存在$\varphi \left(x\right)\ne 0$ 。则$Y=\varnothing$ 。

(6) 当$6\le D_{\varphi }\le 8$ 时，

此时我们可以发现，当$D_{\varphi }=6$ 时，一共有$C_4^2{C}_5^4+C_4^3{C}_5^3=70$ 种情况满足存在唯一极大真子模$V=C\left[Y\right]w$ ，且$Y\ne \varnothing$ 。同理，$D_{\varphi }=7,8$ 时，也必定存在唯一极大真子模$V=C\left[Y\right]w$ ，且$Y\ne \varnothing$ 。所以当$6\le D_{\varphi }\le 8$ 时，一定存在至少一个$y\in \left\{e,p_2^{+},p_1^{+},h,p_1,p_2,p_3,p_1^{-},p_2^{-},f\right\}$ ，使得$\varphi \left(x\right)$ 满足对使得$\left[x,y\right]\ne 0$ 的所有$x\in \left\{v^{+},v_1,v_2,v^{-},w_2^{+},w_1^{+},w_1,w_1^{-},w_2^{-},z\right\}$ ，均有$\varphi \left(x\right)=0$ (其中所涉及的计算方法与(1)相同)。所以，我们至少可以取一个这样的$y$ 构造出当$6\le D_{\varphi }\le 8$ 时的唯一极大真子模$V=C\left[Y\right]w$ ，同时这样的$y$ 保证了$Y\ne \varnothing$ 。

综上所述，在情形(1)，(2)，(3) (v)，(4) (vi)，(5) (ii)中，$Y=\varnothing$ ，则$M_{\varphi }$ 是不可约的。反之，$Y\ne \varnothing$ ，则$V=C\left[Y\right]w$ 是$M_{\varphi }$ 的极大真子模。 □

由定理3.1，$ℒ$ 的不可约Quasi-Whittaker模有如下分类定理：

定理3.2 设$L$ 是$ℒ$ 的不可约Quasi-Whittaker模，则

(i) 若$Y=\varnothing$ ，则$L\cong M_{\varphi }$ 。

(ii) 若$Y\ne \varnothing$ ，则$L\cong M_{\varphi }/V$ ，其中$V=C\left[Y\right]w$ 。

NOTES

^*通讯作者。