基于OBE理念的多元统计分析课程教学设计探讨

Exploration into the Teaching Design of Multivariate Statistical Analysis Course Based on the OBE Concept

摘要: 基于大数据背景下应用型、创新型人才培养的需求，分析多元统计分析课程特点和当前课程教学中存在的问题，提出以OBE理念为指导的课程设计框架。设计相关辅助教学案例，借助常用SPSS统计软件，利用理论介绍和实际案例分析相结合的方法，探讨了基于成果导向教育(OBE)理念的多元统计分析课程教学设计。通过明确学习成果、优化教学内容、创新教学方法、构建多元化评价体系等措施，构建了以学生为中心、以能力培养为导向的教学模式。实践结果表明，基于OBE理念的课程设计能有效提高学生的学习效果和综合能力，为统计类课程教学改革提供了新的思路。

Abstract: Based on the demand for cultivating applied and innovative talents in the context of big data, this paper analyzes the characteristics of the multivariate statistical analysis course and the existing problems in current course teaching. It proposes a course design framework guided by the Outcomes-Based Education (OBE) philosophy. By designing relevant auxiliary teaching cases and utilizing the commonly used SPSS statistical software, the study combines theoretical introduction with practical case analysis to explore the teaching design of the multivariate statistical analysis course based on the OBE concept. Through measures such as clarifying learning outcomes, optimizing teaching content, innovating teaching methods, and constructing a diversified evaluation system, a student-centered, competency-oriented teaching model is established. Practical results show that the OBE-based course design effectively enhances students’ learning outcomes and comprehensive abilities, providing new insights for the reform of statistics-related course teaching.

1. 引言

在现代统计教育中，数据科学与统计分析应用领域的不断扩大，对于学生掌握高级统计方法和技术工具的需求日益增加。作为统计学的一个重要分支，多元统计分析主要研究多个随机变量之间的关联性以及其内在的统计规则。随着大数据时代的到来，多元统计分析作为数据处理和决策分析的重要工具，在各领域的应用日益广泛。然而，传统的多元统计分析课程教学往往偏重理论讲解，忽视实践应用，难以满足社会对统计人才的需求。成果导向教育(Outcome-Based Education, OBE)作为一种先进的教育理念，强调以学生的学习成果为导向，为课程教学改革提供了新的思路[1]。OBE (Outcome-Based Education，基于成果的教育)理念是一种以学生为中心的教育模式，它强调教育应以学生的实际学习成果为目标，而非仅仅关注传统的教学过程。OBE的核心在于强调学习成果的重要性，认为教育应该关注学生能够做什么，而不是他们知道什么。这种理念要求教育者在设计课程时，首先要明确学生毕业时应具备的知识、技能和素质，然后根据这些目标来设计教学计划和评价体系。教师逆向设计教学过程，即从最终的学习成果出发，反向规划教学活动和评估方式。这意味着要先确定希望学生达到的学习成果，然后设计如何通过教学活动实现这些成果，并制定相应的评价标准。设定具有挑战性的学习成果绩效标准，鼓励学生深入探索学习问题，接受挑战，以此激发学生的积极性与能动性。考虑学生的个性化需求，选择适合的教学方法，确保每个学生都有机会达成预期的学习成果。

所有的课程设计和教学活动都必须清晰地聚焦于预期的学习成果上。这包括知识、技能、态度等多方面的综合能力。教学目标、策略及评价方案的设计都要围绕如何帮助学生获得学习成果来进行。设定高标准的学习成果，鼓励学生追求卓越，同时也要提供必要的支持和资源以助其实现这些目标。为不同背景和能力的学生提供多样化的学习路径和支持，确保所有学生都能有机会成功。建立有效的反馈机制，定期评估教育效果，并据此调整教学策略，以不断优化教育质量。OBE理念不仅适用于工科、理科领域，也被广泛应用于文科等领域。例如，在《中日传统文化实践》课程建设中，结合OBE理念优化课程目标，细化课程思政内容，更新教学方法，并深化课程评价体系，从而更好地培养学生的创新能力、实践能力和跨文化交际能力。通过这样的实践，可以提高教学质量，增强学生的自主学习能力和团队合作精神，促进其全面发展。

大数据背景下，随着社会各领域的经济发展和多元化，多元统计分析方法逐渐得到重视和认可并在社会经济综合评价、宏观经济变量之间的相关关系、经济预测以及医学、教育学、生物学、地质学和体育等领域都有广泛的应用。多元统计分析涉及到高维数据处理，探讨多个指标之间的规律性。相关的理论内容对学生的数学基础要求很高，抽象理论难以理解，公式推导比较复杂，容易导致学生失去信心和兴趣。作为一门理论性和应用性兼备的具有比较高难度的课程，教师如何将深度理论与广泛实践相结合，激发学生的学习兴趣和参与度，提高教学效果，涉及到如何做好最优的课程教学设计问题。评估一种强调理论与实践相结合的新教学设计模式，利用SPSS这一流的数据分析软件作为教学工具，帮助学生更好地理解和掌握正态性检验和协方差检验的方法及其应用场景是对培养适应现代社会需求的数据分析人才具有重要意义。

2. 课程教学现状分析

多元统计分析作为统计学、经济学、医学、计算机等专业的核心课程，旨在通过学习多种多元统计分析方法的基本理念，塑造学生的计算技能、综合分析技能以及逻辑推理能力，使他们能够准确地将多元统计分析方法运用于实际项目之中。当前的教学设计和教学方法虽然不断在改善，但主要采用传统的理论讲解模式和单一考核方式，没有充分利用网络资源和线上线下混合式教学的特点，过度强调理论讲解，而忽视实践应用能力的提高，不重视考核方式的多样化，教学上存在基础课程和专业课程的学时安排不合理，导致重点内容讲解不充分，学生对基础知识掌握不够透彻，进而导致对多元统计分析的重点内容难以掌握。教学内容和教学大纲的设计也有待完善，过于偏重理论教学，实践教学的课时较少，理论和实践结合的效果较差，课堂教学对学生之吸引力与参与程度不高，学生对所学模型之实际运用能力并不理想，从而导致工作后实际操作能力相对薄弱。因此，需要对教学方法和教学设计进行调整，优化考核方式，更加注重实践教学，提高学生的实际应用能力[2]。目前，很多高校大力倡导OBE理念的教学设计与方法，这有助于有效提高课程教学改革的水平和质量。教学设计需要更充分地利用实践项目和案例分析等方式，加强学生的实际操作能力和问题解决能力，提高课程的实际应用性，以更好地培养应用型统计人才。

3. 课程目标分析

本课程的教学目的在于让学生熟练掌握多种多元统计方法的基本思想，数理统计原理的基础上，能够把大量的数据简化到人们能够处理的范围之内，对大量数据进行多元正态性检验与参数检验，能够构造综合指标代替原来的变量进行判别和聚类分析，能够对数学计算结果进行科学合理的解释并从专业背景上给予分析，重点掌握多元正态性的假设检验，聚类分析的几种方法，判别分析，主成分分析与因子分析的基本理论，能将统计分析方法应用至实际中去。能够运用统计计算方法分析社会经济现象数量方面的规律性，同时要求学生学会使用SPSS软件相关功能。

课程目标1：知识目标

通过本课程的学习学生了解多元统计分析的基本内容及应用领域，并掌握一些基本概念。理解多元随机向量，多元随机向量的数字特征及其性质，统计距离，掌握多元正态分布的定义与独立性的含义，多元正态总体和样本的均值和协方差的计算。解聚类分析的目的及其统计思想，了解八种系统聚类，快速聚类，模糊聚类等方法及其具体使用步骤。理解判别分析的目的和意义、统计思想，了解并熟悉判别分析的三种类型，特别是Bayes判别方法的统计思想。掌握主成分与因子分析推导步骤及其重要的基本性质，能够利用计算软件，自己编程解决实际问题并给出分析报告。熟悉数据处理中的样本标准化的处理步骤[3]。了解对应分析的统计原理，特别是定性变量定量化，解决社会科学中实际问题的基本思路了解计算软件程序中对应分析的基本内容。

课程目标2：技能目标

培养学生运用多元统计方法解决实际问题的能力和运用统计软件处理数据的能力，使学生能掌握对调查过程中收集来的数据资料进行整理、统计、分析的能力。掌握多元统计分析方法的基本理论及其特点、应用条件、检验及分析方法，适用场合，并能将具体的不同的多元统计方法应用到实践中去。根据理论学习，能应用现代化软件实现对研究对象进行多元统计分析过程的复杂运算并结果分析；培养学生解决实际问题的能力。学会运用SPSS进行各种多元统计运算和多元统计分析，了解宏观经济分析中常见的经济指标与统计研究的最新动态及手段，培养学生具有一定的运算能力，分析能力和软件操作能力。

课程目标3：素质目标

培养学生解决实际问题的基本意识与统计思想能力，逐步培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，自学能力，同时还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力，以及综合运用所学知识去收集数据、建立模型，从而分析问题和解决问题的能力，掌握定量分析技术，养成精确，简洁的数学符号思维的习惯。培养学生统计思维与分析能力，使其能够更深层次认识物质世界，尊重物质世界的客观规律，具有在工作岗位上用系统的发展的观点去认识问题分析问题的统计分析能力。

4. 基于SPSS软件的正态性检验和协方差检验的教学设计

教学设计是教学工作的全过程中最重要的一部分，直接影响教学效果。正态性检验和协方差检验是多元统计分析的重要知识点，涉及到本课程后续的多元统计分析方法的基本思路和相关假定问题，是进行更复杂数据分析的基础步骤，对于确保后续分析结果的有效性和可靠性至关重要的。基于SPSS软件的正态性检验和协方差检验的教学设计应该以实践为导向，通过实际案例分析引导学生激发学习兴趣的重要理论部分，确保学生能够掌握使用SPSS进行数据分析的技术，并理解这些统计检验背后的原理。下面介绍基于SPSS统计软件的多元随机向量正态性检验和协方差检验问题教学设计。

4.1. 教学目标设计

知识目标：能够掌握正态分布在多元统计分析中的重要性并能够识别并解释数据是否符合正态分布，熟悉相应的检验统计量并多元随机向量的正态性检验和协差阵检验过程，能够利用统计软件进行正态性检验和协方差检验并结果分析。

能力目标：多元随机向量的假设检验问题是主要对照一元正态分布均值和方差的假设检验，重点分析讨论利用三种重要统计量的分布进行多元随机向量的正态性检验和协方差检验，熟悉假设检验的基本步骤及其SPSS的应用，最后通过案例分析，提高学生数据分析能力。

素质目标：培养学生严谨的科学态度和逻辑思维能力。引导学生关注多元统计分析在实际生活中的应用，增强学生的社会责任感。

4.2. 教学资源与方法设计

以线上线下相结合模式为主，善于利用网络课程资源，课前安排通过网络视频学习做好课前预习，提供多元统计分析课程教材和参考文献电子版，教学课件与微课视频等相关网络资源，以便学生提前复习并掌握相关知识点。课上以讲授和多媒体演示为主，充分利用多媒体等现代化教学手段，多媒体教学和板书结合，并以实例为辅，对基本概念、原理、方法各种方法的特点、应用条件等理论进行详细的讲解。同时通过上机操作相关统计软件，对案例进行操作与分析演示。课后分组的形式安排作业，让学生讨论并复习重点内容，加强师生互动，共同收集一些实际案例引入课程，通过案例分析掌握好正态性检验和方差检验的基本原理和实际应用，引导学生独立思考与分析，在发现和解决问题过程中培养学习兴趣，培养解决实际问题的能力。

4.3. 教学过程设计

环节1 组织教学与复习提问

采用线上线下教学教学方法的综合运用，通过不同形式的考勤和互动调整好学生学习状态，引导学生进入上课状态。通过学习通推题对学生在教学网络平台上的视频及微课课件的预习情况和分组查阅资料情况进行检验，利用网络资源播放关于大数据参数检验相关的视频，引导学生认识到本次课程内容的重要性。

环节2 引入新课

通过实际检验问题的案例，引导学生掌握好SSS的非参数检验的实际意义及其应用。提问形式了解学生对非参数检验的了解与认识。用回顾形式简单复习正态分布的特点、为什么许多统计方法假设数据是正态分布的，以及违反此假设可能带来的影响和非参数检验过程。

环节3 讲解新课

多元统计分析[3]主要从多元随机向量及其分布出发，对多元正态分布的总体进行统计分析。类似于一元正态分布，多元正态分布在多变量统计学中同样占据着重要的地位。教学过程中首先介绍相关理论知识，突出重点，达到教学目标。下面首先介绍随机向量的正态检验和多元正态分布协方差检验的基本思想，再次通过案例分析说明SPSS统计软件在假设检验中的应用。

设随机向量$X=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)$ 服从多元正态分布，其多元密度函数为：

$f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{p}{2}}{\left|\Sigma \right|}^{\frac{1}{2}}}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(x-\mu \right)}^{\prime }{\Sigma }^{-1}\left(x-\mu \right)\right\}$

其中均值向量$\mu$ ，协方差$\Sigma$ (满足均值向量和协方差的性质)。

多元正态分布的密度函数在概率论与数理统计课程中的一元的连续性随机变量的正态密度函数的基础上推广为多元的，满足其概率密度性质。

(1) 正态性检验法

多元统计分析研究多个随机变量之间的依赖关系及其内在的统计规律。它通过同时考虑多个变量，从多元数据集中获取信息的统计方法。在解决实际问题过程中，许多随机向量一定程度上或者相对程度上服从正态分布，因此，利用多元统计分析方法进行数据分析时，首先对变量进行正态性检验。常用正态性检验法有以下几种：

一是图形法检验。绘制样本数据的直方图和正态概率图，通过目测判断数据是否符合正态分布。绘制样本数据的Q-Q图(Quantile-Quantile Plot)，将观测值的分位数与正态分布的理论分位数进行比较，若数据符合正态分布，点图应该沿着一条直线分布。绘制样本数据的箱线图，通过观察异常值和离群点的数量和位置来判断数据是否符合正态分布。

二是用统计量检验法。采用样本数据计算随机向量的实际累计概率$F\left(x_i\right)$ 与期望累计概率$S\left(x_i\right)$ 之差$D_i=\max \left|F\left(x_i\right)-S\left(x_i\right)\right|$ ，构造常用检验统计量Kolmogorov-Smirnov检验和Shapiro-Wilk检验等，以上统计量相应的p值大于置信水平a，则样本数据服从正态分布。

三是巴特利特球度检验。原假设H0：相关系数矩阵是单位阵。

KMO检验，常用的KMO度量标准

$\text{KMO}=\frac{{\displaystyle \sum _i{\displaystyle \sum _{j\ne i}{r}_{ij}^2}}}{{\displaystyle \sum _i{\displaystyle \sum _{j\ne i}{r}_{ij}^2}}+{\displaystyle \sum _i{\displaystyle \sum _{j\ne i}{p}_{ij}^2}}}$

KMO统计量为0.8以上非常适合；0.8适合；0.7一般；0.6不太适合；0.5以下极不适合。

(2) 多元随机向量的协方差检验

一个总体的情形下，设$X$ 是容量为$n$ 的一个样本，来自于$p$ 元正态分布$N_p\left(\mu ,\Sigma \right)$ ，${\Sigma }_0$ 已知的正定矩阵，要检验总体的协方差与给定的协方差是否相等问题，要建立的原假设为：

$H_0:\Sigma ={\Sigma }_0,H_1:\Sigma \ne {\Sigma }_0$

构造的检验统计量：

$M=\left(n-1\right)\left[\ln \left|{\Sigma }_0\right|-p-\ln \left|\widehat{\Sigma }\right|+tr\left(\widehat{\Sigma }{\Sigma }_0^{-1}\right)\right]$

式中：$\widehat{\Sigma }=\frac{L}{n-1}$ ，$L={\displaystyle \sum _{a=1}^n\left(X_{\left(a\right)}-\overline{X}\right){\left(X_{\left(a\right)}-\overline{X}\right)}^{\prime }}$

$\widehat{\Sigma }$ 是样本协方差阵，$L$ 是样本离差阵。关于统计量$M$ 的推证过程见参考文献[1]。

柯云(Korin 1968)已导出的极限分布和近似分布，并对小的$n$ 计算了表，当$p\le 10,n\le 75,\alpha =0.05$ 及$\alpha =0.01$ 时$M$ 的分位点$p>10$ 或$n>75$ 时，近似于$M\approx bF\left(f_1,f_2\right)$ ，记作：

$M\approx bF\left(f_1,f_2\right)$

其中：$\begin{array}{l}{D}_1=\frac{2p+1-\frac{2}{p+1}}{6\left(n-1\right)},D_2=\frac{\left(p-1\right)\left(p+2\right)}{6{\left(n-1\right)}^2},b=\frac{f_1}{1-D_1-\frac{f_1}{f_2}}\\ f_1=\frac{p\left(p+1\right)}{2},f_2=\frac{f_1+2}{D_2-D_1^2}\end{array}$ 。

当$F\ge F_{\alpha }\left(f_1,f_2\right)$ 时拒绝原假设，否则接受原假设。

上面讨论的检验$\Sigma ={\Sigma }_0$ 是帮助我们分析当前的波动幅度与过去的波动情形有无显著差异。但在实际问题中，我们往往面临多个总体，需要了解这多个总体之间的波动幅度有无明显的差异。例如在研究职工工资构成时，若按工业行业分组，就有采掘业、制造业、文化教育、金融保险等，不同行业间工资总额的构成存在波动，研究波动是否存在显著的差异，就是做行业间协方差阵相等性的检验[3]。

设有$r$ 个总体，从各个总体中抽取样品如下：

原假设$H_0:{\Sigma }_1={\Sigma }_2=\cdots ={\Sigma }_r$ (协方差$\Sigma$ 不相等)

$\begin{array}{l}{X}_1^{\left(1\right)},\cdots ,X_{n_1}^{\left(1\right)}~N_p\left({\mu }_1,{\Sigma }_1\right)\\ ⋮\\ X_1^{\left(r\right)},\cdots ,X_{n_r}^{\left(r\right)}~N_p\left({\mu }_r,{\Sigma }_r\right)\\ n=n_1+n_2+\cdots +n_r\end{array}$

此时要检的原假设为：

$H_0:{\Sigma }_1=\cdots ={\Sigma }_r,H_1:\left\{{\Sigma }_i\right\}不全相等$

要用的统计量是

$M=\left(n-r\right)Ln\left|\frac{L}{n-r}\right|-{\displaystyle \sum _{i=1}^r\left(n_i-1\right)Ln\left|\frac{L_i}{n_i-1}\right|}$

其中：

$\begin{array}{l}{L}_k={\displaystyle \sum _{i=1}^{n_k}\left(X_i^{\left(k\right)}-{\overline{X}}_k\right){\left(X_i^{\left(k\right)}-{\overline{X}}_k\right)}^{\prime }}\text{, }L={\displaystyle \sum _{k=1}^r{L}_i}\\ {\overline{X}}_k=\frac{1}{n_k}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n_k}{X}_i^{\left(k\right)}},k=1,\cdots ,r\end{array}$

当$r,p,n$ 不大且$n_1=n_2=\cdots =n_r=n_0$ 时，分布表中可以列出$M$ 的上$\alpha$ 分位点；若$r,p,n$ 较大且$\left\{n_i\right\}$ 互不相当时，分布表中未列出它们对应的临界值，此时可用$F$ 分布去近似，$M$ 近似遵从$bF\left(f_1,f_2\right)$ ，记为

$M\approx bF\left(f_1,f_2\right)$

其中：$f_1=\frac{p\left(p+1\right)\left(r-1\right)}{2},f_2=\frac{f_1+2}{d_2-d_1},b=\frac{f_1}{1-d_1\frac{f}{f_2}}$

$d_1=\{\begin{array}{l}\frac{2p^2+3p-1}{6\left(p+1\right)\left(r-1\right)}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{1}{n_i-1}}-\frac{1}{n-r}\right),至少有一对n_i\ne n_j\\ \frac{\left(2p^2+3p-1\right)\left(r+1\right)}{6\left(p+1\right)\left(n-r\right)},n_1=n_2=\cdots =n_r=n_0\end{array}$

$d_2=\{\begin{array}{l}\frac{\left(p-1\right)\left(p+2\right)}{6(r-1)}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{1}{{\left(n_i-1\right)}^2}}-\frac{1}{{\left(n-r\right)}^2}\right),至少有一对n_i\ne n_j\\ \frac{\left(p-1\right)\left(p+2\right)\left(r^2+r+1\right)}{6{\left(n-r\right)}^2},n_1=n_2=\cdots =n_r=n_0\end{array}$

当$F\ge F_{\alpha }\left(f_1,f_2\right)$ 时拒绝原假设，否则接受原假设。以上内容可以通过一元正态分布的假设检验过程推广到多元情形，相关证明可以忽略，讲清楚多元情形下的特点与区别。

环节4 演示与测试训练

提供一个现实世界的数据集，通过统计软件进行正态性检验与非参数检验，引导学生掌握统计软件的应用，让学生应用所学技能来判断该数据是否满足正态性假设，进一步掌握多元数据的方差齐性检验。

例1：在地质勘探中，在三个不同地区(地区A，地区B，地区C)采集了一些岩石，各地区抽取了5个样品，观测了3个指标，其样本部分化学成分如表1所示：

Table 1. Rock composition sample data from three different regions

表1. 三个不同地区岩石成分样本数据

area	SiO2	FeO	K2O
A	47.22	5.06	0.10
A	47.45	4.35	0.15
A	47.02	6.35	0.12
A	47.88	4.19	0.17
A	47.31	7.57	0.18
B	53.32	6.22	0.12
B	54.33	3.31	0.15
B	56.17	2.43	0.22
B	51.40	5.92	1.22
B	52.62	4.88	0.98
C	43.12	10.33	0.05
C	45.05	9.67	0.08
C	46.50	9.62	0.02
C	47.77	9.68	0.04
C	45.34	8.56	0.07

首先对三个指标做出正态性检验，要建立的原假设为总体分布与正态分布无显著的差异，选择用统计量检验法计算构造检验统计量Kolmogorov-Smirnov值验和Shapiro-Wilk值，利用SPSS统计软件(分析–描述统计–探索–带概率密度图)得到的结果如表2所示：

Table 2. Normality test

表2. 正态性检验

	柯尔莫戈洛夫–斯米诺夫(V)			夏皮洛–威尔克
	统计	自由度	显著性	统计	自由度	显著性
SiO2	0.266	15	0.005	0.916	15	0.168
FeO	0.152	15	0.200	0.936	15	0.339
K2O	0.394	15	0.000	0.579	15	0.000

以上结果给出了对每一个变量进行正态性检验的结果，因为该案例样本容量比较小，按小样本选择Shapiro-Wilk统计量，三个指标SiO₂，FeO，K₂O对应的Shapiro-Wilk统计量在显著性水平为$\alpha =0.05$ 下的p值分别为0.168，0.339，0.000。这表明岩石成分指标SiO₂，FeO的检验统计量的p值大于$\alpha =0.05$ ，因此SiO₂，FeO的总体分布与正态分布没有显著的差异，即服从正态分布。第三个成分指标K₂O的检验统计量的p值小于$\alpha =0.05$ ，总体分布与正态分布有显著的差异，即不服从正态分布。

因此下面用这两个变量进行协方差比较检验，并假定为两个变量组成的随机向量服从二元正态分布(尽管事实上可能并非如此)。SiO₂，FeO两个指标来衡量地质问题。下面对三个地区地质有关两个岩石成分指标进行协方差检验，原假设为$H_0:{\Sigma }_1={\Sigma }_2={\Sigma }_3$ (三个地区地质指标协方无显著差异)。利用SPSS统计软件(分析–一般线性模型–选项–齐性检验)结果如表3所示：

Table 3. Box’s test of homogeneity of covariance matrices

表3. 协方差矩阵的博克斯等同性检验

博克斯M	59.641
F	3.090
自由度1	12
自由度2	697.846
显著性	0.000

注：检验“各个组的因变量实测协方差矩阵相等”这一原假设。

以上结果表明，检验统计量是BoxsM，由检验统计量对应的p值小于$\alpha =0.05$ ，可以认定为三个地区岩石成分的协方差有显著的差异，即三个地区地质指标取值波动有显著差异。正态性检验与协方差检验在不同领域上广泛应用。如：

例2：某医药企业研发新药，需评估患者服药前后血压变化是否服从正态分布，以选择正确的统计检验方法(如t检验或非参数检验)。记录100名患者服药前后的收缩压数据。进行Shapiro-Wilk检验或Kolmogorov-Smirnov检验。若数据正态，采用配对样本t检验；若非正态，改用Wilcoxon符号秩检验。

例3：制造业质量控制(协方差检验应用)。某汽车零件厂需验证3条生产线生产的零件尺寸稳定性(假设不同生产线数据方差应一致)。每条生产线随机抽取50个零件，测量关键尺寸。Box’s M检验(多元)或Levene检验(单变量)若协方差齐性(p > 0.05)，可使用MANOVA分析生产线差异；若不齐，需采用稳健统计方法(如Welch’s ANOVA)。

例4：消费者行为研究(综合应用)。电商平台分析不同地区(华东/华南/华北)消费者的购买金额与频次是否存在显著差异，需先验证数据是否符合多元正态性及协方差齐性。Mardia检验或Q-Q图可视化。通过Box’s M检验判断三个地区的协方差矩阵是否一致。若满足条件，进行MANOVA；若不满足，改用非参数多元检验或分层分析。

环节5 课程小结

教师进行课程小结，正态性检验是多元数据统计分析的基础步骤，确保后续统计方法的适用性。协方差检验在多变量分析中尤为重要，选择适当的检验方法并正确解读结果，是保证分析准确性的关键。

环节6 课后作业安排

理论作业：学生现场对课后习题进行答题，同时激发学生本课程的兴趣和学习热情态度，提高学生解决实际问题的能力。利用网络教学平台，通过选择题、填空题等方式线上测试学生对理论知识的理解

项目作业：布置一个任务，要求学生选择一个包含多个变量的数据集，然后计算这些变量之间的协方差矩阵，并基于结果撰写简短报告，讨论变量间的关系。观察学生使用SPSS完成指定任务的过程，评价他们正确运用软件的能力，评估学生提交的关于正态性和协方差分析的报告，重点在于他们的数据分析能力和结论的合理性[4]。

反馈解答与改进：在课程结束时收集学生反馈，了解教学效果和需要改进的地方。根据反馈调整后续课程内容和教学方法，持续优化教学质量。提供在线资源和支持材料，如视频教程、指南文档等。定期安排复习课，解决学生遇到的问题。

4.4. 课程思政特色

通过在正态性检验和协方差检验课程中融入思政教育，不仅能够帮助学生掌握专业知识，还能培养他们的科学精神、社会责任感、创新思维和团队合作能力。同时，结合中国实际和文化背景，增强学生的文化自信和学科认同感，为培养德才兼备的统计学人才奠定坚实基础。正态性检验和协方差检验是统计学中重要的假设检验方法，其核心是通过数据分析和科学方法揭示客观规律。在讲解正态性检验时，结合实例说明数据分布对研究结论的影响，引导学生认识到科学研究的严谨性。强调创新思维在数据分析中的重要性，鼓励学生探索新的方法和技术。结合中国实际案例(如人口普查、经济数据分析)讲解正态性检验和协方差检验的应用，让学生认识到统计学在国家发展中的重要作用并增强学生的文化自信和学科认同感。在课程中设置小组作业，要求学生在小组中分工合作并展示成果，强调团队合作在科学研究中的重要性，培养学生的集体意识和合作能力。以上内容与本章的内容结合起来，让学生明白《实践是检验真理的唯一标准》的正确性。

4.5. 教学反思

反思项目	优点	缺点	改进方向
教学内容 的反思	课程内容涵盖了正态性检验和协方差检验的基本概念、常用方法及其应用场景，逻辑连贯通过实例演示帮助学生理解抽象概念，帮助学生建立正确的数据分析思维。	部分学生对正态性检验的适用条件理解不够深入。协方差检验的多变量性质较为复杂，部分学生难以理解Box’s M检验的原理和计算过程。	增加小样本和大样本数据的对比案例，帮助学生理解样本量对正态性检验结果的影响。结合图形化展示(如协方差矩阵的可视化)帮助学生理解。
教学方法 的反思	采用“理论讲解 + 实例演示”相结合的方式，帮助学生从理论到实践逐步掌握知识。使用统计软件进行演示，增强学生的实际操作能力。通过课堂提问和讨论，激发学生的思考，及时解决疑惑。	软件操作演示时间较短，部分学生未能完全掌握操作步骤。缺乏课后练习的详细讲解，学生对检验结果的分析和解释能力有待提高。	提供更详细的软件操作指南或录制操作视频，供学生课后复习。增加课后练习的讲解环节，重点讲解检验结果的解读方法和实际意义
学生学习 效果的反思	大部分学生能够理解正态性检验的基本概念和方法，并能独立完成简单的检验操作。对正态性检验和协方差检验的应用场景有了初步认识，能够意识到其在数据分析中的重要性。	学生对多变量协方差检验的理解较为薄弱，难以将其与实际研究问题联系起来。部分学生缺乏统计软件的操作经验，影响了学习效果。	通过分组讨论或案例分析，帮助学生将协方差检验与实际研究问题结合。提供统计软件的基础操作培训，降低学生的学习门槛。

5. 结论

(1) 教学有效性提升

通过理论讲解与实际操作相结合的教学方法，增加实际案例和数据分析练习，帮助学生更好地理解检验方法的应用，学生对正态性检验和协方差检验的理解显著加深。实践证明，当学生能够亲手操作并看到分析结果时，他们更容易掌握这些概念，并能更有效地应用于实际问题中[5]。可以设计问卷调查、进行测试、收集学生作业和项目报告等，并对数据进行统计分析。

(2) 学生参与度提高

调整课程节奏，确保学生能够跟上复杂内容的讲解，将教学内容设计为互动式学习体验，如案例研究、小组讨论和项目作业，不仅增加了学生的参与感，还促进了他们的主动学习和团队协作能力。这种积极参与有助于学生更好地理解和记忆所学知识。

(3) 技术技能的培养

通过引入SPSS软件的实际操作练习，结合案例研究和项目作业等互动式学习活动，不仅希望能够改善学生的理论知识水平，更重要的是要增强他们将所学知识应用于实践的能力[6]。学生在使用SPSS进行数据分析的过程中，逐渐掌握了如何导入数据、选择适当的统计测试、解读输出结果等技能。这不仅提高了他们处理数据的能力，也为将来从事相关领域的研究或工作打下了坚实的基础。

(4) 理论与实践的结合

研究显示，当学生能够将课堂上学到的理论知识直接应用到实践中时，他们对于统计原理的理解更加透彻。例如，在执行正态性检验时，学生不仅要理解为什么需要检查数据的正态分布，还要知道如何根据检验结果采取适当措施(如转换数据)来满足假设条件[7]。

(5) 多样化的评估方式

提供更多学习资源(如操作视频、练习题解析)，支持学生课后复习和巩固，采用多样化评估手段(如小测验、操作考核、项目报告)能够全面评价学生的学习成果。这种方式不仅能反映学生对理论知识的掌握程度，还能衡量他们实际解决问题的能力和技术操作水平。通过鼓励学生质疑数据、分析结果以及统计方法的有效性，教学设计有助于培养学生的批判性思维。这对于他们在面对复杂的数据分析任务时做出合理的判断至关重要。

基金项目

喀什大学2022校级教学改革研究项目(KJDY2203)；国家社科规划基金项目(项目编号：21BJL135)；新疆维吾尔自治区天池学者百人计划项目(项目编号：022022012)。