关于Benjamin-Bona-Mahony方程在无界域中全局吸引子存在性的注记

A Note to the Existence of Global Attractors for the Benjamin-Bona-Mahony Equation in Unbounded Domains

摘要: 本文证明了广义Benjamin-Bona-Mahony方程在三维通道中全局吸引子的存在性。该文处理了非线性项的增长阶数0 ≤ m < 2的情形，特别是证明解半群的渐近紧性时，运用高阶正则性，将解半群分解成两部分，从而获得解半群的渐近紧性。本文使用了不同的方法得到了证明了Wang-Fussner-Bi (J. Phys. A 40 (2007), no. 34, 10491-10504)中的结果。

Abstract: This paper proves the existence of a global attractor for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equation in a three-dimensional channel. The paper deals with the case of the growth order of the nonlinear term 0 ≤ m < 2, especially when proving the asymptotic compactness of the solution semigroup, it decomposes the solution semigroup into two parts by using higher-order regularity, thereby obtaining the asymptotic compactness of the solution semigroup. This paper re-proves the results in Wang-Fussner-Bi (J. Phys. A 40 (2007), no. 34, 10491-10504).

1. 引言

本文考虑定义在无界域$Q=\Omega \times ℝ$ 中的本杰明–博纳–马奥尼方程(Benjamin-Bona-Mahony equation)的全局吸引子的存在性，简称BBM方程，即

$u_t-\Delta u_t-\upsilon \Delta u+\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(u\right)=g\left(x\right),x\in Q,t>0.$ (1.1)

其中$u\left(x,t\right)$ 是未知函数，$\overrightarrow{F}\left(s\right)=\left(F_1\left(s\right),F_2\left(s\right),F_3\left(s\right)\right),s\in ℝ$是非线性向量满足某些增长条件的函数，$g\left(x\right)\in L^2\left(Q\right)$ 是一个给定的函数，与时间变量$t$ 无关，$\nu$ 是一个正常数。

上述的BBM方程(1.1)赋予边界条件

${u|}_{\partial Q}=0,t>0,$ (1.2)

和初始条件

$u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),x\in Q.$ (1.3)

另外，BBM方程(1.1)中的函数$F_k\left(s\right)\left(k=1,2,3\right)$ 是光滑函数，满足如下假设

$F_k\left(0\right)=0,\left|{F^{\prime }}_k\left(s\right)\right|\le c_1+c_2{\left|s\right|}^m,0\le m<2,s\in ℝ.$ 【K】

给定$G_k\left(s\right)={\displaystyle {\int }_0^s{F}_k\left(t\right)\text{d}t},f\left(s\right)={F^{\prime }}_k\left(s\right)$ ，则上述条件【K】满足：对于$k=1,2,3$ ，有

$\begin{array}{l}\left| f_k\left(s\right)\right|\le c_1+c_2{\left|s\right|}^m,\left|F_k\left(s\right)\right|\le c_1\left|s\right|+c_2{\left|s\right|}^{m+1},\\ \left|G\left(s\right)\right|\le c_1{\left|s\right|}^2+c_2{\left|s\right|}^{m+2}.\end{array}$ (1.4)

BBM方程最早是Benjamin、Bona和Mahony在1972年[1]提出来，用于描述长波的传播问题，包含

非线性色散和耗散效应的BBM方程。注意，对于原始的BBM方程，空间是一维的，非线性项

$F\left(u\right)=u+\frac{1}{2}{u}^2,g\equiv 0$ 。在这个意义上，本文研究的BBM方程也被称为文献中的广义BBM。对于广义的

BBM方程解的适定性问题，如解的存在性和唯一性问题，已得到了广泛的研究，并被应用于长波方程的初边值问题和非线性色散方程的弱解，见[2]-[11]。而对于基于一些不同的约束条件，研究了BBM方程的全局吸引子的存在性问题，比如非线性项的增长阶数，在一些适当的边界条件，或者在空间变量$x$ 所属的有界或无界域上。如果域是有界的，研究了BBM方程的全局吸引子方程的存在性，见[12]-[19]。如果域是无界的，则证明了BBM方程的全局吸引子的存在性，见[20]-[25]。

在[24]中，Wang、Fussner和Bi证明了对于任意$g\in L^2\left(Q\right)$ ，BBM方程存在一个全局吸引子，其中非线性项的增长阶严格小于2，即条件【K】。本文旨在对[24]中证明解半群的渐近进紧性的方法进行修正，采用不同的方法来证明结论成立。其中[24]中运用的尾端估计和高阶正则性的方法都可以证明非线性项小于2的情形，只是方法不同。本文中，首先，根据先验能量有界法建立解的适定性，通过Gronwall引理等技巧证明有界吸收集的存在性，见[26]-[29]。这是标准方法，在[24]和[30]中已有体现。其次，证明解半群的渐近紧性。因Sobolev紧性的缺失，加深半群渐近紧性的困难性，此时能量方法比较适用。在[24]中，关于解的尾部的均匀估计在证明渐近紧性方面发挥了重要作用。Ball等人研究了BBM方程解的适定性和渐近行为，见[26]-[31]。本文受[32] [33]的启发，采用高阶正则性去证明渐近紧性，通过证明BBM方程的解半群在比已知空间更高阶的空间内有界，进而得到在原空间中的收敛性，从而证明解半群是渐近紧性的。

1.1. 全局吸引子的存在性

在本文中，我们将研究三维通道中BBM方程的全局吸引子的存在性。为了证明一个全局吸引子的存在性，我们采用高阶正则性的方法，依据如下：

命题1.1. [31]-[33] 假设$\mathscr{H}$ 是Banach空间及$S\left(t\right)$ 是$\mathscr{H}$ 上的非线性$C_0$ -半群，满足以下条件：

(i) 存在有界吸收集${ℬ}_0$ ；

(ii) 对于任意$t\ge 0$ ，$S\left(t\right)$ 可以写成

$S\left(t\right)=S_1\left(t\right)+S_2\left(t\right),$ (1.5)

其中$S_1\left(t\right)$ 满足引理2.1，$S_2\left(t\right)$ 是$\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ 的连续映射，并且满足

${\mathcal{r}}_K\left(t\right)=\underset{\varnothing \in K}{\sup }{\Vert S_2\left(t\right)\varnothing \Vert }_{\mathscr{H}}\to 0,t\to +\infty ,$ (1.6)

其中$K$ 是$\mathscr{H}$ 中任一个有界吸收集。从而$\mathcal{A}$ 是全局吸引子。

本文主要结论如下。

定理1.1. 假设$g\in L^2\left(Q\right)$ 和条件【K】满足，则初边值问题(1.1)~(1.3)在$H_0^1\left(Q\right)$ 中有一个全局吸引子它是紧致不变的，并且吸引$H_0^1\left(Q\right)$ 范数的每一个有界集合。

证：根据定理2.1，半群${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在$H_0^1\left(Q\right)$ 中有一个有界吸收集。根据引理3.1可知，解$u$ 的一部分$\psi$ 随时间指数衰减到0；根据引理3.2可知，解$u$ 的另一部分$w$ 具有高阶正则性，即在更高阶的空间$H^{1+a}\left(Q\right)$ 内有界，从而序列${\left\{w\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在$H_0^1\left(Q\right)$ 内具有收敛子列。因$u=w+\psi$ ，从而说明解半群${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是渐近紧性的。因此，遵循命题1.1，可以证明方程(1.1)在$H_0^1\left(Q\right)$ 中存在一个全局吸引子。

注：本文结论与[24]的一样，但在证明解半群的渐近紧性时所采用的方法有所不同。[24]中通过尾端估计证明解半群的渐近紧性，本文采用高阶正则性的方法。

1.2. 本文的结构安排

本文的组织结构如下。我们将简要叙述BBM方程解的适定性，这是标准方法。通过能量方程法和Gronwall引理，我们证明了解的适定性及有界吸收集的存在性。本文主要为了证明解半群的紧性，我们引入高阶正则性的方法来处理无界域上Sobolev紧性的缺失，将方程的解半群分解，通过说明一部分是在时间趋于无穷时是无穷小的，另一部分是在时间趋于无穷时，在更高正则性的空间有界，从而说明半群渐近紧性的成立。

我们在此定义了一些本文证明用到的符号。我们用${\Vert \cdot \Vert }_{L^p\left(Q\right)}$ 和${\Vert \cdot \Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}$ 表示$L^p\left(Q\right)$ 和的$H_0^1\left(Q\right)$ 空间中的范数，定义为：

${\Vert u\Vert }_{L^p\left(Q\right)}^p={\displaystyle {\int }_Q{\left|u\left(t\right)\right|}^p\text{d}t}$ ,

和

${\Vert u\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2={\Vert u\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2.$

相应的内积分别记作${\left(\cdot ,\cdot \right)}_{L^2\left(Q\right)}$ 和${\left(\cdot ,\cdot \right)}_{ H_0^1\left(Q\right)}$ 。为了简化符号，用$\Vert \cdot \Vert$ 和$\left(\cdot ,\cdot \right)$ 分别表示$L^2\left(Q\right)$ 中的范数和相应的内积。证明过程中的字母$c$ 是一个通用的正常数。

2. 有界吸收集

在本节中，我们将研究BBM方程的在三维通道中存在有界吸收集。

引理2.1. 假设$g\in L^2\left(Q\right)$ ，则存在一个正常数$M_1$ ，仅取决于数据$\nu ,Q,g$ ，使得对于任何常数$M_0>0$ ，问题(1.1)~(1.3)遵循${\Vert u_0\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le M_0$ 的解$u$ 满足

${\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le M_1,\forall t\ge T_1,$

其中$T_1=T_1\left(v,Q,g,M_0\right)$ 。

并且，存在一个正常数$M_2$ ，仅取决于数据$\nu ,Q,g$ ，使得

${\Vert \frac{\text{d}u}{\text{d}t}\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le M_2,\forall t\ge T_2,$

其中$T_2=T_2\left(v,Q,g,M_0\right)$ 。

证：证明过程与[24]中类似。

根据引理2.1容易看出，在条件【K】下，BBM方程(1.1)~(1.3)的初边值问题在$H_0^1\left(Q\right)$ 中是适定的[22]。换句话说，对于每一个$u\in H_0^1\left(Q\right)$ ，问题(1.1)~(1.3)都有一个唯一的解，对于每个$T>0$ 的

$u\in C^0\left([0,+\infty ),H_0^1\left(Q\right)\right)$ 和$\frac{\text{d}u}{\text{d}t}\in L^{\infty }\left(0,T;H_0^1\left(Q\right)\right)$ 。因此，这是存在的一个与问题(1.1)~(1.3)相关联的解半群

${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 。这样对于每一个$t\ge 0,S\left(t\right):H_0^1\left(Q\right)\to H_0^1\left(Q\right)$ ，满足$S\left(t\right)u_0=u\left(t\right)$ 。

给定$ℬ=\left\{u\in \left(Q\right):{\Vert u\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le M_1\right\}$ 。通过引理2.1，我们在这里陈述以下定理。

定理2.1. 球$ℬ$ 是$H_0^1\left(Q\right)$ 中半群${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的有界吸收集。也就是说，对于$H_0^1\left(Q\right)$ 中的每个有界集$X$ ，都存在一个$T=T\left(X\right)$ ，使得$S\left(t\right)X\in B$ ，$\forall t\ge T$ 。

3. 半群的渐近紧性

在本节我们考虑利用尾端估计和高阶正则性去证明解半群的渐近紧性。设$u$ 即是方程(1.1)式满足条件(1.2)~(1.4)式的解。现在将方程的解分解为$u=\psi +w$ ，其中第一项$\psi$ 满足(3.1)式，需要证明当时间趋于无穷时，在能量空间$H_0^1\left(Q\right)$ 中收敛到0；而第二项$w$ 满足(3.2)式，需要证明当时间大于某个值时，在一个更高正则性的空间一致有界，从而根据高阶正则性，我们可以得到解半群${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的渐近紧性。具体操作如下：我们将(1.1)式中的外力项分解为$g\left(x\right)=g_1\left(x\right)+g_2\left(x\right)$ ，其中$g_1\left(x\right)$ 满足当$t\to t_0$ 时，$g_1\left(x\right)\to 0,g_2\left(x\right)\in L^2\left(Q\right)$ ；非线性项分解为$\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(u\right)=\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(\psi \right)+\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(w\right)$ ，并且满足条件【K】。这样的分解是处理反应扩散方程渐近紧性的常用技巧，根据初始条件特殊的选取方式，可以让分解的两部分证明起来都比较方便，这将在后续的证明过程中体现。

考虑起始条件满足(1.1)~(1.4)式的BBM方程，$u$ 即是方程的解。同时分解为$u=\psi +w$ ，这里$\psi$ 是以下方程初值问题的解

(3.1)

而解$u$ 的另一部分$w$ 满足

(3.2)

对于这两部分，我们有如下结论：

引理3.1. 假设(3.1)式成立且$g_1\left(x\right)\to 0$ ，当时间趋于无穷时。对于任何常数$R_1>0$ ，问题(1.1)~(1.3)遵循${\Vert {\phi }_0\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le R_1$ 的解$u$ 的一部分$\psi$ 满足

${\Vert \psi \left(t\right)\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le 0,\forall t\ge T_3,$ (3.3)

当$T_3\to \infty$ 时成立。

证：证明思路与[24]中引理2.1类似。

将(3.1)式中的方程与$\psi$ 在$H_0^1\left(Q\right)$ 上作内积，再根据初值边界条件(1.2)得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \psi \Vert }^2+{\Vert \nabla \psi \Vert }^2\right)+\nu {\Vert \nabla \psi \Vert }^2+\left(\nabla \cdot \overrightarrow{F}\left(\psi \right),\psi \right)=\left(g_1\left(x\right),\psi \right).$ (3.4)

设$\overrightarrow{G}={\displaystyle {\int }_0^s\overrightarrow{F}\left(\tau \right)\text{d}\tau }$是$\overrightarrow{F}$的不定积分，则有$\nabla \cdot \overrightarrow{G}\left(\psi \right)=\overrightarrow{F}\left(\psi \right)\cdot \nabla \psi$ 。运用边界条件(3.4)并使用分部积分，我们有

${\left(\nabla \cdot \overrightarrow{F}\left(\psi \right),\psi \right)}_{L^2\left(Q\right)}=-{\left(\overrightarrow{F}\left(\psi \right),\nabla \psi \right)}_{L^2\left(Q\right)}=-{\displaystyle {\int }_Q\nabla \cdot \overrightarrow{G}\left(\psi \right)\text{d}x}=0.$ (3.5)

通过Poincaré不等式，我们有

${\Vert \nabla \psi \Vert }^2=\frac{1}{2}{\Vert \nabla \psi \Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \nabla \psi \Vert }^2\ge \frac{1}{2}{\Vert \nabla \psi \Vert }^2+\frac{1}{2{\lambda }^2}{\Vert \psi \Vert }^2$ (3.6)

其中$\lambda$ 是正常数。

接下来，我们现在考虑(3.4)的右侧。通过Hölder不等式，我们有

$\left|\left(g_1\left(x\right),\psi \right)\right|\le \Vert g_1\Vert \Vert \psi \Vert \le \frac{\nu }{4{\lambda }^2}{\Vert \psi \Vert }^2+\frac{{\lambda }^2}{\nu }{\Vert g_1\Vert }^2,$ (3.7)

其中$\lambda >0,C_1>0$ 是常数。

根据(3.5)~(3.7)式，能量方程式(3.4)式得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \psi \Vert }^2+{\Vert \nabla \psi \Vert }^2\right)+\frac{\nu }{2}{\Vert \nabla \psi \Vert }^2+\frac{\nu }{2{\lambda }^2}{\Vert \psi \Vert }^2\\ \le \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \psi \Vert }^2+{\Vert \nabla \psi \Vert }^2\right)+\nu {\Vert \nabla \psi \Vert }^2+\left(\nabla \cdot \overrightarrow{F}\left(\psi \right),\psi \right)\\ =\left(g_1\left(x\right),\psi \right)\\ \le \frac{\nu }{4{\lambda }^2}{\Vert \psi \Vert }^2+\frac{{\lambda }^2}{\nu }{\Vert g_1\Vert }^2,\end{array}$ (3.8)

化简得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert \nabla \psi \Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)+\nu \left(\frac{1}{2{\lambda }^2}{\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert \nabla \psi \Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)\le \frac{2{\lambda }^2}{\nu }{\Vert g_1\Vert }^2.$ (3.9)

现设$\eta =\min \left(1,\frac{1}{2{\lambda }^2}\right)$ 。对于所有的$t\ge 0$ ，我们都

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \psi \Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2+\nu \eta {\Vert \psi \Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2\le \frac{2{\lambda }^2}{\nu }{\Vert g_1\Vert }^2,$ (3.10)

其中$\lambda ,\nu$ 为正常数。

由Gronwall引理得

$\begin{array}{c}{\Vert \psi \Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2={\text{e}}^{-\nu \eta t}\cdot {\Vert {\psi }_0\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2+t{\text{e}}^{-\nu \eta t}\frac{2{\lambda }^2}{\nu }{\Vert g_1\left(x\right)\Vert }^{2}u\\ ={\text{e}}^{-\nu \eta t}\cdot {\Vert {\psi }_0\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2+\frac{\nu \eta t}{{\text{e}}^{\nu \eta t}}\cdot \frac{2{\lambda }^2}{{\nu }^2\eta }{\Vert g_1\left(x\right)\Vert }^2\\ \le {\text{e}}^{-\nu \eta t}{R}_1^2+\frac{2{\lambda }^2}{{\nu }^2\eta }{\Vert g_1\left(x\right)\Vert }^2.\end{array}$ (3.11)

当$t\ge T_3 \to \infty$ 时，${\text{e}}^{-\nu \eta t}\to 0,\Vert g_1\left(x\right)\Vert \to 0$ ，则

${\Vert \psi \Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}^2\le 0.$ (3.12)

即$\psi$ 随时间呈指数衰减。证毕。

下面证明解$u$ 的另一部分$w$ 具有高阶正则性，即证明$w$ 在更高正则性的空间内有界。在证明之前，我们需要先做如下定义。

我们用$H^s=D{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}$ ，$s\in ℝ$ ，来表示具有以下范数的希尔伯特空间

${\Vert u\Vert }_{H^s\left(Q\right)}={\left({\displaystyle {\int }_Q{\left(1+{\left|\xi \right|}^{2s}{\left|\widehat{u}\left(\xi \right)\right|}^2\right)}^2\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{2}},$ (3.13)

这里$\widehat{u}$ 表示Fourier变换

$\widehat{u}\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_Q{\text{e}}^{-ix\cdot \xi }u\left(x\right)\text{d}x}.$ (3.14)

对于任意的$a\ge 0$ ，通过Fourier变换定义分数阶微分算子${\Lambda }^a$ ，

$\widehat{{\Lambda }^{a}u}={\left|\xi \right|}^a \widehat{u}\left(\xi \right).$ (3.15)

特别地，如果$a=2$ ，那么${\Lambda }^a$ 得到的是拉普拉斯(Laplace)算子$-\Delta$ ，则有${\Lambda }^2=-\Delta$ ，即$\Lambda =\sqrt{-\Delta }$ 。从

而，对于$0<a<\frac{1}{2}$ ，

$\begin{array}{c}{\Vert w\Vert }_{H^a\left(Q\right)}^2={\Vert w\Vert }_{D{\left(-\Delta \right)}^{\frac{a}{2}}}^2\\ =\left({\left(-\Delta \right)}^{\frac{a}{2}}u,{\left(-\Delta \right)}^{\frac{a}{2}}u\right)\end{array}$ (3.16)

$\left({\Lambda }^{\frac{a}{2}}u,{\Lambda }^{\frac{a}{2}}u\right)={\Vert w\Vert }_{D\left({\Lambda }^a\right)}^2={\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2$ .

同理，可得

${\Vert w\Vert }_{H^{1+a}\left(Q\right)}^2= {\Vert {\Lambda }^{1+a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2.$ (3.17)

再根据引理2.1可知，$\psi ,u$ 在$H_0^1\left(Q\right)$ 内有界。而$w=u-\psi$ ，故$w$ 在$H^a\left(Q\right)$ 内有界，即

${\Vert w\Vert }_{H^a\left(Q\right)}^2\le {\rho }_0,$ (3.18)

其中${\rho }_0$ 为正常数。

引理3.2 假设(3.2)式满足且$g_2\in L^2\left(Q\right)$ 。如果存在一个正常数$M_3$ ，仅取决于数据$\nu ,Q,g$ ，使得对于任何常数$R_1>0$ ，问题(1.1)~(1.3)遵循${\Vert w_0\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)}\le R_1$ 的$w$ 满足

${\Vert w\left(t\right)\Vert }_{H_0^{1+a}\left(Q\right)}\le M_3,\forall t\ge T_1,$ (3.19)

其中$C=C\left(v,Q,g,M_0\right)$ 。

证：将 (1.1)式中的方程与${\Lambda }^{2a}w \left(a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)\right)$ 在$L^2\left(Q\right)$ 上作内积得

$\begin{array}{l}{\left(w_t,{\Lambda }^{2a}w\right)}_{L^2\left(Q\right)}-{\left(\Delta w_t,{\Lambda }^{2a}w\right)}_{L^2\left(Q\right)}-\nu {\left(\Delta w,{\Lambda }^{2a}w\right)}_{L^2\left(Q\right)}\\ +{\left(\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(u\right)-\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(\psi \right),w\right)}_{L^2\left(Q\right)}={\left(g_2\left(x\right),{\Lambda }^{2a}w\right)}_{L^2\left(Q\right)},\end{array}$ (3.20)

即

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)+\nu {\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\\ +\left(\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(u\right)-\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(\psi \right),{\Lambda }^{2a}w\right)=\left(g_2\left(x\right),{\Lambda }^{2a}w\right).\end{array}$ (3.21)

因

$\begin{array}{c}\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(u\right)-\nabla \cdot \stackrel{\rightharpoonup }{F}\left(\psi \right)={\stackrel{\rightharpoonup }{F}}^{\prime }\left(u\right)\cdot \nabla u-{\stackrel{\rightharpoonup }{F}}^{\prime }\left(\psi \right)\cdot \nabla \psi \\ =\left(f\left(u\right)-f\left(\psi \right)\right)\cdot \nabla u+f\left(\psi \right)\cdot \nabla w,\end{array}$ (3.22)

则(3.21)式可化为

$\begin{array}{c} \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)+\nu {\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\\ =-\left(\left(f\left(u\right)-f\left(\psi \right)\right)\cdot \nabla u,{\Lambda }^{2a}w\right)-\left(f\left(\psi \right)\cdot \nabla w,{\Lambda }^{2a}w\right)\\ +\left(g_2\left(x\right),{\Lambda }^{2a}w\right).\end{array}$ (3.23)

对(3.23)右边第一项中非线性函数项运用莱布尼茨公式得

$\begin{array}{c}\left|-\left(\left(f\left(u\right)-f\left(\psi \right)\right)\cdot \nabla u,{\Lambda }^{2a}w\right)\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_Q\left(f\left(u\right)-f\left(\psi \right)\right)\cdot \nabla u\cdot {\Lambda }^{2a}w\text{d}x}\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_Q{f}^{\prime }\left(\xi \right)\cdot w\cdot \nabla u\cdot {\Lambda }^{2a}w\text{d}x}\right|\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_Q{c}_2\left(1+\left|u\right|+\left|\psi \right|\right)\cdot w\cdot \nabla u\cdot {\Lambda }^{2a}w\text{d}x}\right|\\ \le c_2{\displaystyle {\int }_Q\left|\nabla u\right|\cdot \left|w\cdot {\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}+c_2{\displaystyle {\int }_Q\left|u\right|\cdot \left|\nabla u\right|\cdot \left|w\cdot {\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\\ +c_2{\displaystyle {\int }_Q\left|\psi \right|\left|\nabla u\right|\cdot \left|w\cdot {\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}.\end{array}$ (3.24)

其中$\xi \in \left(\psi ,u\right)$ ，$c_2$ 是正常数。

事实上，因$a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ ，所以$2a\le a+1$ ，从而有${\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^2}\le {\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}$ 。而根据Sobolev嵌入定理，即

$H^1\left(Q\right)$ ↪$L^p\left(Q\right)$ ，$2\le p\le 6$ ，它遵循

${\Vert u\Vert }_p\le c{\Vert u\Vert }_{H_0^1\left(Q\right)},\forall u\in H_0^1\left(Q\right),2\le p\le 6,$ (3.25)

其中$c=c\left(p\right)$ 是一个正常数。从而(3.24)式的最后一个不等式中的各项可得

$\begin{array}{c}{c}_2{\displaystyle {\int }_Q\left|\nabla u\right|\cdot \left|w\cdot {\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\le c_2{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2\left(Q\right)}\cdot {\Vert w\cdot {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}\\ \le c_3{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2\left(Q\right)}\cdot {\Vert w\cdot {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^3\left(Q\right)}\\ \le c_3{\Vert \nabla u\Vert }_{H^1\left(Q\right)}\cdot {\Vert w\cdot {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^3\left(Q\right)}\\ \le c_4{\Vert w\cdot {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^3\left(Q\right)}\\ \le c_5{\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le \frac{2}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{2{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.26)

其中$c_2~c_5$ ，$v$ 为正常数。

$\begin{array}{c}{c}_2{\displaystyle {\int }_Q\left|u\right|\cdot \left|\nabla u\right|\cdot \left|w\cdot {\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\le c_2{\Vert u\Vert }_{L^6}\cdot {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}\cdot {\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le c_6{\Vert u\Vert }_{H^1}\cdot {\Vert u\Vert }_{H^1}\cdot {\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le c_7{\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le \frac{2}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{2{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.27)

其中$c_6,c_7,\nu$ 为正常数。

$\begin{array}{c}{c}_2{\displaystyle {\int }_Q\left|\psi \right|\left|\nabla u\right|\cdot \left|w\cdot {\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\le c_2{\Vert \psi \Vert }_{L^6}\cdot {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}\cdot {\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le c_8{\Vert \psi \Vert }_{H^1}\cdot {\Vert u\Vert }_{H^1}\cdot {\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le c_9{\Vert w\Vert }_{L^{\frac{6}{1-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{1+2a}}}\\ \le \frac{2}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{2{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.28)

其中$c_8,c_9,\nu$ 为正常数。

根据(3.26)~(3.28)式，(3.24)式可化为

$\begin{array}{c}\left|-\left(\left(f\left(u\right)-f\left(\psi \right)\right)\cdot \nabla u,{\Lambda }^{2a}w\right)\right|\le 3\left(\frac{2{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\right)\\ \le {\rho }_1+\frac{3\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (3.29)

其中${\rho }_1,R_1,\nu$ 为正常数。

对(3.23)右边第二项，我们有

$\begin{array}{l}\left|-\left(f\left(\psi \right)\cdot \nabla w,{\Lambda }^{2a}w\right)\right|\\ ={\displaystyle {\int }_{Q}f\left(\psi \right)\cdot \nabla w\cdot {\Lambda }^{2a}w\text{d}x}\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_Q{c}_{10}\left(1+{\left|\psi \right|}^2\right)\nabla w\cdot {\Lambda }^{2a}w\text{d}x}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_Q{c}_{10}\left|\nabla w\right|\cdot \left|{\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_Q{c}_{10}{\left|\psi \right|}^2\cdot \left|\nabla w\right|\cdot \left|{\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\end{array}$ (3.30)

同理，对(3.24)式的最后一个不等式中的各项分别运用Hölder不等式和Sobolev嵌入定理得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_Q{c}_{10}\left|\nabla w\right|\cdot \left|{\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\le c_{10}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^2}\\ \le c_{11}{\Vert w\Vert }_{H^1}\cdot {\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}\\ \le \frac{2}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{2{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.31)

其中$c_{10},c_{11},\nu ,{\rho }_0$ 为正常数。

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_Q{c}_{10}{\left|\psi \right|}^2\cdot \left|\nabla w\right|\cdot \left|{\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\le c_{10}{\Vert {\left|\psi \right|}^2\Vert }_{L^3}\cdot {\Vert \nabla w\Vert }_{L^{\frac{6}{3-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{3+a}}}\\ \le c_{12}{\Vert {\left|\psi \right|}^2\Vert }_{H^1}\cdot {\Vert \nabla w\Vert }_{L^{\frac{6}{3-2a}}}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^{\frac{6}{3+a}}}\\ \le c_{13}{\Vert w\Vert }_{H^1}\cdot {\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}\\ \le \frac{2}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{2{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.32)

其中$c_{12},c_{13},\nu ,{\rho }_0$ 为正常数。

根据(3.31)，(3.32)式，(3.30)式可化为

$\begin{array}{c}\left|-\left(f\left(\psi \right)\cdot \nabla w,{\Lambda }^{2a}w\right)\right|\le 2\left(\frac{2}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\right)\\ \le \frac{4}{\nu }{\Vert w\Vert }_{H^1}^2+\frac{\nu }{4}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{4{\rho }_0{}^2}{\nu }+\frac{\nu }{4}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le {\rho }_2+\frac{\nu }{4}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.33)

其中${\rho }_2,R_1,\nu$ 为正常数。

同理，对(3.23)右边第三项，我们有

$\begin{array}{c}\left|\left(g_2\left(x\right),{\Lambda }^{2a}w\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_Q{g}_2\left(x\right)\cdot {\Lambda }^{2a}w\text{d}x}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_Q\left|g_2\left(x\right)\right|\left|{\Lambda }^{2a}w\right|\text{d}x}\\ \le c_{14}{\Vert g_2\left(x\right)\Vert }_{L^2}\cdot {\Vert {\Lambda }^{2a}w\Vert }_{L^2}\\ \le \frac{2}{\nu }{\Vert g_2\left(x\right)\Vert }_{L^2}^2+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2\\ \le {\rho }_3+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2,\end{array}$ (3.34)

其中$c_{14},{\rho }_3,\nu$ 为正常数。

根据(3.30)，(3.33)，(3.34)式，(3.23)式可化为

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)+\nu {\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\\ \le {\rho }_1+\frac{3\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2+{\rho }_2+\frac{\nu }{4}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2+{\rho }_3+\frac{\nu }{8}{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (3.35)

化简得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)+\frac{\nu }{2}\left({\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\right)\\ \le 2\left({\rho }_1+{\rho }_2+{\rho }_3\right)\le \rho ,\end{array}$ (3.36)

其中$\rho$ 为正常数。

由Gronwall引理得

${\Vert {\Lambda }^{a}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2+{\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\le C,$ (3.37)

其中$C=C\left(\rho \right)>0$ 为常数。

根据(3.18)即

式得

${\Vert {\Lambda }^{a+1}w\Vert }_{L^2\left(Q\right)}^2\le C-{\rho }_0{}^2,$ (3.38)

即

${\Vert w\Vert }_{H^{1+a}}^2\le M_3$ . (3.39)

从而$w$ 具有高阶正则性。证毕。

4. 讨论

本文主要研究了$H_0^1\left(Q\right)$ 上方程全局吸引子的存在性，此时非线性项的增长阶严格小于2阶。此时我们可以使用Sobolev嵌入处理运算，而当阶数不小于2阶时，需要采用其他的方法处理半群的渐近紧性，见[30]。本文的创新点是运用“高阶正则性”证明解半群在更高阶的空间内有界，从而得到紧性，再结合有界吸收集，根据第一节中的判定准则证明了BBM方程在无界域中全局吸引子的存在性。在第二节中，我们运用一些定理、不等式及能量方程法证明了解的适定性及有界吸收集的存在性。在三节中，为了证明解半群的紧性，我们引入高阶正则性的方法来处理无界域上Sobolev紧性的缺失，将方程的解半群分解，通过说明一部分是在时间趋于无穷时是无穷小的，另一部分是在时间趋于无穷时，在更高正则性的空间有界，从而说明半群渐近紧性的成立。

附 录

为了读者方便阅读，这里介绍了全局吸引子$\mathcal{A}$ 的概念。

定义0.1. [33] 假设$\mathscr{H}$ 是一个完备的度量空间，$S\left(t\right)$ 是定义在$\mathscr{H}$ 上的非线性$C_0$ -算子半群。则称集合$\mathcal{A}\in \mathscr{H}$ 是吸引子，如果满足以下条件：

(1) $\mathcal{A}$ 是一个不变集，即

$S\left(t\right)\mathcal{A}=\mathcal{A},t\ge 0;$ (A1)

(2) $\mathcal{A}$ 具有一个开放的邻域$ℬ$ ，对于任何元素$u_0\in ℬ$ ，当$t\ge 0$ 时，$S\left(t\right)u_0$ 收敛到$\mathcal{A}$ ，即

$dist\left(S\left(t\right)u_0,\mathcal{A}\right)=\underset{y\in \mathcal{A}}{\inf }dist\left(S\left(t\right)u_0,y\right)\to 0.$ (A2)

如果$\mathcal{A}$ 是吸引子，则满足(A2)式的最大开集$\mathcal{U}$ 成为$\mathcal{A}$ 的吸引集。

定义0.2. [33] 如果$\mathcal{A}$ 是一个紧吸引子，并且吸引$\mathscr{H}$ 中的有界集，那么称$\mathcal{A}$ 为全局吸引子或者通用吸引子。