与广义分数阶积分相关的Hermite-Hadamard型不等式研究
Study on Hermite-Hadamard Inequalities Related to Generalized Fractional Integrals
摘要: 论文建立了h-凸函数情形下与广义分数阶积分相关的中点型Hermite-Hadamard不等式,并得到了与此不等式相关的若干梯形不等式误差估计。所得结果推广了Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分等一些重要分数阶积分的已知结果。
Abstract: Hermite-Hadamard inequalities for generalized fractional integrals via h-convex functions are established in the paper, and some error estimates related to these inequalities are also obtained. These conclusions generalize some known results about Riemann-Liouville fractional integral, Hadamard fractional integral, and so on.
文章引用:杨仕哲, 韩家宜, 干镒柯. 与广义分数阶积分相关的Hermite-Hadamard型不等式研究[J]. 理论数学, 2025, 15(7): 7-14. https://doi.org/10.12677/pm.2025.157199

1. 引言

凸函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用。关于凸函数的一个重要应用是如下的Hermite-Hadamard不等式:若 f 是一个定义在闭区间 [ a,b ] 上的凸函数,则有:

f( a+b 2 ) 1 ba a b f( x )dx f( a )+f( b ) 2 (1)

2007年,Varošanec [1]引入了h-凸函数概念,它是一类推广了的凸型函数。

定义1 设函数 h:[ 0,1 ][ 0,+ ) I n 是凸区域。若函数 f:I ,对任意的 x,yI,t[ 0,1 ] 满足:

f( tx+( 1t )y )h( t )f( x )+h( 1t )f( y )

那么称 f I 上的h-凸函数.记为 fSX( h;I )

特别地,若在定义1中分别取 h( t )=t,h=1,h( t )=1/t h( t )= t s ( 0<s1 ) ,那么h-凸函数即为凸函数、P-函数[2]、Godunova-Levin函数[3]s-凸函数(第二种意义下) [4]

在过去的几十年来,众多学者在上述各类凸型函数下建立了类似(1)的不等式,如参见文献[2][5]-[7]等。

2 f L 1 [ a,b ],a0 ,其中 L 1 [ a,b ] 表示 [ a,b ] 上的勒贝格可积函数集。对于任意的 α>0 ,定义左Riemann-Liouville分数阶积分 J a + α f( x ) 和右Riemann-Liouville分数阶积分 J b α f( x ) 分别为:

J a + α f( x )= 1 Γ( α ) a x ( xt ) α1 f( t )dt ,x>a

J b α f( x )= 1 Γ( α ) x b ( tx ) α1 f( t )dt ,x<b

定义左Hadamard分数阶积分 K a + α f( x ) 和右Hadamard分数阶积分 K a α f( x ) 为:

K a + α f( x )= 1 Γ( α ) a x ( ln x t ) α1 f( t ) dt t ,x>a

K b α f( x )= 1 Γ( α ) x b ( ln t x ) α1 f( t ) dt t ,x<b

这里的 Γ( α )= 0 + t α1 e t dt 是伽马函数。

Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分分别在19世纪和20世纪引入,它们在数学及应用数学、物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。2016年,Jleli和Samet [8]将上述积分进行了推广,引入了如下的分数阶积分。

定义3 w:[ a,b ] 是一个在 ( a,b ] 上的单调递增函数,且在 ( a,b ) 上存在连续的导函数 w ( x ) f L 1 [ a,b ],a0 。对于任意的 α>0 ,广义左分数阶积分 I a + ;w α f( x ) 和广义右分数阶积分 I b ;w α f( x ) 被分别定义为:

I a + ;w α f( x )= 1 Γ( α ) a x ( w ( t )f( t ) [ w( x )w( t ) ] 1α )dt ,x>a

I b ;w α f( x )= 1 Γ( α ) x b ( w ( t )f( t ) [ w( t )w( x ) ] 1α )dt ,x<b

注:在定义3中,若取 w( t )=t ,则广义分数阶积分变为Riemann-Liouville分数阶积分;若取 w( t )=lnt ,则广义分数阶积分变为Hadamard分数阶积分。

2013年,Sarikaya等[9]将式(1)推广到Riemann-Liouville分数阶积分情形。

定理A f L 1 [ a,b ] ,且 f [ a,b ] 上的正的凸函数,那么有:

f( a+b 2 ) Γ( α+1 ) 2 ( ba ) α [ J a + α f( b )+ J b α f( a ) ] f( a )+f( b ) 2 (2)

同年,Tunç [10]将式(2)中第二个不等式推广到h-凸函数情形。2016年,Jleli和Samet [8]将定理A推广到广义分数阶积分。

定理B w:[ a,b ] 是一个在 [ a,b ] 上单调递增的正的凸函数,且在 ( a,b ) 上存在连续的导数。若 f L 1 [ a,b ] ,且 f [ a,b ] 上的正的凸函数,那么:

f( a+b 2 ) Γ( α+1 ) 4 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] f( a )+f( b ) 2 (3)

其中

F( x )=f( x )+ f ˜ ( x ), f ˜ ( x )=f( a+bx ),x[ a,b ] (4)

注:1) 易知 1 2 F( a+b 2 )=f( a+b 2 ) F( a )+F( b ) 2 =f( a )+f( b ) 。2) 若在定理B中取 w( t )=t ,则定理B退化为定理A。

受上述文献的启发,本文将把定理B推广到h-凸函数情形,进一步建立与此不等式相关的梯形误差估计。

2. Hermite-Hadamard型不等式

在给出主要定理前,先说明两个基本事实。根据定义3,设 s= ta xa ,则

I a + ;w α f( x )= xa Γ( α ) 0 1 ( w ( sx+( 1s )a )f( sx+( 1s )a ) [ w( x )w( sx+( 1s )a ) ] 1α )ds ,x>a

s= tx bx ,则

I b ;w α f( x )= bx Γ( α ) 0 1 ( w ( sb+( 1s )x )f( sb+( 1s )x ) [ w( sb+( 1s )x )w( x ) ] 1α )ds ,x<b

定理1 w:[ a,b ] 是一个在 ( a,b ] 上单调递增的正函数,且在 ( a,b ) 上存在连续的导函数。如果 f:[ a,b ] + h-凸函数,则有

1 2h( 1 2 ) F( a+b 2 ) Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] [ sup t[ 0,1 ] [ h( t )+h( 1t ) ] ] F( a )+F( b ) 2 (5)

其中函数 F 如式(4)定义。

证明 对于 s[ 0,1 ] ,令 u=sa+( 1s )b v=( 1s )a+sb

根据 f h-凸性,

f( a+b 2 )=f( 1 2 u+ 1 2 v ) h( 1 2 )f( sa+( 1s )b )+h( 1 2 )f( ( 1s )a+sb ) =h( 1 2 )F( sa+( 1s )b ) =h( 1 2 )F( ( 1s )a+sb ) (6)

f( sa+( 1s )b )h( s )f( a )+h( ( 1s ) )f( b ) f( ( 1s )a+sb )h( ( 1s ) )f( a )+h( s )f( b )

将式(6)的两边乘以

ba h( 1 2 )Γ( α ) w ( ( 1s )a+sb ) [ w( b )w( ( 1s )a+sb ) ] 1α

并关于 s ( 0,1 ) 上积分得:

ba h( 1 2 )Γ( α ) f( a+b 2 ) 0 1 w ( ( 1s )a+sb ) [ w( b )w( ( 1s )a+sb ) ] 1α ds ba Γ( α ) 0 1 w ( ( 1s )a+sb ) [ w( b )w( ( 1s )a+sb ) ] 1α F( sa+( 1s )b )ds = ba Γ( α ) 0 1 w ( ( 1s )a+sb ) [ w( b )w( ( 1s )a+sb ) ] 1α [ f( sa+( 1s )b )+f( ( 1s )a+sb ) ]ds

ba Γ( α ) [ f( a )+f( b ) 2 ][ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] 0 1 w ( ( 1s )a+sb ) [ w( b )w( ( 1s )a+sb ) ] 1α ds

因为

0 1 w ( sb+( 1s )b ) [ w( b )w( sb+( 1s )b ) ] 1α ds = 1 α( ba ) [ w( b )w( a ) ] α

结合定义3,我们有

1 h( 1 2 )Γ( α+1 ) [ w( b )w( a ) ] α f( a+b 2 ) = 1 2h( 1 2 )Γ( α+1 ) [ w( b )w( a ) ] α F( a+b 2 ) I a + ;w α F( b ) 1 Γ( α+1 ) [ f( a )+f( b ) ][ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] [ w( b )w( a ) ] α = 1 Γ( α+1 ) [ F( a )+F( b ) 2 ][ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] [ w( b )w( a ) ] α

1 2h( 1 2 )Γ( α+1 ) [ w( b )w( a ) ] α F( a+b 2 ) I a + ;w α F( b ) 1 Γ( α+1 ) [ F( a )+F( b ) 2 ][ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] [ w( b )w( a ) ] α (7)

通过类似的方式,将式(6)的两边乘以

ba h( 1 2 )Γ( α ) w ( ( 1s )a+sb ) [ w( ( 1s )a+sb )w( a ) ] 1α

积分所得的关于 ( 0,1 ) t 的不等式,我们得到

1 2h( 1 2 )Γ( α+1 ) [ w( b )w( a ) ] α F( a+b 2 ) I b + ;w α F( a ) 1 Γ( α+1 ) [ F( a )+F( b ) 2 ][ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] [ w( b )w( a ) ] α (8)

将不等式(7)和(8)相加,我们得到

1 2h( 1 2 ) F( a+b 2 ) Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] [ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] F( a )+F( b ) 2

这就完成了定理的证明。

特别地,若在定理1中令 h( t )= t s ,易知 sup t[ 0,1 ] [ h( t )+h( 1t ) ] t=1/2 时取到,则有如下结论。

推论1 w 如定理1所示。若 f:[ a,b ] + s-凸函数(第二种意义下),则有

1 2 1s F( a+b 2 ) Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] 2 1+s F( a )+F( b ) 2

进一步,在推论1中令 s=1 ,则上述结论即为定理B。

3. 与Hermite-Hadamard不等式相关的梯形不等式

在给出本节的主要定理前,我们先引入以下一个关键恒等式。

引理1 [8] 设函数 w 如定理1所示。如果 f:[ a,b ] 是可微函数,则有如下等式

F( a )+F( b ) 2 Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] = ba 2 [ w( b )w( a ) ] α 0 1 [ [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α ] ×[ f ( sa+( 1s )b ) f ( ( 1s )a+sb ) ]ds

其中函数 F 如式(4)中所述。

定理2 设函数 w 如定理1所示。如果 f:[ a,b ] 是可微函数,且 | f | [ a,b ] 上的h-凸函数,则我们有以下与广义分数阶积分相关的梯形不等式:

| F( a )+F( b ) 2 Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] | ba 2 [ w( b )w( a ) ] α [ | f ( a ) |+| f ( b ) | ][ sup t[ 0,1 ] [ h( t )+h( 1t ) ] ] × 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α |ds

其中函数 F 如式(4)中所述。

证明 根据引理1,有

| F( a )+F( b ) 2 Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] | ba 2 [ w( b )w( a ) ] α 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α || f ( sa+( 1s )b ) |ds + ba 2 [ w( b )w( a ) ] α 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α || f ( ( 1s )a+sb ) |ds

因为 | f | [ a,b ] 上的h-凸函数,我们有

| F( a )+F( b ) 2 Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] |

ba 2 [ w( b )w( a ) ] α [ | f ( a ) |+| f ( b ) | ][ sup s[ 0,1 ] [ h( s )+h( 1s ) ] ] × 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α |ds

这样就完成了证明。

定理3 设函数 w 如定理1所示。如果 f:[ a,b ] 是可微函数,且 | f | q ,q>1 ,是在 [ a,b ] 上的h-凸函数,其中 1 p + 1 q =1 ,则有以下与广义分数阶积分相关的梯形不等式:

| F( a )+F( b ) 2 Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] | ba [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p × ( 0 1 h( s )ds ) 1 q [ | f ( a ) | q + | f ( b ) | q ] 1 q ba [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p × ( 0 1 h( s )ds ) 1 q [ | f ( a ) |+| f ( b ) | ]

其中函数 F 的如式(4)中所述。

证明 根据引理1及Hölder不等式,我们得到:

| F( a )+F( b ) 2 Γ( α+1 ) 2 [ w( b )w( a ) ] α [ I a + ;w α F( b )+ I b ;w α F( a ) ] | ba 2 [ w( b )w( a ) ] α 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α || f ( sa+( 1s )b ) |ds + ba 2 [ w( b )w( a ) ] α 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α || f ( ( 1s )a+sb ) |ds ba 2 [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p × ( 0 1 | f ( sa+( 1s )b ) | q ds ) 1 q + ba 2 [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p × ( 0 1 | f ( ( 1s )a+sb ) | q ds ) 1 q

ba 2 [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p ×[ ( 0 1 h ( s )ds | f ( a ) | q + 0 1 h ( 1s )ds | f ( b ) | q ) 1 q + ( 0 1 h ( 1s )ds | f ( a ) | q + 0 1 h ( s )ds | f ( b ) | q ) 1 q ] ba [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p × ( 0 1 h( s )ds ) 1 q [ | f ( a ) | q + | f ( b ) | q ] 1 q ba [ w( b )w( a ) ] α ( 0 1 | [ w( sb+( 1s )a )w( a ) ] α + [ w( b )w( sb+( 1s )a ) ] α | p ds ) 1 p × ( 0 1 h( s )ds ) 1 q [ | f ( a ) |+| f ( b ) | ]

即得所证。

致 谢

感谢阮建苗教授的指导。

基金项目

本文受国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 202314275020)基金的资助。

NOTES

*第一作者。

#通讯作者。

参考文献

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