与广义分数阶积分相关的Hermite-Hadamard型不等式研究

Study on Hermite-Hadamard Inequalities Related to Generalized Fractional Integrals

摘要: 论文建立了h-凸函数情形下与广义分数阶积分相关的中点型Hermite-Hadamard不等式，并得到了与此不等式相关的若干梯形不等式误差估计。所得结果推广了Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分等一些重要分数阶积分的已知结果。

Abstract: Hermite-Hadamard inequalities for generalized fractional integrals via h-convex functions are established in the paper, and some error estimates related to these inequalities are also obtained. These conclusions generalize some known results about Riemann-Liouville fractional integral, Hadamard fractional integral, and so on.

1. 引言

凸函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用。关于凸函数的一个重要应用是如下的Hermite-Hadamard不等式：若$f$ 是一个定义在闭区间$\left[a,b\right]$ 上的凸函数，则有：

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\le \frac{f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}$ (1)

2007年，Varošanec [1]引入了h-凸函数概念，它是一类推广了的凸型函数。

定义1 设函数$h:\left[0,1\right]\to \left[0,+\infty \right)$ ，$I\subset {\Re }^n$ 是凸区域。若函数$f:I\to \Re$ ，对任意的$x,y\in I,t\in \left[0,1\right]$ 满足：

$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)$

那么称$f$ 为$I$ 上的h-凸函数．记为$f\in SX\left(h;I\right)$ 。

特别地，若在定义1中分别取$h\left(t\right)=t,h=1,h\left(t\right)=1/t$ 和$h\left(t\right)=t^s\left(0<s\le 1\right)$ ，那么h-凸函数即为凸函数、P-函数[2]、Godunova-Levin函数[3]和s-凸函数(第二种意义下) [4]。

在过去的几十年来，众多学者在上述各类凸型函数下建立了类似(1)的不等式，如参见文献[2]和[5]-[7]等。

定义2 设$f\in L_1\left[a,b\right],a\ge 0$ ，其中$L_1\left[a,b\right]$ 表示$\left[a,b\right]$ 上的勒贝格可积函数集。对于任意的$\alpha >0$ ，定义左Riemann-Liouville分数阶积分$J_{a^{+}}^{\alpha }f\left(x\right)$ 和右Riemann-Liouville分数阶积分$J_{b^{-}}^{\alpha }f\left(x\right)$ 分别为：

$J_{a^{+}}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^x{\left(x-t\right)}^{\alpha -1}f\left(t\right)\text{d}t},x>a$

和

$J_{b^{-}}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_x^b{\left(t-x\right)}^{\alpha -1}f\left(t\right)\text{d}t},x<b$

定义左Hadamard分数阶积分$K_{a^{+}}^{\alpha }f\left(x\right)$ 和右Hadamard分数阶积分$K_{a^{-}}^{\alpha }f\left(x\right)$ 为：

$K_{a^{+}}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^x{\left(\ln \frac{x}{t}\right)}^{\alpha -1}f\left(t\right)\frac{\text{d}t}{t}},x>a$

和

$K_{b^{-}}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_x^b{\left(\ln \frac{t}{x}\right)}^{\alpha -1}f\left(t\right)\frac{\text{d}t}{t}},x<b$

这里的$\Gamma \left(\alpha \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}{\text{e}}^{-t}\text{d}t}$ 是伽马函数。

Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分分别在19世纪和20世纪引入，它们在数学及应用数学、物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。2016年，Jleli和Samet [8]将上述积分进行了推广，引入了如下的分数阶积分。

定义3 设$w:\left[a,b\right]\to \Re$ 是一个在$\left(a,b\right]$ 上的单调递增函数，且在$\left(a,b\right)$ 上存在连续的导函数$w^{\prime }\left(x\right)$ 。$f\in L_1\left[a,b\right],a\ge 0$ 。对于任意的$\alpha >0$ ，广义左分数阶积分$I_{a^{+};w}^{\alpha }f\left(x\right)$ 和广义右分数阶积分$I_{b^{-};w}^{\alpha }f\left(x\right)$ 被分别定义为：

$I_{a^{+};w}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^x\left(\frac{w^{\prime }\left(t\right)f\left(t\right)}{{\left[w\left(x\right)-w\left(t\right)\right]}^{1-\alpha }}\right)\text{d}t},x>a$

和

$I_{b^{-};w}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_x^b\left(\frac{w^{\prime }\left(t\right)f\left(t\right)}{{\left[w\left(t\right)-w\left(x\right)\right]}^{1-\alpha }}\right)\text{d}t},x<b$

注：在定义3中，若取$w\left(t\right)=t$ ，则广义分数阶积分变为Riemann-Liouville分数阶积分；若取$w\left(t\right)=\ln t$ ，则广义分数阶积分变为Hadamard分数阶积分。

2013年，Sarikaya等[9]将式(1)推广到Riemann-Liouville分数阶积分情形。

定理A 设$f\in L_1\left[a,b\right]$ ，且$f$ 为$\left[a,b\right]$ 上的正的凸函数，那么有：

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left(b-a\right)}^{\alpha }}\left[J_{a^{+}}^{\alpha }f\left(b\right)+J_{b^{-}}^{\alpha }f\left(a\right)\right]\le \frac{f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}$ (2)

同年，Tunç [10]将式(2)中第二个不等式推广到h-凸函数情形。2016年，Jleli和Samet [8]将定理A推广到广义分数阶积分。

定理B 设$w:\left[a,b\right]\to \Re$ 是一个在$\left[a,b\right]$ 上单调递增的正的凸函数，且在$\left(a,b\right)$ 上存在连续的导数。若$f\in L_1\left[a,b\right]$ ，且$f$ 为$\left[a,b\right]$ 上的正的凸函数，那么：

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{4{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\le \frac{f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}$ (3)

其中

$F\left(x\right)=f\left(x\right)+\tilde{f}\left(x\right),\tilde{f}\left(x\right)=f\left(a+b-x\right),x\in \left[a,b\right]$ (4)

注：1) 易知$\frac{1}{2}F\left(\frac{a+b}{2}\right)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ，$\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}=f\left(a\right)+f\left(b\right)$ 。2) 若在定理B中取$w\left(t\right)=t$ ，则定理B退化为定理A。

受上述文献的启发，本文将把定理B推广到h-凸函数情形，进一步建立与此不等式相关的梯形误差估计。

2. Hermite-Hadamard型不等式

在给出主要定理前，先说明两个基本事实。根据定义3，设$s=\frac{t-a}{x-a}$ ，则

$I_{a^{+};w}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{x-a}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1\left(\frac{w^{\prime }\left(sx+\left(1-s\right)a\right)f\left(sx+\left(1-s\right)a\right)}{{\left[w\left(x\right)-w\left(sx+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{1-\alpha }}\right)\text{d}s},x>a$

设$s=\frac{t-x}{b-x}$ ，则

$I_{b^{-};w}^{\alpha }f\left(x\right)=\frac{b-x}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1\left(\frac{w^{\prime }\left(sb+\left(1-s\right)x\right)f\left(sb+\left(1-s\right)x\right)}{{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)x\right)-w\left(x\right)\right]}^{1-\alpha }}\right)\text{d}s},x<b$

定理1 设$w:\left[a,b\right]\to \Re$ 是一个在$\left(a,b\right]$ 上单调递增的正函数，且在$\left(a,b\right)$ 上存在连续的导函数。如果$f:\left[a,b\right]\to {\Re }^{+}$ 是h-凸函数，则有

$\begin{array}{c}\frac{1}{2h\left(\frac{1}{2}\right)}F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\\ \le \left[\underset{t\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(t\right)+h\left(1-t\right)\right]\right]\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}\end{array}$ (5)

其中函数$F$ 如式(4)定义。

证明 对于$s\in \left[0,1\right]$ ，令$u=sa+\left(1-s\right)b$ ，$v=\left(1-s\right)a+sb$ 。

根据$f$ 的h-凸性，

$\begin{array}{c}f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v\right)\\ \le h\left(\frac{1}{2}\right)f\left(sa+\left(1-s\right)b\right)+h\left(\frac{1}{2}\right)f\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\\ =h\left(\frac{1}{2}\right)F\left(sa+\left(1-s\right)b\right)\\ =h\left(\frac{1}{2}\right)F\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\end{array}$ (6)

和

$\begin{array}{l}f\left(sa+\left(1-s\right)b\right)\le h\left(s\right)f\left(a\right)+h\left(\left(1-s\right)\right)f\left(b\right)\\ f\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\le h\left(\left(1-s\right)\right)f\left(a\right)+h\left(s\right)f\left(b\right)\end{array}$

将式(6)的两边乘以

$\frac{b-a}{h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha \right)}\frac{w^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)}{{\left[w\left(b\right)-w\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]}^{1-\alpha }}$

并关于$s$ 在$\left(0,1\right)$ 上积分得：

$\begin{array}{l}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\frac{b-a}{h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha \right)}f\left(\frac{a+b}{2}\right){\displaystyle {\int }_0^1\frac{w^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)}{{\left[w\left(b\right)-w\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]}^{1-\alpha }}\text{d}s}\\ \le \frac{b-a}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{w^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)}{{\left[w\left(b\right)-w\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]}^{1-\alpha }}F\left(sa+\left(1-s\right)b\right)\text{d}s}\\ =\frac{b-a}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{w^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)}{{\left[w\left(b\right)-w\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]}^{1-\alpha }}\left[f\left(sa+\left(1-s\right)b\right)+f\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]\text{d}s}\end{array}$

$\le \frac{b-a}{\Gamma \left(\alpha \right)}\left[\frac{f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}\right]\left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]{\displaystyle {\int }_0^1\frac{w^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)}{{\left[w\left(b\right)-w\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]}^{1-\alpha }}\text{d}s}$

因为

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{w^{\prime }\left(sb+\left(1-s\right)b\right)}{{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)b\right)\right]}^{1-\alpha }}\text{d}s}=\frac{1}{\alpha \left(b-a\right)}{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }$

结合定义3，我们有

$\begin{array}{l}\frac{1}{h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }f\left(\frac{a+b}{2}\right)\\ =\frac{1}{2h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }F\left(\frac{a+b}{2}\right)\\ \le I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]\left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }\\ =\frac{1}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}\left[\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}\right]\left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }\end{array}$

即

$\begin{array}{l}\frac{1}{2h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}\left[\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}\right]\left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }\end{array}$ (7)

通过类似的方式，将式(6)的两边乘以

$\frac{b-a}{h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha \right)}\frac{w^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)}{{\left[w\left(\left(1-s\right)a+sb\right)-w\left(a\right)\right]}^{1-\alpha }}$

积分所得的关于$\left(0,1\right)$ 上$t$ 的不等式，我们得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{2h\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le I_{b^{+};w}^{\alpha }F\left(a\right)\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha +1\right)}\left[\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}\right]\left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\sup }\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }\end{array}$ (8)

将不等式(7)和(8)相加，我们得到

$\begin{array}{c}\frac{1}{2h\left(\frac{1}{2}\right)}F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\\ \le \left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\sup }\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}\end{array}$

这就完成了定理的证明。

特别地，若在定理1中令$h\left(t\right)=t^s$ ，易知$\underset{t\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(t\right)+h\left(1-t\right)\right]$ 在$t=1/2$ 时取到，则有如下结论。

推论1 设$w$ 如定理1所示。若$f:\left[a,b\right]\to {\Re }^{+}$ 是s-凸函数(第二种意义下)，则有

$\frac{1}{2^{1-s}}F\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\le 2^{1+s}\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}$

进一步，在推论1中令$s=1$ ，则上述结论即为定理B。

3. 与Hermite-Hadamard不等式相关的梯形不等式

在给出本节的主要定理前，我们先引入以下一个关键恒等式。

引理1 [8] 设函数$w$ 如定理1所示。如果$f:\left[a,b\right]\to \Re$ 是可微函数，则有如下等式

$\begin{array}{l}\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}-\frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\\ =\frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^1\left[{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right]}\\ \times \left[f^{\prime }\left(sa+\left(1-s\right)b\right)-f^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right]\text{d}s\end{array}$

其中函数$F$ 如式(4)中所述。

定理2 设函数$w$ 如定理1所示。如果$f:\left[a,b\right]\to \Re$ 是可微函数，且$\left|f^{\prime }\right|$ 是$\left[a,b\right]$ 上的h-凸函数，则我们有以下与广义分数阶积分相关的梯形不等式：

$\begin{array}{l}\left|\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}-\frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\right|\\ \le \frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|+\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|\right]\left[\underset{t\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(t\right)+h\left(1-t\right)\right]\right]\\ \times {\displaystyle {\int }_0^1\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|\text{d}s}\end{array}$

其中函数$F$ 如式(4)中所述。

证明 根据引理1，有

$\begin{array}{l}\left|\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}-\frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\right|\\ \le \frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^1\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|\left|f^{\prime }\left(sa+\left(1-s\right)b\right)\right|\text{d}s}\\ +\frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^1\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|\left|f^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right|\text{d}s}\end{array}$

因为$\left|f^{\prime }\right|$ 是$\left[a,b\right]$ 上的h-凸函数，我们有

$\left|\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}-\frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\right|$

$\begin{array}{l}\le \frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|+\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|\right]\left[\underset{s\in \left[0,1\right]}{\text{sup}}\left[h\left(s\right)+h\left(1-s\right)\right]\right]\\ \times {\displaystyle {\int }_0^1\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|\text{d}s}\end{array}$

这样就完成了证明。

定理3 设函数$w$ 如定理1所示。如果$f:\left[a,b\right]\to \Re$ 是可微函数，且${\left|f^{\prime }\right|}^q,q>1$ ，是在$\left[a,b\right]$ 上的h-凸函数，其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则有以下与广义分数阶积分相关的梯形不等式：

$\begin{array}{l}\left|\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}-\frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\right|\\ \le \frac{b-a}{{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{q}}{\left[{\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|}^q+{\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|}^q\right]}^{\frac{1}{q}}\\ \le \frac{b-a}{{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{q}}\left[\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|+\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|\right]\end{array}$

其中函数$F$ 的如式(4)中所述。

证明 根据引理1及Hölder不等式，我们得到：

$\begin{array}{l}\left|\frac{F\left(a\right)+F\left(b\right)}{2}-\frac{\Gamma \left(\alpha +1\right)}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}\left[I_{a^{+};w}^{\alpha }F\left(b\right)+I_{b^{-};w}^{\alpha }F\left(a\right)\right]\right|\\ \le \frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^1\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|\left|f^{\prime }\left(sa+\left(1-s\right)b\right)\right|\text{d}s}\\ +\frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^1\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|\left|f^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|f^{\prime }\left(sa+\left(1-s\right)b\right)\right|}^q\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ +\frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|f^{\prime }\left(\left(1-s\right)a+sb\right)\right|}^q\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{b-a}{2{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times \left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{1}h}\left(s\right)\text{d}s{\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|}^q+{\displaystyle {\int }_0^{1}h}\left(1-s\right)\text{d}s{\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}+{\left({\displaystyle {\int }_0^{1}h}\left(1-s\right)\text{d}s{\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|}^q+{\displaystyle {\int }_0^{1}h}\left(s\right)\text{d}s{\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\right]\\ \le \frac{b-a}{{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{q}}{\left[{\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|}^q+{\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|}^q\right]}^{\frac{1}{q}}\\ \le \frac{b-a}{{\left[w\left(b\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }}{\left({\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\left[w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)-w\left(a\right)\right]}^{\alpha }+{\left[w\left(b\right)-w\left(sb+\left(1-s\right)a\right)\right]}^{\alpha }\right|}^p\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{q}}\left[\left|f^{\prime }\left(a\right)\right|+\left|f^{\prime }\left(b\right)\right|\right]\end{array}$

即得所证。

致 谢

感谢阮建苗教授的指导。

基金项目

本文受国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 202314275020)基金的资助。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。