1. 引言
凸函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用。关于凸函数的一个重要应用是如下的Hermite-Hadamard不等式:若
是一个定义在闭区间
上的凸函数,则有:
(1)
2007年,Varošanec [1]引入了h-凸函数概念,它是一类推广了的凸型函数。
定义1 设函数
,
是凸区域。若函数
,对任意的
满足:
那么称
为
上的h-凸函数.记为
。
特别地,若在定义1中分别取
和
,那么h-凸函数即为凸函数、P-函数[2]、Godunova-Levin函数[3]和s-凸函数(第二种意义下) [4]。
在过去的几十年来,众多学者在上述各类凸型函数下建立了类似(1)的不等式,如参见文献[2]和[5]-[7]等。
定义2 设
,其中
表示
上的勒贝格可积函数集。对于任意的
,定义左Riemann-Liouville分数阶积分
和右Riemann-Liouville分数阶积分
分别为:
和
定义左Hadamard分数阶积分
和右Hadamard分数阶积分
为:
和
这里的
是伽马函数。
Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分分别在19世纪和20世纪引入,它们在数学及应用数学、物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。2016年,Jleli和Samet [8]将上述积分进行了推广,引入了如下的分数阶积分。
定义3 设
是一个在
上的单调递增函数,且在
上存在连续的导函数
。
。对于任意的
,广义左分数阶积分
和广义右分数阶积分
被分别定义为:
和
注:在定义3中,若取
,则广义分数阶积分变为Riemann-Liouville分数阶积分;若取
,则广义分数阶积分变为Hadamard分数阶积分。
2013年,Sarikaya等[9]将式(1)推广到Riemann-Liouville分数阶积分情形。
定理A 设
,且
为
上的正的凸函数,那么有:
(2)
同年,Tunç [10]将式(2)中第二个不等式推广到h-凸函数情形。2016年,Jleli和Samet [8]将定理A推广到广义分数阶积分。
定理B 设
是一个在
上单调递增的正的凸函数,且在
上存在连续的导数。若
,且
为
上的正的凸函数,那么:
(3)
其中
(4)
注:1) 易知
,
。2) 若在定理B中取
,则定理B退化为定理A。
受上述文献的启发,本文将把定理B推广到h-凸函数情形,进一步建立与此不等式相关的梯形误差估计。
2. Hermite-Hadamard型不等式
在给出主要定理前,先说明两个基本事实。根据定义3,设
,则
设
,则
定理1 设
是一个在
上单调递增的正函数,且在
上存在连续的导函数。如果
是h-凸函数,则有
(5)
其中函数
如式(4)定义。
证明 对于
,令
,
。
根据
的h-凸性,
(6)
和
将式(6)的两边乘以
并关于
在
上积分得:
因为
结合定义3,我们有
即
(7)
通过类似的方式,将式(6)的两边乘以
积分所得的关于
上
的不等式,我们得到
(8)
将不等式(7)和(8)相加,我们得到
这就完成了定理的证明。
特别地,若在定理1中令
,易知
在
时取到,则有如下结论。
推论1 设
如定理1所示。若
是s-凸函数(第二种意义下),则有
进一步,在推论1中令
,则上述结论即为定理B。
3. 与Hermite-Hadamard不等式相关的梯形不等式
在给出本节的主要定理前,我们先引入以下一个关键恒等式。
引理1 [8] 设函数
如定理1所示。如果
是可微函数,则有如下等式
其中函数
如式(4)中所述。
定理2 设函数
如定理1所示。如果
是可微函数,且
是
上的h-凸函数,则我们有以下与广义分数阶积分相关的梯形不等式:
其中函数
如式(4)中所述。
证明 根据引理1,有
因为
是
上的h-凸函数,我们有
这样就完成了证明。
定理3 设函数
如定理1所示。如果
是可微函数,且
,是在
上的h-凸函数,其中
,则有以下与广义分数阶积分相关的梯形不等式:
其中函数
的如式(4)中所述。
证明 根据引理1及Hölder不等式,我们得到:
即得所证。
致 谢
感谢阮建苗教授的指导。
基金项目
本文受国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 202314275020)基金的资助。
NOTES
*第一作者。
#通讯作者。