一类复偏微分方程组的超越整函数解

Transcendental Entire Solutions to a Class of Complex Partial Differential Equation Systems

摘要: 本文旨在应用多变量Nevanlinna值分布理论，进一步研究一类乘积型一阶非线性复偏微分方程组$\{\begin{array}{l}{\left(a{\mu }_{z_1}+b{v}_{z_2}\right)}^{p_1}{\left(c{\mu }_{z_2}+d{v}_{z_1}\right)}^{p_2}=e^g\\ {\left(a{\mu }_{z_2}+b{v}_{z_1}\right)}^{p_3}{\left(c{\mu }_{z_1}+d{v}_{z_2}\right)}^{p_4}=e^g\end{array}$ 的超越整函数解的存在性条件与形式，其中$a,b,c,d\in ℂ-\{0\}$ ，$p_1,p_2,p_3,p_4$ 为非零实常数，$g$ 为${ℂ}^2$ 中的非常数多项式。所得结论是对徐洪焱、徐宜会等人先前结论的进一步推广和改进，同时给出例子说明求得结果是精确的。

Abstract: This article is devoted to describe the transcendental entire solutions to a class of the first order nonlinear partial differential equations (PDEs) with product type $\{\begin{array}{l}{\left(a{\mu }_{z_1}+b{v}_{z_2}\right)}^{p_1}{\left(c{\mu }_{z_2}+d{v}_{z_1}\right)}^{p_2}=e^g\\ {\left(a{\mu }_{z_2}+b{v}_{z_1}\right)}^{p_3}{\left(c{\mu }_{z_1}+d{v}_{z_2}\right)}^{p_4}=e^g\end{array}$ by using Nevanlinna theory in several complex variables, where $a,b,c,d\in ℂ-\{0\}$ , $p_1,p_2,p_3,p_4$ are non-zero real constants and $g$ is a non-constant polynomial in ${ℂ}^2$ . Our results are the generalizations and improvements of the previous theorem given by Hongyan Xu, Yihui Xu, etc. Furthermore, some examples have been exhibited to show that our results are precise.

1. 引言与定理

17世纪法国数学家Pierre de Fermat提出费马大定理：对于任意大于2的整数$n$ ，方程$x^n+y^n=z^n$ 不存在正整数解，该定理在数学界引起了广泛的关注和研究。1939年，Iyer [1]进一步将费马方程推广至函数方程，证明了Fermat型函数方程的一个经典结果是：$f^2+g^2=1$ 的整函数解一定具有$f=\cos a\left(z\right)$ ，$g=\sin a\left(z\right)$ 的形式，这里$a\left(z\right)$ 为整函数。

随后，Khavinson在多复变量方面考虑一阶偏微分方程，于1995年在文[2]中指出：双变量Fermat型偏微分方程

$u_x^2+u_y^2=1$ (1.1)

的整函数解必为线性形式。Saleeby于1999年在文[3]中进一步指出方程(1.1)具有形如$u=ax+by+c$ 的解，其中$a_{}^2+b_{}^2=1$ ，$c$ 为任意常数。事实上，方程(1.1)被命名为Eikonal方程，其在物理光学、几何成像、界面追踪以及数值模拟等多个领域具有广泛的应用前景和重要的研究价值，在光学研究中，Eikonal方程可将物理波动光学和几何射线光学建立连接关系，有助于更深入地理解光的传播和衍射现象。在界面追踪问题中，Eikonal方程可用于描述界面的运动和演化过程，故有关Fermat型偏微分方程及其衍生形式的研究得到了众多学者的关注，也获得一系列重要且有趣的结果。

特别地，在2018年徐玲和曹廷彬[4]研究了一类Fermat型偏微分方程

${\left(\frac{\partial f\left(z_1,z_2\right)}{\partial z_1}\right)}^2+f^2\left(z_1,z_2\right)=1$ (1.2)

的有限级超越整函数解的具体形式，得出：

定理A [4]若$f\left(z_1,z_2\right)$ 为方程(1.2)的有限级超越整函数解，则$f\left(z_1,z_2\right)$ 具有形式

$f\left(z_1,z_2\right)=\sin \left(A{z}_1+g\left(z_2\right)\right)$ ，

其中$g\left(z_2\right)$ 为关于$z_2$ 的多项式，$A\in ℂ$ ，满足$A^2=1$ 。

进一步地，在2020年徐洪焱、刘三阳和李改平[5]将方程(1.2)推广为二次二项式复偏微分方程组，推广了定理A，同时通过举例的形式说明了解的形式是精确的，获得了下面的结果。

定理B [5]若$\left(\mu ,v\right)$ 为方程组

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{\partial f_1\left(z_1,z_2\right)}{\partial z_1}\right)}^2+f_2{\left(z_1,z_2\right)}^2=1\hfill \\ {\left(\frac{\partial f_2\left(z_1,z_2\right)}{\partial z_1}\right)}^2+f_1{\left(z_1,z_2\right)}^2=1\hfill \end{array}$ (1.3)

的一对有限级超越整函数解，那么

$\left(f_1\left(z\right),f_2\left(z\right)\right)=\left(\frac{e^{l\left(z\right)+B_1}+e^{-\left(l\left(z\right)+B_1\right)}}{2},\eta \frac{e^{l\left(z\right)+B_1}+e^{-\left(l\left(z\right)+B_1\right)}}{2}\right)$ ，

其中$l\left(z\right)=a_1{z}_1+a_2{z}_2$ ，$B_1\in ℂ$ ，$a_1,\eta$ 满足条件(i) $a_1=i,\eta =1$ ，或条件(ii) $a_1=-i,\eta =-1$ 。

基于Khavinson与李保勤在文[2]及文[6]中指出：通过线性变换$z_1=x+iy,z_2=x-iy$ 方程$u_{z_1}^2+u_{z_2}^2=e^g$ 可转化为$u_x{u}_y=e^g$ 。受该启发，吕锋[7]于2020年讨论了乘积型偏微分方程

$u_x{u}_y=x^m{e}^g$ (1.4)

解的存在性条件与具体形式，得到：

定理C [7]设$g$ 为${ℂ}^2$ 中的多项式，且$m$ 为非负数，则方程(1.4)的整函数解是下列形式之一：

(i) $u={\varphi }_1\left(x\right)+{\varphi }_2\left(y\right)$ ，其中${{\varphi }^{\prime }}_1\left(x\right)=x^m{e}^{\alpha \left(x\right)},{{\varphi }^{\prime }}_2\left(y\right)=e^{\beta \left(x\right)}$ ，满足$\alpha \left(x\right)+\beta \left(y\right)=g\left(x,y\right)$ ；

(ii) $u=F\left(y+A{x}^{m+1}\right)$ ，其中$A$ 为非零常数，且$\left(m+1\right)A{F^{\prime }}^2\left(y+A{x}^{m+1}\right)=e^g$ ；

(iii) $u=\left(x^{k+1}/\left(k+1\right)\right)e^{ay+b}+C$ ，其中$\left(a/\left(k+1\right)\right)e^{2\left(ay+b\right)}=e^g\left(a\ne 0\right),m=2k+1$ ，且$b,c$ 为常数。

受到方程(1.2)~(1.3)形式变化的启发，徐洪焱、刘晓兰等人[8]便提出问题，如何描述方程(1.4)在${ℂ}^2$ 中转化为乘积型复偏微分方程组的解，同时得到：

定理D [8]设$a,b,c,d$ 为非零复常数，满足$D=ad-bc\ne 0$ ，且$g$ 为${ℂ}^2$ 中的非常数多项式。若$\left(\mu ,v\right)$ 为方程组

$\{\begin{array}{l}\left(a{u}_{z_1}+b{v}_{z_2}\right)\left(c{u}_{z_2}+d{v}_{z_1}\right)=e^g\hfill \\ \left(a{u}_{z_2}+b{v}_{z_1}\right)\left(c{u}_{z_1}+d{v}_{z_2}\right)=e^g\hfill \end{array}$ (1.5)

的有限级超越整函数解，那么$g=2\phi \left(z_2+e^{{\xi }_2-{\xi }_1}{z}_1\right)-{\xi }_1$ ，且

$\left(\mu ,v\right)=\left(\frac{e^{{\xi }_2-{\xi }_1}}{D}\left(d-b{e}^{-{\xi }_2}\right)F\left(z_2+e^{{\xi }_1-{\xi }_2}{z}_1\right),\frac{1}{D}\left(a{e}^{-{\xi }_2}-c\right)G\left(z_2+e^{{\xi }_1-{\xi }_2}{z}_1\right)\right)$ ，

其中${\xi }_1,{\xi }_2\in ℂ$ ，满足$e^{2\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)}=1$ ，且${F^{\prime }}_1\left(t\right)={G^{\prime }}_1\left(t\right)=e^{\phi \left(t\right)}=e^{\left(g+{\xi }_1\right)/2}$ 。

本文的目的是在定理D的基础上作推广，研究一个更一般的乘积型复偏微分方程组：

$\{\begin{array}{l}{\left(a{\mu }_{z_1}+b{v}_{z_2}\right)}^{p_1}{\left(c{\mu }_{z_2}+d{v}_{z_1}\right)}^{p_2}=e^g,\\ {\left(a{\mu }_{z_2}+b{v}_{z_1}\right)}^{p_3}{\left(c{\mu }_{z_1}+d{v}_{z_2}\right)}^{p_4}=e^g.\end{array}$ (1.6)

采用与文献[8]相似的方法，我们可以得到如下定理：

定理1.1 假设$D=ad-bc\ne 0$ 且$\left(\mu ,v\right)$ 为一阶非线性偏微分方程组(1.6)的有限级超越整函数解，其中$a,b,c,d\in ℂ-\{0\}$ ，$p_1,p_2,p_3,p_4$ 为非零实常数，$g$ 为${ℂ}^2$ 中的非常数多项式，则$\left(\mu ,v\right)$ 具有以下形式之一：

(i) 若$g=p_2\phi \left(t\right)+p_1{\xi }_1-p_2{\xi }_2=\left(p_3+p_4\right)\phi \left(t\right)-p_4{\xi }_2+p_4{\xi }_3$ ，$t=z_2-\frac{b{e}^{{\xi }_3}}{d{e}^{{\xi }_2}-b}{z}_1=z_2-\frac{c{e}^{{\xi }_2}-a}{a{e}^{{\xi }_3}}{z}_1$ ， ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)F_1\left(t\right)+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1,\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{G}_1\left(t\right)-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_1\left(t\right)={G^{\prime }}_1\left(t\right)=e^{\phi \left(t\right)}$ ，$\phi \left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(ii) 若$g=\left(p_1+p_2\right)\varphi \left(t\right)-p_2{\xi }_2=p_4\varphi \left(t\right)+p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_2+p_4{\xi }_3$ ，$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_2}-b{e}^{{\xi }_3}}{b}{z}_1=z_2-\frac{a}{c{e}^{{\xi }_2}-a{e}^{{\xi }_3}}{z}_1$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}{F}_2\left(t\right)+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2,\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)G_2\left(t\right)-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_2\left(t\right)={G^{\prime }}_2\left(t\right)=e^{\varphi \left(t\right)}$ ，$\varphi \left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(iii) 若$g=p_1\theta \left(t\right)+p_2{\xi }_1=\left(p_3+p_4\right)\theta \left(t\right)+p_3{\xi }_3-p_3{\xi }_2-p_4{\xi }_2$ ，$t=z_2-\frac{b-d{e}^{{\xi }_2}}{d{e}^{{\xi }_3}}{z}_1=z_2-\frac{c{e}^{{\xi }_3}}{a-\text{c}{e}^{{\xi }_2}}{z}_1$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{F}_3\left(t\right)-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2,\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)G_3\left(t\right)+\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_3\left(t\right)={G^{\prime }}_3\left(t\right)=e^{\theta \left(t\right)}$ ，$\varphi \left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(iv) 若$g=\left(p_1+p_2\right)\psi \left(t\right)-p_2{\xi }_2=p_3\psi \left(t\right)+p_3{\xi }_3-p_3{\xi }_2+p_4{\xi }_1$ ，$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_2}}{b-d{e}^{{\xi }_3}}{z}_1=z_2-\frac{a-c{e}^{{\xi }_3}}{c{e}^{{\xi }_2}}{z}_1$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)F_4\left(t\right)-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1,\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2-\frac{c}{D}{G}_4\left(t\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_4\left(t\right)={G^{\prime }}_4\left(t\right)=e^{\psi \left(t\right)}$ ，$\psi \left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(v) 若$g=p_2{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)+p_1{\xi }_1=p_4{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)+p_3{\xi }_2-p_4{\xi }_3$ ，$e^{2{\xi }_3}=1$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_2-\frac{b}{D}{F}_5\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right),-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_1-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2+\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3}{G}_5\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_5\left(t\right)={G^{\prime }}_5\left(t\right)=e^{{\phi }_1\left(t\right)}$ ，${\phi }_1\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(vi) 若$g=p_1{\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)+p_2{\xi }_1=p_3{\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)-p_3{\xi }_3+p_4{\xi }_2$ ，$e^{2{\xi }_3}=1$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_1-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3}{F}_6\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right),\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1+\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_2-\frac{c}{D}{G}_6\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_6\left(t\right)={G^{\prime }}_6\left(t\right)=e^{{\varphi }_1\left(t\right)}$ ，${\varphi }_1\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(vii) 若$g=p_2{\theta }_1\left(z_1\right)+p_1{\xi }_1-p_2{\xi }_3=p_3{\theta }_1\left(z_1\right)+p_4{\xi }_2$ ，$d{e}^{{\xi }_3}-b=0$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_1,\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_2+\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)F_7\left(z_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_7\left(t\right)=e^{{\theta }_1\left(t\right)}$ ，${\theta }_1\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(viii) 若$g=p_2{\psi }_1\left(z_2\right)+p_1{\xi }_1-p_2{\xi }_3=p_3{\psi }_1\left(z_2\right)+p_4{\xi }_2$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a=0$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_1+\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)G_7\left(z_2\right),\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_2\right)$ ，

其中${G^{\prime }}_7\left(t\right)=e^{{\psi }_1\left(t\right)}$ ，${\psi }_1\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(ix) 若$g=p_1{\phi }_2\left(z_2\right)+p_2{\xi }_2=p_4{\phi }_2\left(z_2\right)+p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_3$ ，$d{e}^{{\xi }_3}-b=0$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_2,\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)F_8\left(z_2\right)+\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_8\left(t\right)=e^{{\phi }_2\left(t\right)}$ ，${\phi }_2\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(x) 若$g=p_1{\varphi }_2\left(z_1\right)+p_2{\xi }_2=p_4{\varphi }_2\left(z_1\right)+p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_3$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a=0$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)G_8\left(z_1\right)+\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_2,\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_1\right)$ ，

其中${G^{\prime }}_8\left(t\right)=e^{{\varphi }_2\left(t\right)}$ ，${\varphi }_2\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xi) 若$g=p_1{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)+p_2{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)=p_3{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)+p_4{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)-p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_2$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,$ ${\xi }_3\in ℂ$ ，满足$e^{2{\xi }_1}=e^{2{\xi }_2}=1$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\frac{d}{D}{e}^{-{\xi }_1}{F}_9\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)-\frac{b}{D}{F}_{10}\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right),\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{G}_{10}\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)-\frac{c}{D}{G}_9\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_9\left(t\right)={G^{\prime }}_9\left(t\right)=e^{{\theta }_2\left(t\right)}$ ，${F^{\prime }}_{10}\left(t\right)={G^{\prime }}_{10}\left(t\right)=e^{{\theta }_3\left(t\right)}$ ，${\theta }_j\left(t\right)\left(j=2,3\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xii) 若$g=\left(p_1+p_2\right){\phi }_2\left(t_1\right)-p_2{\xi }_1=\left(p_3+p_4\right){\phi }_3\left(t_2\right)-p_4{\xi }_2$ ，${\xi }_1,{\xi }_2\in ℂ$ ，$t_1=z_2-\frac{d}{b{e}^{-{\xi }_1}}{z}_1=z_2-\frac{a{e}^{-{\xi }_1}}{\text{c}}{z}_1$ ，$t_2=z_2-\frac{b{e}^{-{\xi }_2}}{d}{z}_1=z_2-\frac{c}{a{e}^{-{\xi }_2}}{z}_1$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}{F}_{11}\left(t_1\right)+\frac{d}{D}{F}_{12}\left(t_2\right),\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{G}_{12}\left(t_2\right)-\frac{c}{D}{G}_{11}\left(t_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{11}\left(t\right)={G^{\prime }}_{11}\left(t\right)=e^{{\phi }_2\left(t\right)}$ ，${F^{\prime }}_{12}\left(t\right)={G^{\prime }}_{12}\left(t\right)=e^{{\phi }_3\left(t\right)}$ ，${\phi }_j\left(t\right)\left(j=2,3\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xiii) 若$g=p_1{\varphi }_3\left(z_1\right)+p_2{\varphi }_4\left(z_1\right)-p_2{\xi }_2=p_4{\varphi }_3\left(z_1\right)+p{}_3\varphi {}_4\left(z_1\right)-p_4{\xi }_1$ ，$a-c{e}^{{\xi }_1}=0$ ，$d{e}^{{\xi }_2}-b=0$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)F_{13}\left(z_1\right),\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)G_{13}\left(z_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{13}\left(t\right)=e^{{\varphi }_3\left(t\right)}$ ，${G^{\prime }}_{13}\left(t\right)=e^{{\varphi }_4\left(t\right)}$ ，${\varphi }_j\left(t\right)\left(j=3,4\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xiv) 若$g=p_1{\theta }_4\left(z_2\right)+p_2{\theta }_5\left(z_2\right)-p_2{\xi }_2=p_4{\theta }_4\left(z_2\right)+p_3{\theta }_5\left(z_2\right)-p_4{\xi }_1$ ，$d{e}^{{\xi }_1}-b=0$ ，$a-c{e}^{{\xi }_2}=0$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)G_{14}\left(z_2\right),\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)F_{14}\left(z_2\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{14}\left(t\right)=e^{{\theta }_4\left(t\right)}$ ，${G^{\prime }}_{14}\left(t\right)=e^{{\theta }_5\left(t\right)}$ ，${\theta }_j\left(t\right)$ $\left(j=4,5\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xv) 若$g=\left(p_1+p_2\right){\varphi }_5\left(z_1\right)+p_2\left({\xi }_3-{\xi }_1\right)=\left(p_3+p_4\right){\varphi }_5\left(z_1\right)+p_3\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-p_4{\xi }_1$ ，$c{e}^{{\xi }_1}-a=0$ ，$b{e}^{{\xi }_3}-$ $d{e}^{{\xi }_2}=0$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)F_{15}\left(z_1\right),\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}\right)G_{15}\left(z_1\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{15}\left(t\right)={G^{\prime }}_{15}\left(t\right)=e^{{\varphi }_5\left(t\right)}$ ，${\varphi }_5\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xvi) 若$g=\left(p_1+p_2\right){\phi }_6\left(z_2\right)+p_2\left({\xi }_3-{\xi }_1\right)=\left(p_3+p_4\right){\phi }_6\left(z_2\right)+p_3\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-p_4{\xi }_1$ ，$d{e}^{{\xi }_1}-b=0$ ，$a{e}^{{\xi }_3}-$ $c{e}^{{\xi }_2}=0$ ，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in ℂ$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)F_{16}\left(z_2\right),\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)G_{16}\left(z_2\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{16}\left(t\right)={G^{\prime }}_{16}\left(t\right)=e^{{\phi }_6\left(t\right)}$ ，${\phi }_6\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

(xvii) 若$g=\left(p_1+p_2\right){\theta }_6\left(t\right)+p_2\left({\xi }_3-{\xi }_1\right)=\left(p_3+p_4\right){\theta }_6\left(t\right)+p_3\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-p_4{\xi }_1$ ，$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{z}_1=$ $z_2-\frac{a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}}{c{e}^{{\xi }_1}-a}{z}_1$ ，则

$\left(\mu ,v\right)=\left(\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)F_{17}\left(t\right),\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)G_{17}\left(t\right)\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{17}\left(t\right)={G^{\prime }}_{17}\left(t\right)=e^{{\theta }_6\left(t\right)}$ ，${\theta }_6\left(t\right)$ 为$ℂ$ 中关于$t$ 的多项式。

注 定理D是定理1.1在$p_j=1\left(j=1,2,3,4\right)$ 条件下的一个特例，符合情形(xvii)。事实上当$p_1=p_2=p_3=p_4=1$ 时，满足${\xi }_3={\xi }_2-{\xi }_1$ ，此时由于$t=z_2+\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{e^{{\xi }_2-{\xi }_1}\left(d{e}^{{\xi }_1}-b\right)}{z}_1=z_2+e^{{\xi }_1-{\xi }_2}{z}_1$ ，且$t=z_2+$ $\frac{e^{{\xi }_2-{\xi }_1}\left(c{e}^{{\xi }_2}-a\right)}{c{e}^{{\xi }_1}-a}{z}_1=z_2+e^{{\xi }_2-{\xi }_1}{z}_1$ ，即得${\xi }_1,{\xi }_2$ 满足$e^{2\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)}=1$ 。进一步地，$g=2{\theta }_6\left(z_2+e^{{\xi }_2-{\xi }_1}{z}_1\right)+{\xi }_3-{\xi }_1=$ $2{{\theta }^{\prime }}_6\left(z_2+e^{{\xi }_1-\left(2{\xi }_1-{\xi }_2\right)}{z}_1\right)-{\xi }_1$ ，${{\theta }^{\prime }}_6\left(t\right)-{\theta }_6\left(t\right)={\xi }_3$ ，由情形(xvii)可知此时方程(1.6)的有限级超越整函数解对为

$\left(\mu ,v\right)=\left(\frac{e^{{\xi }_2-{\xi }_1}}{D}\left(d-b{e}^{-\left(2{\xi }_1-{\xi }_2\right)}\right)F_{17}\left(z_2+e^{{\xi }_1-{\xi }_2}{z}_1\right),\frac{1}{D}\left(a{e}^{-{\xi }_1}-c\right)G_{17}\left(z_2+e^{{\xi }_1-{\xi }_2}{z}_1\right)\right)$ ，

此形式与定理D结果等价。

下面给出例子说明方程组(1.6)中$n$ 个有限级超越整函数解的存在性。

例1.1 设

$\left(\mu ,v\right)=\left({\displaystyle {\int }_0^{z_1}{e}^{t^3+t^2+t}}\text{d}t+{\eta }_1,2{\displaystyle {\int }_0^{z_1}{e}^{t^3+t^2+t}}\text{d}t+{\eta }_2\right)$ ，

${\eta }_1,{\eta }_2\in ℂ$ ，则$\left(\mu ,v\right)$ 为方程组(1.6)的一对有限级超越整函数的解，其中$p_1=p_2=2$ ，$p_3=1$ ，$p_4=3$ ，$a=c=d=1$ ，$b=2$ 及$g=4z_1^3+4z_1^2+4z_1+\ln 4$ ，对应于定理1.1(xv)中${\varphi }_5\left(z_1\right)=z_1^3+z_1^2+z_1$ ，${\xi }_1=2\pi i$ ，${\xi }_2=\ln 4+8\pi i$ ，${\xi }_3=\ln 2+2\pi i$ 的情况。

例1.2 设

$\left(\mu ,v\right)=\left(2{\displaystyle {\int }_0^{z_2}{e}^{t^3+2t^2-t}}\text{d}t+{\eta }_1,{\displaystyle {\int }_0^{z_2}{e}^{t^3+2t^2-t}}\text{d}t+{\eta }_2\right)$ ，

${\eta }_1,{\eta }_2\in ℂ$ ，则$\left(\mu ,v\right)$ 为方程组(1.6)的一对有限级超越整函数的解，其中$p_1=p_3=2$ ，$p_2=p_4=1$ ，$a=b=d=1$ ，$c=2$ 及$g=3z_2^3+6z_2^2-3z_2+\ln 4$ ，对应于定理1.1(xvi)中${\phi }_6\left(z_2\right)=z_2^3+2z_2^2-z_2$ ，${\xi }_1=4\pi i$ ，${\xi }_2=\ln 2+6\pi i$ ，${\xi }_3=\ln 4+4\pi i$ 的情况。

例1.3 设

$\left(\mu ,v\right)=\left({\displaystyle {\int }_0^{z_2}{e}^{2{\left(t+z_1\right)}^3-3\left(t+z_1\right)}}\text{d}t-{\displaystyle {\int }_0^{z_2}{e}^{{\left(t-z_1\right)}^2}}\text{d}t+{\eta }_1,-2{\displaystyle {\int }_0^{z_2}{e}^{{\left(t-z_1\right)}^2}}\text{d}t-{\displaystyle {\int }_0^{z_2}{e}^{2{\left(t+z_1\right)}^3-3\left(t+z_1\right)}}\text{d}t+{\eta }_2\right)$ ，

${\eta }_1,{\eta }_2\in ℂ$ ，则$\left(\mu ,v\right)$ 为方程组(1.6)的一对有限级超越整函数的解，其中$p_1=p_3=1$ ，$p_2=p_4=-2$ ，$a=2$ ，$b=c=d=1$ 及$g=2{\left(z_1+z_2\right)}^3-2{\left(z_1-z_2\right)}^2-3\left(z_1+z_2\right)$ ，对应于定理1.1(xi)中${\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)={\theta }_2\left(z_2+z_1\right)$ $=2{\left(z_1+z_2\right)}^3-3\left(z_1+z_2\right)$ ，${\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)={\theta }_3\left(z_2-z_1\right)={\left(z_1-z_2\right)}^2$ ，${\xi }_1=2\pi i$ ，${\xi }_2=\pi i$ 的情况。

2. 引理

引理2.1 [9] [10]若$F$ 为${ℂ}^n$ 上的整函数，满足$F\left(0\right)\ne 0$ ，$\rho \left(n_F\right)=\rho <\infty$ ，其中$\rho \left(n_F\right)$ 是零点计数函数$F$ 的阶数，则存在函数$f_F$ 及$g_F\in {ℂ}^n$ 使得$F\left(z\right)=f_F\left(z\right)e^{g_F\left(z\right)}$ 。特别地，当$n=1$ 时，$f_F$ 是魏尔斯特拉斯函数。

引理2.2 [11]若$g,h$ 为复平面上的整函数，且$g\left(h\right)$ 为有限级整函数，则存在以下两种情况：

(i) $h$ 为多项式，$g$ 为有限级整函数；

(ii) $h$ 为非多项式的有限级整函数，$g$ 为零级超越整函数。

引理2.3 [12]假设$f_1,f_2,\cdots ,f_n\left(n\ge 2\right)$ 是亚纯函数，且$g_1,g_2,\cdots ,g_n$ 是整函数，满足以下条件：

(i) $f_1\left(z\right)e^{g_1\left(z\right)}+f_2\left(z\right)e^{g_2\left(z\right)}+\cdots +f_n\left(z\right)e^{g_n\left(z\right)}\equiv 0$ ；

(ii) 当$1\le j<k\le n$ 时，$g_j\left(z\right)-g_k\left(z\right)$ 不是常数；

(iii) 当$1\le j\le n$ 且$1\le h<k\le n$ 时，$T\left(r,f_j\right)=o\left(T\left(r,e^{g_h\left(z\right)-g_k\left(z\right)}\right)\right)\left(r\to \infty ,r\notin E\right)$ ，

其中$E\subset \left(r,\infty \right)$ 是有限线性测度或对数测度集，那么$f_j\left(z\right)\equiv 0\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 。

3. 定理1.1的证明

设$\left(\mu ,v\right)$ 为方程组(1.6)的一对有限级超越整函数解。观察方程组(1.6)的形式，显然此时$a{\mu }_{z_1}+b{v}_{z_2}$ ，$c{u}_{z_2}+d{v}_{z_1}$ ，$a{u}_{z_2}+b{v}_{z_1}$ ，$c{\mu }_{z_1}+d{v}_{z_2}$ 均无零点、极点。根据引理2.1及引理2.2，存在${ℂ}^2$ 中的多项式${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 使得

$a{\mu }_{z_1}+b{v}_{z_2}=e^{{\alpha }^1}$ ，$c{u}_{z_2}+d{v}_{z_1}=e^{{\beta }^1}$ ，$a{u}_{z_2}+b{v}_{z_1}=e^{{\alpha }^2}$ ，$c{\mu }_{z_1}+d{v}_{z_2}=e^{{\beta }^2}$ . (3.1)

于是

$g=p_1{\alpha }^1+p_2{\beta }^1=p_3{\alpha }^2+p_4{\beta }^2$ . (3.2)

注意到$D=ad-bc\ne 0$ ，联立(3.1)中四个式子得：

${\mu }_{z_1}=\frac{1}{D}\left(d{e}^{{\alpha }^1}-b{e}^{{\beta }^2}\right)$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{1}{D}\left(d{e}^{{\alpha }^2}-b{e}^{{\beta }^1}\right)$ ， (3.3)

$v_{z_1}=\frac{1}{D}\left(a{e}^{{\beta }^1}-c{e}^{{\alpha }^2}\right)$ ，$v_{z_2}=\frac{1}{D}\left(a{e}^{{\beta }^2}-c{e}^{{\alpha }^1}\right)$ ， (3.4)

由于${\mu }_{z_1{z}_2}={\mu }_{z_2{z}_1}，$ $v_{z_1{z}_2}=v_{z_2{z}_1}$ ，对(3.3)、(3.4)四个式子同时求偏导进一步得：

$d{\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}-d{\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}+b{\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1}-b{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ， (3.5)

$c{\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}-c{\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}+a{\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1}-a{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ . (3.6)

由于$g$ 为${ℂ}^2$ 中的非常数多项式，且$g=p_1{\alpha }^1+p_2{\beta }^1=p_3{\alpha }^2+p_4{\beta }^2$ ，故${\alpha }^i$ 与${\beta }^i\left(i=1,2\right)$ 不同时为常数，以下分三种情形讨论式(3.5)和(3.6)。

情形1 ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 仅存在一个常数。

情形1.1 若${\alpha }^1$ 为常数，设${\alpha }^1={\xi }_1$ ，则

$d{\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}-b{\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1}+b{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ， (3.7)

$c{\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}-a{\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1}+a{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ . (3.8)

若${\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值有且仅有一个常数。不失一般性，假设${\alpha }^2-{\beta }^1$ 为常数，根据引理2.3得${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，即${\beta }^2$ 为常数，矛盾。若${\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值存在两个常数值，不妨设${\alpha }^2-{\beta }^1={\xi }_2$ ，${\beta }^2-{\beta }^1={\xi }_3$ ，则${\alpha }^2-{\beta }^2={\xi }_2-{\xi }_3$ ，满足${\beta }_{z_1}^1={\beta }_{z_1}^2={\alpha }_{z_1}^2$ ，${\beta }_{z_2}^1={\beta }_{z_2}^2={\alpha }_{z_2}^2$ 。故由式(3.7)和(3.8)得：

$\left(d{e}^{{\xi }_2}-b\right){\alpha }_{z_1}^2+b{e}^{{\xi }_3}{\alpha }_{z_2}^2=0$ ，$a{e}^{{\xi }_3}{\alpha }_{z_1}^2+\left(c{e}^{{\xi }_2}-a\right){\alpha }_{z_2}^2=0$ .

若$d{e}^{{\xi }_2}-b=0$ ，此时${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_2}^2=0$ ，即${\alpha }^2$ 为常数，矛盾。同理若$c{e}^{{\xi }_2}-a=0$ ，推出${\alpha }^2$ 为常数，矛盾。故$c{e}^{{\xi }_2}-a\ne 0$ 且$d{e}^{{\xi }_2}-b\ne 0$ ，因此有

${\alpha }_{z_1}^2+\frac{b{e}^{{\xi }_3}}{d{e}^{{\xi }_2}-b}{\alpha }_{z_2}^2=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2+\frac{c{e}^{{\xi }_2}-a}{a{e}^{{\xi }_3}}{\alpha }_{z_2}^2=0$ .

那么${\alpha }^2=\phi \left(t\right)$ ，其中$\phi \left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{b{e}^{{\xi }_3}}{d{e}^{{\xi }_2}-b}{z}_1=z_2-\frac{c{e}^{{\xi }_2}-a}{a{e}^{{\xi }_3}}{z}_1$ 的多项式。结合式(3.3)、(3.4)得：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{e}^{\phi \left(t\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{\phi \left(t\right)}$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)e^{\phi \left(t\right)}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{e}^{\phi \left(t\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，

因此$\mu =\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)F_1\left(t\right)+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1$ ，$v=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{G}_1\left(t\right)-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2$ ，其中${F^{\prime }}_1\left(t\right)={G^{\prime }}_1\left(t\right)=e^{\phi \left(t\right)}$ ，此时$g=p_2\phi \left(t\right)+p_1{\xi }_1-p_2{\xi }_2=\left(p_3+p_4\right)\phi \left(t\right)-p_4{\xi }_2+p_4{\xi }_3$ 。

情形1.2 若${\alpha }^2$ 为常数，和上面的证明类似，不妨设${\alpha }^2={\xi }_1$ ，此时

$d{\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}+b{\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1}-b{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ， (3.9)

$c{\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}+a{\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1}-a{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ . (3.10)

倘若${\alpha }^1,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值仅有一个常数，不妨设${\alpha }^1-{\beta }^1$ 为常数，根据引理2.3我们有${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，矛盾。倘若${\alpha }^1,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值有两个常数，设${\alpha }^1-{\beta }^1={\xi }_2$ ，${\beta }^2-{\beta }^1={\xi }_3$ ，则${\alpha }^1-{\beta }^2={\xi }_2-{\xi }_3$ ，故式(3.9)、(3.10)进一步得：

$b{\alpha }_{z_1}^1+\left(d{e}^{{\xi }_2}-b{e}^{{\xi }_3}\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ ，$\left(c{e}^{{\xi }_2}-a{e}^{{\xi }_3}\right){\alpha }_{z_1}^1+a{\alpha }_{z_2}^1=0$ .

若$d{e}^{{\xi }_2}-b{e}^{{\xi }_3}=0$ ，此时${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，矛盾。同理$c{e}^{{\xi }_2}-a{e}^{{\xi }_3}=0$ 时同样推出矛盾，故此时$d{e}^{{\xi }_2}-b{e}^{{\xi }_3}\ne 0$ 且$c{e}^{{\xi }_2}-a{e}^{{\xi }_3}\ne 0$ ，因此

${\alpha }_{z_1}^1+\frac{d{e}^{{\xi }_2}-b{e}^{{\xi }_3}}{b}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{a}{c{e}^{{\xi }_2}-a{e}^{{\xi }_3}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

即得${\alpha }^1=\varphi \left(t\right)$ ，其中$\varphi \left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_2}-b{e}^{{\xi }_3}}{b}{z}_1=z_2-\frac{a}{c{e}^{{\xi }_2}-a{e}^{{\xi }_3}}{z}_1$ 的多项式。结合式(3.3)、(3.4)可知：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}\right)e^{\varphi \left(t\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}{e}^{\varphi \left(t\right)}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{e}^{\varphi \left(t\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)e^{\varphi \left(t\right)}$ ，

易得$u=-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}{F}_2\left(t\right)+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)G_2\left(t\right)-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1$ ，其中${F^{\prime }}_2\left(t\right)={G^{\prime }}_2\left(t\right)=e^{\varphi \left(t\right)}$ ，此时$g=\left(p_1+p_2\right)\varphi \left(t\right)-p_2{\xi }_2=p_4\varphi \left(t\right)+p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_2+p_4{\xi }_3$ 。

情形1.3 若${\beta }^1$ 为常数，不妨设${\beta }^1={\xi }_1$ ，则

$d{\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}-d{\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}-b{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ， (3.11)

$c{\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}-c{\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}-a{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ . (3.12)

假设${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^2$ 两两间的差值仅有一个常数，不妨设${\alpha }^1-{\alpha }^2$ 为常数，则${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，矛盾。若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^2$ 两两间的差值存在两个常数，设${\alpha }^1-{\beta }^2={\xi }_2$ ，${\alpha }^2-{\beta }^2={\xi }_3$ ，则${\alpha }^1-{\alpha }^2={\xi }_2-{\xi }_3$ ，式(3.11)及(3.12)可写成：

$d{e}^{{\xi }_3}{\alpha }_{z_1}^1+\left(b-d{e}^{{\xi }_2}\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ ，$\left(a-c{e}^{{\xi }_2}\right){\alpha }_{z_1}^1+c{e}^{{\xi }_3}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

若$b-d{e}^{{\xi }_2}=0$ ，此时${\alpha }_{z_1}^1=0$ 且${\alpha }_{z_2}^1=0$ ，矛盾。同理若$a-c{e}^{{\xi }_2}=0$ 同样推出矛盾，故$b-d{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ ，$a-c{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ 。

此时

${\alpha }_{z_1}^1+\frac{b-d{e}^{{\xi }_2}}{d{e}^{{\xi }_3}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{c{e}^{{\xi }_3}}{a-c{e}^{{\xi }_2}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

即${\alpha }^1=\theta \left(t\right)$ ，其中$\theta \left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{b-d{e}^{{\xi }_2}}{d{e}^{{\xi }_3}}{z}_1=z_2-\frac{c{e}^{{\xi }_3}}{a-c{e}^{{\xi }_2}}{z}_1$ 的多项式。结合式(3.3)、(3.4)可知：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{\theta \left(t\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{e}^{\theta \left(t\right)}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{e}^{\theta \left(t\right)}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)e^{\theta \left(t\right)}$ ，

故而$u=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}{F}_3\left(t\right)-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)G_3\left(t\right)+\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1$ ，其中${F^{\prime }}_3\left(t\right)={G^{\prime }}_3\left(t\right)=e^{\theta \left(t\right)}$ ，此时$g=p_1\theta \left(t\right)+p_2{\xi }_1=\left(p_3+p_4\right)\theta \left(t\right)+p_3{\xi }_3-p_3{\xi }_2-p_4{\xi }_2$ 。

情形1.4 若${\beta }^2$ 为常数，不妨设${\beta }^2={\xi }_1$ ，此时式(3.5)和(3.6)可变形得到：

$d{\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}-d{\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}+b{\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1}=0$ ， (3.13)

$c{\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}-c{\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}+a{\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1}=0$ . (3.14)

若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1$ 两两间的差值仅存在一个常数，不失一般性，假设${\alpha }^1-{\alpha }^2$ 为常数，由引理2.3得${\beta }_{z_1}^1={\beta }_{z_2}^1=0$ ，矛盾。若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1$ 两两间的差值存在两个常数，设${\alpha }^1-{\beta }^1={\xi }_2$ ，${\alpha }^2-{\beta }^1={\xi }_3$ ，则${\alpha }^1-{\alpha }^2={\xi }_2-{\xi }_3$ ，此时满足${\alpha }_{z_1}^2={\beta }_{z_1}^1={\alpha }_{z_1}^1$ ，${\alpha }_{z_2}^2={\beta }_{z_2}^1={\alpha }_{z_2}^1$ 。式(3.13)、(3.14)可变形得：

$\left(b-d{e}^{{\xi }_3}\right){\alpha }_{z_1}^1+d{e}^{{\xi }_2}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，$c{e}^{{\xi }_2}{\alpha }_{z_1}^1+\left(a-c{e}^{{\xi }_3}\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ 。

若$b-d{e}^{{\xi }_3}=0$ ，则${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，矛盾。若$a-c{e}^{{\xi }_3}=0$ ，同样推出${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，矛盾。故而$b-d{e}^{{\xi }_3}\ne 0$ ，$a-c{e}^{{\xi }_3}\ne 0$ ，且

${\alpha }_{z_1}^1+\frac{d{e}^{{\xi }_2}}{b-d{e}^{{\xi }_3}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{a-c{e}^{{\xi }_3}}{c{e}^{{\xi }_2}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

即此时${\alpha }^1=\psi \left(t\right)$ ，其中$\psi \left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_2}}{b-d{e}^{{\xi }_3}}{z}_1=z_2-\frac{a-c{e}^{{\xi }_3}}{c{e}^{{\xi }_2}}{z}_1$ 的多项式。结合式(3.3)、(3.4)得：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{\psi \left(t\right)}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{\psi \left(t\right)}$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}\right)e^{\psi \left(t\right)}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{\psi \left(t\right)}$ ，

故方程组(1.6)的解为$\mu =\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_2}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)F_4\left(t\right)-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1$ ，$v=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2-\frac{c}{D}{G}_4\left(t\right)$ ，其中${F^{\prime }}_4\left(t\right)={G^{\prime }}_4\left(t\right)=e^{\psi \left(t\right)}$ ，此时$g=\left(p_1+p_2\right)\psi \left(t\right)-p_2{\xi }_2=p_3\psi \left(t\right)+p_3{\xi }_3-p_3{\xi }_2+p_4{\xi }_1$ 。

情形2 ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 中仅存在两个常数。

情形2.1 若${\alpha }^i\left(i=1,2\right)$ 为常数，不妨设${\alpha }^1={\xi }_1$ ，${\alpha }^2={\xi }_2$ ，此时式(3.5)、(3.6)变形得：

${\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1}-{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ， (3.15)

${\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1}-{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ， (3.16)

由引理2.3得，此时${\beta }^1-{\beta }^2$ 为常数或${\beta }_{z_1}^1={\beta }_{z_2}^1={\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，后者显然不成立，否则${\beta }^1,{\beta }^2$ 为常数，矛盾。设${\beta }^1-{\beta }^2={\xi }_3$ ，(3.15)、(3.16)式变形为

${\beta }_{z_1}^1{e}^{{\xi }_3}-{\beta }_{z_2}^1=0$ ，${\beta }_{z_2}^1{e}^{{\xi }_3}-{\beta }_{z_1}^1=0$ ，

即${\beta }^1={\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)={\phi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)$ ，其中${\xi }_3$ 满足$e^{2{\xi }_3}=1$ ，故此时${\beta }^2={\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)-{\xi }_3=$ ${\phi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)-{\xi }_3$ ，将${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 代入(3.3)、(3.4)得：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}{e}^{{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{b}{D}{e}^{{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}{e}^{{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，

故此时方程组(1.6)的有限级超越整函数解为

$\mu =\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_2-\frac{b}{D}{F}_5\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)$ ，$v=-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_1-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2+\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3}{G}_5\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_5\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)={G^{\prime }}_5\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)=e^{{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)}$ ，此时$g=p_2{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)+p_1{\xi }_1=p_4{\phi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)+p_3{\xi }_2-p_4{\xi }_3$ 。

情形2.2 若${\beta }^i\left(i=1,2\right)$ 为常数，令${\beta }^1={\xi }_1$ ，${\beta }^2={\xi }_2$ ，此时满足

${\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}-{\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}=0$ ， (3.17)

${\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}-{\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}=0$ . (3.18)

由引理2.3可知此时${\alpha }^1-{\alpha }^2$ 为常数或${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1={\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_2}^2=0$ ，后者显然不成立，否则${\alpha }^1,{\alpha }^2$ 为常数，矛盾。设${\alpha }^1-{\alpha }^2={\xi }_3$ ，此时${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_1}^1$ ，${\alpha }_{z_2}^2={\alpha }_{z_2}^1$ ，故而：

$e^{{\xi }_3}{\alpha }_{z_2}^1-{\alpha }_{z_1}^1=0$ ，$e^{{\xi }_3}{\alpha }_{z_1}^1-{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

即${\alpha }^1={\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)={\varphi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)$ ，其中${\xi }_3$ 满足$e^{2{\xi }_3}=1$ ，故此时${\alpha }^2={\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)-{\xi }_3=$ ${\varphi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)-{\xi }_3$ 。结合式(3.3)、(3.4)可知：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\varphi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{-{\xi }_3}{e}^{{\varphi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{-{\xi }_3}{e}^{{\varphi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\varphi }_1\left(z_2+e^{-{\xi }_3}{z}_1\right)}$ ，

故方程组(1.6)的有限级超越整函数解为

$\mu =-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_1-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_2+\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_3}{F}_6\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)$ ，$v=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_1}{z}_1+\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}{z}_2-\frac{c}{D}{G}_6\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_6\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)={G^{\prime }}_6\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)=e^{{\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)}$ ，此时$g=p_1{\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)+p_2{\xi }_1=p_3{\varphi }_1\left(z_2+e^{{\xi }_3}{z}_1\right)-p_3{\xi }_3+p_3{\xi }_2$ 。

情形2.3 若${\alpha }^1,{\beta }^2$ 为常数，令${\alpha }^1={\xi }_1$ ，${\beta }^2={\xi }_2$ ，此时式(3.5)、(3.6)变形得：

$d{\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}-b{\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1}=0$ ，$c{\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}-a{\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1}=0$ 。

由引理2.3推得${\alpha }^2-{\beta }^1$ 为常数或${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_2}^2={\beta }_{z_1}^1={\beta }_{z_2}^1=0$ ，后者显然不成立，否则${\alpha }^2,{\beta }^1$ 为常数，矛盾。设${\alpha }^2-{\beta }^1={\xi }_3$ ，此时${\beta }_{z_1}^1={\alpha }_{z_1}^2$ ，${\beta }_{z_2}^1={\alpha }_{z_2}^2$ ，故而

$\left(d{e}^{{\xi }_3}-b\right){\alpha }_{z_1}^2=0$ ， (3.19)

$\left(c{e}^{{\xi }_3}-a\right){\alpha }_{z_2}^2=0$ ， (3.20)

显然$d{e}^{{\xi }_3}-b$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a$ 不可同时为零，否则$D=ad-bc=0$ ，矛盾。同时$d{e}^{{\xi }_3}-b$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a$ 不可同时为非零常数，否则${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_2}^2=0$ ，即${\alpha }^2$ 为常数，矛盾。

(i) 若$d{e}^{{\xi }_3}-b=0$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a\ne 0$ ，由(3.19)、(3.20)可得${\alpha }_{z_2}^2=0$ ，即${\alpha }^2={\theta }_1\left(z_1\right)$ ，进一步的${\beta }^1={\theta }_1\left(z_1\right)-{\xi }_3$ ，结合式子(3.3)、(3.4)得：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)e^{{\theta }_1\left(z_1\right)}=0$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)e^{{\theta }_1\left(z_1\right)}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，

对上述式子求积分得

$\mu =\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_1$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_2+\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)F_7\left(z_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_7\left(z_1\right)=e^{{\theta }_1\left(z_1\right)}$ ，此时$g=p_2{\theta }_1\left(z_1\right)+p_1{\xi }_1-p_2{\xi }_3=p_3{\theta }_1\left(z_1\right)+p_4{\xi }_2$ 。

(ii) 若$c{e}^{{\xi }_3}-a=0$ ，$d{e}^{{\xi }_3}-b\ne 0$ ，由式(3.19)、(3.20)可得${\alpha }_{z_1}^2=0$ ，即${\alpha }^2={\psi }_1\left(z_2\right)$ ，进一步的${\beta }^1={\psi }_1\left(z_2\right)-{\xi }_3$ ，由式(3.3)、(3.4)可得：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)e^{{\psi }_1\left(z_2\right)}$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)e^{{\psi }_1\left(z_2\right)}=0$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，

对上述式子求积分得

$\mu =\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_1+\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)G_7\left(z_2\right)$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_2$ ，

其中$G_7{}^{\prime }\left(z_2\right)=e^{{\psi }_1\left(z_2\right)}$ ，此时$g=p{}_2\psi {}_1\left(z_2\right)+p{}_1\xi {}_1-p{}_2\xi {}_3=p{}_3\psi {}_1\left(z_2\right)+p{}_4\xi {}_2$ 。

情形2.4 若${\alpha }^2,{\beta }^1$ 为常数，令${\alpha }^2={\xi }_1$ ，${\beta }^1={\xi }_2$ ，此时式(3.5)、(3.6)变形得：

$d{\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}-b{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ，$c{\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}-a{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2}=0$ ，

根据引理2.3可知此时${\alpha }^1-{\beta }^2$ 为常数或${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1={\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，后者显然不成立，否则${\alpha }^1,{\beta }^2$ 为常数，矛盾。设${\alpha }^1-{\beta }^2={\xi }_3$ ，此时${\beta }_{z_1}^2={\alpha }_{z_1}^1$ ，${\beta }_{z_2}^2={\alpha }_{z_2}^1$ ，故而

$\left(d{e}^{{\xi }_3}-b\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ ，$\left(c{e}^{{\xi }_3}-a\right){\alpha }_{z_1}^1=0$ ，

显然此时$d{e}^{{\xi }_3}-b$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a$ 不可同时为零，否则$D=ad-bc=0$ ，矛盾。同时$d{e}^{{\xi }_3}-b$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a$ 不可同时为非零常数，否则${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ 即${\alpha }^1$ 为常数，亦推出矛盾。

(i) 若$d{e}^{{\xi }_3}-b=0$ ，$c{e}^{{\xi }_3}-a\ne 0$ ，此时${\alpha }_{z_1}^1=0$ ，即${\alpha }^1={\phi }_2\left(z_2\right)$ ，进一步地${\beta }^2={\phi }_2\left(z_2\right)-{\xi }_3$ ，结合式(3.3)、(3.4)可得：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)e^{{\phi }_2\left(z_2\right)}=0$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)e^{{\phi }_2\left(z_2\right)}$ ，

对上述式子求积分得

$\mu =\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_2$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)F_8\left(z_2\right)+\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_1$ ，

其中${F^{\prime }}_8\left(z_2\right)=e^{{\phi }_2\left(z_2\right)}$ ，此时$g=p_1{\phi }_2\left(z_2\right)+p_2{\xi }_2=p_4{\phi }_2\left(z_2\right)+p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_3$ 。

(ii) 若$c{e}^{{\xi }_3}-a=0$ ，$d{e}^{{\xi }_3}-b\ne 0$ ，此时满足${\alpha }_{z_2}^1=0$ ，即${\alpha }^1={\varphi }_2\left(z_1\right)$ ，结合式(3.3)、(3.4)可进一步得：

${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)e^{{\varphi }_2\left(z_1\right)}$ ，${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_3}-\frac{c}{D}\right)e^{{\varphi }_2\left(z_1\right)}=0$ ，

对上述式子求积分得

$\mu =\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_3}\right)G_8\left(z_1\right)+\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_2}\right)z_2$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_2}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_1}\right)z_1$ ，

其中${G^{\prime }}_8\left(z_1\right)=e^{{\varphi }_2\left(z_1\right)}$ ，此时$g=p_1{\varphi }_2\left(z_1\right)+p_2{\xi }_2=p_4{\varphi }_2\left(z_1\right)+p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_3$ 。

情形3 ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 均为非常数多项式。

情形3.1 若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值不为常数，则由引理2.3结合(3.5)、(3.6)式得：${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_2}^2=0$ ，${\beta }_{z_1}^1={\beta }_{z_2}^1=0$ ，${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，即${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 均为常数多项式，矛盾。

情形3.2 若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值仅存在一个常数。不失一般性，假设${\alpha }^1-{\alpha }^2$ 为常数，令${\alpha }^1-{\alpha }^2={\xi }_1$ ，此时由(3.5)、(3.6)式得：

$d{\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\xi }_1}-d{\alpha }_{z_1}^2+b{\beta }_{z_1}^1{e}^{{\beta }^1-{\alpha }^2}-b{\beta }_{z_2}^2{e}^{{\beta }^2-{\alpha }^2}=0$ ，$c{\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\xi }_1}-c{\alpha }_{z_2}^2+a{\beta }_{z_2}^1{e}^{{\beta }^1-{\alpha }^2}-a{\beta }_{z_1}^2{e}^{{\beta }^2-{\alpha }^2}=0$ ，

此时${\beta }^1-{\alpha }^2$ ，${\beta }^2-{\alpha }^2$ ，$\left({\beta }^1-{\alpha }^2\right)-\left({\beta }^2-{\alpha }^2\right)={\beta }^1-{\beta }^2$ 均不为常数，由引理2.3可知${\beta }_{z_1}^1={\beta }_{z_2}^1=0$ ，${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，即${\beta }^1,{\beta }^2$ 为常数，矛盾。

情形3.3 若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值仅存在两个常数，此时包含以下几种情况。

情形3.3.1 若${\alpha }^1$ 与${\alpha }^2$ 及${\beta }^1$ 与${\beta }^2$ 间的差值为常数。令${\alpha }^1-{\alpha }^2={\xi }_1$ ，${\beta }^1-{\beta }^2={\xi }_2$ ，此时${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_1}^1$ ，${\alpha }_{z_2}^2={\alpha }_{z_2}^1$ ，${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_1}^1$ ，${\beta }_{z_2}^2={\beta }_{z_2}^1$ ，(3.5)、(3.6)式可变形得：

$d\left({\alpha }_{z_2}^1-{\alpha }_{z_1}^1{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\alpha }^1}+b\left({\beta }_{z_1}^1-{\beta }_{z_2}^1{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{{\beta }^1}=0$ ，

$c\left({\alpha }_{z_1}^1-{\alpha }_{z_2}^1{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\alpha }^1}+a\left({\beta }_{z_2}^1-{\beta }_{z_1}^1{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{{\beta }^1}=0$ 。

由于${\alpha }^1-{\beta }^1$ 不为常数，故

${\alpha }_{z_2}^1-{\alpha }_{z_1}^1{e}^{-{\xi }_1}=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1-{\alpha }_{z_2}^1{e}^{-{\xi }_1}=0$ ，${\beta }_{z_1}^1-{\beta }_{z_2}^1{e}^{-{\xi }_2}=0$ ，${\beta }_{z_2}^1-{\beta }_{z_1}^1{e}^{-{\xi }_2}=0$ ，

即得${\alpha }^1={\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)={\theta }_2\left(z_2+e^{-{\xi }_1}{z}_1\right)$ ，${\beta }^1={\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)={\theta }_3\left(z_2+e^{-{\xi }_2}{z}_1\right)$ ，其中${\xi }_1,{\xi }_2$ 满足$e^{2{\xi }_1}=1$ ，$e^{2{\xi }_2}=1$ 。

进一步得${\alpha }^2={\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)-{\xi }_1$ ，${\beta }^2={\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)-{\xi }_2$ 。由(3.3)、(3.4)式可知：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}{e}^{{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{-{\xi }_1}{e}^{{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)}-\frac{b}{D}{e}^{{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)}-\frac{c}{D}{e}^{-{\xi }_1}{e}^{{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{e}^{{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)}$ ，

对上述式子积分得

$\mu =\frac{d}{D}{e}^{-{\xi }_1}{F}_9\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)-\frac{b}{D}{F}_{10}\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)$ ，$v=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{G}_{10}\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)-\frac{c}{D}{G}_9\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_9\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)={G^{\prime }}_9\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)=e^{{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)}$ ，${F^{\prime }}_{10}\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)={G^{\prime }}_{10}\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)=e^{{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)}$ ，此时$g=p_1{\theta }_2$ $\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)+p_2{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)=p_3{\theta }_2\left(z_2+e^{{\xi }_1}{z}_1\right)+p_4{\theta }_3\left(z_2+e^{{\xi }_2}{z}_1\right)-p_3{\xi }_1-p_4{\xi }_2$ 。

情形3.3.2 若${\alpha }^1$ 与${\beta }^1$ 及${\alpha }^2$ 与${\beta }^2$ 间的差值为常数，令${\alpha }^1-{\beta }^1={\xi }_1$ ，${\alpha }^2-{\beta }^2={\xi }_2$ ，此时${\beta }_{z_1}^1={\alpha }_{z_1}^1$ ，${\beta }_{z_2}^1={\alpha }_{z_2}^1$ ，${\beta }_{z_1}^2={\alpha }_{z_1}^2$ ，${\beta }_{z_2}^2={\alpha }_{z_2}^2$ ，(3.5)、(3.6)式可变形得：

$\left(d{\alpha }_{z_2}^1+b{e}^{-{\xi }_1}{\alpha }_{z_1}^1\right)e^{{\alpha }^1}-\left(d{\alpha }_{z_1}^2+b{e}^{-{\xi }_2}{\alpha }_{z_2}^2\right)e^{{\alpha }^2}=0$ ，

$\left(c{\alpha }_{z_1}^1+a{e}^{-{\xi }_1}{\alpha }_{z_2}^1\right)e^{{\alpha }^1}-\left(c{\alpha }_{z_2}^2+a{e}^{-{\xi }_2}{\alpha }_{z_1}^2\right)e^{{\alpha }^2}=0$ 。

由于${\alpha }^1-{\alpha }^2$ 不为常数，故

$d{\alpha }_{z_2}^1+b{e}^{-{\xi }_1}{\alpha }_{z_1}^1=0$ ，$c{\alpha }_{z_1}^1+a{e}^{-{\xi }_1}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，$d{\alpha }_{z_1}^2+b{e}^{-{\xi }_2}{\alpha }_{z_2}^2=0$ ，$c{\alpha }_{z_2}^2+a{e}^{-{\xi }_2}{\alpha }_{z_1}^2=0$ ，

即

${\alpha }_{z_1}^1+\frac{d}{b{e}^{-{\xi }_1}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{a{e}^{-{\xi }_1}}{c}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2+\frac{b{e}^{-{\xi }_2}}{d}{\alpha }_{z_2}^2=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2+\frac{c}{a{e}^{-{\xi }_2}}{\alpha }_{z_2}^2=0$ ，

故而${\alpha }^1={\phi }_2\left(t_1\right)$ ，${\alpha }^2={\phi }_3\left(t_2\right)$ ，其中${\phi }_4\left(t_1\right)$ 是关于$t_1=z_2-\frac{d}{b{e}^{-{\xi }_1}}{z}_1=z_2-\frac{a{e}^{-{\xi }_1}}{c}{z}_1$ 的多项式，${\phi }_3\left(t_2\right)$ 是关于$t_2=z_2-\frac{b{e}^{-{\xi }_2}}{d}{z}_1=z_2-\frac{c}{a{e}^{-{\xi }_2}}{z}_1$ 的多项式，结合(3.3)、(3.4)式得：

${\mu }_{z_1}=\frac{d}{D}{e}^{{\phi }_2\left(t_1\right)}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}{e}^{{\phi }_3\left(t_2\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\frac{d}{D}{e}^{{\phi }_3\left(t_2\right)}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}{e}^{{\phi }_2\left(t_1\right)}$ ，

$v_{z_1}=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}{e}^{{\phi }_2\left(t_1\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\phi }_3\left(t_2\right)}$ ，$v_{z_2}=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{e}^{{\phi }_3\left(t_2\right)}-\frac{c}{D}{e}^{{\phi }_2\left(t_1\right)}$ ，

进一步求积分得

$\mu =-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}{F}_{11}\left(t_1\right)+\frac{d}{D}{F}_{12}\left(t_2\right)$ ，$v=\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}{G}_{12}\left(t_2\right)-\frac{c}{D}{G}_{11}\left(t_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{11}\left(t_1\right)={G^{\prime }}_{11}\left(t_1\right)=e^{{\phi }_2\left(t_1\right)}$ ，${F^{\prime }}_{12}\left(t_2\right)={G^{\prime }}_{12}\left(t_2\right)=e^{{\phi }_3\left(t_2\right)}$ ，此时$g=\left(p_1+p_2\right){\phi }_2\left(t_1\right)-p_2{\xi }_1=$ $\left(p_3+p_4\right){\phi }_3\left(t_2\right)-p_4{\xi }_2$ 。

情形3.3.3 若${\alpha }^1$ 与${\beta }^2$ 及${\alpha }^2$ 与${\beta }^1$ 间的差值为常数，不妨设${\alpha }^1-{\beta }^2={\xi }_1$ ，${\alpha }^2-{\beta }^1={\xi }_2$ ，此时${\beta }_{z_1}^2={\alpha }_{z_1}^1$ ，${\beta }_{z_2}^2={\alpha }_{z_2}^1$ ，${\beta }_{z_1}^1={\alpha }_{z_1}^2$ ，${\beta }_{z_2}^1={\alpha }_{z_2}^2$ ，由(3.5)、(3.6)式可进一步变形得：

$\left(d-b{e}^{-{\xi }_1}\right){\alpha }_{z_2}^1{e}^{{\alpha }^1}+\left(b{e}^{-{\xi }_2}-d\right){\alpha }_{z_1}^2{e}^{{\alpha }^2}=0$ ，

$\left(c-a{e}^{-{\xi }_1}\right){\alpha }_{z_1}^1{e}^{{\alpha }^1}+\left(a{e}^{-{\xi }_2}-c\right){\alpha }_{z_2}^2{e}^{{\alpha }^2}=0$ .

由于${\alpha }^1-{\alpha }^2$ 为非常数，故此时

$\left(c-a{e}^{-{\xi }_1}\right){\alpha }_{z_1}^1=0$ ，$\left(d-b{e}^{-{\xi }_1}\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

$\left(b{e}^{-{\xi }_2}-d\right){\alpha }_{z_1}^2=0$ ，$\left(a{e}^{-{\xi }_2}-c\right){\alpha }_{z_2}^2=0$ ，

显然$d-b{e}^{-{\xi }_1}$ 与$c-a{e}^{-{\xi }_1}$ 、$b{e}^{-{\xi }_2}-d$ 与$a{e}^{-{\xi }_2}-c$ 不可同时为零，否则$D=ad-bc=0$ ，矛盾。同样的$d-b{e}^{-{\xi }_1}$ 与$c-a{e}^{-{\xi }_1}$ 、$b{e}^{-{\xi }_2}-d$ 与$a{e}^{-{\xi }_2}-c$ 不可同时为非零常数，否则${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2={\alpha }_{z_2}^2=0$ ，即${\alpha }^1,{\alpha }^2$ 为常数，矛盾。

• 若$d-b{e}^{-{\xi }_1}=0$ ，$b{e}^{-{\xi }_2}-d=0$ ，则$c-a{e}^{-{\xi }_1}\ne 0$ ，$a{e}^{-{\xi }_2}-c\ne 0$ ，此时${\alpha }_{z_1}^1=0$ ，${\alpha }_{z_2}^2=0$ ，即得${\alpha }^1={\phi }_3\left(z_2\right)$ ，${\alpha }^2={\phi }_4\left(z_1\right)$ ，此时结合(3.3)式进一步得到：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\phi }_3\left(z_2\right)}=0$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{{\phi }_4\left(z_1\right)}=0$ ，

即$u$ 为常数，矛盾。

(ii) 若$d-b{e}^{-{\xi }_1}\ne 0$ ，$b{e}^{-{\xi }_2}-d=0$ ，则$c-a{e}^{-{\xi }_1}=0$ ，$a{e}^{-{\xi }_2}-c\ne 0$ ，此时${\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_2}^2=0$ ，即${\alpha }^1={\varphi }_3\left(z_1\right)$ ，${\alpha }^2={\varphi }_4\left(z_1\right)$ ，此时${\beta }^1={\varphi }_4\left(z_1\right)-{\xi }_2$ ，${\beta }^2={\varphi }_3\left(z_1\right)-{\xi }_1$ ，由结合(3.3)、(3.4)式得：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\varphi }_3\left(z_1\right)}$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{{\varphi }_4\left(z_1\right)}=0$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)e^{{\varphi }_4\left(z_1\right)}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\varphi }_3\left(z_1\right)}=0$ ，

积分进一步求得

$\mu =\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)F_{13}\left(z_1\right)$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)G_{13}\left(z_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{13}\left(z_1\right)=e^{{\varphi }_3\left(z_1\right)}$ ，${G^{\prime }}_{13}\left(z_1\right)=e^{{\varphi }_4\left(z_1\right)}$ ，此时$g=p_1{\varphi }_3\left(z_1\right)+p_2{\varphi }_4\left(z_1\right)-p_2{\xi }_2=p_4{\varphi }_3\left(z_1\right)+p_3{\varphi }_4\left(z_1\right)-p_4{\xi }_1$ 。

(iii) 若$d-b{e}^{-{\xi }_1}=0$ ，$b{e}^{-{\xi }_2}-d\ne 0$ ，此时$c-a{e}^{-{\xi }_1}\ne 0$ ，$a{e}^{-{\xi }_2}-c=0$ ，推得${\alpha }_{z_1}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2=0$ ，故此时${\alpha }^1={\theta }_4\left(z_2\right)$ ，${\alpha }^2={\theta }_5\left(z_2\right)$ ，${\beta }^1={\theta }_5\left(z_2\right)-{\xi }_2$ ，${\beta }^2={\theta }_4\left(z_2\right)-{\xi }_1$ ，代入(3.3)、(3.4)式中得：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\theta }_4\left(z_2\right)}=0$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)e^{{\theta }_5\left(z_2\right)}$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)e^{{\theta }_5\left(z_2\right)}=0$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\theta }_4\left(z_2\right)}$ ，

对上述式子求积分得$\mu =\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_2}\right)G_{14}\left(z_2\right)$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)F_{14}\left(z_2\right)$ ，其中${F^{\prime }}_{14}\left(z_2\right)=e^{{\theta }_4\left(z_2\right)}$ ，${G^{\prime }}_{14}\left(z_2\right)=e^{{\theta }_5\left(z_2\right)}$ ，此时$g=p_1{\theta }_4\left(z_2\right)+p_2{\theta }_5\left(z_2\right)-p_2{\xi }_2=p_4{\theta }_4\left(z_2\right)+p_3{\theta }_5\left(z_2\right)-p_4{\xi }_1$ 。

(iv) 若$d-b{e}^{-{\xi }_1}\ne 0$ ，$b{e}^{-{\xi }_2}-d\ne 0$ ，则$c-a{e}^{-{\xi }_1}=0$ ，$a{e}^{-{\xi }_2}-c=0$ ，此时${\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^2=0$ ，即${\alpha }^1={\psi }_4\left(z_1\right)$ ，${\alpha }^2={\psi }_5\left(z_2\right)$ ，故而${\beta }^1={\psi }_5\left(z_2\right)-{\xi }_2$ ，${\beta }^2={\psi }_4\left(z_1\right)-{\xi }_1$ ，结合(3.4)式得：

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_2}-\frac{c}{D}\right)e^{{\psi }_5\left(z_2\right)}=0$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\psi }_4\left(z_1\right)}=0$ ，

即$v$ 为常数，矛盾。

情形3.4 若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 两两间的差值存在三个常数，此时可分两种情况讨论式(3.5)及(3.6)。

情形3.4.1 若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 中仅三个多项式间相差一个常数，不失一般性，假设${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1$ 间相差一个常数，由引理2.3得${\beta }_{z_1}^2={\beta }_{z_2}^2=0$ ，即${\beta }^2$ 为常数，矛盾。

情形3.4.2 若${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\beta }^1,{\beta }^2$ 中四个多项式均相差一个常数，不妨设${\alpha }^1-{\beta }^2={\xi }_1$ ，${\alpha }^2-{\beta }^2={\xi }_2$ ，${\beta }^1-{\beta }^2=$ ${\xi }_3$ ，此时式(3.5)、(3.6)可变形得：

$\left(b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}\right){\alpha }_{z_1}^1+\left(d{e}^{{\xi }_1}-b\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ ， (3.21)

$\left(c{e}^{{\xi }_1}-a\right){\alpha }_{z_1}^1+\left(a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}\right){\alpha }_{z_2}^1=0$ . (3.22)

由于$D=ad-bc\ne 0$ ，故此时$b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}$ 与$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}$ 不同时为零，且$d{e}^{{\xi }_1}-b$ 与$c{e}^{{\xi }_1}-a$ 不同时为零，讨论以下情况。

(i) $b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}=0$ ，$d{e}^{{\xi }_1}-b=0$ ，则$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ ，$c{e}^{{\xi }_1}-a\ne 0$ ，结合(3.21)、(3.22)式可得：

${\alpha }_{z_1}^1+\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}}{c{e}^{{\xi }_1}-a}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

即${\alpha }^1={\phi }_5\left(t\right)$ ，其中${\phi }_5\left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{z}_1=z_2-\frac{a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}}{c{e}^{{\xi }_1}-a}{z}_1$ 的多项式，此时${\alpha }^2={\phi }_5\left(t\right)+{\xi }_2-{\xi }_1$ ，${\beta }^1={\phi }_5\left(t\right)+{\xi }_3-{\xi }_1$ ，${\beta }^2={\phi }_5\left(t\right)-{\xi }_1$ ，由(3.3)式可知：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\phi }_5\left(t\right)}=0$ ，${\mu }_{z_2}=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)e^{{\phi }_5\left(t\right)}=0$ ，

即$u$ 为常数，矛盾。

(ii) 若$b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}=0$ ，$d{e}^{{\xi }_1}-b\ne 0$ ，则$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ ，我们断言$c{e}^{{\xi }_1}-a=0$ ，否则${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，矛盾。结合(3.21)、(3.22)可知${\alpha }_{z_2}^1=0$ ，此时

${\alpha }^1={\varphi }_5\left(z_1\right)$ ，${\alpha }^2={\varphi }_5\left(z_1\right)+{\xi }_2-{\xi }_1$ ，${\beta }^1={\varphi }_5\left(z_1\right)+{\xi }_3-{\xi }_1$ ，${\beta }^2={\varphi }_5\left(z_1\right)-{\xi }_1$ ，

根据(3.3)、(3.4)可得：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\varphi }_5\left(z_1\right)}$ ，$u_{z_2}=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)e^{{\varphi }_5\left(z_1\right)}=0$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}\right)e^{{\varphi }_5\left(z_1\right)}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\varphi }_5\left(z_1\right)}=0$ ，

对上述式子求积分解得

$\mu =\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)F_{15}\left(z_1\right)$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}\right)G_{15}\left(z_1\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{15}\left(z_1\right)={G^{\prime }}_{15}\left(z_1\right)=e^{{\varphi }_5\left(z_1\right)}$ ，此时$g=\left(p_1+p_2\right){\varphi }_5\left(z_1\right)+p_2\left({\xi }_3-{\xi }_1\right)=\left(p_3+p_4\right){\varphi }_5\left(z_1\right)+p_3\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-p{}_4\xi {}_1$ 。

(iii) 若$d{e}^{{\xi }_1}-b=0$ ，$b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ ，则$c{e}^{{\xi }_1}-a\ne 0$ ，显然$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}=0$ ，否则${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，与情况3假设矛盾。进而由(3.21)、(3.22)推得${\alpha }_{z_1}^1=0$ ，此时${\alpha }^1={\phi }_6\left(z_2\right)$ ，且满足

${\alpha }^2={\phi }_6\left(z_2\right)+{\xi }_2-{\xi }_1$ ，${\beta }^1={\phi }_6\left(z_2\right)+{\xi }_3-{\xi }_1$ ，${\beta }^2={\phi }_6\left(z_2\right)-{\xi }_1$ 。

结合(3.3)、(3.4)式可知：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\phi }_6\left(z_2\right)}=0$ ，$u_{z_2}=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)e^{{\phi }_6\left(z_2\right)}$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}\right)e^{{\phi }_6\left(z_2\right)}=0$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\phi }_6\left(z_2\right)}$ ，

对上述式子求积分解得

$\mu =\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)F_{16}\left(z_2\right)$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)G_{16}\left(z_2\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{16}\left(z_2\right)={G^{\prime }}_{16}\left(z_2\right)=e^{{\phi }_6\left(z_2\right)}$ ，此时$g=\left(p_1+p_2\right){\phi }_6\left(z_2\right)+p_2\left({\xi }_3-{\xi }_1\right)=\left(p_3+p_4\right){\phi }_6\left(z_2\right)+p_3\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-p_4{\xi }_1$ 。

(iv) 若$d{e}^{{\xi }_1}-b\ne 0$ ，$b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ 。

当$c{e}^{{\xi }_1}-a\ne 0$ ，$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}=0$ 时，${\alpha }_{z_1}^1={\alpha }_{z_2}^1=0$ ，即${\alpha }^1$ 为常数，矛盾。当$c{e}^{{\xi }_1}-a=0$ ，$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}\ne 0$ 时，同理推得矛盾。当$c{e}^{{\xi }_1}-a=0$ ，$a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}=0$ 时，结合(3.21)、(3.22)知：

${\alpha }_{z_1}^1+\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，

此时${\alpha }^1={\varphi }_6\left(t\right)$ ，其中${\phi }_1\left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{z}_1$ 的多项式，此时${\alpha }^2={\varphi }_6\left(t\right)+{\xi }_2-{\xi }_1$ ，${\beta }^1={\varphi }_6\left(t\right)+{\xi }_3-{\xi }_1$ ，${\beta }^2={\varphi }_6\left(t\right)-{\xi }_1$ ，代入(3.4)中得

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}\right)e^{{\varphi }_6\left(t\right)}=0$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\varphi }_6\left(t\right)}=0$ ，

即$v$ 为常数，矛盾。

当$c{e}^{{\xi }_1}-a\ne 0$ ，$c{e}^{{\xi }_2}+a{e}^{{\xi }_3}\ne 0$ 时，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，${\alpha }_{z_1}^1+\frac{a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}}{c{e}^{{\xi }_1}-a}{\alpha }_{z_2}^1=0$ ，此时${\alpha }^1={\theta }_6\left(t\right)$ ，

其中${\theta }_6\left(t\right)$ 是关于$t=z_2-\frac{d{e}^{{\xi }_1}-b}{b{e}^{{\xi }_3}-d{e}^{{\xi }_2}}{z}_1=z_2-\frac{a{e}^{{\xi }_3}-c{e}^{{\xi }_2}}{c{e}^{{\xi }_1}-a}{z}_1$ 的多项式，此时${\beta }^2={\theta }_6\left(t\right)-{\xi }_1$ ，${\alpha }^2={\theta }_6\left(t\right)+{\xi }_2-{\xi }_1$ ，

${\beta }^1={\theta }_6\left(t\right)+{\xi }_3-{\xi }_1$ ，结合(3.3)、(3.4)得：

${\mu }_{z_1}=\left(\frac{d}{D}-\frac{b}{D}{e}^{-{\xi }_1}\right)e^{{\theta }_6\left(t\right)}$ ，$u_{z_2}=\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)e^{{\theta }_6\left(t\right)}$ ，

$v_{z_1}=\left(\frac{a}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}-\frac{c}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}\right)e^{{\theta }_6\left(t\right)}$ ，$v_{z_2}=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)e^{{\theta }_6\left(t\right)}$ ，

对上述式子积分得

$\mu =\left(\frac{d}{D}{e}^{{\xi }_2-{\xi }_1}-\frac{b}{D}{e}^{{\xi }_3-{\xi }_1}\right)F_{17}\left(t\right)$ ，$v=\left(\frac{a}{D}{e}^{-{\xi }_1}-\frac{c}{D}\right)G_{17}\left(t\right)$ ，

其中${F^{\prime }}_{17}\left(t\right)={G^{\prime }}_{17}\left(t\right)=e^{{\theta }_6\left(t\right)}$ ，此时$g=\left(p_1+p_2\right){\theta }_6\left(t\right)+p_2\left({\xi }_3-{\xi }_1\right)=\left(p_3+p_4\right){\theta }_6\left(t\right)+p_3\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-p_4{\xi }_1$ 。

基金项目

广东省自然科学基金资助(NO.2021A1515010062)。

NOTES

^*通讯作者。