线性空间中严格E-凸和严格半E-凸集值映射的性质

Properties of Strict E-Convex and Strict Semi-E-Convex Set-Valued Maps in Linear Spaces

摘要: 首先，本文在线性空间中定义了严格E-凸和严格半E-凸集值映射。其次，获得了这两种集值映射的性质。本文获得的结果推广了文献中的一些已知结果。

Abstract: Firstly, strict E-convex and strict semi-E-convex set-valued maps are defined in linear spaces. Secondly, the properties of two set-valued maps are obtained. The results obtained in this paper extend some known results in the literature.

1. 引言

众所周知，集值映射的锥凸性是一个非常的概念。一些学者为了削弱这个概念，提出了广义锥凸集值映射的概念。Youness [1]用映射$E:X\to X$ 引进了$E$ -凸集和$E$ -凸函数。显然，当映射是一个恒等映射时，$E$ -凸集和$E$ -凸函数就分别退化成凸集和凸函数。Zhou等[2]在局部凸空间中引进半$E$ -凸集值映射，研究了集值优化问题解的存在性条件。更多关于$E$ -凸及相关研究结果可见文献[3]及里面的参考文献。本文将引进严格$E$ -凸和严格半$E$ -凸两种集值映射，研究它们的性质。本文的主要结构如下，在第二节，我们给出了预备知识，包括一些基本概念和引理。在第三节，我们分别获得了严格$E$ -凸和严格半$E$ -凸两种集值映射的性质。

2. 预备知识

设$X$ 是线性空间，$Y$ 和$Z$ 是两个实序线性空间。设$A$ 和$C$ 分别是$X$ 和$Y$ 中的非空集合。0代表每个线性空间中的零元。$C$ 为凸锥当且仅当

${\lambda }_1{c}_1+{\lambda }_2{c}_2\in C,\forall {\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0,\forall c_1,c_2\in C$

$C$ 为点锥当且仅当$C\cap \left(-C\right)=\left\{0\right\}$ 。$C$ 称为非平凡的当且仅当$C\ne \left\{0\right\}$ ，且$C\ne Y$ 。

定义2.1 [4] 设$M$ 是$Y$ 上的非空集合。$M$ 的代数内部是集合

$corM:=\left\{m\in M|\forall h\in Y,\exists ϵ>0,\forall \lambda \in \left[0,ϵ\right],m+\lambda h\in M\right\}$

从现在开始，我们假设$C$ 是$Y$ 中代数内部非空的点凸锥，$D$ 是$Z$ 中的点凸锥。

定义2.2 [1] 设$K$ 是$X$ 上的非空集合。称$K$ 是$X$ 上的$E$ -凸集当且仅当存在向量映射$E:X\to X$ ，使得

$\lambda E\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(y\right)\in K,\forall x,y\in K,\forall \lambda \in \left[0,1\right]$

定义2.3 设$A$ 是$X$ 上的非空集合。集值映射$F:X\rightrightarrows Y$ 在$A$ 上是严格$E$ -凸的当且仅当存在向量映射$E:X\to X$ ，且$A$ 是$X$ 上的$E$ -凸集，使得对$A$ 中任意两个不同的点$x$ 和$y$ ，我们有

$\lambda F\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)F\left(E\left(y\right)\right)\subseteq F\left(\lambda E\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(y\right)\right)+corC,\forall \lambda \in \left[0,1\right]$

定义2.3 设$A$ 是$X$ 上的非空集合。集值映射$F:X\rightrightarrows Y$ 在$A$ 上是严格半$E$ -凸的当且仅当存在向量映射$E:X\to X$ ，且$A$ 是$X$ 上的$E$ -凸集，使得

$\lambda F\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)F\left(y\right)\subseteq F\left(\lambda E\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(y\right)\right)+corC,\forall x,y\in A,\forall \lambda \in \left[0,1\right]$

引理2.1 [5] 设$C\subseteq Y$ 是非平凡点凸锥，且$corC\ne \varnothing$ ，那么$C+corC\subseteq corC$ 。

3. 主要结果

设$F:X\rightrightarrows Y$ 和$G:X\rightrightarrows Z$ 是两个从$X$ 分别映射到$Y$ 和$Z$ 的集值映射。

现在我们考虑具有约束条件的最小化集值优化问题：

(VP) $\min F\left(x\right)s.t.x\in K:=\left\{x\in A|G\left(x\right)\cap \left(-D\right)\ne \varnothing \right\}$

定理3.1 在(VP)中，若集值映射$G:X\rightrightarrows Z$ 在$K$ 上是严格$E$ -凸的，且$E\left(K\right)\subseteq K$ ，那么$K$ 在$X$ 上是$E$ -凸集。

证明：情形1：设$x_1,x_2\in K$ ，且$x_1\ne x_2,\lambda \in \left[0,1\right]$ 。我们证明

$G\left(\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\right)\cap \left(-D\right)\ne \varnothing$ (1)

因为$x_1,x_2\in K$ ，我们有

$G\left(x_1\right)\cap \left(-D\right)\ne \varnothing$ (2)

且

$G\left(x_2\right)\cap \left(-D\right)\ne \varnothing$ (3)

由式(2)和式(3)可知，存在$z_1,z_2$ ，使得

$z_1\in G\left(x_1\right)\cap \left(-D\right)$ (4)

和

$z_2\in G\left(x_2\right)\cap \left(-D\right)$ (5)

因为集值映射$G:X\rightrightarrows Z$ 在$K$ 上是严格$E$ -凸的，所以我们有

$\lambda G\left(E\left(x_1\right)\right)+\left(1-\lambda \right)G\left(E\left(x_2\right)\right)\subseteq G\left(\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\right)+corC$ (6)

从式(4)、式(5)和式(6)可知

$\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2\subseteq G\left(\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\right)+corD$ (7)

根据式(7)可得，存在$z\in G\left(\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\right)$ ，使得

$\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2\in z+corD$ (8)

由式(8)可得

$z\in \lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2-corD$ (9)

通过式(4)和式(5)，我们有

$\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2\in -D$ (10)

由式(9)和式(10)和引理2.1可知

$z\in -D-corD\subseteq -corD\subseteq -D$

因此式(1)成立。故$\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\in K$ 。

情形2：当设$x_1=x_2\in K$ ，$\lambda \in \left[0,1\right]$ 。因为$E\left(K\right)\subseteq K$ ，我们有

$\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)=E\left(x_1\right)\in E\left(K\right)\subseteq K$

由情形1与情形2可得，$K$ 在$X$ 上是$E$ -凸集。证毕。

定理3.2 设$K$ 在$X$ 上是$E$ -凸集，若集值映射$F:X\rightrightarrows Y$ 在$K$ 上是严格半$E$ -凸的，那么$F\left(K\right)+corC\cup \left\{0\right\}$ 在$Y$ 上是凸集。

证明：设$z_1,z_2\in F\left(K\right)+corC\cup \left\{0\right\},\lambda \in \left[0,1\right]$ 。那么存在$x_i\in K,y_i\in F\left(x_i\right),$ $c_i\in corC\cup \left\{0\right\}\left(i=1,2\right)$ ，使得

$z_i=y_i+c_i\left(i=1,2\right)$ (11)

由式(11)可得

$\begin{array}{l}\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2=\lambda y_1+\left(1-\lambda \right)y_2+\lambda c_1+\left(1-\lambda \right)c_2\\ \in \lambda F\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)F\left(x_2\right)+\lambda c_1+\left(1-\lambda \right)c_2\end{array}$ (12)

因为$F:X\rightrightarrows Y$ 在$K$ 上是严格半$E$ -凸的，我们有

$\lambda F\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)F\left(x_2\right)\subseteq F\left(\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\right)+corC$ (13)

通过式(12)和式(13)可知

$\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2\in F\left(\lambda E\left(x_1\right)+\left(1-\lambda \right)E\left(x_2\right)\right)+\lambda c_1+\left(1-\lambda \right)c_2+corC$ (14)

因为$K$ 在$X$ 上是$E$ -凸集，从式(14)可得

$\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2\in F\left(K\right)+\lambda c_1+\left(1-\lambda \right)c_2+corC$ (15)

显然有

$\lambda c_1+\left(1-\lambda \right)c_2+corC\subseteq corC\subseteq corC\cup \left\{0\right\}$ (16)

根据式(15)和式(16)可知

$\lambda z_1+\left(1-\lambda \right)z_2\in F\left(K\right)+corC\cup \left\{0\right\}$ (17)

由式(17)可见$F\left(K\right)+corC\cup \left\{0\right\}$ 在$Y$ 上是凸集。证毕。

基金项目

国家自然科学基金(12171061)。