一类奇异纽结的着色Jones多项式

Colored Jones Polynomials of a Class of Singular Knots

摘要: 本文计算了一类m股奇异排叉结的2n着色Jones多项式，该算法的核心技巧在于对Temperley-Lieb代数中的融合、三角等变换的合理运用。

Abstract: This paper computes the 2n-colored Jones polynomial of a class of m-strand singular pretzel links. The core technique of the algorithm lies in the judicious application of fusion, triangular transformations, and related operations in the Temperley-Lieb algebra.

1. 引言

纽结的着色Jones多项式(Colored Jones Polynomial)是著名纽结不变量Jones多项式[1]的推广，它可由Reshetikhin和Turaev [2]的量子群表示理论或者Temperley-Lieb代数[3]得到，是最具代表性的量子不变量。2018年，Elhamdadi和Hajij [4]定义了奇异纽结(Singular Knot)，即空间四价图的2n着色琼斯多项式。本文将沿用这一定义并运用Temperley-Lieb代数的技巧计算一类奇异纽结的着色Jones多项式。

2. 预备知识

定义2.1 [4]：一个图G被称为嵌入四价图，如果图中每个顶点的度数都为4 (即每个顶点连接4条边)，并且这个图被嵌入到空间R³中。如果其顶点连接各边的顺序不能改变，那么这种图就被称为刚性四价图，刚性四价图称为奇异纽结。如图1为一个奇异交叉点。

Figure 1. Singular crossing

图1. 奇异交叉点

定义2.2 [5]：Kauffman关系式

= $A$

+ $A^{-1}$ , ∪

= $-\left(A^2-A^{-2}\right)$ .

这里表示任意纽结或者缠结图。

为了阐明下面的Temperley-Lieb代数，我们首先定义基本缠结$U_1,U_2,\cdots ,U_{n-1}$ 。

定义2.3 [3]：我们定义基本缠结$U_1,U_2,\cdots ,U_{n-1}\in T_n$ ，这里$T_n$ 表示n股的Temperley-Lieb代数，即每个$U_i$ 是n条输入和n条输出链的缠结，如图2所示为$T_4$ 中的缠结$1_4,U_1,U_2,U_3$ 。

Figure 2. The tangles $1_4,U_1,U_2,U_3$ of $T_4$

图2. $T_4$ 中的缠结$1_4,U_1,U_2,U_3$

$U_i$ 的乘积完全由输入端和输出端的连接确定，通过将第一个纽结的输出股线连接到第二个纽结的输入股线。

Temperley-Lieb代数是$Z\left[A,A^{-1}\right]$ 上的自由加性代数，具有生成元$1_n,U_1,U_2,\cdots ,U_{n-1}$ 且满足以下给出的关系：

(1) $U_i^2=d{U}_i$ ，这里$d$ 表示封闭圆环的值；

(2) $U_i{U}_{i\pm 1}{U}_i=U_i$ ；

(3) $U_i{U}_j=U_j{U}_i$ 。这里$\left|i-j\right|>1$ 。

我们取$d=-A^2-A^{-2}$ ，这里$A$ 和$A^{-1}$ 与$T_n$ 中的所有元素可交换。

引理2.4 [3]：$T_n$ 中的元素$f_i$ ($i=0,1,2,\cdots ,n-1$ )由以下公式归纳定义：

$f_0=1_n$

$f_{k+1}=f_k-{\mu }_{k+1}{f}_k{U}_{k+1}{f}_k$

这里${\mu }_1=d^{-1}$ ，${\mu }_{k+1}={\left(d-{\mu }_k\right)}^{-1}$ ，$d=-A^2-A^{-2}$ ，$U_i^2=d{U}_i$ 。

通常我们用一个小方盒子表示$T_n$ 中的元素$f_n$ 。

定义2.5 [3]：定义元素${\Delta }_n\in \text{S}\left({\text{R}}^2\right)$ 为$f^{\left(n\right)}$ 的闭包，如图3所示。

Figure 3. The closures of $f^{\left(n\right)}$

图3. $f^{\left(n\right)}$ 的闭包

命题2.6 [3]：$T_n$ 中的元素$f_i$ 有以下性质：

(1) 幂等性：$f_i^2=f_i$ ，其中$i=0,1,\cdots ,n-1$ 。

(2) $f_i{U}_j=U_j{f}_i=0$ ，其中$j\ge i$ 。

(3) $\text{tr}\left(f_{n-1}\right)={\Delta }_n={\Delta }_n\left(-A^2\right)$ ，其中${\mu }_{k+1}={\Delta }_k/{\Delta }_{k+1}$ ，${\Delta }_0=1$ 。

这里${\Delta }_n\left(x\right)=\left(\frac{x^{n+1}-x^{-n-1}}{x-x^{-1}}\right)$ 是$n$ 阶切比雪夫多项式。

命题2.7 [3]：元素$f_i$ 的幂等性可以延伸出以下结果。

=

定义2.8 [4]：在纽结理论中，着色是指对图的每一条边e赋予一个颜色，颜色取自某个特定的集合或代数结构。

为了将三价顶点与Temperley-Lieb代数中的元素联系起来，我们做以下定义：

定义2.9 [3]：将顶点上的每条线标记为正整数a、b或c，假设$\left(a+b-c\right)$ 、$\left(a+c-b\right)$ 和$\left(b+c-a\right)$ 都是正偶数。那么令$i=\frac{\left(a+b-c\right)}{2}$ ，$j=\frac{a+c-b}{2}$ ，$k=\frac{b+c-a}{2}$ ，则三价顶点由以图4等式定义：

Figure 4. 3-valent vertex

图4. 三价顶点

当$\left(a,b,c\right)$ 是可容许的，三价图中的$i=\frac{\left(a+b-c\right)}{2}$ 、$j=\frac{a+c-b}{2}$ 、$k=\frac{b+c-a}{2}$ 被称为内部着色。

定义2.10 [4]：设$L$ 是一个奇异链环，对于任意整数$n\ge 1$ ，${\left[L\right]}_{2n}$ 按以下规则定义：

(1)

=

(2)

=

(3)

=

定义2.11 [4]：定义奇异纽结$K$ 的标准着色琼斯多项式：

$J_{2n+1,K\left(q\right)}=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{\left[K\right]}_{2n}$

定义2.12 [4]：一个非负三元组$\left(a,b,c\right)$ 是可容许的，如果$a+b+c$ 是偶数并且$a+b\ge c\ge \left|a-b\right|$ 。

以下事实是我们在论文计算中要用到的。

命题2.13 [4]：一些恒等式

(1) 融合等式：

= ${\displaystyle \sum _i\frac{{\Delta }_i}{\theta \left(a,b,i\right)}}$

(2) 恒等式：

= ${\lambda }_{b,c}^a$

这里${\lambda }_{b,c}^a={\left(-1\right)}^{\frac{a+b-c}{2}}{A}^{\left(\frac{a^{\prime }+b^{\prime }-c^{\prime }}{2}\right)}$ ，$x^{\prime }=x\left(x+2\right)$ ，$\{\begin{array}{l}x=\left(a,b,c\right)\\ x^{\prime }=\left(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\right)\end{array}$ 。

(3) 交叉融合等式：此等式对于将交叉点转化为Temperley-Lieb代数中的元素至关重要。

= ${\displaystyle \sum _i\frac{{\Delta }_i}{\theta \left(a,b,i\right)}{\lambda }_{a,b}^{2i}}$

(4) 三角变换：四面体图

可以用$Tet\left[\begin{array}{c}ade\\ fcb\end{array}\right]$ 表示，那么有下面恒等式成立。

= $Tet\frac{\left[\begin{array}{c}ade\\ fcb\end{array}\right]}{\theta \left(a,b,c\right)}$

其中$Tet\left[\begin{array}{c}ade\\ fcb\end{array}\right]$ 的具体取值见参考文献[5]。

(5) 一个关于$\theta$ 系数的具体公式，记为$\theta \left(a,b,c\right)$ ：

$\theta \left(a,b,c\right)$ =

= ${\left(-1\right)}^{x+y+z}\frac{\left[x+y+z+1\right]!\left[x\right]!\left[z\right]!\left[y\right]!}{\left[x+y\right]!\left[x+z\right]!\left[y+z\right]!}$

这里定义$\left[n\right]=\left(A^{2n}-A^{-2n}\right)/\left(A^2-A^{-2}\right)$ ，$\left[n\right]!=\left[1\right]\left[2\right]\cdots \left[n\right]$ 。

(6)

= ${\delta }_a^d\frac{\theta \left(a,b,c\right)}{{\Delta }_a}$

，这里${\delta }_a^d=\{\begin{array}{ll}1\hfill & 若a=d\hfill \\ 0\hfill & 若a\ne d\hfill \end{array}$ 。

3. 奇异纽结的着色琼斯多项式例子

下面引理Elhamdadi和Hajij在参考文献[4]中已给出证明，但因原文证明简略，本文后续计算内容需要，在此详细证明。

引理3.1 [4]：

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{R}_{n,i}}$

这里$R_{n,i}=\frac{\theta {\left(2n,2n,2i\right)}^{k-1}}{\theta {\left(n,n,2i\right)}^k}{\Delta }_{2i}$ 。

证明：由命题2.13中的等式(1)和(4)，我们可以得到：

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n\frac{{\Delta }_{2i}}{\theta \left(n,n,2i\right)}}$

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{B}_{n,i}}$

其中，$B_{n,i}={\left(\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2i,n,n\\ n,2n,2n\end{array}\right]}{\theta \left(2n,2n,2i\right)}\right)}^2\frac{{\Delta }_{2i}}{\theta \left(n,n,2i\right)}$ 。

而

=

=

=

注意：第二个等号可由命题2.7得出。

所以

$Tet\left[\begin{array}{c}2i,n,n\\ n,2n,2n\end{array}\right]=\theta \left(2n,2n,2i\right)$ , $B_{n,i}=\frac{{\Delta }_{2i}}{\theta \left(n,n,2i\right)}$

另外，因为

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{B}_{n,i}}$

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{B}_{n,i}{\delta }_{2i}^{2i}\frac{\theta \left(2i,2n,2n\right)}{{\Delta }_{2i}}}$

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n\frac{\theta \left(2i,2n,2n\right)}{\theta \left(n,n,2i\right)}}$

所以

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{B}_{n,i}}$

⊗

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{B}_{n,i}}{\left(\frac{\theta \left(2i,2n,2n\right)}{\theta \left(n,n,2i\right)}\right)}^{k-1}$

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n\frac{\theta {\left(2n,2n,2i\right)}^{k-1}{\Delta }_{2i}}{\theta {\left(n,n,2i\right)}^k}}$

= ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{R}_{n,i}}$

。其中$R_{n,i}=\frac{\theta {\left(2n,2n,2i\right)}^{k-1}}{\theta {\left(n,n,2i\right)}^k}{\Delta }_{2i}$ 。

下面我们计算如图5所示的着色琼斯多项式，记图5为$G_{l_1{l}_2\cdots l_m}^{k_1{k}_2\cdots k_m}$ 。注意：所有未标注着色均为$2n$ 。

Figure 5. m-strand pretzel singular knots

图5. m股排叉奇异纽结

定理3.2：

$\begin{array}{l}{J}_{2n}\left(G\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\cdots k_m\\ l_1{l}_2\cdots l_m\end{array}\right)\\ =\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m{{\displaystyle \sum _{j=0}^n\left(\frac{{\Delta }_{2j}}{\theta \left(2n,2n,2j\right)}\right)}}^{m-1}\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_1,2n,2n\end{array}\right]Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_2,2n,2n\end{array}\right]\cdots Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_m,2n,2n\end{array}\right]}{\theta {\left(2j,2n,2n\right)}^2{\Delta }_{2j}^{m-2}}\theta \left(2n,2n,2j\right)\end{array}$

证明：由引理3.1和命题2.13中的交叉融合等式：

$J_{2n}\left(G\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\cdots k_m\\ l_1{l}_2\cdots l_m\end{array}\right)=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m$

其中，$C_a={\displaystyle \sum _{i_a=0}^n\frac{\theta {\left(2n,2n,2i_a\right)}^{k-1}{\Delta }_{2i_a}}{\theta {\left(n,n,2i_a\right)}^k}{\left({\lambda }_{2n,2n}^{2i_a}\right)}^l}$ 。

我们可以运用命题2.13中的融合等式，得到以下等式：

$J_{2n}\left(G\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\cdots k_m\\ l_1{l}_2\cdots l_m\end{array}\right)$

$=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m{\displaystyle \sum _{j_1=0}^n\frac{{\Delta }_{2j_1}}{\theta \left(2n,2n,2j_1\right)}}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^n\frac{{\Delta }_{2j_2}}{\theta \left(2n,2n,2j_2\right)}}\cdots {\displaystyle \sum _{j_{m-1}=0}^n\frac{{\Delta }_{2j_{m-1}}}{\theta \left(2n,2n,2j_{m-1}\right)}}$

$=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m{\displaystyle \sum _{j_1=0}^n\frac{{\Delta }_{2j_1}}{\theta \left(2n,2n,2j_1\right)}}{\displaystyle \sum _{j_2=0}^n\frac{{\Delta }_{2j_2}}{\theta \left(2n,2n,2j_2\right)}}\cdots {\displaystyle \sum _{j_{m-1}=0}^n\frac{{\Delta }_{2j_{m-1}}}{\theta \left(2n,2n,2j_{m-1}\right)}}\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j_1,2n,2n\\ 2i_1,2n,2n\end{array}\right]}{\theta \left(2j_1,2n,2n\right)}$

$\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j_2,2n,2n\\ 2i_2,2n,2n\end{array}\right]}{\theta \left(2j_2,2n,2n\right)}\cdots \frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j_{m-1},2n,2n\\ 2i_{m-1},2n,2n\end{array}\right]}{\theta \left(2j_{m-1},2n,2n\right)}\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j_{m-1},2n,2n\\ 2i_m,2n,2n\end{array}\right]}{\theta \left(2j_{m-1},2n,2n\right)}$

在上一步中，我们根据命题2.13中的(4)做了m次三角变换。

由命题2.13的(6)，当且仅当$j_1=j_2=\cdots =j_{m-1}$ 时，上式中图形才不为0，所以令$j=j_1=j_2=\cdots =j_{m-1}$ ，

则$J_{2n}\left(G\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\cdots k_m\\ l_1{l}_2\cdots l_m\end{array}\right)$

$=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m{\displaystyle \sum _{j=0}^n{\left(\frac{{\Delta }_{2j}}{\theta \left(2n,2n,2j\right)}\right)}^{m-1}}\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_1,2n,2n\end{array}\right]Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_2,2n,2n\end{array}\right]\cdots Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_m,2n,2n\end{array}\right]}{\theta {\left(2j,2n,2n\right)}^m}{\left(\frac{\theta \left(2j,2n,2n\right)}{{\Delta }_{2j}}\right)}^{m-2}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m{\displaystyle \sum _{j=0}^n{\left(\frac{{\Delta }_{2j}}{\theta \left(2n,2n,2j\right)}\right)}^{m-1}}\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_1,2n,2n\end{array}\right]Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_2,2n,2n\end{array}\right]\cdots Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_m,2n,2n\end{array}\right]}{\theta {\left(2j,2n,2n\right)}^m}\\ {\left(\frac{\theta \left(2j,2n,2n\right)}{{\Delta }_{2j}}\right)}^{m-2}\theta \left(2n,2n,2j\right)\end{array}$

$=\frac{1}{{\Delta }_{2n}}{C}_1{C}_2\cdots C_m{{\displaystyle \sum _{j=0}^n\left(\frac{{\Delta }_{2j}}{\theta \left(2n,2n,2j\right)}\right)}}^{m-1}\frac{Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_1,2n,2n\end{array}\right]Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_2,2n,2n\end{array}\right]\cdots Tet\left[\begin{array}{c}2j,2n,2n\\ 2i_m,2n,2n\end{array}\right]}{\theta {\left(2j,2n,2n\right)}^2{\Delta }_{2j}{}^{m-2}}\theta \left(2n,2n,2j\right)$

4. 总结

本文研究了一类奇异纽结的着色Jones多项式的计算方法，通过对奇异纽结投影图与Temperley-Lieb代数中的元素建立关系，运用融合等式、三角变换等方法，给出了m股奇异排叉结的2n着色Jones多项式的计算公式。此算法具有一定普适性，可以用来计算其他具有类似结构的奇异纽结的着色Jones多项式。

基金项目

国家自然科学基金项目(12001255)。