基于广义共轭的约束优化问题推广的Farkas引理及Lagrange对偶

Generalized Farkas’ Lemma and Lagrange Duality for Constrained Optimization Problems Based on Generalized Conjugacy

摘要: 利用广义共轭上图性质，引入新的约束规范条件，等价刻画了约束优化问题推广的Farkas引理。然后，定义了基于广义共轭的Lagrange对偶问题，建立了约束优化问题与其对偶问题之间的Lagrange强对偶及稳定强对偶，推广和改进了前人的相关结论。

Abstract: By utilizing the properties of generalized conjugate upper graphs and introducing new constraint qualification conditions, the generalized Farkas lemma for constrained optimization problems is equivalently characterized. Then, the Lagrange dual problem based on generalized conjugates is defined, and the Lagrange strong duality and stable strong duality between the constrained optimization problem and its dual problem are established, which generalizes and improves the relevant conclusions of predecessors.

1. 引言

设$T$ 是任意索引集，$X$ 是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$M$ 是$X$ 中的非空凸子集，$f,f_t:X\to ℝ\cup \left\{+\infty \right\},t\in T$ 是真函数。许多实际问题都可以看作或者转化为如下带不等式约束的优化问题

$\left(P_f\right)$ ，$\begin{array}{l}\inf f\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}.f_t\left(x\right)\le 0,t\in T\\ x\in M\end{array}$ 。学者对经典约束优化问题的Farkas引理和对偶理论进行了深入的研究，并得

到了一系列有意义的结论(参看文[1]-[5])。

许多学者针对优化问题的推广Farkas引理寻找满足不等式的条件，文献[6]给出了新的Farkas引理的应满足的不等式

$\left[f\left(x\right)\ge \alpha \forall x\in A\right]\iff \left[\exists {\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}\text{s}\text{.t}\text{.}f\left(x\right)+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t\left(x\right)}\ge \alpha \forall x\in M\right]$ .

同时研究了Lgrange对偶成立的充分条件。

学者们经常使用Fenchel共轭定义经典约束优化问题的约束规范条件和对偶问题。特别地，许多学者利用引入新的方法，使用广义共轭即c-共轭，来定义优化问题的约束规范条件和对偶问题(参看文[7]-[11])，其中c是耦合函数。

文献[12]和[13]针对目标函数是凸函数的优化问题，引入c-共轭得到了对偶问题及对偶理论。文献[14]-[18]针对目标函数是拟凸函数的优化问题，也引入c-共轭推广了共轭形式和对偶问题形式。

受上述文献启发，本文主要基于广义共轭，研究针对问题$\left(P_f\right)$ 的推广的Farkas引理和Lagrange对偶。

2. 预备知识

设$X$ 是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，其中拓扑空间是指集合$X$ 和其上定义的拓扑结构组成的二元组$\left(X,\tau \right)$ ，$X^{\text{*}}$ 是$X$ 的共轭空间，赋予弱*拓扑${\omega }^{\text{*}}\left(X^{\text{*}},X\right)$ 。$\langle x^{\text{*}},x\rangle$ 表示泛函$x^{\text{*}}\in X^{\text{*}}$ 在点$x\in X$ 的值，即$\langle x^{\text{*}},x\rangle =x^{\text{*}}\left(x\right)$ 。若$Z$ 是$X$ 的凸子集，$Z^{\oplus }$ 表示$Z$ 的对偶锥，即

$Z^{\oplus }:=\left\{x^{\text{*}}\in X^{\text{*}}:\langle x^{\text{*}},z\rangle \ge 0,\forall z\in Z\right\}$ .

$N_Z\left(z_0\right)$ 表示$Z$ 在$z_0$ 点的法锥，定义为

$N_Z\left(z_0\right):=\left\{x^{\text{*}}\in X^{\text{*}}:\langle x^{\text{*}},z-z_0\rangle \le 0,\forall z\in Z\right\}$ .

对任意的非空集合$T$ ，令${ℝ}^T$ 表示定义在$T$ 上的实值函数组成的空间并赋予乘积拓扑。记${ℝ}^{\left(T\right)}:=\left\{\lambda ={\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}^T:最多只有有限�{\lambda }_t\ne 0\right\}$ ，${ℝ}_{+}^{\left(T\right)}$ 为${ℝ}^{\left(T\right)}$ 的非负锥，即

${ℝ}_{+}^{\left(T\right)}:=\left\{\lambda ={\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}^{\left(T\right)}:{\lambda }_t\ge 0,\forall t\in T\right\}$

令${\delta }_Z$ 表示$Z$ 的示性函数，定义为

${\delta }_Z\left(x\right):=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & x\in Z,\hfill \\ +\infty ,\hfill & x\in X\backslash Z.\hfill \end{array}$

设$f:X\to \overline{ℝ}:=ℝ\cup \left\{\pm \infty \right\}$ 是定义在$X$ 上的真函数，分别定义$f$ 的有效定义域，上图分别为

$domf:=\left\{x\in X:f\left(x\right)<+\infty \right\}$ ，

$epif:=\left\{\left(x,r\right)\in X\times ℝ:f\left(x\right)\le r\right\}$ .

特别地，$f$ 的经典共轭的定义为

$f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\langle x^{*},x\rangle -f\left(x\right):x\in X,\forall x^{*}\in X^{*}\right\}$ .

本文引入如下定义推广经典共轭。设$c:X\times Y\to \overline{ℝ}$ 是一个耦合函数，$f$ 的广义共轭函数即c-共轭函数$f^c:Y\to \overline{ℝ}$ 定义为

$f^c\left(y\right):=\sup \left\{c\left(x,y\right)-f\left(x\right):x\in X,\forall y\in Y\right\}$ .

由定义有

$f\left(x\right)+f^c\left(y\right)\ge c\left(x,y\right),\forall \left(x,y\right)\in X\times Y$ .

类似地，$g:X\to \overline{ℝ}$ 的$c^{\prime }$ -共轭函数$g^{c^{\prime }}:Y\to \overline{ℝ}$ 定义为

$g^{c^{\prime }}\left(x\right):=\sup \left\{c\left(x,y\right)-g\left(y\right):y\in Y,\forall x\in X\right\},$

注意到，由于$c^{\prime }\left(y,x\right)=c\left(x,y\right)$ ，则该定义中的耦合函数$c^{\prime }:Y\times X\to \overline{ℝ}$ 与之前一致。

由上述函数上图和c-共轭函数定义，可得若$f,h$ 是真函数，则

$f\le h\Rightarrow f^c\ge h^c\iff epi{f}^c\subseteq epi{g}^c$ (2.1)

引理2.1 [19] 设$c:X\times Y\to \overline{ℝ}$ 是一个耦合函数，$f:X\to \overline{ℝ}$ 是一个真函数。若对任意$x\in domf$ 和$r\in ℝ$ ，则

$epi{\left(f+r\right)}^c=epi{f}^c-\left(0,r\right)$ .

引理2.2 [19] 设$c:X\times Y\to \overline{ℝ}$ 是一个耦合函数，$f,g:X\to \overline{ℝ}$ 是真函数使得$domf\cap domg\ne \varnothing$ 。

若对任意$u\in X,v,w\in Y$

$c\left(u,v\right)+c\left(u,w\right)=c\left(u,v+w\right),$

则下式成立

$epi{f}^c+epi{g}^c\subseteq epi{\left(f+g\right)}^c$ .

3. 约束规范条件

令$A$ 表示系统$\left\{x\in M:f_t\left(x\right)\le 0,\forall t\in T\right\}$ 的可行解集，即$\varnothing \ne A:=\left\{x\in M:f_t\left(x\right)\le 0,\forall t\in T\right\}$ 。设$T$ 是任意索引集，$X$ 是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$M$ 是$X$ 中的非空凸子集，其中$M$ 是闭凸集当且仅当它是有限个闭的半空间的交，$f,f_t:X\to ℝ\cup \left\{+\infty \right\},t\in T$ 是真函数。

借助文献[6]定义的特征锥$K$ ，本文基于推广的c-共轭重新定义特征锥$K$ 如下

$K:=epi{\delta }_M^c+cone\left\{{\displaystyle {\cup }_{t\in T}epi{f}_t^c}\right\}.$

对于任意$\lambda ={\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}$ 有$f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\le f+{\delta }_A$ ，再结合(2.1)和引理2.1，则下式成立

$\begin{array}{c}epi{f}^c+K\subseteq epi{f}^c+epi{\delta }_M^c+{\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi{\left({\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c}\\ \subseteq epi{f}^c+{\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi{\left({\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c}\\ \subseteq {\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi{\left(f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c}\\ \subseteq epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\end{array}$ (3.1)

为研究原问题$\left(P_f\right)$ 的推广的Farkas引理及Lagrange对偶，本文首先引入下列约束规范条件。

定义3.1 若

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\subseteq epi{f}^c+K.$

则称$f$ 满足conical epigraph hull property (简称$conical{\left(EHP\right)}_f$ )条件。

定义3.2 若

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\subseteq {\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c.$

则称$f$ 满足weak conical epigraph hull property (简称$conical{\left(WEHP\right)}_f$ )条件。

由(3.1)可知，

$conical{\left(EHP\right)}_f\Rightarrow conical{\left(WEHP\right)}_f$ (3.2)

4. 推广的Farkas引理

设$\alpha \in ℝ$ ，研究系统$\left\{x\in M,f_t\left(x\right)\le 0\left(t\in T\right),f\left(x\right)<\alpha \right\}$ 的可解性问题等同于研究对系统$\left\{f\left(x\right)\ge \alpha ,\forall x\in A\right\}$ 的不可解性，用$f$ 的所有线性扰动函数替代$f$ ，则进一步等同下列条件

$f\left(x\right)-\langle p,x\rangle \ge \alpha ,\forall p\in X^{\text{*}},x\in A$ .

为进一步研究问题$\left(P_f\right)$ 的可解性问题，本文首先给出如下引理。

引理4.1 设$c:X\times Y\to \overline{ℝ}$ 是一个耦合函数，$f:X\to \overline{ℝ}$ 是一个真函数。对任意$\alpha \in ℝ$ ，下列等价式成立

$\left[f\left(x\right)\ge \alpha ,\forall x\in A\right]\iff \left[\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\right].$

证 ($\Rightarrow$ )。由示性函数定义可知${\delta }_A\left(x\right)=0$ ，则$-\left(f+{\delta }_A\right)\left(x\right)\le -\alpha$ 。

当$x=0$ 时，$c\left(0,y\right)=0$ ，那么$c\left(0,y\right)-\left(f+{\delta }_A\right)\left(0\right)\le -\alpha$ ，即

$\sup \left\{c\left(0,y\right)-\left(f+{\delta }_A\right)\left(0\right)\right\}\le -\alpha .$

由c-共轭定义可知，${\left(f+{\delta }_A\right)}^c\left(0\right)\le -\alpha$ ，进一步，由上图定义可得$\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c$ 。

($\Leftarrow$ )。证明过程与上述类似。证毕。

由(2.2)和引理4.1可得引理4.2。

引理4.2 若$\left(0,-\alpha \right)\in epi{f}^c+K$ ，则$\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c$ 且对任意$x\in A$ ，$f\left(x\right)\ge \alpha$ 成立。

命题4.3 以下命题等价：

(i) 对任意$\alpha \in ℝ$ ，有

$\left[f\left(x\right)\ge \alpha ,\forall x\in A\right]\iff \left(0,-\alpha \right)\in epi{f}^c+K.$

(ii) 下面条件成立

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)=\left(epi{f}^c+K\right)\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right).$

证 由(2.2)可知，(i) 等价于对任意$\alpha \in ℝ$ ，有

$\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\iff \left(0,-\alpha \right)\in epi{f}^c+K$ (4.1)

进一步地，(4.1)$\iff$ (ii)，则(i)$\iff$ (ii)。证毕。

定理4.4 以下命题等价：

(i) 系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(EHP\right)}_f$ 条件。

(ii) 对任意$p\in X^{\text{*}}$ ，有

$epi{\left(f-p+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)=\left(epi{\left(f-p\right)}^c+K\right)\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right).$

(iii) 对任意$p\in X^{\text{*}}$ 和$\alpha \in ℝ$ ，有

$\left[f\left(x\right)\ge c\left(p,x\right)+\alpha ,\forall x\in A\right]\iff \left(0,-\alpha -p\right)\in epi{f}^c+K.$

证 (ii)$\iff$ (iii)。由引理2.1可知，

$epi{\left(f-p\right)}^c=epi{f}^c+\left(0,p\right),$

则对任意$p\in X^{\text{*}}$ ，有

$\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f-p\right)}^c+K\iff \left(0,-\alpha -p\right)\in epi{f}^c+K$ (4.2)

进一步地，将$f-p$ 应用于命题4.2中，因此(ii)与(iii)等价。

(i)$\iff$ (ii)。由引理2.1可知，

$epi{\left(f-p+{\delta }_A\right)}^c=epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c+\left(0,p\right)$ ，

则有

$epi{\left(f-p+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)=epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)+\left(0,p\right).$

由(4.2)可得

$\left(epi{\left(f-p\right)}^c+K\right)\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)=\left(epi{f}^c+K\right)\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)+\left(0,p\right).$

故(ii)等价于对任意$p\in X^{\text{*}}$

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)=\left(epi{f}^c+K\right)\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right).$

进一步地，等价于满足$conical{\left(EHP\right)}_f$ 条件，即$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c=\left(epi{f}^c+K\right)$ 成立。因此(i)与(ii)等价。证毕。

本文基于c-共轭给出推广的Farkas引理如下：

若对任意$\alpha \in ℝ$ ，有

$\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\iff \left[\exists {\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}\text{s}\text{.t}.\left(0,-\alpha \right)\in epi{\left(f+{\delta }_A+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\right]$ (4.3)

则系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足Farkas规则。

进一步地，再由引理2.1和引理4.1可得若对任意$p\in X^{\text{*}}$ ，有

$\left(0,-\alpha +p\right)\in epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\iff \left[\exists {\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}\text{s}\text{.t}\text{.}\left(0,-\alpha +p\right)\in epi{\left(f+{\delta }_A+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\right]$ (4.4)

则系统$\left\{f+p,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足稳定Farkas规则。

式子(4.3)等价于以下式子

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)$ (4.5)

因此，系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足Farkas规则等价于式子(4.5)成立。

类似地，系统$\left\{f+p,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足稳定Farkas规则等价于以下式子成立

$epi{\left(f-p+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f-p+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)$ (4.6)

定理4.5 以下命题等价：

(i) 系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足稳定Farkas规则。

(ii) 系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_f$ 条件。

证 由引理2.1可知

$epi{\left(f-p+{\delta }_A\right)}^c=epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c+\left(0,p\right).$

则有

$epi{\left(f-p+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)=epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)+\left(0,p\right)$

类似地，可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f-p+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)\\ ={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)+\left(0,p\right).\end{array}$

因此，当且仅当

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)$ (4.7)

成立时式(4.6)成立。

由于式(4.7)等价于

$epi{\left(f+{\delta }_A\right)}^c={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c$

成立，即系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_f$ 条件。同时，式(4.6)等价于系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足稳定Farkas规则，因此(i)与(ii)等价。证毕。

推论4.6 系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(EHP\right)}_f$ 条件当且仅当对任意$p\in X^{\text{*}}$ 和$\alpha \in ℝ$ 满足以下命题等价：

(i) 对任意$x\in A$ ，$f\left(x\right)\ge \alpha +\langle p,x\rangle$ 。

(ii) $\left(0,-\alpha -p\right)\in epi{f}^c+K$ 。

(iii) 对任意$x\in M$ ，存在${\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}$ 使得，

$f\left(x\right)+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t\left(x\right)}\ge c\left(p,x\right)+\alpha .$

证 ($\Rightarrow$ )。假设系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(EHP\right)}_f$ 条件，由(2.3)可知系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_f$ 条件，进一步地，由定理4.4和定理4.5可证得。

($\Leftarrow$ )。假设对任意$p\in X^{\text{*}}$ 和$\alpha \in ℝ$ ，(i)等价于(ii)。由定理4.4可知(iii)$\Rightarrow$ (i)，故结论成立。证毕。

为验证Farkas规则与强对偶结论，本文给出以下例子。

例4.7 设$X={ℝ}^2$ ，并且$C,D\subseteq X$ 是闭凸锥，具体形式如下

$C:=\left\{\left(x_1,x_2\right):x_1\le 0,x_2\ge 0\right\}$

$D:=\left\{\left(x_1,x_2\right):x_1\ge 0,x_2\ge 0\right\}$

则$C\cap D=\left\{\left(x_1,x_2\right):x_1=0,x_2\ge 0\right\}$ 并且${\left(C\cap D\right)}^{\ominus }=C^{\ominus }+D^{\ominus }$ 。则$epi{\left({\delta }_C+{\delta }_D\right)}^{\ast }=epi{\delta }_C^{\ast }+epi{\delta }_D^{\ast }$ 。

那么系统$\left\{{\delta }_C,f_1\right\}$ 满足Farkas引理，即满足下列等式

$epi{\left(f-p+{\delta }_C\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(f-p+{\delta }_D+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_1}\right)}^c\cap \left(\left\{0\right\}\times ℝ\right)$

同时原问题与对偶问题之间的强对偶成立。

5. Lagrange强对偶及稳定强对偶

将c-共轭应用到扰动函数中，进一步利用扰动方法得到问题$\left(P_f\right)$ 的Lagrange问题为

$\left(D_f\right)$ $Su{p}_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}\left\{in{f}_{x\in M}\left\{f\left(x\right)+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\left(x\right)\right\}\right\}$

令$\nu \left(P_f\right)$ 和$\nu \left(D_f\right)$ 分别是问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 的最优值，则有

$\nu \left(D_f\right)\le \nu \left(P_f\right)$

即问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange弱对偶成立。

若$\nu \left(D_f\right)=\nu \left(P_f\right)$ 成立，则问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange强对偶成立。

若对任意$p\in X^{\text{*}}$ ，问题$\left(P_{f-p}\right)$ 和$\left(D_{f-p}\right)$ 之间的Lagrange强对偶成立，则问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange稳定强对偶成立。

为研究Lagrange强对偶成立的条件，本文给出下列定理。

定理5.1 原问题$\left(P_f\right)$ 和对偶问题$\left(D_f\right)$ Lagrange强对偶成立的充要条件是系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足Farkas规则。

证 ($\Rightarrow$ )。假设$\nu \left(D_f\right)=\nu \left(P_f\right)$ 且$D_f$ 有一个最优解${\left({\overline{\lambda }}_t\right)}_{t\in T}$ ，令$\alpha \in ℝ$ ，使得对任意$x\in A$ ，$f\left(x\right)\ge \alpha$ ，则$\nu \left(D_f\right)=in{f}_{x\in A}f\left(x\right)\ge \alpha$ 且

$in{f}_{x\in M}\left\{f\left(x\right)+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\left(x\right)\right\}=\nu \left(D_f\right)=\nu \left(P_f\right)\ge \alpha .$

因此，系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足Farkas规则。

($\Leftarrow$ )。假设系统$\left\{f,{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足Farkas规则，令$\alpha :=\nu \left(P_f\right)$ 且$\alpha \ne -\infty$ ，则对任意$x\in A$ ，有$\alpha \in ℝ$ 且$f\left(x\right)\ge \alpha$ ，故

$\left[f\left(x\right)\ge \alpha ,x\in A\right]\iff \left[\exists {\left({\lambda }_t\right)}_{t\in \text{T}}\in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}\text{s}\text{.t}.f\left(x\right)+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\left(x\right)\ge \alpha ,\forall x\in M\right].$

进一步地，问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange弱对偶自然成立，则${\left({\overline{\lambda }}_t\right)}_{t\in T}$ 是$D_f$ 的一个最优解且$\nu \left(D_f\right)=\nu \left(P_f\right)$ 。

因此，问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange强对偶成立。证毕。

将$f-p$ 应用到定理5.1中，再结合定理4.5，可得下列定理5.2。

定理5.2 系统$\left\{{\delta }_C;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_f$ 条件当且仅当问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange稳定强对偶成立。

推论5.3 若系统$\left\{{\delta }_C;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_f$ 条件，则问题$\left(P_f\right)$ 和$\left(D_f\right)$ 之间的Lagrange强对偶成立。

基于以上定理及推论，当$conical{\left(WEHP\right)}_f$ 条件中$f=0$ 时，给出下列定理。

定理5.4 以下命题等价：

(i) 系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_0$ 条件，即

$epi{\delta }_A^c\subseteq {\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left({\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c$

成立。

(ii) 若$h$ 为真函数，使得系统$\left\{{\delta }_A\right\}$ 满足$conical{\left(EHP\right)}_h$ 条件，即

$epi{\left(h+{\delta }_A\right)}^c=epi{h}^c+epi{\delta }_A^c$

则$\left(P_h\right)$ 和$\left(D_h\right)$ 之间的Lagrange强对偶成立。

证 (i)$\Rightarrow$ (ii)。假设命题(i)成立，令$h$ 为真函数使得$epi{\left(h+{\delta }_A\right)}^c=epi{h}^c+epi{\delta }_A^c$ 成立，由引理2.2和定理5.1得，

$\begin{array}{c}epi{\left(h+{\delta }_A\right)}^c=epi{h}^c+epi{\delta }_A^c\\ =epi{h}^c+{\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left({\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\\ ={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}\left(epi{h}^c+epi{\left({\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\right)}\\ \subseteq {\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}epi}{\left(h+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c\end{array}$

故系统$\left\{{\delta }_M;f_t:t\in T\right\}$ 满足$conical{\left(WEHP\right)}_h$ 条件。进一步地，由推论5.3可知(ii)成立。

(ii)$\Rightarrow$ (i)。假设(ii)成立，由定理5.1可知

$epi{\left(h+{\delta }_A\right)}^c={\displaystyle {\cup }_{\lambda \in {ℝ}_{+}^{\left(T\right)}}{\left(h+{\delta }_M+{\displaystyle {\sum }_{t\in T}{\lambda }_t{f}_t}\right)}^c}$

令$h=0$ 可得(i)成立。证毕。