1. 引言
鉴于客观事物的复杂性,模糊性和决策者认知能力的不确定性,以实数为背景的评价信息难以处理现实具有模糊特征的决策问题。基于此,Zadeh [1]于1965年创始性地提出了模糊集理论并广泛应用于处理不确定多属性决策问题。Atanassov [2]引入非隶属度和犹豫度的概念提出直觉模糊集理论且其隶属度和非隶属度和小于或等于1。此后,基于直觉模糊集理论的扩展形式,如区间值直觉模糊集[3],语言直觉模糊集[4]和区间直觉不确定语言集[5]等不确定信息表示模型被提出以丰富不确定信息表示模型理论。
实际决策环境的复杂性使得专家提供的评价信息往往不能满足直觉模糊集的限制条件,出现隶属度和非隶属度和大于1的情形。基于此,Yager [6]提出了毕达哥拉斯模糊集理论,其限制条件扩充为隶属度和非隶属度的平方和小于或等于1。作为直觉模糊集的扩展形式,毕达哥拉斯模糊集为决策者表征模糊信息提供了更加广阔的表达空间。自其被提出以来,毕达哥拉斯模糊集在诸多领域,如决策分析[7] [8]、模糊集理论扩展[9] [10]、集成算子理论[11] [12]及实际问题分析[13] [14]。此后,Du等[15]提出了毕达哥拉斯三角模糊语言集的概念并提出了基于Hamacher范数的集成算子并构建决策方法。Jing等[16]提出了毕达哥拉斯三角模糊语言Bonferroni Mean算子并构建决策模型考虑属性间相互关系的决策问题。
Sugeno-Weber模[17]是一种新型的三角模并被诸多学者拓展到模糊环境构建其基本运算[18]-[20]。Petchimuthu等[21]提出了复值广义正交图模糊环境下的Sugeno-Weber算子并构建温室气体减排战略评价模型。Rani等[22]提出了Fermatean模糊Sugeno-Weber算子和距离测度并构建太阳能电池板选择框架。Wang等[23]提出了基于广义正交模糊Sugeno-Weber幂算子的太阳能电池板选型方法。Ashraf等[24]提出基于球形模糊Z数Sugeno-Weber算子的温室效应气候变化多准则评价模型。目前,尚未有学者研究基于Sugeno-Weber范数的毕达哥拉斯三角模糊语言集成算子。
基于效用理论的COPRAS方法是由Zavadskas和Kaklauskas提出的一种常用的多属性决策方法,其核心思想是同时通过效益型属性和成本型属性的综合评估值来评估备选方案的相对效用和优先级排序。COPRAS方法的优势是同时考虑效益属性和成本型属性,无需对属性进行归一化处理且计算过程简单、易于操作。目前已被学者们广泛应用于选址、冷链物流服务质量评价、数字化转型等决策问题中[25] [26]。Liu等[27]提出基于区间值犹豫费马模糊集COPRAS方法的海水淡化技术选择模型。Gao等[28]提出基于球形模糊COPRAS方法的数字供应链合作伙伴选择框架。目前尚未发现COPRAS方法在毕达哥拉斯三角模糊语言集中的研究。
鉴于毕达哥拉斯三角模糊语言集和Sugeno-Weber算子在不确定信息表示和集成算子研究中的优势。本文将建立基于Sugeno-Weber范数的毕达哥拉斯三角模糊语言数运算法则并提出毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber加权平均算子、有序加权平均算子、加权几何算子和有序加权几何算子,并讨论了上述算子的幂等性、单调性和有界性等性质。其次,基于毕达哥拉斯三角模糊语言集的距离测度,提出了改进的离差最大法确定属性权重信息。最后,提出基于所提算子的COPRAS多属性决策方法。
2. 预备知识
定义1 [15] 设
为一个非空经典集合,则毕达哥拉斯三角模糊语言集
表示为:
(1)
其中
为有限的语言术语集。
,
,
和
分别表示
属于三角模糊语言
的隶属度与非隶属度且满足
。犹豫度
定义为
。为简便起见,毕达哥拉斯三角模糊语言数(PyTrFLN)可记作
。
定义2 [15] 设
为两个PyTrFLNs。则
(1)
;
(2)
;
(3)
(4)
定义3 [15] 设
为两个PyTrFLNs。若
,则
;若
,若
,则
;若
,若
,则
;若
,若
,则
。其中
,
分别表示
的得分函数和精确函数。
定义4 [15] 设
为两个PyTrFLNs,
为有限的语言术语集。则这两个PTrFLNs之间的海明距离可定义为:
(2)
定义5 [17]. Sugeno-Weber T-范数
和S-范数
定义如下:
(3)
其中
和
表示Drastic T-范数和S-范数,
和
表示和Product T-范数和S-范数。
3. 毕达哥拉斯三角模糊语言环境下的Sugeno-Weber算子
本节定义基于Sugeno-Weber的PTrFLN运算法则并提出相应的加权平均和几何算子。
3.1. 基于Sugeno-Weber模的毕达哥拉斯三角模糊语言数运算法则
定义6 毕达哥拉斯模糊环境下的Sugeno-Weber T-范数和S-范数定义为:
(4)
(5)
基于毕达哥拉斯模糊环境下的Sugeno-Weber T-范数和S-范数和毕达哥拉斯三角模糊语言的定义,则基于Sugeno-Weber模的毕达哥拉斯三角模糊语言数运算法则定义如下。
定义7 设
为两个PyTrFLNs。则:
(1)
;
(2)
;
(3)
(4)
基于毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber运算法则,下面定义毕达哥拉斯三角模糊语言环境下的Sugeno-Weber集成算子。
3.2. 毕达哥拉斯三角模糊语言环境下的Sugeno-Weber加权平均算子
定义8 设
为一组PyTrFLNs集合。
是毕达哥拉斯三角模糊语言数
的权重且满足
。则毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber加权平均(PyTrFLSWWA)算子
定义如下:
(6)
定理1 设
为一组PyTrFLNs集合。则利用PyTrFLSWWA算子集成后的结果仍是PyTrFLN且
(7)
证明:定理1可通过数学归纳法证明。当
时,
则当
时,公式(7)成立。假设当
,公式(7)成立。
则当
时,
因此,当
时,公式(7)成立。
接下来,我们将探讨PyTrFLSWWA算子的性质。
性质1 (幂等性)设
为一组PyTrFLNs集合。若
,则
。
证明:因为
性质2 (单调性)设
和
是两组PyTrFLNs。若
,则
性质3 (有界性)设
为PyTrFLNs集合。若
,
,
,
,
,
,
,
,
,
。则
定义9 设
为一组PyTrFLNs集合。
是毕达哥拉斯三角模糊语言数
的权重且满足
。则毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber有序加权平均(PyTrFLSWOWA)算子
定义如下:
(8)
其中
是全体毕PTrFLN集合,
是
的置换使得
,
。
定理2 设
为一组PyTrFLNs集合。则利用PyTrFLSWOWA算子集成后的结果仍是PyTrFLNs且集成结果表示为
(9)
证明:与定理1相似。
3.3. 毕达哥拉斯三角模糊语言数Sugeno-Weber加权几何算子
定义10 设
为一组PyTrFLNs集合。
是PyTrFLNs
的权重且满足
,
是全体PyTrFLNs集合。则毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber 加权几何(PyTrFLSWWG)算子
定义如下:
(10)
定理3 设
为一组PyTrFLNs集合。则利用PyTrFLSWWG算子集成后的结果仍是PyTrFLNs且集成结果表示为
(11)
证明:与定理1相似。
接下来,我们将探讨PyTrFLSWWG算子的特殊性质。
性质4 (幂等性)设
为一组PyTrFLNs集合。若
,则
。
性质5 (单调性)设
和
是两组PyTrFLNs。若
,则。
性质6 (有界性)设
为一组PyTrFLNs集合。若
,
,
,
,
,
,
,
,
,
。则
。
定义11 设
为一组PyTrFLNs集合。
是毕达哥拉斯三角模糊语言数
的权重且满足
。则毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber有序加权几何(PyTrFLSWOWG)算子
定义如下:
(12)
其中
是
的置换使得
,
。
定理4 设
为PyTrFLNs集合。则利用PyTrFLSWOWG算子集成后的结果仍是PyTrFLNs且集成结果表示为
(13)
证明:与定理1相似。
4. 基于毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber算子的COPRAS多属性决策方法
本章基于毕达哥拉斯三角模糊语言集理论、所提的Sugeno-Weber算子和离差最大法,提出属性权重信息完全未知的COPRAS多属性决策方法。在所提方法中,决策者通过毕达哥拉斯三角模糊语言数表示其评价信息以表征决策者提供信息时的不确定性和模糊性。为确定权重信息,提出基于毕达哥拉斯三角模糊语言海明距离测度的离差最大法。此外,提出基于毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber算子的COPRAS多属性决策方法确定备选方案的排序。
毕达哥拉斯三角模糊语言多属性决策问题涉及的概念和符号定义如下。
为一组备选方案,
为属性集合且其权重向量为
且满足
。专家对备选方案
在属性
下的评价值用毕达哥拉斯三角模糊语言数表示并构成决策矩阵
,
。基于上述定义,所提基于毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber算子的COPRAS多属性决策方法步骤如下:
步骤1:确定属性权重。
属性权重是确定备选方案的关键步骤,本文基于毕达哥拉斯三角模糊语言海明距离,提出离差最大法确定属性的客观权重,该方法是通过考虑所有备选方案在属性
下的差异大小进而确定属性对方案的排序影响程度来确定权重。基于毕达哥拉斯三角模糊语言数得分函数的离差最大法步骤描述如下:
步骤1.1:计算方案
与方案
在属性
之间的距离
:
(14)
步骤1.2:计算所有方案与其他方案在所有属性
下的总离差
:
(15)
步骤1.3:根据上述分析,为使得所有属性对所有方案的总离差最大进而构建目标函数:
(16)
步骤1.4:构建如下的最优化模型。
(17)
步骤1.5:通过构造拉格朗日函数得到初始权重为
(18)
对初始权重进行归一化处理,可得最终权重为:
(19)
步骤2:根据属性的类型,通过公式(20)-(21)确定备选方案在属性
下的综合评估值:
(20)
(21)
其中
表示效益型属性的数量,
表示成本型属性的数量。
和
分别表示备选方案在效益型和成本型属性
下的综合评估值。
步骤3:通过公式(22)计算备选方案的相对评估值:
. (22)
步骤4:根据
值的对备选方案进行降序排列确定备选方案的优先级。
5. 实例分析
本章通过案例分析、参数讨论比较分析讨论所提基于毕达哥拉斯三角模糊语言数WASPAS多属性决策方法的实用性,稳定性和有效性。
5.1. 决策实施过程
本章考虑某地区在大力开展招商引资时,由一家投资公司在本地区遴选一些小型企业作为备选。现有五家小型企业(
)作为备选方案。经过商定确定四个指标作为遴选时的标准,企业的风险规避能力(C1),企业的环境下(C2),企业的规模(C3)和企业的成长能力(C4)。为遴选最优的企业进行投资,五家供应商在这四个属性下的评价值由决策专家以毕达哥拉斯三角模糊语言数的形式给出,评价矩阵见表1。
Table 1. Pythagorean triangular fuzzy linguistic number evaluation matrix
表1. 毕达哥拉斯三角模糊语言数评价矩阵
|
C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
步骤1:确定属性权重。通过公式(18)~(19)确定属性的权重为
,
,
,
。
步骤2:根据属性的类型,通过公式(20)~(21)确定备选方案在属性
下的综合评估值,因为所有属性均为效益型属性,所以只需计算备选方案的
值。
,
,
,
,
。
步骤3:通过公式(22)计算备选方案的相对评估值:
,
,
,
,
。
步骤4:根据
值可确定备选方案的排序为
,即
为最优投资企业。
5.2. 灵敏度分析
本节将对所提基于毕达哥拉斯三角模糊语言数COPRAS决策方法中涉及的参数进行讨论进而分析所提方法的鲁棒性和稳定性。针对PyTrFLSWWA算子中的参数
,取不同值获得备选方案的相对评估值和排序结果如表2和图1所示。由表2和图1可知,随着参数
的逐渐增大,不同备选方案的相对评估值随之增大,但是备选方案的排序没有发生任何变化,因此所提方法对该参数敏感性较低且具有极高的稳定性。
Figure 1. Relative evaluation values of alternatives based on different parameter
values
图1. 基于不同参数
值的备选方案的相对评估值
Table 2. Relative evaluation values and ranking results of alternatives based on different parameter
values
表2. 基于不同参数
值的备选方案的相对评估值和排序结果
|
|
|
|
|
|
排序 |
1 |
0.5899 |
0.9649 |
1.0883 |
1.5582 |
1.3887 |
|
2 |
0.5999 |
0.9739 |
1.0987 |
1.5668 |
1.3953 |
|
3 |
0.6060 |
0.9803 |
1.1055 |
1.5731 |
1.4003 |
|
4 |
0.6101 |
0.9852 |
1.1103 |
1.5780 |
1.4044 |
|
5 |
0.6132 |
0.9892 |
1.1140 |
1.5820 |
1.4077 |
|
6 |
0.6155 |
0.9924 |
1.1169 |
1.5852 |
1.4105 |
|
7 |
0.6173 |
0.9950 |
1.1193 |
1.5880 |
1.4129 |
|
8 |
0.6188 |
0.9973 |
1.1213 |
1.5903 |
1.4149 |
|
9 |
0.6200 |
0.9993 |
1.1229 |
1.5923 |
1.4167 |
|
5.3. 比较分析
为验证本文所提方法的有效性,本节基于决策矩阵和属性权重,利用文献[15]中基于毕达哥拉斯三角模糊语言Hamacher加权平均算子求解本文的决策问题,获得的备选方案排序与本文一致,备选方案的排序为
,因此本文所提基于Sugeno-Weber集成算子的改进COPRAS决策方法是有效的。
6. 结论
本文针对属性权重未知、评估信息为毕达哥拉斯三角模糊语言数的多属性决策问题,提出了一种基于Sugeno-Weber集成算子的改进COPRAS方法。主要工作与结论如下:首次定义了适用于毕达哥拉斯三角模糊语言数的Sugeno-Weber运算法则并提出新型集成算子:基于新法则,提出了毕达哥拉斯三角模糊语言Sugeno-Weber加权平均和几何等新型集成算子。其次,提出基于离差最大化的权重确定模型,通过最大化各属性下方案评价值的总离差来求取客观权重。再次,将所提算子与离差最大化权重模型结合,构建了改进的COPRAS决策框架。综上,本文提出的毕达哥拉斯三角模糊语言集成算子、离差最大化权重模型及改进COPRAS方法,为解决属性权重未知且评估信息为毕达哥拉斯三角模糊语言数的复杂决策问题提供了一种新颖、有效的实用方案。
基金项目
数值仿真四川省高等学校重点实验室开放研究项目(Grant. 2024SZFZ002)。
NOTES
*通讯作者。