第三类时滞Volterra积分微分方程的Legendre谱配置法

Legendre Spectral Collocation Method for Third-Kind Volterra Integro-Differential Equations with Proportional Delays

摘要: 本文提出了一种基于Legendre谱配置格式的数值方法，用于求解具有比例时滞项的第三类Volterra积分微分方程。首先，通过光滑变换，有效改善了方程解的正则性。随后，利用插值性质，通过定理和引理给出了误差分析。最后通过数值实验，验证了方案及算法的有效性。

Abstract: In this paper, a numerical method based on the Legendre spectrum configuration format is proposed to solve the third-kind Volterra integral differential equations with proportional delay terms. Firstly, the regularity of the equation solution is effectively improved by smooth transformation. Subsequently, using the interpolation property, the error analysis is given by theorem and lemma. Finally, numerical experiments are carried out to verify the effectiveness of the scheme and algorithm.

1. 引言

本文考虑如下具有弱奇异核的第三类时滞Volterra积分微分方程

$t^{\beta }{y}^{\prime }\left(t\right)=a_1\left(t\right)y\left(t\right)+b_1\left(t\right)y\left(qt\right)+g_1\left(t\right)+q^{-\beta }{\displaystyle {\int }_0^{qt}{\left(qt-\sigma \right)}^{-\alpha }}{\sigma }^{\alpha +\beta -1}K\left(t,\sigma \right)y\left(\sigma \right)\text{d}\sigma ,$ (1)

初始条件为

$y\left(0\right)=y_0,$

其中$0\le \alpha <1,\beta >0,\alpha +\beta \ge 1,a_1\left(t\right),b_1\left(t\right),g_1\left(t\right),K\left(t,\sigma \right)$ 都是光滑函数，未知函数$y\left(t\right)$ 定义在$0\le t\le T<+\infty$ 上。

方程(1)可以用等价的cordial Volterra积分微分方程(CVIDE)表示

$y^{\prime }\left(t\right)=a\left(t\right)y\left(t\right)+b\left(t\right)y\left(qt\right)+g\left(t\right)+\left(\mathcal{K}y\right)\left(t\right),$ (2)

其中

$a\left(t\right)=t^{-\beta }{a}_1\left(t\right),b\left(t\right)=t^{-\beta }{b}_1\left(t\right),g\left(t\right)=t^{-\beta }{g}_1\left(t\right),$

和cordial算子

$\left(\mathcal{K}y\right)\left(t\right)={\left(qt\right)}^{-\beta }{\displaystyle {\int }_0^{qt}{\left(qt-\sigma \right)}^{-\alpha }}{\sigma }^{\alpha +\beta -1}K\left(t,\sigma \right)y\left(\sigma \right)\text{d}\sigma ,$

并且当$K\left(0,0\right)=0$ 时，$\left(\mathcal{K}y\right)\left(t\right)$ 是从$C\left(I\right)$ 到$C\left(I\right)$ 的紧算子，当$K\left(0,0\right)\ne 0$ 时，算子是非紧的。

Volterra积分方程(VIE)和Volterra积分微分方程(VIDE)是生物数学和物理建模中的重要工具，广泛应用于种群动力学、粘弹性力学等领域。在数值分析中，谱方法被公认为具备卓越的精度和良好的误差收敛特性，Chen和Tang [1]创新性地构造了第二类弱奇异VIE的谱配置方法。在此基础上，Chen等人针对第二类VIDE提出了一系列具有比例延迟的数值格式[2]-[4]。近年来，谱配置法被推广应用于第三类VIE和VIDE。文章[5]应用谱配置方法求解了第三类非线性Volterra-Hammerstein积分方程，理论分析证明了该方法的指数收敛性。Ma [6]等人使用光滑变换后的Chebyshev谱配置方法求解第三类线性Volterra积分方程，获得了谱精度并提供了严格的收敛性分析。文章[7]应用Legendre谱配置方法对一类第三类Volterra延迟积分方程进行了逼近。对于第三类VIDE，Ma和Huang [8]考虑了光滑变换后方程的非光滑解，应用谱配置方法来实现高精度和低计算成本。文章[9]求解一类弱奇异沃尔泰拉积分微分方程的分数谱配置方法。在上述工作的启发下，本文的目的是设计一种求解第三类比例时滞微分方程的Legendre谱配置法，并给出了严格的收敛性分析。该研究不仅丰富了谱方法在时滞微分方程中的应用，同时也为相关模型的数值模拟提供了更高效、更精确的算法支持。相较于已有工作，本文的主要创新体现在：首次建立了比例时滞第三类VIDE的Legendre谱配置理论框架；提出了改进的光滑变换策略，优化了解的正则性；发展了适用于非对称核函数的新型误差估计技术。

本文的组织结构如下。在第2节中，我们将介绍具体的函数空间并为方程构造一个数值格式。在第3节中，我们给出几个重要的引理，它们将在下文中用于构造收敛结果。在第4节中，我们将证明在加权$L^{\infty }$ 和$L^2$ -范数下所提出方法的收敛性分析。在第5节中，将给出数值实验来证明第4节的理论分析。最后，在第6节中总结结论。

2. 预备知识及离散格式

2.1. 预备知识

定义1：[10]对于给定的正整数N，设$P_N$ 表示所有次数不超过N的多项式的空间。对$\alpha ,\beta >-1$ ，

$L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(-1,1\right)=\left\{u|u是可测函数且{\Vert u\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}<\infty \right\}$

是加权希尔伯特空间，配备以下内积和范数

${\left(u,v\right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}u}\left(x\right)v\left(x\right){\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)\text{d}x,{\Vert u\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}={\left(u,u\right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{\frac{1}{2}}.$ (3)

其中${\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)={\left(1-x\right)}^{\alpha }{\left(1+x\right)}^{\beta }$ 是表示在$\left(-1,1\right)$ 上的标准Jacobi权重函数。

定义2：[10]对于任何非负整数$m$ ，定义

$H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^m\left(-1,1\right)=\left\{v|{\partial }_x^{k}v\in L_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2\left(-1,1\right),0\le k\le m\right\},$

和范数

${\left|v\right|}_{H_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^{m;N}}={\left({\displaystyle \sum _{k=min(m,N+1)}^m{\Vert {\partial }_x^{k}v\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$

定义3：[10]设$B_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^m$ 是由下式给出的非一致加权Sobolev空间：

$B_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}^m\left(-1,1\right)=\left\{v|{\partial }_x^{k}v\in L_{{\omega }^{\alpha +k,\beta +k}}^2\left(-1,1\right),0\le k\le m\right\}.$

定义离散内积为

${\left(u,v\right)}_{N,{\omega }^{\alpha ,\beta }}={\displaystyle \sum _{k=0}^{N}u}\left(x_k\right)v\left(x_k\right){\omega }_k.$ (4)

其中${\left\{x_k,{\omega }_k\right\}}_{k=0}^N$ 是相对于Jacobi权重${\omega }^{\alpha ,\beta }\left(x\right)$ 的正交节点和权重的集合。

定义4：[6]对于给定的$m\in \mathbb{N}$ 和$\nu \in ℝ,\nu <1$ ，通过$C^{m,\nu }\left(0,T\right]$ 我们表示连续函数$f:\left[0,T\right]\to ℝ$ 的集合，其在$\left(0,T\right]$ 中是$m$ 次连续可微的，使得对于所有$t\in \left(0,T\right]$ 和$i=1,2,\cdots ,m$ 以下估计成立

$\left|f^{(i)}\left(t\right)\right|\le c\{\begin{array}{ll}1\hfill & \begin{array}{cc}\text{if}& i<1-\nu ,\end{array}\hfill \\ 1+\left|\log t\right|\hfill & \begin{array}{cc}\text{if}& i=1-\nu ,\end{array}\hfill \\ t^{1-i-\nu }\hfill & \begin{array}{cc}\text{if}& i>1-\nu .\end{array}\hfill \end{array}$

通过${ℂ}^{r,\kappa }\left(-1,1\right)$ 表示其$r$ 阶导数是Hölder连续的函数空间，指数为$\kappa$ ，赋予通常的范数

${\Vert v\Vert }_{r,\kappa }=\underset{0\le k\le r}{\max }\underset{-1\le x\le 1}{\max }\left|{\partial }_x^{k}v\left(x\right)\right|+\underset{x\ne y}{\sup }\frac{\left|{\partial }_x^{r}v\left(x\right)-{\partial }_x^{r}v\left(y\right)\right|}{{\left|x-y\right|}^{\kappa }}.$

2.2. 离散格式

为了应用Legendre谱配置法，通过变换$\sigma =qs$ ，方程(2)可写成如下

$y^{\prime }\left(t\right)=a\left(t\right)y\left(t\right)+b\left(t\right)y\left(qt\right)+g\left(t\right)+t^{-\beta }{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{-\alpha }{s}^{\alpha +\beta -1}K\left(t,qs\right)y\left(qs\right)\text{d}s}.$

继续对变量进行变换$t=\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho },s=\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+\tau \right)}^{\rho },1\le \rho \in \mathbb{N}$ ，则上述式子变为

$u^{\prime }\left(x\right)=\tilde{a}\left(x\right)u\left(x\right)+\tilde{b}\left(x\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}x-1\right)+f\left(x\right)+{\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(x,\tau \right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,\tau \right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau .$ (5)

其中

$\begin{array}{l}u\left(x\right)=y\left(\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho }\right),f\left(x\right)=\frac{\rho T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho -1}g\left(\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho }\right),\\ \tilde{a}\left(x\right)=\frac{\rho T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho -1}a\left(\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho }\right),\tilde{b}\left(x\right)=\frac{\rho T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho -1}b\left(\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho }\right),\\ {\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }\left(x,\tau \right)=\frac{{\rho }^{2}T}{2^{\rho }}\frac{{\left[{\left(1+x\right)}^{\rho }-{\left(1+\tau \right)}^{\rho }\right]}^{-\alpha }}{{\left(1+x\right)}^{\beta \rho -\rho +1}}{\left(1+\tau \right)}^{\rho (\alpha +\beta )-1},\\ J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,\tau \right)=K\left(\frac{T}{2^{\rho }}{\left(1+x\right)}^{\rho },\frac{qT}{2^{\rho }}{\left(1+\tau \right)}^{\rho }\right).\end{array}$

通过对(5)两边积分，我们进一步得到等价的积分方程

(6)

此外，为了精确地计算(6)中的积分项，我们进行线性变换

$\tau =\tau \left(x,\vartheta \right)=\frac{1+x}{2}\vartheta +\frac{x-1}{2},\vartheta \in \left[-1,1\right].$

则(6)变为

$\begin{array}{l}u\left(x\right)=\widehat{f}\left(x\right)+\frac{1+x}{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{a}\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)u\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)+\tilde{b}\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x,\vartheta \right)-1\right)+z\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)\text{d}\vartheta },\\ z\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-1}^1{\chi }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(\vartheta \right){\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,\vartheta \right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x,\vartheta \right)-1\right)\text{d}\vartheta .\end{array}$ (7)

其中

设${\left\{{\vartheta }_{1,k},{\omega }_{1,k}\right\}}_{k=0}^N,{\left\{{\vartheta }_{2,k},{\omega }_{2,k}\right\}}_{k=0}^N$ 分别相对于Jacobi权重${\omega }^{0,0}$ 和${\chi }_{\alpha ,\beta ,\rho }$ 的正交节点和权重的集合，因此上述等式中的积分项可以近似为

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{a}\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)u\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)+\tilde{b}\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x,\vartheta \right)-1\right)+z\left(\tau \left(x,\vartheta \right)\right)\text{d}\vartheta }\\ \approx {\displaystyle \sum _{k=0}^N\left[\tilde{a}\left(\tau \left(x,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)u\left(\tau \left(x,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)+\tilde{b}\left(\tau \left(x,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x,{\vartheta }_{1,k}\right)-1\right)+z\left(\tau \left(x,{\vartheta }_k\right)\right)\right]{\omega }_{1,k}},\end{array}$

$z\left(x\right)\approx {\displaystyle \sum _{k=0}^N{\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,{\vartheta }_{2,k}\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x,{\vartheta }_{2,k}\right)-1\right){\omega }_{2,k}}.$

现在，我们考虑求解(7)的Legendre配置法。我们用${\left\{x_j\right\}}_{j=0}^N$ 表示配置点，它们是区间$\left[-1,1\right]$ 中对应于权重函数${\omega }^{0,0}$ 的$\left(N+1\right)$ 个Legendre-Gauss-Radau点的集合。并且考虑由下式定义的拉格朗日插值算子$I_x^N:C\left[-1,1\right]\rightharpoonup {\mathbb{P}}_N$

$I_x^{N}u\left(x\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^N{ℱ}_j}\left(x\right)u\left(x_j\right),$ (8)

其中${\left\{{ℱ}_j\left(x\right)\right\}}_{j=0}^N$ 是对应于非均匀网格${\left\{x_j\right\}}_{j=0}^N$ 的拉格朗日基函数。

在$x_i$ 处离散化(7)，

$u\left(x_i\right)=\widehat{f}\left(x_i\right)+\frac{1+x_i}{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,\vartheta \right)\right)u\left(\tau \left(x_i,\vartheta \right)\right)+\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,\vartheta \right)\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,\vartheta \right)-1\right)+z\left(\tau \left(x_i,\vartheta \right)\right)\text{d}\vartheta }.$ (9)

我们用$u_i$ 表示$u\left(x_i\right)$ 的近似值。Legendre配置法是寻求形式为$u^N\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^N{u}_i}{ℱ}_i\left(x\right)\in P_N$ 的近似解，使得$u_i,i=0,\cdots ,N$ 满足以下离散

$\begin{array}{c}{u}_i=\widehat{f}\left(x_i\right)+\frac{1+x_i}{2}{\displaystyle \sum _{k=0}^N{\omega }_{1,k}}[\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)\right){\displaystyle \sum _{l=0}^N{u}_l}{F}_l\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)\\ +\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)\right){\displaystyle \sum _{l=0}^N{u}_l}{F}_l\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)-1\right)\\ +{\displaystyle \sum _{p=0}^N{\omega }_{2,p}}{\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right),{\vartheta }_{2,p}\right){\displaystyle \sum _{l=0}^N{u}_l}{F}_l\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right),{\vartheta }_{2,p}\right)\right)-1],\end{array}$ (10)

设

$\begin{array}{l}U={\left(u_0,u_1,\cdots ,u_N\right)}^{\text{T}},\\ F={\left(\widehat{f}\left(x_0\right),\widehat{f}\left(x_1\right),\cdots ,\widehat{f}\left(x_N\right)\right)}^{\text{T}},\\ a_{i,l}=\frac{1+x_i}{2}{\displaystyle \sum _{k=0}^N{\omega }_{1,k}\left[\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)F_l\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)+\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)\right)F_l\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right)-1\right)\right]},\\ b_{i,l}={\displaystyle \sum _{k=0}^N{\omega }_{1,k}}{\displaystyle \sum _{p=0}^N{\omega }_{2,p}}{\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right),{\vartheta }_{2,p}\right)F_l\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,{\vartheta }_{1,k}\right),{\vartheta }_{2,p}\right)-1\right),\\ A={\left[a_{i,l}+b_{i,l}\right]}_{i,l=0}^N.\end{array}$

因此得到矩阵形式

$U=F+AU$ .(11)

在确定了方程(5) $u^N\left(x\right)$ 的近似值之后，我们可以确定近似值

$y^N\left(t\right)=u^N\left(2{\left(\frac{t}{T}\right)}^{\frac{1}{\rho }}-1\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^N{u}_j}{ℱ}_j\left(2{\left(\frac{t}{T}\right)}^{\frac{1}{\rho }}-1\right)$ .(12)

所得到的矩阵方程中的系统矩阵A具有以下关键谱性质：

1) 当N增大时，矩阵A的条件数呈现多项式增长，这保证了算法在大规模问题中的数值稳定性；

2) 矩阵A具有拟对角占优结构，其非零元素分布呈现特定的模式：主对角线附近元素幅值较大，远离对角线的元素呈指数衰减；

3) 通过预条件技术(如基于低阶近似的对角预条件子)可显著改善迭代求解效率。

3. 主要引理

在这一节中，我们将给出一些关键的引理，这些结果为后续收敛性分析奠定了重要理论基础。

引理1：[10]对任何$v\in B_{{\omega }^{-1,-1}}^m\left(-1,1\right)$ ，有

${\Vert {\partial }_x^r\left(v-I_x^{N}v\right)\Vert }_{{\omega }^{r,r}}\le C{N}^{r-m}{\Vert {\partial }_x^{m}v\Vert }_{{\omega }^{m,m}},$ (13)

${\Vert v-I_x^{N}v\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{1}{2}-m}{\Vert {\partial }_x^{m}v\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}.$ (14)

引理2：[10]设${\left\{{ℱ}_j\left(x\right)\right\}}_{j=0}^N$ 是与具有参数对$\left\{-\mu ,0\right\}$ 的Jacobi-Gauss-Lobatto插值相关联的拉格朗日基多项式，则对于$-\frac{1}{2}\le \mu <\frac{3}{2}$

${\Lambda }_N:={\max }_{x\in [-1,1]}{\displaystyle \sum _{j=0}^N\left|{ℱ}_j\left(x\right)\right|}~\ln N,$

对于每个有界函数$v\left(x\right)$ ，存在一个与$v$ 无关的常数$C$ ，使得

${\Vert I_x^{N}v\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}={\Vert {\displaystyle \sum _{j=0}^{N}v}\left(x_j\right){ℱ}_j\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}\le C{\Vert v\Vert }_{\infty }.$

引理3：[10]如果$v\in B_{{\omega }^{-1,-1}}^m\left(-1,1\right)$ 对于$m\ge 1$ ，对于Jacobi-Gauss积分，我们有

$\left|{\left(v,\varphi \right)}_{{\omega }^{\alpha ,\beta }}-{\left(v,\varphi \right)}_{N,{\omega }^{\alpha ,\beta }}\right|\le C{N}^{-m}{\Vert {\partial }_x^{m}v\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}{\Vert \varphi \Vert }_{{\omega }^{\alpha ,\beta }},\forall \varphi \in {\mathbb{P}}_N,$

现在我们需要一个关于核函数${\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,\vartheta \right)$ 的正则性的结果。

引理4：[8]如果$K\left(\cdot ,s\right)\in C^{m,1-\frac{m+1}{\rho }}\left(0,T\right],\rho \in \mathbb{N}$ ，则有

$\frac{{\partial }^m}{\partial {\vartheta }^m}{\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,\vartheta \right)\in L_{{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}^2\left(-1,1\right).$

因此，存在$K^{*}>0$ ，使得

$K^{*}=\underset{1\le i\le N}{\max }{\left|{\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,\vartheta \right)\right|}_{H_{{\chi }_{\alpha ,\beta ,\rho }}^{m;N}(-1,1)}$ . (15)

引理5：[8]如果$L>0$ 且$v\left(x\right)$ 是定义在$\left[-1,1\right]$ 上的非负局部可积函数，满足

$u\left(x\right)\le v\left(x\right)+L{\displaystyle {\int }_{-1}^x\left(1+\frac{\rho T}{2^{\rho }}{\left({\left(1+x\right)}^{\rho }-{\left(1+\tau \right)}^{\rho }\right)}^{1-\alpha }{\left(1+\tau \right)}^{\rho \alpha -1}\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau },$

则存在一个常数C使得

$u\left(x\right)\le v\left(x\right)+C{\displaystyle {\int }_{-1}^x\left(1+\frac{\rho T}{2^{\rho }}{\left({\left(1+x\right)}^{\rho }-{\left(1+\tau \right)}^{\rho }\right)}^{1-\alpha }{\left(1+\tau \right)}^{\rho \alpha -1}\right)v\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau }.$

引理6：[10]设$r$ 是非负整数，$\kappa \in \left(0,1\right)$ 。存在一个常数C，使得对于任何函数$v\left(x\right)\in {ℂ}^{r,\kappa }\left(-1,1\right)$ ，存在一个多项式函数${\daleth }_{N}v\in {\mathbb{P}}_N$ ，满足

${\Vert v-{\daleth }_{N}v\Vert }_{\infty }\le C{N}^{-r-\kappa }{\Vert v\Vert }_{r,\kappa }.$

引理7：[8]如果$M$ 满足

$\left(Mv\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(x,\tau \right){\left(1+\tau \right)}^{\rho }\overline{k}\left(x,\tau \right)v\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau ,$

则存在正常数$C$ ，使得对于任意函数$v\left(x\right)\in C\left(-1,1\right)$ 有

${\Vert Mv\Vert }_{0,1-\alpha }\le C{\Vert v\Vert }_{\infty }.$

4. 收敛性分析

在本节中，我们关注的是所提出的方法的收敛性分析。设$e\left(x\right)=u\left(x\right)-u^N\left(x\right)$ ，然后从(9)中减去(10)，并使用连续和离散内积(3)和(4)的定义，

(16)

其中

$\begin{array}{c}{z}^{{}_N}\left(\tau \right)={\displaystyle {\int }_{-1}^{\tau }{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(\tau ,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau ,s\right)u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\\ ={\left({\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right),\cdot \right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,\cdot \right),\cdot \right)-1\right)\right)}_{{\chi }_{\alpha ,\beta ,\rho }},\\ I_{i,1}=\frac{1+x_i}{2}[{\left(\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right),u^{{}_N}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)\right)}_{{\omega }_{0,0}}-{\left(\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right),u^{{}_N}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)\right)}_{N,{\omega }_{0,0}}\\ +{\left(\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,\cdot \right)-1\right)\right)}_{{\omega }_{0,0}}-{\left(\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,\cdot \right)-1\right)\right)}_{N,{\omega }_{0,0}}],\\ I_{i,2}={\left(\frac{1+x_i}{2},z\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)\right)}_{{\omega }_{0,0}}-{\left(\frac{1+x_i}{2},z\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)\right)}_{N,{\omega }_{0,0}},\\ I_{i,3}={\left(\frac{1+x_i}{2},\left(z^{{}_N}-z\right)\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)\right)}_{{\omega }_{0,0}}-{\left(\frac{1+x_i}{2},\left(z^{{}_N}-z\right)\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)\right)}_{N,{\omega }_{0,0}},\\ I_{i,4}={\left(\frac{1+x_i}{2},z^{{}_N}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)-{\left({\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right),\cdot \right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,\cdot \right),\cdot \right)-1\right)\right)}_{N,{\chi }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\right)}_{N,{\omega }_{0,0}}.\end{array}$

将(16)的两边乘以${ℱ}_i\left(x\right)$ ，然后从$i=0$ 到$i=N$ 求和，得到

用$I$ 表示恒等算子，通过重新组织上述等式中的项，我们得到

$\begin{array}{c}e(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x[\tilde{a}\left(\tau \right)e\left(\tau \right)+\tilde{b}\left(\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)}\\ +{\displaystyle {\int }_{-1}^{\tau }{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(\tau ,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau ,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s]\text{d}\tau +{\displaystyle \sum _{i=1}^4{E}_i}\left(x\right).\end{array}$

其中

(17)

使用关系

和估计

${\displaystyle {\int }_{\tau }^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }\left(s,\tau \right)\text{d}s}\le C\frac{\rho T}{2^{\rho }}{\left({\left(1+x\right)}^{\rho }-{\left(1+\tau \right)}^{\rho }\right)}^{1-\alpha }{\left(1+\tau \right)}^{\rho \alpha -1}.$

我们可以推出

因此

. (18)

首先，我们给出了$L^{\infty }$ -范数下的误差估计。

定理4.1：设给定函数$K\left(\cdot ,s\right),a\left(t\right),b\left(t\right)\in C^{m,1-\frac{m+1}{\rho }}\left(0,T\right],K\left(t,s\right)\in C^1\left(D\right)$ 。如果$u,z\in B_{{\omega }^{-1,-1}}^m\left(-1,1\right)$ ，则存在正常数$C$ ，使得对于足够大的$N$ ，以下误差估计成立

${\Vert e\Vert }_{\infty }\le C{N}^{-m}\left(\ln N{M}^{*}+N^{\frac{1}{2}}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}\right)$ .(19)

其中

$M^{*}={\Vert {\partial }_x^{m}b\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}+{\Vert u\Vert }_{{\omega }^{0,0}}+K^{*}{\Vert u\Vert }_{{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}+{\Vert {\partial }_x^{m}z\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}+{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m,m}}$ . (20)

$K^{*}$ 由(15)定义。

证明：由(18)，使用Gronwall不等式，有

${\Vert e\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le C{\displaystyle \sum _{i=1}^4{\Vert E_i\left(x\right)\Vert }_{\infty }}.$ (21)

首先，通过引理1，我们得到

${\Vert E_1\left(x\right)\Vert }_{\infty }={\Vert u\left(x\right)-I_x^{N}u\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le C{N}^{\frac{1}{2}-m}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}$ .(22)

我们接下来估计项$\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,k}\right|$ ，使用引理3

$\begin{array}{c}\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,1}\right|=\underset{1\le i\le N}{\max }|\frac{1+x_i}{2}[{\left(\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,.\right)\right),u^N\left(\tau \left(x_i,.\right)\right)\right)}_{{\omega }^{0,0}}-{\left(\tilde{a}\left(\tau \left(x_i,.\right)\right),u^N\left(\tau \left(x_i,.\right)\right)\right)}_{N.{\omega }^{0,0}}\underset{}{\overset{\stackrel{}{}}{}}\\ +{\left(\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right),u^N\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,\cdot \right)-1\right)\right)}_{{\omega }_{0,0}}-{\left(\tilde{b}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(x_i,\cdot \right)-1\right)\right)}_{N,{\omega }_{0,0}}]|\\ \le C{N}^{-m}\left({\Vert {\partial }_x^m\tilde{a}\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}{\Vert u^N\Vert }_{{\omega }^{0,0}}+{\Vert {\partial }_x^m\tilde{b}\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}{\Vert u^N\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\right)\\ \le C{N}^{-m}\left({\Vert {\partial }_x^m\tilde{a}\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}+{\Vert {\partial }_x^m\tilde{b}\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}\right)\left({\Vert u\Vert }_{{\omega }^{0,0}}+{\Vert e\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\right)\\ \le C{N}^{-m}\left({\Vert {\partial }_x^m\tilde{a}\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}+{\Vert {\partial }_x^m\tilde{b}\Vert }_{{\omega }^{{}_{m-1,m-1}}}\right)\left({\Vert u\Vert }_{{\omega }^{0,0}}+{\Vert e\Vert }_{\infty }\right),\end{array}$ (23)

和

$\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,2}\right|=\underset{1\le i\le N}{\max }\left|{\left(\frac{1+x_i}{2},z\left(\tau \left(x_i,.\right)\right)\right)}_{{\omega }^{0,0}}-{\left(\frac{1+x_i}{2},z\left(\tau \left(x_i,.\right)\right)\right)}_{N,{\omega }^{0,0}}\right|\le C{N}^{-m}{\Vert {\partial }_x^{m}z\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}.$ (24)

根据Hölder不等式，我们推出

$\begin{array}{c}\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,3}\right|=\underset{1\le i\le N}{\max }\left|{\left(\frac{1+x_i}{2},\left(z^N-z\right)\left(\tau \left(x_i,.\right)\right)\right)}_{{\omega }^{0,0}}-{\left(\frac{1+x_i}{2},\left(z^N-z\right)\left(\tau \left(x_i,.\right)\right)\right)}_{N,{\omega }^{0,0}}\right|\\ =\underset{1\le i\le N}{\max }\left|{\displaystyle {\int }_{-1}^{x_i}\left|\left(I-I_{\tau }^N\right)\left(z-z^N\right)\left(\tau \right)\right|\text{d}\tau }\right|\\ \le \underset{1\le i\le N}{\max }{\left({\displaystyle {\int }_{-1}^{x_i}{\left|\left(I-I_{\tau }^N\right)\left(z-z^N\right)\left(\tau \right)\right|}^2\text{d}\tau }\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le {\Vert \left(I-I_{\tau }^N\right)\left(z-z^N\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}.\end{array}$ (25)

为了限制$\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,3}\right|$ ，接下来我们需要误差估计${\Vert \left(I-I_{\tau }^N\right)\left(z-z^N\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}$ 。

当$\rho =1$ ，

$J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(x,\tau \right)=J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(-1,-1\right)+{\tilde{J}}_{\alpha ,\beta ,1.q}\left(x,\tau \right),$

其中

${\tilde{J}}_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(x,\tau \right)=\left[\left(x+1\right)\frac{\partial }{\partial x}+\left(\tau +1\right)\frac{\partial }{\partial \tau }\right]J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(\xi ,\zeta \right)$ .

显然有

$\begin{array}{c}\left(I-I_x^N\right)\left(z-z^N\right)\left(x\right)=\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right)J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(x,\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau \\ =\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right)J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(-1,-1\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau \\ -\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right)J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(-1,-1\right)u^N\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau \\ +\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right){\tilde{J}}_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(x,\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau .\end{array}$

则

${\Vert \left(I-I_x^N\right)\left(z-z^N\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}={\Vert I_{i,3}^1+I_{i,3}^2+I_{i,3}^3\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le {\displaystyle \sum _{k=1}^3{\Vert I_{i,3}^k\Vert }_{{\omega }^{0,0}}},$

其中

$\begin{array}{l}{I}_{i.3}^1=\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right)J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(-1,-1\right)u\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau ,\\ I_{i,3}^2=\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right)J_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(-1,-1\right)u^N\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau ,\\ I_{i,3}^3=\left(I-I_x^N\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,1}}\left(x,\tau \right){\tilde{J}}_{\alpha ,\beta ,1,q}\left(x,\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau .\end{array}$

又由引理1、2和引理6、7有

${\Vert I_{i,3}^1\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{N}^{-m}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m,m}},{\Vert I_{i,3}^2\Vert }_{{\omega }^{0,0}}=0,{\Vert I_{i,3}^3\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{N}^{\alpha -1}{\Vert e\Vert }_{\infty }.$

因此

${\Vert \left(I-I_x^N\right)\left(z-z^N\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{N}^{-m}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m,m}}+C{N}^{{\kappa }_1}{\Vert e\left(x\right)\Vert }_{\infty }.$

当$\rho \ge 2$ ，类似有

${\Vert \left(I-I_x^N\right)\left(z-z^N\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{N}^{-{\kappa }_2}{\Vert e\Vert }_{\infty }.$

其中

${\kappa }_1=1-\alpha ,{\kappa }_2=\min \left\{1-\alpha ,1-\frac{1}{\rho }\right\}\in \left(0,1\right).$

因此

$\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,3}\right|\le \{\begin{array}{ll}C{N}^{-m}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m,m}}+C{N}^{-{\kappa }_1}{\Vert e\Vert }_{\infty },\hfill & \rho =1,\hfill \\ C{N}^{-{\kappa }_2}{\Vert e\Vert }_{\infty },\hfill & \rho \ge 2,\hfill \end{array}$ (26)

此外，根据引理3，引理4，有

$\begin{array}{l}\underset{1\le i\le N}{\max }\left|I_{i,4}\right|\\ =\underset{1\le i\le N}{\max }\left|{\left(\frac{1+x_i}{2},z^{{}_N}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right)\right)-{\left({\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,\cdot \right),\cdot \right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,\cdot \right),\cdot \right)-1\right)\right)}_{N,{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}\right)}_{N,{\omega }^{0,0}}\right|\\ =\underset{1\le i\le N}{\max }\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\omega }_{1,k}}\left\{z^{{}_N}\left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right)\right)-{\left({\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right),\cdot \right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right),\cdot \right)-1\right)\right)}_{N,{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}\right\}\right|\\ \le 2\underset{1\le i\le N}{\max }\underset{1\le k\le N}{\max }\left|z^{{}_N}\left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right)\right)-{\left({\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right),\cdot \right),u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right),\cdot \right)-1\right)\right)}_{N,{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}\right|\\ \le C{N}^{-m}\underset{1\le i\le N}{\max }\underset{1\le k\le N}{\max }{\Vert {\partial }_x^m{\psi }_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right),\cdot \right)\Vert }_{{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}{\Vert u^{{}_N}\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau \left(\tau \left(x_i,{\theta }_k\right),\cdot \right)-1\right)\Vert }_{{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}\\ \le C{N}^{-m}{K}^{*}\left({\Vert u\Vert }_{{\chi }^{\alpha ,\beta ,\rho }}+{\Vert e\Vert }_{\infty }\right).\end{array}$ (27)

由引理2和不等式(23)，(24)和(26)，

$\begin{array}{l}{\Vert E_2\left(x\right)\Vert }_{\infty }={\Vert {\displaystyle \sum _{k=1}^4{I}_x^N}{I}_{i,k}\Vert }_{\infty }\le {\Lambda }_N{\displaystyle \sum _{k=1}^4{\max }_{1\le i\le N}}\left|I_{i,k}\right|\\ \le \{\begin{array}{ll}C\ln N{N}^{-m}{M}^{*}+C\ln N{N}^{-k_1}{\Vert e\Vert }_{\infty },\hfill & \rho =1,\hfill \\ C\ln N{N}^{-m}{M}^{*}+C\ln N{N}^{-k_2}{\Vert e\Vert }_{\infty },\hfill & \rho \ge 2,\hfill \end{array}\end{array}$ (28)

此外，通过使用引理1，最后两项有界于

$\begin{array}{c}{\Vert E_3\left(x\right)\Vert }_{\infty }={\Vert \left(I_x^N-I\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x\tilde{a}\left(\tau \right)e\left(\tau \right)+\tilde{b}\left(\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau }\Vert }_{\infty }\\ \le C{N}^{-\frac{1}{2}}{\Vert {\partial }_x{\displaystyle {\int }_{-1}^x\tilde{a}\left(\tau \right)e\left(\tau \right)+\tilde{b}\left(\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)\text{d}\tau }\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\\ \le C{N}^{-\frac{1}{2}}{\Vert \tilde{a}\left(x\right)e\left(x\right)+\tilde{b}\left(x\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}x-1\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\\ \le C{N}^{-\frac{1}{2}}{\Vert e\Vert }_{\infty }.\end{array}$(29)

和

$\begin{array}{c}{\Vert E_4\left(x\right)\Vert }_{\infty }={\Vert \left(I_x^N-I\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\displaystyle {\int }_{-1}^{\tau }{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}}\left(\tau ,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau ,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\text{d}\tau \Vert }_{\infty }\\ \le C{N}^{-\frac{1}{2}}{\Vert {\partial }_x{\displaystyle {\int }_{-1}^x{\displaystyle {\int }_{-1}^{\tau }{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}}\left(\tau ,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau ,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\text{d}\tau \Vert }_{{\omega }^{0,0}}\\ \le C{N}^{-\frac{1}{2}}{\Vert {\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(x,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\\ \le C{N}^{-\frac{1}{2}}{\Vert e\Vert }_{\infty }.\end{array}$ (30)

因此，上述误差界限得到了证明。

其次，我们给出了加权$L^2$ -范数下的误差估计。

定理4.2：设给定函数$K\left(\cdot ,s\right),a\left(t\right),b\left(t\right)\in C^{m,1-\frac{m+1}{\rho }}\left(0,T\right],K\left(t,s\right)\in C^1\left(D\right)$ 。如果$u,z\in B_{{\omega }^{-1,-1}}^m\left(-1,1\right)$ ，则存在正常数$C$ ，使得对于足够大的$N$ ，以下误差估计成立

${\Vert e\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le \{\begin{array}{ll}C{N}^{-m}\left(M^{*}+C{N}^{\frac{1}{2}-{\kappa }_1}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}\right),\hfill & \rho =1,\hfill \\ C{N}^{-m}\left(M^{*}+C{N}^{\frac{1}{2}-{\kappa }_2}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m-1,m-1}}\right),\hfill & \rho \ge 2,\hfill \end{array}$ (31)

其中

${\kappa }_1=1-\alpha ;{\kappa }_2=\min \left\{1-\alpha ,1-\frac{1}{\rho }\right\};$

$M^{*}$ 由(20)定义。

证明：由(18)和广义Hardy不等式有

${\Vert e\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{\displaystyle \sum _{i=1}^4{\Vert E_i\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}}.$ (32)

首先，根据引理1，我们得到

${\Vert E_1\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}={\Vert u\left(x\right)-I_x^{N}u\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{N}^{-m}{\Vert {\partial }_x^{m}u\Vert }_{{\omega }^{m,m}}.$ (33)

利用式(23)，(24)，(26)，(27)和引理2，有

$\begin{array}{c}{\Vert E_2\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}={\Vert {\displaystyle \sum _{k=1}^4{I}_x^N}{I}_{i,k}\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\le C{\displaystyle \sum _{k=1}^4{\max }_{1\le i\le N}}\left|I_{i,k}\right|\\ \le \{\begin{array}{ll}C{N}^{-m}{M}^{*}+C{N}^{-k_1}{\Vert e\Vert }_{\infty },\hfill & \rho =1\hfill \\ C{N}^{-m}{M}^{*}+C{N}^{-k_2}{\Vert e\Vert }_{\infty },\hfill & \rho \ge 2\hfill \end{array}\end{array}$

此外，使用引理1，很明显

$\begin{array}{c}{\Vert E_3\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\text{=}{\Vert \left(I_x^N-I\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x\tilde{a}\left(\tau \right)e\left(\tau \right)+\tilde{b}\left(\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)}\Vert }_{{\omega }^{0,0}}\\ \le C{N}^{-1}{\Vert {\partial }_x{\displaystyle {\int }_{-1}^x\tilde{a}\left(\tau \right)e\left(\tau \right)+\tilde{b}\left(\tau \right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}\tau -1\right)}\Vert }_{{\omega }^{1,1}}\\ \le C{N}^{-1}{\Vert \tilde{a}\left(x\right)e\left(x\right)+\tilde{b}\left(x\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}x-1\right)\Vert }_{{\omega }^{1,1}}\\ \le C{N}^{-1}{\Vert e\Vert }_{{\omega }^{0,0}},\end{array}$

和

$\begin{array}{c}{\Vert E_4\left(x\right)\Vert }_{{\omega }^{0,0}}={\Vert \left(I_x^N-I\right){\displaystyle {\int }_{-1}^x{\displaystyle {\int }_{-1}^{\tau }{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}}\left(\tau ,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau ,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\text{d}\tau \Vert }_{{\omega }^{0,0}}\\ \le C{N}^{-1}{\Vert {\partial }_x{\displaystyle {\int }_{-1}^x{\displaystyle {\int }_{-1}^{\tau }{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}}\left(\tau ,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(\tau ,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\text{d}\tau \Vert }_{{\omega }^{1,1}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\le C{N}^{-1}{\Vert {\displaystyle {\int }_{-1}^x{\lambda }_{\alpha ,\beta ,\rho }}\left(x,s\right)J_{\alpha ,\beta ,\rho ,q}\left(x,s\right)e\left(q^{\frac{1}{\rho }}+q^{\frac{1}{\rho }}s-1\right)\text{d}s\Vert }_{{\omega }^{1,1}}\\ \le C{N}^{-1}{\Vert e\Vert }_{{\omega }^{0,0}}.\end{array}$

因此，证明了结果。

5. 数值实验

在这一节中，我们通过一些数值例子来验证所提出的Legendre谱方法在$L^{\infty }$ 和$L^2$ 范数下的精确性和应用光滑变换的有效性。以下算例通过Matlab软件进行计算。

算例1考虑如下第三类延迟Volterra积分微分方程

$t^{\frac{2}{3}}{y}^{\prime }\left(t\right)=t^{\frac{5}{3}}y\left(t\right)+t^{\frac{5}{3}}y\left(qt\right)+g_1\left(t\right)+q^{-\frac{2}{3}}{\displaystyle {\int }_0^{qt}\frac{\sqrt{3}}{3\pi }{\left(qt-\sigma \right)}^{-\frac{2}{3}}{\sigma }^{\frac{1}{3}}y\left(\sigma \right)\text{d}\sigma ,}$ (34)

其中$g_1\left(t\right)=\frac{5}{3}{t}^{\frac{4}{3}}-t^{\frac{10}{3}}\left(1+q^{\frac{5}{3}}\right)-\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)\Gamma \left(3\right)}{\pi \sqrt{3}\Gamma \left(\frac{10}{3}\right)}{t}^{\frac{7}{3}}{q}^{\frac{5}{3}}$ 。

有非光滑解$y\left(t\right)=t^{\frac{5}{3}}$ ，设$q=0.6,T=0.5$ ，选择$\rho =3$ 。表1中显示了使用上述谱配置方法得到的误差，图1表示出了数值收敛性。可以观察到，当$N=6$ 时，误差可达到${10}^{-14}$ ，表明了方法的高效和计算成本低。结果表明，绝对误差随$N$ 的增加呈指数衰减。数值实验中，通过选取适当的$\rho$ ，可以提升解的光滑性和正则性，提高精度减小误差，数值结果与理论分析相吻合。

Table 1. The errors of spectral Legendre-collocation method for Example 1

表1. 算例1 Legendre谱配置法的误差

$N$	2	4	6	8	10
$L^{\infty }$	6.16e−02	1.27e−03	5.80e−14	6.11e−16	1.11e−16
$L^2$	1.82e−03	1.18e−05	1.95e−14	1.36e−16	5.84e−17

Figure 1. The errors of spectral Legendre-collocation method for Example 1

图1. 算例1Legendre谱配置法的误差

算例2考虑如下第三类延迟Volterra积分微分方程

$t^{\frac{3}{2}}{y}^{\prime }\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^{\frac{5}{2}}y\left(t\right)+t^{2}y\left(qt\right)+g_1\left(t\right)+q^{-\frac{3}{2}}\frac{1}{6}{\displaystyle {\int }_0^{qt}{\sigma }^{\frac{1}{2}}}y\left(\sigma \right)\text{d}\sigma ,$ (35)

其中$g_1\left(t\right)=\frac{5}{2}{t}^3-\frac{1}{2}{t}^5-q^{\frac{5}{2}}\left(t^{\frac{9}{2}}+\frac{t^4}{24}\right)$ 。

式子的精确解为$y\left(t\right)=t^{\frac{5}{2}}$ 。设$q=0.8,T=1$ ，我们选择$\rho =4$ ，那么式(5)的相应解为$u\left(x\right)=\frac{{\left(1+x\right)}^{10}}{2^{10}}$ 。

从以下表2和图2中看出我们的数值方法收敛速度很快，误差很小，当$N=10$ 时，$L^2$ 误差达到了${10}^{-17}$ ，同样获得了期望的指数收敛速率。这些发现与理论分析中推导的误差分析严格一致，充分验证了本方法在保持高精度与低耗时的双重优势，特别是在处理非光滑解问题时展现出的优越计算效能，得到了一致的理论结果。

Table 2. The errors of spectral Legendre-collocation method for Example 2

表2. 算例2 Legendre谱配置法的误差

$N$	2	4	6	8	10
$L^{\infty }$	4.91e−01	9.02e−02	6.78e−3	1.13e−4	2.22e−16
$L^2$	3.10e−02	4.20e−03	1.40e−4	1.40e−6	2.88e−17

Figure 2. The errors of spectral Legendre-collocation method for Example 2

图2. 算例2 Legendre谱配置法的误差

6. 结论

本文介绍了一种基于Legendre配置法的求解一类第三类弱奇异比例时滞Volterra积分微分方程解的数值方法。通过适当的光滑变换使变换后的函数具有更好的正则性。此外，我们还证明了经过这种变换后，所得到的数值解将具有指数收敛速度，建立了严格的误差估计。值得指出的是，数值实验与理论分析高度吻合，算法实现便捷且计算复杂度低，具有很高的精度。