一类新的超混沌系统及其事件驱动同步研究

doi:10.12677/aam.2025.148370

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一类新的超混沌系统及其事件驱动同步研究
Research on a New Hyper-Chaotic System and Its Event-Driven Intermittent Synchronization

DOI: 10.12677/aam.2025.148370, PDF, HTML, XML, 科研立项经费支持
作者: 郝澎祥, 何凯丰, 代安定：湖南城市学院理学院，湖南益阳
关键词: 超混沌系统；李雅普诺夫稳定；事件驱动；驱动响应同步；Hyper-Chaotic System； Lyapunov Stability； Event-Driven； Drive-Response Synchronization

摘要: 本文提出一个新的四维超混沌系统，并对该超混沌系统的事件驱动同步问题展开研究。根据李雅普诺夫稳定性理论，设计了指数同步的事件驱动的触发机制，并设计了事件驱动机制下的间歇控制器，提出了保证系统实现同步的充分性判据。最后借助python进行数据仿真，验证了所设计控制器的正确性与有效性。

Abstract: This paper proposes a new four-dimensional hyperchaotic system and investigates its event-driven synchronization problem. Based on Lyapunov stability theory, an event-driven triggering mechanism for exponential synchronization is designed, and an intermittent controller under the event-driven mechanism is developed. Sufficient criteria for ensuring system synchronization are obtained, which balance synchronization accuracy and control resource utilization. Finally, numerical simulations using Python verify the correctness and effectiveness of the designed controller.

文章引用：郝澎祥, 何凯丰, 代安定. 一类新的超混沌系统及其事件驱动同步研究[J]. 应用数学进展, 2025, 14(8): 59-67. https://doi.org/10.12677/aam.2025.148370

1. 引言

混沌系统作为非线性科学领域的重要研究对象，因其对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性以及复杂的拓扑结构，在过去数十年间引发了学术界与工程界的广泛关注[1]-[3]。混沌同步作为混沌理论的核心研究方向之一，旨在实现两个或多个混沌系统的状态一致性，是混沌应用的关键基础[3] [4]。传统的混沌同步方法，如线性反馈控制[4]、自适应控制[5]-[7]等，虽已取得丰富成果，但在实际应用中常面临控制输入持续消耗能量、信息传输量巨大等问题，尤其在大规模网络系统或资源受限的场景中，这些问题更为突出。因此，如何在保证同步效果的前提下，降低控制成本、减少信息传输量，成为近年来混沌同步研究的重要挑战。

事件驱动控制机制作为一种新兴的控制策略，通过设定特定的触发条件，仅在系统状态满足条件时更新控制输入，打破了传统时间驱动控制的周期性限制，为解决上述问题提供了新思路[8] [9]。该机制能够根据系统实际动态特性自适应地决定控制更新时刻，显著减少不必要的控制动作和数据传输，在提升控制效率的同时降低资源消耗[10] [11]。然而，将事件驱动控制应用于超混沌系统的同步研究仍存在诸多理论与技术难题，如触发条件的合理设计、同步稳定性分析以及实际干扰因素的处理等，亟需深入探讨。

本文针对一类新构建的四维超混沌系统，对其驱动–响应同步问题进行了研究。首先，在Lorenz混沌系统基础上通过添加线性项与非线性项构造出一个新的超混沌系统。其次，基于李雅普诺夫稳定性理论，设计事件驱动控制器，给出了系统同步的充分条件，在保证同步精度的同时，实现控制资源的优化利用。最后，数值仿真验证所提结论的正确性。

2. 新超混沌系统介绍

本文在洛伦兹混沌系统上添加了几个线性项和非线性项，提出一个四维超混沌系统，其微分方程描述为

${\begin{cases} \dot{x} = a (y - x) + c w \\ \dot{y} = y (k - z) - d w \\ \dot{z} = x y - k z + k w \\ \dot{w} = b x - b w - x z \end{cases}$ (1)

其中x，y，z，w为状态变量，a，b，c，d，k是系统(1)的参数。新系统总共有12项，其中有8个线性项，有4个非线性项。当参数为a = 33，b = 2，c = 2.59，d = −13，k = 0.7时，该系统处于混沌状态。该系统在xyz空间上的相轨图及其相位图，如图1和图2所示。

将初始条件为x = 4.0，y = −0.2，z = 3.0，w = 0.7代入系统，对系统(1)进行计算，得到李雅普诺夫指数值为：λ₁ = 3.8191，λ₂ = 0.4566，λ₃ = −0.1622，λ₄ = −5.0189。求出的李雅普诺夫指数有两个数值为正数，这证实了该系统处于超混沌状态。

Figure 1. Phase trajectory of system (1) in xyz-space

图1. 系统(1)在xyz空间上的相轨迹图

Figure 2. Phase-space trajectories of system (1) across multiple planes

图2. 系统(1)在各个平面上的相位图

3. 新超混沌系统的反馈同步

针对驱动系统(1)，我们构建相应的响应系统：

${\begin{cases} {\dot{y}}_{1} = a (y_{2} - y_{1}) + c y_{4} + u_{1} \\ {\dot{y}}_{2} = y_{2} (k - y_{3}) - d y_{4} + u_{2} \\ {\dot{y}}_{3} = y_{1} y_{2} - k y_{3} + k y_{4} + u_{3} \\ {\dot{y}}_{4} = b y_{1} - b y_{4} - y_{1} y_{3} + u_{4} \end{cases}$ (2)

其中 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} \in R^{4}$ ， $a, b, c, d, k$ 为系统的参数，且为实常数， $u_{i} \in R (i = 1, 2, 3, 4)$ 表示控制输入。将同步误差定义为 $e_{i} = y_{i} - x_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 。通过系统(1)和(2)可以得到如下微分方程：

${\begin{cases} {\dot{e}}_{1} = a (e_{2} - e_{1}) + c e_{4} + u_{1} \\ {\dot{e}}_{2} = k e_{2} + (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) - d e_{4} + u_{2} \\ {\dot{e}}_{3} = (y_{2} y_{1} - x_{2} x_{1}) - k e_{3} + k e_{4} + u_{3} \\ {\dot{e}}_{4} = b e_{1} - b e_{4} - (y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3}) + u_{4} \end{cases}$ (3)

针对系统(3)，设计如下的控制器

${\begin{cases} u_{1} = 0 \\ u_{2} = - r_{1} e_{2} + e_{2} x_{3} - (y_{1} + y_{2}) e_{3} \\ u_{3} = - e_{1} x_{2} - r_{2} e_{3} \\ u_{4} = x_{3} e_{1} + e_{3} y_{1} - r_{3} e_{4} \end{cases}$ (4)

其中， $r_{1,} r_{2,} r_{3}$ 为待定的反馈增益， $u_{1}$ 为零表示变量x₁不需要施加控制器。

结论1：针对系统(1)和系统(2)，在控制器(4)下，如果以下不等式成立

$J = (\begin{matrix} - a & \frac{a}{2} & 0 & \frac{c + d}{2} \\ \frac{a}{2} & k - r_{1} & 0 & - \frac{d}{2} \\ 0 & 0 & - (k - r_{2}) & \frac{k}{2} \\ \frac{c + d}{2} & - \frac{d}{2} & \frac{k}{2} & - b - r_{3} \end{matrix}) < 0$ (5)

则系统(2)将同步到系统(1)。

证明：选择一个合适Lyapunov的函数为

$v = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{4} e_{i}^{2}$ .

对上式两边求导，可以得到

$\dot{v} = e_{1} {\dot{e}}_{1} + e_{2} {\dot{e}}_{2} + e_{3} {\dot{e}}_{3} + e_{4} {\dot{e}}_{4}$ .

将误差系统和控制器代入上式，进一步得到

$\begin{array}{l} \dot{v} = e_{1} [a (e_{2} - e_{1}) + c e_{4} + u_{1}] + e_{2} [k e_{2} + (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) - d e_{4} + u_{2}] \\ + e_{3} [(y_{1} y_{2} - x_{1} x_{2}) - k e_{3} + k e_{4} + u_{3}] + e_{4} [b e_{1} - b e_{4} - (y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3}) + u_{4}] \\ = - a e_{1}^{2} + a e_{1} e_{2} + c e_{1} e_{4} + (k - r_{1}) e_{2}^{2} - d e_{2} e_{4} + e_{2} (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) + e_{2}^{2} x_{3} - (y_{1} + y_{2}) e_{2} e_{3} \\ - (k + r_{2}) e_{3}^{2} + k e_{3} e_{4} + e_{3} (y_{1} y_{2} - x_{1} x_{2}) - x_{2} e_{1} e_{3} + b e_{1} e_{4} - (b + r_{3}) e_{4}^{2} - e_{4} (y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3}) \\ + x_{3} e_{1} e_{4} + y_{1} e_{3} e_{4} . \end{array}$ (6)

由于，

$\begin{array}{l} e_{2} (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) + e_{2}^{2} x_{3} - (y_{1} + y_{2}) e_{2} e_{3} + e_{3} (y_{1} y_{2} - x_{1} x_{2}) - x_{2} e_{1} e_{3} = 0, \\ - e_{4} (y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3}) + x_{3} e_{1} e_{4} + y_{1} e_{3} e_{4} = 0. \end{array}$

将上式代入(6)并化简，可得

$\begin{array}{l} \dot{v} = - a e_{1}^{2} + a e_{1} e_{2} + c e_{1} e_{4} + (k - r_{1}) e_{2}^{2} - d e_{2} e_{4} - (k + r_{2}) e_{3}^{2} + k e_{3} e_{4} + b e_{1} e_{4} - (b + r_{3}) e_{4}^{2} \\ = e^{T} J e . \end{array}$

由式(5)知，J是负定的，即 $\dot{v} (e, t) < 0$ ，则误差系统(2.2)是渐近稳定的，即系统(2)和系统(1)将会实现同步。

4. 四维超混沌系统的事件驱动同步

4.1. 事件驱动控制器设计

本节采用事件驱动机制来设计控制器，以此来降低混沌同步的控制成本，减少信息的传输量。驱动系统，响应系统和误差系统与上一节相同，分别为(1)，(2)和(3)。

为了确保误差系统能够稳定地趋向零点，设计出事件驱动同步控制器为

$u_{i} (t) = {\begin{cases} u_{i}^{*} (t), V (t) \geq B_{1} (t); \\ 0, V (t) \leq B_{2} (t); \\ u_{i}^{*} (- t), B_{2} (t) \leq V (t) \leq B_{1} (t); \end{cases}$ (7)

其中， $u_{i}^{*} (t)$ 与控制器(4)相同， $B_{1} (t), B_{2} (t)$ 是关于时间t的函数，其表达式为

$B_{1} (t) = c_{1} * V (t_{0}) * e^{- a_{1} t}, B_{2} (t) = c_{2} * V (t_{0}) * e^{- a_{2} t},$

$a_{1} < a_{2}, c_{1} > c_{2}$ 都是不为零的正数。

事件驱动同步控制的工作原理如图3所示。当 $V (t) > B_{1} (t)$ 时，事件驱动控制器被激活；当 $V (t) < B_{2} (t)$ 时，事件驱动控制器关闭；当 $B_{2} (t) < V (t) < B_{1} (t)$ 时，事件驱动控制器由前一个时刻的控制状态决定[11]。

Figure 3. Schematic diagram of the control mechanism [11]

图3. 控制机制示意图[11]

4.2. 事件驱动同步结论

结论2：针对驱动系统(1)和响应系统(2)，在事件驱动控制器(7)下，若 $‖ J ‖ \leq - λ$ ，其中

则驱动系统(1)和响应系统(2)能实现同步。

证明：构造合适的李雅普诺夫函数

$V (e) = \frac{1}{2} (e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} + e_{4}^{2})$ .

对 $V (e)$ 求导并代入误差方程

$\dot{V} (e) = {\dot{e}}_{1} e_{1} + {\dot{e}}_{2} e_{2} + {\dot{e}}_{3} e_{3} + {\dot{e}}_{4} e_{4}$ .

展开后得到

$\begin{matrix} \dot{V} (e) = e_{1} [a (y_{2} - y_{1}) + c e_{4} + u_{1}] + e_{2} [k e_{2} (x_{2} x_{3} - y_{2} y_{3}) - d e_{4} + u_{2}] \\ + e_{3} [(y_{1} y_{2} - x_{1} x_{2}) - k e_{3} + k e_{4} + u_{3}] + e_{4} [- (y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3}) - b e_{4} + k e_{3} + u_{4}] \end{matrix}$

根据结论1的证明过程，有

$\dot{V} (e) \leq - 2 λ V (e) .$ (8)

根据事件驱动同步控制器(7)，会有以下几种情况：

若 $V (t)$ 大于 $B_{1} (t)$ ，那么就意味着 $V (t)$ 的曲线会在 $B_{1} (t)$ 的曲线上方，控制器就将处于开启的状态。若 $V (t)$ 一直在 $B_{2} (t)$ 的上方，则控制器一直开启，即(8)式成立。根据结论1可知，系统(1)和系统(2)能同步。

若在控制器的作用下， $V (t)$ 达到或小于 $B_{2} (t)$ 时，控制器关闭。之后，若 $V (t)$ 一直在 $B_{1} (t)$ 的下方，根据 $B_{1} (t)$ 的轨迹可知，系统(1)和系统(2)能同步。

若 $V (t)$ 的值不断在小于 $B_{1} (t)$ 和大于 $B_{2} (t)$ 来回切换，即控制器不断开启与关闭，则在控制器的作用下 $V (t)$ 的值将介于这两者之间。由于 $B_{1} (t)$ 和 $B_{2} (t)$ 将重合并趋于0，则 $V (t)$ 的值将趋于0，即系统(1)和系统(2)能同步。

综上可知，在事件驱动同步控制器(7)的作用下，若J负定时，系统(1)和系统(2)能同步，即结论2是成立的。

注1：本文所设计的控制器(7)不会出现芝诺现象。设控制器第k次触发的时间为 $t_{k}$ ，即 $V (t_{k}) \geq B_{1} (t_{k})$ ，第k次关闭的时间为 $t_{k + 1}$ ，即 $V (t_{k + 1}) = B_{2} (t_{k + 1})$ ，第 $k + 1$ 次触发的时间为 $t_{k + 2}$ 。由(8)可知， $V (t) = V (t_{k}) e^{- 2 λ (t - t_{k})}$ 。

因此， $e^{2 λ (t_{k + 1} - t_{k})} = \frac{V (t_{k})}{V (t_{k + 1})} = \frac{B_{1} (t_{k})}{B_{2} (t_{k + 1})}$ 。由触发函数 $B_{i} (t)$ 的定义，它是单调递减的，所以

$e^{2 λ (t_{k + 1} - t_{k})} \geq \frac{B_{1} (t_{k})}{B_{2} (t_{k})} = \frac{c_{1} V (t_{0}) e^{- a_{1} t_{k}}}{c_{2} V (t_{0}) e^{- a_{2} t_{k}}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} e^{(a_{2} - a_{1}) t_{k}} ，$

即 $(t_{k + 1} - t_{k}) \geq \frac{1}{2 λ} ln (\frac{c_{1}}{c_{2}}) .$

因此，最小触发间隔 $τ = t_{k + 2} - t_{k} > t_{k + 1} - t_{k} \geq \frac{1}{2 λ} ln (\frac{c_{1}}{c_{2}}) > 0$ 。因此，不会出现芝诺现象。

5. 数值仿真

仿真一：

驱动系统和响应系统的参数值分别取 $a = 33, b = 2, c = 2.59, d = - 13, k = 0.7$ ，驱动系统的初值和响应系统的初值分别为：

$x_{1} = 1, x_{2} = 1, x_{3} = 1, x_{4} = 1, y_{1} = 2, y_{2} = - 2, y_{3} = 3, y_{4} = - 3.$

若反馈增益为 $r_{1} = 15, r_{2} = 8, r_{3} = 10$ ，将其代入结论2中的J，可求得J的特征值分别为：

$λ_{1} = - 42 .6726, λ_{2} = - 0 .7831, λ_{3} = - 16 .4423, λ_{4} = - 8 .6920$ .

根据特征值可知J是负定的。因此，结论2成立，即驱动系统和响应系统在控制器(7)下实现同步，其中事件驱动函数的参数值选取为： $a_{1} = 2, a_{2} = 4, c_{1} = 0 .8, c_{2} = 0 .6$ 。

仿真结果如图4~6所示。由图4可观察到，所有误差变量曲线迅速稳定至零，这说明驱动系统和响应系统能实现同步。图5为红色曲线为函数V的变化趋势，从图中可看出，函数V介于函数 $B_{1} (t)$ 和 $B_{2} (t)$ 之间，这说明事件驱动控制器在正常的工作，所设计的控制器是有效的。图6为控制器工作或休息的轨迹图。

Figure 4. Synchronization error curve

图4. 同步误差曲线图

Figure 5. Event-Driven control trajectory

图5. 事件驱动控制轨迹

Figure 6. The triggering trajectory of controller (7)

图6. 控制器(7)的工作触发轨迹

仿真二：

为了验证控制器(7)的有效性，本仿真将其与反馈控制器(4)进行对比分析。系统的参数与仿真一保持一致。控制能耗的定义如下： $Q = \int_{0}^{12} u^{'} u d t$ 。

在反馈控制器(4)作用下，当控制器工作的判别标准设定为“控制器各分量绝对值的最大值大于0.01”时，控制器工作时间为1.2，对应控制能耗为748.3868；若将判别标准提高至0.001，则反馈控制器工作时间延长至1.52。相比之下，在事件驱动控制器(7)作用下，控制器工作时间为1.48，控制能耗为655.0146。对比结果表明，事件驱动控制方法在工作时间方面与反馈控制相近，但能显著降低能耗，节能效果达到12.48%。这说明事件驱动控制机制能有效节省能耗。

6. 结论

本文提出了一个新的超混沌系统，给出了其李雅普诺夫指数，平衡点，且进行了耗散性分析。利用事件驱动机制对该超混沌系统的驱动–响应同步进行了研究，提出保证系统实现同步的充分性判据。该判据不仅能保证系统实现同步，而且能有效减少控制输入和信息的传输量。最后，通过仿真算例验证所提控制策略的可行性。不过这次研究也存在局限。实际应用中的复杂干扰因素未深入探讨。此外，可以把研究成果和实际工程结合起来，比如在加密通信、电力系统控制这些领域做进一步的实践验证。

基金项目

本论文受湖南省教育厅重点项目(项目编号：21A0498)资助。

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