基于真实问题的数学分析课程教学改革

Reform of Teaching in Mathematical Analysis Course Using Problem-Based Learning

摘要: 数学分析作为数学学科的核心基础课程，是连接抽象理论与实际应用的重要纽带。针对传统数学分析课程中存在的教学内容抽象、教学方法单一、理论与实践脱节等问题，本研究从课程内容重构、教学模式创新及评价机制优化三个方面，提出基于真实问题的教学改革方案。通过引入工程、经济、物理等领域的真实案例重构教学内容，采用分层教学与数字化资源支持个性化学习，并建立形成性评价与竞赛成绩相结合的考核体系。改革旨在提升学生的逻辑思维能力、数学建模能力及跨学科应用能力，强化数学分析的实践价值，促进多学科交叉融合。试点实践表明，该方案显著提高了学生的课堂参与度与问题解决效率，为数学分析课程教学提供了可推广的创新范式，助力培养兼具理论素养与实践能力的高层次数学人才。

Abstract: As a core foundational course in mathematics, mathematical analysis serves as a critical bridge connecting abstract theory with practical applications. To address the issues of abstract content, rigid teaching methods, and disconnection between theory and practice in traditional mathematical analysis courses, this study proposes a teaching reform scheme based on real-world problems, focusing on three aspects: curriculum restructuring, pedagogical innovation, and evaluation mechanism optimization. By integrating authentic case studies from fields such as engineering, economics, and physics into the curriculum, adopting hierarchical teaching and digital resources to support personalized learning, and establishing a hybrid assessment system combining formative evaluations and competition performance, the reform aims to enhance students’ logical thinking, mathematical modeling, and interdisciplinary application skills. It also strengthens the practical value of mathematical analysis and promotes cross-disciplinary integration. Pilot implementation demonstrates that this approach significantly improves classroom engagement and problem-solving efficiency, offering a replicable innovative paradigm for mathematical analysis education. It facilitates the cultivation of high-level mathematical talents equipped with both theoretical expertise and practical competence.

1. 研究现状

数学分析作为数学专业的一门核心基础课程，该课程在本科阶段1~2年级进行，共计三个学期，总课程为224学时。课程内容主要包括实数理论、极限理论、微积分学以及级数论等核心概念。数学分析是数学专业学生后续学习其他数学课程和解决实际应用问题的基础。数学分析作为数学学科的核心基础课程，其教学质量直接关系到学生后续专业课程的学习质量及实践能力的培养[1]。然而，传统教学模式长期面临理论脱离实际、教学方法单一、学生参与度低等问题。研究表明，当前数学分析课程中应用案例占比不足5%，导致学生难以建立抽象理论与实际问题的联系[2]。教育部在《关于深化本科教育教学改革的意见》[3]中明确指出，需强化实践创新能力培养，推动课程内容与产业需求的对接，这为本研究的开展提供了政策支持。

近年来，基于真实问题(Problem-Based Learning, PBL)的教学改革(例见[4])在STEM教育中展现出显著优势。PBL源于医学教育，其核心是以复杂、真实、非良构的问题作为学习起点和驱动力。在数学分析中应用PBL，其内涵在于：1) 知识锚定：将抽象的极限、微分、积分等概念锚定在具体情境中(如工程优化、经济模型、物理过程)，解决“学何用”的困惑；2) 认知冲突驱动：真实问题的复杂性天然引发学生认知冲突，激发其主动探索理论工具的内在动机；3) 能力导向：直接培养定义问题、构建模型、数学求解、结果阐释的完整能力链。其意义远超简单举例，是重构课程逻辑，将“知识传授”转向“问题解决与知识建构”并重的范式变革。

1994年，Spady [5]提出的成果导向教育(OBE)理念强调以学生能力输出为目标，通过复杂问题解决驱动学习过程，这与数学分析课程改革的需求高度契合。国内外多项实证研究表明，将真实问题引入课堂可提升学生的知识迁移能力，例如在微积分教学中融入工程案例，能使学生的建模能力提升23% [6]。此外，跨学科整合已成为高等教育的重要趋势，数学与工程、经济等领域的交叉应用案例，可有效激发学生的创新思维[7]。

尽管上述理论在STEM教育中成效显著，数学分析课程改革仍面临多重瓶颈：其一，传统考核机制过度依赖理论考试，忽视实践能力评估[8]；其二，教师缺乏跨学科知识储备，难以设计高质量的真实问题案例；其三，个性化学习资源匮乏，难以满足分层教学需求。针对这些问题，本文以数学分析课程为实践载体，通过重构教学内容、创新教学模式、建立多元化考核机制，探索基于真实问题的教学改革路径，旨在为数学教育转型提供可复制的解决方案。

2. 应用前景

基于真实问题的数学分析教学改革，通过引入工程、经济、物理等领域的真实案例重构内容梯度，结合分层教学与数字化资源支持个性化学习，形成多维应用价值，同步重构人才能力链条，培育兼具严谨逻辑推演、跨学科迁移(如经济预测、信号处理优化)及创新实践能力的复合型人才，精准匹配人工智能、金融科技、国防工业等前沿领域需求；更可为数学类课程提供可复制的“理论–问题–应用”闭环范式，通过开放共享的真实问题资源库与分层教学设计指南，推动STEM教育从知识传授向问题解决能力转型，响应新工科建设对交叉融合的迫切需求，最终破解学术教育与产业实践脱节的长期困境。

3. 改革内容

3.1. 改革传统的教学模式

(1) 真实问题驱动的深度融入

传统教学往往侧重于理论知识的传授，容易与实际应用脱节，也较少系统地引导学生进行创新性思考和实践。为了有效弥合这一差距，教师可在问题设计环节着力引入工程、经济、物理等领域的非良构问题。这些问题应具备开放性、复杂性和鲜明的现实意义。建议在每个教学章节中，至少深度融入一个核心的真实案例。在问题解决过程中，可遵循“情境导入→问题定义→数学建模→理论求解→结果验证”的PBL闭环流程。例如，在讲解“曲线积分”概念时，可以设计“计算卫星维持特定轨道所需能耗”的真实任务，引导学生将具体的物理问题逐步抽象为相应的数学表达并进行求解。

(2) 调整深度，突出重点

结合学生的基础，在内容深度上作适当调整，以第三学期《数学分析》课程为例，这一学期以积分为主，包括含参量积分、曲线积分、重积分和曲面积分，在这一部分内容中，我们不再过多关注“为什么”，而是着重关注积分的计算。换言之，在教学内容的安排上，我们尽量减少证明，多关注定理本身，多强调定理的理解与应用，同时配合例题和计算，巩固学生的理解。

(3) 专题训练

对于重点难点知识的讲解，应开展专题训练。解数学题是众多考察学生对数学知识的掌握以及数学思维能力的方法中应用最广泛的一种方式。例如现在面向中低年级本科生的大学生数学竞赛以及高年级本科生升学考试中的研究生入学考试中的数学能力的考察，都是通过让学生解答一些具有一定难度的题目来实现的。由此可见，锻炼出一定的解题能力仍然是数学学科的学习中不可缺失的内容。通过专题训练，学生对知识点的理解会更加深刻，也将不断夯实解他们解决实际问题的基础能力。

3.2. 改革传统教学模式

(1) 分层教学的差异化内容设计

对教学内容进行分层教学可以满足学生认知基础、学习风格和目标的多样性。在数学分析改革中，应对学生多样性，从内容分层、任务分层、目标分层等几个维度多方面细化。这样可以最大化个体学习效能，避免“一刀切”导致的厌学或潜能压抑。例如，基础层学生可着重聚焦核心概念与计算能力训练(如积分技巧、微分方程解法)，确保知识基础达标；提高层学生可以在学习过程中融入现代数学思想(如勒贝格积分初步、混沌理论中的极限分析)，结合跨学科复杂问题，旨在培养高阶思维与创新应用能力。

(2) 个性化学习辅导

通过录制分层次、模块化的微课(如基础概念精讲45 min，难点突破/拓展提高15 min)等数字化资源库，支持学生按需反复学习。同时制定分层次自适应学习路径，推荐个性化学习资源和练习以及同步的线上个性化辅导。其意义在于突破时空限制，满足差异化需求，提升学习自主性与效率。

3.3. 建立多元化的考核机制

考试是评价学生学习效果的重要方式之一，通过考试可以了解学生对数学分析理论知识的掌握程度。除考试成绩外，增加形成性评价的分值比例，除包括平时成绩(出勤率、课堂参与度、作业完成情况)外，还应考虑学生解决真实问题的能力。此外，不同层级的小组采用不同的考核标准，如参考课外小组讨论参与度及竞赛成绩等。

4. 改革目标

4.1. 加强所授知识与实际应用的联系

学习知识的根本目的就是解决实际问题，但是数学分析这类基础课程的讲授往往忽略了与实际应用的联系，这时真实问题的引入就发挥了重要作用。在本项目中，我们将通过真实问题的引入，逐步深入，与学生们探讨解决问题的最佳方法，从而引导学生独立探索思考，提高学习的主动性。

4.2. 培养数学思维和解决问题的能力

在传统学习过程中，学生们往往是被动接受知识，而真实问题的引入则注重培养学生们的逻辑思维能力和动手能力，而这些只靠讲授是不够的，更多的是要对学生进行启发。引导学生自主思考，锻炼他们的逻辑思维能力，并鼓励他们动手实现自己的想法。在不断的尝试中，提高解决问题的能力。

4.3. 增强学习主动性和积极性

真实问题的讨论以小组为单位，选择一名同学介绍解决方案，其他小组成员负责回答教师和同学提出的问题，这样既增强了课堂互动，又活跃了气氛，还提高了学生的学习兴趣。

5. 改革方案和实施论证

5.1. 真实问题的搜集

组建学科教研团队，根据校内外合作单位(企业、研究所)的实际需求、历年数学建模竞赛(国赛、美赛等)赛题及简化改编、教师科研项目中的数学应用环节等资源广泛搜集原始真实问题，接下来对每个原始问题进行分析，识别其核心依赖的数学分析知识点。根据教学目标和学生基础，对问题进行适度简化或情境改编(确保数学核心不变，复杂度适中)，形成可直接用于课堂或课后任务的“教学化真实问题”。

5.2. 真实问题的提出

在课堂实践环节，教师要设计好真实问题的切入点，教师可以对真实问题进行适当简化，或者结合教学对象的实际情况对真实问题进行改编，提出更具课堂适应性的问题。教师在课堂上提出的真实问题一定要贴近学生的生活，这样才能最大程度地激发学生们的学习兴趣。

5.3. 真实问题与理论知识之间的联系建立

教师提出问题以后，需要对学生进行简单引导，让学生们以小组为单位进行组间讨论，畅所欲言，说出自己解决问题的思路。教师可以适当引导，向学生们展示自己的解决方法，启发学生们得出自己的解决方案。在一类真实问题得以解决之后，教师应及时建立真实问题与理论知识之间的联系，强调数学分析在实际问题中的重要地位。从而激发学生们学习数学理论知识的积极性。

5.4. 分层标准设定与个性化资源开发

制定学生分层标准(可结合入学成绩、前测、学习风格问卷)。录制完成基础教学微课(30集 × 45 min)和提高教学微课(15集 × 15 min)。开发配套的分层练习题库(基础题、综合应用题、挑战题)。

5.5. 形成性评价的执行

系统记录学生小组贡献、作业(尤其是真实问题解决报告)质量，及时反馈。按不同权重计算期末考试成绩、课堂表现、竞赛等形成性评价数据。

5.6. 试点范围与周期

作者已在本校(研究型高校)进行首轮试点(2个学期)，受益学生约为400人。本项基于真实问题的数学分析教学改革通过引入工程、经济、物理等领域的真实案例重构内容梯度，结合分层教学与数字化资源支持个性化学习，该方案显著提升教学效能——试点数据表明课堂参与度平均提高35%，学生抽象概念理解效率与建模能力同步增强，驱动省级以上数学竞赛获奖率增长40%。目前在申请校际合作教改项目，将试点范围扩大至同省的应用型本科院校和地方师范院校的数学专业，进行为期两年(4个学期)的对比实践。总覆盖学生数超过1000人。

6. 案例

案例名称：有限增量公式在桥梁应力分析中的应用。

6.1. 教学目标

(1) 知识目标：

掌握有限增量公式$\Delta y\approx f^{\prime }\left(x_0\right)\Delta x$ 的数学推导；

理解微分作为函数增量线性主部的本质。

(2) 能力目标：

建立钢梁热膨胀的数学模型(基础层)；

分析近似解误差来源，设计工程容差方案(提高层)。

(3) 素养目标：

培养数学建模与跨学科应用能力；

强化工程决策中的量化思维。

6.2. 教学流程

(1) 真实问题导入

工程场景：某跨江大桥钢梁段原长$L_0=20\text{m}$ ，夏季温度升高$\Delta T={30}^{\circ }\text{C}$ 。已知钢材线膨胀系数$\alpha =1.2\times {10}^{-5}/{}^{\circ }\text{C}$ 。

核心问题：计算钢梁伸长量$\Delta L$ ；评估施工允许的$\pm 5\%$ 长度容差。

(2) 分层探究任务

基础层：教师提供公式推导模板和单位换算技巧，学生建立函数$L\left(T\right)=L_0\text{}\left(1+\alpha T\right)$ ，并计算$\Delta L$ 精确值。

提高层：教师演示泰勒展开过程并引导分析$\Delta T$ 的误差敏感度，学生用$\Delta L\approx \frac{dL}{dT}\cdot \Delta T$ 求近似解，推导相对误差表达式$\delta =\frac{1}{2}\alpha \Delta T$ ；教师提供工程案例库，学生根据$\Delta L_{\max }=1.05\times \Delta L_{理�}$ 计算容差范围。

(3) 理论解析与升华数学本质阐释

$\Delta L=L\left(T_0+\Delta T\right)-L\left(T_0\right)=\underset{�性主部}{\underbrace{L^{\prime }\left(T_0\right)\Delta T}}+\underset{高��差}{\underbrace{\frac{1}{2}{L}^{″}\left(\xi \right){\left(\Delta T\right)}^2}}$

(4) 分层考核实施

基础层：重点考察基础公式应用能力。考核公式准确性(占比100%)。

提高层：需完成误差理论分析以及考核工程方案设计综合能力。考核数学严谨性(占比70%) + 方案可行性(占比30%)。

7. 结语

本研究以数学分析课程为载体，深度融合真实问题驱动教学法(PBL)、基于差异化理论的分层教学以及技术赋能的个性化学习理念，构建了一套以学生能力发展为中心的创新教学模式。通过系统性地将工程、经济、物理等领域的真实案例引入教学内容，并辅以分层任务设计和数字化学习资源支持，显著提升了学生对抽象理论的理解深度、数学建模能力和跨学科应用意识。改革方案涵盖教学内容重构、教学方法创新、技术资源支持、评价体系完善等多个维度，形成了可复制、可推广的创新范式，不仅适用于数学分析课程，也为其他数学类乃至理工科基础课程的教学改革提供了有价值的参考，对培养新时代所需的兼具扎实理论基础和卓越实践创新能力的高素质人才具有积极意义。

基金项目

辽宁大学本科课程教学改革项目：基于真实问题的数学实验教学改革(JG2024ZSWT29)。

NOTES

^*通讯作者。