1. 引言
1969年,Drasin, D [1]证明了:
定理A [1] 设
是区域
上的一族全纯函数,
为正整数,
,
为两个常数,满足
且
。若
,对于
中的每个函数
,
,则
在
内正规。
当定理A中的函数族为亚纯函数族
时,在其他条件不变的情况下,得到相应的正规定则。
当
时,由李先进[2]证明得到;当
时,由庞学诚[3]证明得到;当
时,由陈怀惠和方明亮[4]证明得到。
同时叶亚盛[5]将定理A中的函数从低阶导数推广到高阶导数,得到了如下结论。
定理B [5]设
,
是正整数,
,
为两个有限常数,设
为区域
内的一族全纯函数。若对于每个函数
,
,则
在
内正规。
然后叶亚盛和庞学诚[6]将定理
中的
替换为
的微分多项式
,得到了亚纯函数族的正规性。
2014年,邓炳茂[7]在亚纯函数零点对其正规性影响方面进行了深入研究,降低例外函数的条件,研究了一类特殊的微分多项式的正规定则,得到了如下结论。
定理C [7]设
,
,
为正整数满足
,设
,
为两个有限常数,设
为区域
内的一族全纯函数,其所有零点的重数至少为
。若对于每个函数
,
在
内至多有
个不同的零点,则
在
内正规。
当函数族为亚纯函数族时,在其他条件不变的情况下,若
,
在
内至多有
个不同的零点,则亚纯函数族也正规。
在亚纯函数族的情形下,王琼[8]将正整数
的条件降低,同时附加
极点重级至少为
的条件之下,得到了亚纯函数族
是正规的。
本文考虑将定理C中的微分多项式推广到更一般的微分多项式方程:
当方程有解时,讨论全纯函数族的正规定则。
定理1 设
是区域
内的零点重级至少为
的全纯函数族,
是非零有限复数,给定三个正整数
,
,
满足
。若对于任意
,
至多有
个不同的零点,则
在
内正规。其中:
,
为区域
内的全纯函数。
2. 引理
引理1 [9]设
是定义在单位圆盘
的一族亚纯函数,
是
内任意一点,对任意
,其中函数
的零点至少是
重,极点至少是
重。若
在
处不正规,则对每一个
,存在:
(1) 点列
,
;(2) 函数列
;(3) 正数列
,
,
使得
在复平面
上按球距内闭一致收敛到一个非常数亚纯函数
,其零点重级
至少是
,极点重级至少是
且级至多是2。
引理2 [7]设
是复平面
上的非常数整函数,
是一个非零有限常数,
是一个正整数且
。那么
至少有两个不同的零点。
3. 定理证明
定理1证明
证明 不妨设
,其中
,
为单位圆盘
内任意一点,假设函数族
在
处不正规,由引理1,取
,存在函数列
,点列
,正数列
,使得
,
在复平面
上按球距内闭一致收敛。其中
为非常数整函数且其零点重级至少是
。为书写方便,不妨设
,则
在复平面
上按球距内闭一致收敛。显然,
。否则
,有
,
即
,因此
为常数,矛盾。
接下来,证明两个断言成立。
断言(1):
至多有
个不同零点。
断言(2):
至少有
个不同零点。
显然,由以上两个矛盾的断言可知全纯函数族
在
处正规,即
在区域
内正规。下面开始证明断言(1)和断言(2)成立。
首先证明断言(1)。
假设
有
个不同零点
。根据Hurwitz定理,那么存在
,满足
和
。这与条件
在
内至多有
个不同零点,且
相矛盾。所以
至多有
个不同零点。断言(1)证明完毕。
其次证明断言(2)。
若
,则
,
,由引理2可得
至少有两个不同的零点,得证。
若
,假设
有
个不同的零点。再设
,其中
。否则,若
,这与
的零点重级至少为
,矛盾。由此,
。计算可得
,
进而有:
, (1)
, (2)
其中
是关于
和
共同零点的计数函数,不计其重数。
可以推导出:
. (3)
显然
,再由(1)~(3),可以推导出
考虑到
有
个不同的零点,又因为
是整函数,由上式可得
,
由于
.
再由以上两式可得
(4)
由于
,
,结合(4)式可得
. (5)
由此,断定
是一个非常数有理函数,且
。
下面,分两种不同的情形进行讨论。
情形1 当
,
时。然后再分两种不同的情形讨论。
情形1.1 当
,
时,即
。
情形1.1.1
。由(5)式,可得
,所以
,再分两种情形讨论。
情形1.1.1.1
,因为
的所有零点重数至少为2,所以断言
至多有两个不同的零点。当
只有一个零点,设
,其中
是非零常数,那么
,
显然,
有
个不同的零点,矛盾。
当
有两个不同的零点时,由
,即
,由
,
并结合(5)式,有
,这与
矛盾。
若
,记
,
是非零常数且
。设
,其中
。那么
。显然,
与
有相同的零点。
由
知,
,
;且
,
其中
是
的多项式。
由以上几式整理可得,
, (6)
其中
是
的多项式。显然,
至少有两个不同的零点。假设
仅有两个不同的零点
,
,设
,其中
是非零常数,且
。所以
, (7)
其中
是
的多项式。
由(6)式,可得
, (8)
其中
是
的多项式。
注意到
、
与
、
是不同的,由(7)和(8)式,有
,那么
,这与
矛盾。
因此,
至少有三个不同的零点,即
至少有
个不同的零点,矛盾。
情形1.1.1.2
。因为
的所有零点重数至少为
,那么可知
只有一个零点,假设
,有
。显然,
有
个不同的零点,矛盾。
情形1.1.2 当
时,由(5)式可知,
,即
,
如同情形1.1.1.2很容易得到一个矛盾。
情形1.2 当
,
时,下面分两种情形讨论。
情形1.2.1 当
时,则由(5)式,
,可得
。可知
只有一个零点。假设
,其中
。那么,
,
显然,
有
个不同的零点,矛盾。
情形1.2.2 当
时,则由(5)式,
,于是
。那么
也只有一个零点,如同情形1.2.1很容易得到一个矛盾。
情形2 当
,
时。由(5)式,有
,再分两种情形进行讨论。
情形2.1 当
时,那么
,我们断言
,然后再分两种情形进行讨论。
情形2.1.1 当
时,令
,其中
。所以
。
显然,
至少有
个不同的零点,矛盾。
情形2.1.2 当
时,设
,
。当
时,那么
。由(5)式并且注意到
,
,有
。
所以,
,矛盾。
当
时。由于
。若
,由(5)式且
,
,则
,矛盾。
若
,则
,其中
且
。设
,则
。显然,
和
有相同的零点。设
,则
。于是有
,
其中
是非零常数。进而
,其中
是
的多项式。
由引理2,可知
至少有两个不同的零点,那么
至少有两个不同的零点。假设
仅有两个不同的零点
、
,设
,
是非零常数,
。所以
,
是
的多项式。由
可得,
,
是
的多项式。
注意到
、
与
、
是互不相同的,由以上两式,有
,那么
,这与
矛盾。
因此
至少有三个不同的零点,所以
至少有
个不同的零点,矛盾。
情形2.2 当
,
时。由(5)式,可得
,所以有
。如同情形2.1.1很容易得到一个矛盾。
至此,断言(2)证明完毕。
基金项目
国家自然科学基金项目(12061077);新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2022D01A217)。
NOTES
*通讯作者。