基于动态分层的小班研讨教学模式探索

Exploration of Small Class Discussion Teaching Mode Based on Dynamic Stratification

摘要: 在高校扩招背景下，《高等数学》大班授课暴露出针对性差、互动不足等弊端，难以满足学生个性化发展需求。本研究针对大班授课的不足，为了激发课堂活力，基于“以学为中心”的理念，以因材施教和个性化适应性教育为出发点，围绕培养学生持续数学学习能力、高阶数学思维与创新应用能力，探索《高等数学》课程动态分层小班研讨教学模式，并以重积分模块为案例展开实践。结果显示，该模式取得了较好的教学效果。

Abstract: Against the backdrop of expanding enrollment in universities, the large class teaching of “Advanced Mathematics” has exposed drawbacks such as poor targeting and insufficient interaction, making it difficult to meet the personalized development needs of students. This study aims to address the shortcomings of large class teaching and stimulate classroom vitality. Based on the concept of “student-centered”, with personalized and adaptive education as the starting point, it focuses on cultivating students’ continuous mathematical learning ability, advanced mathematical thinking, and innovative application ability. It explores the dynamic hierarchical small class discussion teaching mode of the “Advanced Mathematics” course and uses the heavy integration module as a case study for practice. The results showed that the model achieved good teaching effectiveness.

1. 引言

《高等数学》是高等院校理工科大一学生必修的重要基础课，有助于培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力、抽象思维能力、数学建模能力等。高校扩招后，对于该门课程很多高校采用大班授课的方式，其缺陷在于：内容统一，针对性差，适应性低，学生参与度不高、交流互动不足，对学生的持续学习能力、数学思维能力、创新应用能力的培养和个性化发展指导不足，进而影响教学效果。针对大班授课存在的不足之处，小班研讨教学应运而生。

小班研讨是由德国学者J. M. Gesner于1737年首次引入大学课堂[1]，契合“以学生为中心、个性化适应性教育”的教学理念，可以有效调动学生学习的主动性，增强师生间的互动交流，激发高阶思维能力和创新应用能力，近些年我国部分高校对“小班研讨式”教学模式进行了初步尝试和创新，均取得了较好的改革效果[2] [3]。本研究聚焦“持续的数学学习能力、高阶数学思维能力、创新应用能力”的培养，探究和实践了《高等数学》课程动态分层小班研讨教学模式，提高了课堂教学的适应性和挑战度，促进学生深度学习。

本文以《高等数学》[4]中的重积分模块为例，阐述基于动态分层的小班研讨模式的具体实施过程。

2. 典型案例分析

2.1. 动态分层方案设计

在学习《高等数学》不同模块的过程中，学生的学习状况、学习态度等在不断发生变化，因此根据他们的个性化发展动态调整小班和小组成员，即动态分层，使学生在时间和空间维度时刻处于“运动”和“发展”之中，可以满足个性化适应性的教学需求，使学生能尽量得到适应自己能力和水平的学习。

动态分层机制的设计深度融合建构主义学习理论、维果茨基“最近发展区”理论及精准教学思想，形成“诊断–分组–调整”的闭环模型。建构主义强调学习是学习者主动建构意义的过程，而非被动接受信息，动态分层通过持续追踪学生认知状态，为其提供适切的认知脚手架；“最近发展区”理论指出学生的发展存在两个水平(现有水平与潜在水平)，分层目标正是缩小两者差距，让每个学生在“跳一跳够得着”的挑战中获得发展；精准教学则要求基于数据的个性化干预，为分层算法提供科学依据。

2.1.1. 分班策略

依托雨课堂平台构建学习轨迹指标体系，通过学习管理系统实时采集学生在重积分模块的行为数据与认知数据，涵盖行为层：课前预习时长、课中互动频次、课后作业提交时效；认知层：知识点测试正确率、错误类型分布(概念混淆/运算失误/逻辑断层)、订正完成率；情感层：课堂专注度(AI摄像头眼神追踪数据)、研讨发言积极性、学习焦虑指数(课后量表得分)。按照线上雨课堂中的测试成绩(涵盖课前、课中、课后) 30%、关于该模块的章节测试成绩(2次) 40%和平时的纸质作业成绩30%的比例核算每个学生的成绩，从大到小进行排序，建立预测模型验证分层阈值，将成绩排名前50%的学生组成提高班，成绩排名为后50%的学生组成基础班，实际上就是本着差异性的原则按照知识的掌握程度将大班划分为基础班和提高班两个小班，其中每个小班各30人。在此分班的基础上，可根据民主性的原则进行个别调整。例如：个别提高班的学生觉得课堂的难度和学习压力太大，可以说清缘由调整到基础班；基础班的学生也可申请调整到提高班。

2.1.2. 分组策略

分班结束后基于五维核心素养的“异质互补”分组模型，严格遵循“组间同质、组内异质”原则将各研讨班划分为不同的学习小组，其理论依据如下：建构主义认为小组合作应促进多元视角碰撞，组内异质可形成认知互补，通过“同伴互教”实现意义共建；精准教学要求组间水平均衡，确保研讨任务的公平性与可比性。分组具体过程如下：

(1) 《重积分》模块核心素养划分

参考数学核心素养的水平划分，从理解掌握、知识迁移和创新应用3个层次进行核心素养划分(见表1) [5]。

Table 1. Classification of core competency indicators for “re integration”

表1. 《重积分》核心素养指标划分

核心素养	理解掌握	知识迁移	创新应用
抽象思维能力	a1	a2	a3
逻辑推理能力	b1	b2	b3
数学运算能力	c1	c2	c3
几何直观能力	d1	d2	d3
数学建模能力	e1	e2	e3

邀请了5位高校数学教育专家(含4位教授、1位副教授，均有20年以上《高等数学》教学经验)进行指标评审，采用Likert 7点量表(1 = 完全不相关，7 = 高度相关)对五维素养的合理性评分，结果如下：抽象思维能力：6.8 ± 0.4，逻辑推理能力：7.0 ± 0.0，数学运算能力：6.6 ± 0.5，几何直观能力：6.4 ± 0.6，数学建模能力：6.9 ± 0.3。专家一致认为，指标体系“全面覆盖了《高等数学》对理工科学生的能力要求”。

关于素养的描述，以数学建模能力为例(见表2)：

Table 2. Analysis of the core competency level of “re integration”

表2. 《重积分》核心素养水平解析

e1 能写出物体的质心、转动惯量和引力的计算公式；理解利用“微元法”建立这些计算公式的过程；会计算物体的质心、转动惯量、引力等。

e2 能综合利用质心、转动惯量的计算公式等各类知识构建数学模型，并将其迁移应用于复杂问题的解决。

e3 能归纳总结出重积分可以求解的问题类型及建模的思想方法；应用建模的思想方法求解现实问题。

(2) 《重积分》模块核心素养的计算

2套《重积分》测试题中每个题目贴有知识点、核心素养的标签，根据每道题需要达到的素养水平来赋分，达到水平1赋值1分，达到水平2赋值2分，达到水平3赋值3分，分别计算出两个班每个学生5类素养的分值以及总分值，由高到低进行排序，通过“蛇形排序法”分配学生(前6名按1~6组依次分配，第7~12名按6~1组反向分配)，依次类推，使得每个小组的整体水平尽量保持一致，差异 ≤ 5%，且处于动态平衡中，实现“每组都有不同优势素养的学生”的异质结构，为协作建构知识创造条件。

(3) 核心素养指标与高等数学教学目标的对照(见表3)

Table 3. Classification of core competency indicators for “re integration”

表3. 《重积分》核心素养指标划分

核心素养	对应教学目标	能力层级
抽象思维能力	理解重积分的概念本质	基础目标
逻辑推理能力	能类比定积分的性质推导重积分的性质，会推理重积分的计算方法	核心目标
数学运算能力	熟练运用不同坐标系计算重积分(直角坐标、极坐标、柱面坐标、球面坐标)	基础目标
几何直观能力	能画出重积分的积分区域，可以将三重积分的计算转化为空间区域的几何分析	核心目标
数学建模能力	能用重积分解决物理中的质心、转动惯量等实际问题	拓展目标

对照结果表明，五维素养指标与教材教学目标的契合度达92%，其中数学建模能力(e3)直接呼应“新工科”对数学应用能力的要求，体现了精准教学“目标–评价–教学”一致性的原则。

2.2. 确立研讨主题

问题是教学活动的核心，因此研讨主题的确定很关键，要为不同层次的班级选择不同的研讨主题。研讨内容要有一定的难度，具有吸引力，能促进学生思维火花的碰撞，贴近他们的“最近发展区”，通过“跳一跳”合作探究后能“够得着”，使每个学生都有成长，促进深度学习与个性化发展。基于此需要分析基础班和提高班的学情，在培养学生的持续数学学习能力、数学思维力和创新应用能力的总体目标下，确定不同层次班级研讨的教学目标，为各层次班级设计适应其学习需求和能力水平的研讨内容，让不同层次的学生走出“学习迷航”，达到其所在层次的最佳状态，并不断挑战自我。基于此，研讨任务与分层结果的匹配遵循“目标–任务–素养”三维映射模型，遵循建构主义任务设计原则：任务必须包含“认知冲突点”，激发学生通过协作探究建构解决方案；最近发展区适配原则：任务难度系数需满足介于学生现有水平与潜在水平上限之间；精准教学目标导向：每个任务对应明确的素养发展指标，形成可观测的目标链。

2.2.1. 学情分析

教材分析：重积分是多元函数积分学的重要组成部分，它们是定积分的推广，又为曲线积分与曲面积分的计算奠定了基础。本模块的重点是重积分的计算，难点是重积分的应用与证明。

基础班的学情分析：① 学生学完“重积分”这一模块后，基本能类比定积分的概念、性质等归纳总结重积分的概念和性质，会计算二重积分，能正确选择计算三重积分的坐标系，能套用公式计算简单物体的质心、转动惯量和引力；② 主要问题出现在不会交换二重积分积分次序，未完全领会计算三重积分的截面法和投影法的思想，混淆两种方法从而写错累次积分的上下限，积分计算的技巧性掌握得不熟练，不会利用重积分证明相关命题以及利用重积分解决实际问题等。

针对基础班，主要夯实知识基础，强化数学思维，具体的教学目标为：① 会根据二次积分绘制二重积分的积分区域，交换累次积分的积分次序；② 会用重积分的基本方法和技巧计算三重积分；③ 会用重积分解决简单的证明问题和应用问题。

提高班的学情分析：① 能类比定积分的概念、性质等归纳总结重积分的概念和性质，会选择合适的坐标系和积分次序计算二重积分和三重积分，会交换累次积分的积分次序，会计算简单物体的质心、转动惯量和引力；② 主要问题出现在计算重积分的技巧性不够，不会灵活利用重积分证明相关命题，不会利用换元法求解重积分，对于一些复杂的实际应用问题思路不清晰。

针对提高班，主要增强创新能力，强化应用实践，具体的教学目标为：① 能归纳总结并灵活运用轮换对称性、形心坐标公式、换元法等计算积分；② 会用重积分解决复杂的证明问题；③ 能创新应用重积分相关知识解决实际应用问题。

教学关键：针对学生存在的不同认知障碍，注重启发引导，帮助学生自主构建知识，突破难点。

教学方法：问题驱动、引导探究、协作研讨

教学手段：计算机、PPT、雨课堂、智慧教室

2.2.2. 研讨主题的确立

结合教学大纲和两个班的学情，分别为基础班和提高班设计如下研讨主题(见表4和表5)：

Table 4. Discussion topic for the basic class

表4. 基础班的研讨主题

主题一：积分次序的“艺术”——交换积分次序的奥秘	如何根据二次积分绘制积分区域？积分次序的选择与哪些因素有关系？如何选择合适的积分次序降低积分的计算难度？是否存在一些积分区域，使得无论选择哪种积分次序，计算难度都差不多？请举例或说明理由。
主题二：三重积分计算的典型错误辨析	收集使用截面法和投影法计算三重积分时容易犯的错误，分析错误原因，讨论什么情况下选择截面法计算三重积分比较简单？截面法与投影法的区别是什么？对于截面法，讨论积分限的确立，可以结合具体例题说明。
主题三：积分的简化运算	归纳总结简化重积分计算的方法，梳理利用轮换对称性简化积分计算时的注意事项。
主题四：积分的相关证明与应用	讨论以下题目：① 设$f\left(x\right)\in C\left[0,1\right]$ ，且${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x}=A$ ,求累次积分${\displaystyle {\int }_0^1\text{d}x{\displaystyle {\int }_x^{1}f\left(y\right)}f\left(x\right)\text{d}y}$ 。 ② 设在区间$[a,b]$ 上$f(x)$ 连续且大于零，试用二重积分证明不等式${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x\cdot {\displaystyle {\int }_a^b\frac{1}{f\left(x\right)}}\text{d}x}\ge {\left(b-a\right)}^2$ 。 ③ 一均匀物体(密度ρ为常数)占有的闭区域Ω由曲面$z=x^2+y^2$ 和平面$z=0$ ，$\left|x\right|=a$ ，$\left|y\right|=a$ 所围成，求物体的体积、质心以及物体关于z轴的转动惯量。

Table 5. Discussion topics for the advanced class

表5. 提高班的研讨主题

主题一：积分的简化运算	归纳总结简化重积分计算的方法，梳理利用轮换对称性和形心坐标公式等简化积分计算时的注意事项，结合具体例题进行说明。
主题二：知识迁移——证明某些命题	讨论以下证明：① 设$f(x),g(x)$ 在$[a,b]$ 上连续且单调增加，求证： $(b-a){\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)}g(x)dx\ge {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)}dx{\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)}dx$ ② 证明${\displaystyle \underset{D}{\iint }f(\sqrt{x^2+y^2})\text{d}x\text{d}y}=2\pi {\displaystyle {\int }_0^{1}xf(x)\text{d}x}$ ，其中D为$x^2+y^2\le 1$ 所围成的闭区域；
主题三：创新应用——重积分“变形记”	讨论以下问题：① 有一火山的形状可以用曲面$z=h{e}^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4h}}\left(h>0\right)$ 来表示，在第一次火山爆发后，有体积为V的熔岩黏附在山上，使它具有原来一样的形状，求火山高度h变化的百分比。 ② 有一半径为R，高为H的圆柱形容器内盛有$\frac{2}{3}H$ 高的水，放在离心机上高速旋转，因受离心力的作用，水面呈抛物面形状，问：当水刚要溢出容器时，水面最低点在何处？ ③ 在某一生成过程中，在均匀半圆环平面薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片的另一边长度应是多少?
主题四：知识拓展——变量替换的“魔法”	为什么从直角坐标变换到极坐标时，平面面积元素由dxdy变成drdθ？阐述二重积分的换元法的条件和结论，归纳总结如何选择合适的变量代换简化积分的计算？(可结合具体例题讲解)对于一个一般的变量替换x = x(u,v)，y = y(u,v)中的雅可比行列式J ≠ 0是保证变换“良好”的充分条件吗？能否将二重积分的换元法推广到三重积分？

2.3. 组织课堂活动

研讨主题确立后，提前一周发布给每个小组，给学生足够的时间进行资料收集和课前讨论。要求每个组四个主题都要研讨，但研讨的侧重点不一样。第一小组主要负责研讨汇报主题一和主题二，第二小组主要负责研讨汇报主题一和主题三，第三小组主要负责研讨汇报主题一和主题四，第四小组主要负责研讨汇报主题二和主题三，第五小组主要负责研讨汇报主题二和主题四，第六小组主要负责研讨汇报主题三和主题四。各小组汇报时表达清晰，且不超过各主题规定的汇报时间，组内每个成员都要参与到研讨中，且在课堂汇报中体现出来。

在课堂上根据两个层次班级研讨内容的特点组织积极性高、参与感强、有针对性的多元互动活动，激发学生的学习内驱力，把课堂真正交给学生，放手让他们真“动手动脑”、真“探究实践”。对于基础班的研讨主题一、三、四，采取一个小组汇报其它小组补充的形式，对于研讨主题二，采取分组辩论的形式。对于提高班的研讨主题一和三，采取小组竞赛的形式，研讨主题二和四，采取协作补充说明的形式。每个小组汇报时，所有成员都需要参与其中，教师在学生汇报完后“画龙点睛”，梳理每个研讨主题的知识点，强调思想方法，并对每个小组的表现进行点评。在整个课堂活动中，教师要设计学习分析仪表盘，实时监测学习数据，灵活动态地调整教学环节或活动，实现任务调整的精准化，提高小班研讨教学的探究性和生成性，实现教学目标和创生附加价值。

3. 教学效果

3.1. 实验设计

本研究采用准实验设计，以2024~2025学年理工科大一学生为研究对象，选取两个平行班作为实验组和对照组，每组各60人。实验组采用基于动态分层的小班研讨教学模式(基础班30人、提高班30人)，对照组采用传统大班授课模式。实验前对两组学生进行前测和数学核心素养量表测试，确保两组学生在知识基础和素养水平上无显著差异。实验结束后进行后测和素养量表复测，对比两组的进步幅度。

3.2. 研究工具

前测与后测均采用同一命题组编制的标准化试卷，满分100分，信度系数α = 0.89，通过专家评审验证内容效度。关于数学核心素养量表，编制包含30个题目的量表(Likert5点计分)，各维度α系数在0.78~0.86之间，总表α = 0.91，通过探索性因子分析验证结构效度。此外，自编涵盖教学适应性、参与度、能力提升等维度的问卷，内容效度经3位教授审核确认。

3.3. 结果分析

3.3.1. 成绩、素养对比

后测成绩显示，实验组平均分(91分)显著高于对照组(83分)，差异具有统计学意义(t = 8.62, p < 0.001)。分层分析表明：实验组基础班后测平均分较对照组同层次学生提升13.6%；实验组提高班后测平均分较对照组同层次学生提升14.7%。采用ANCOVA控制前测成绩影响后，教学模式对后测成绩的主效应依然显著。实验组核心素养总分后测也显著高于对照组，差异具有统计学意义(t = 9.25, p < 0.001)。

3.3.2. 问卷反馈

针对“重积分”开展的基于动态分层的小班研讨教学效果，通过问卷调查结果发现，91.2%的学生对这种研讨模式十分满意，认为适应性高，针对性强，帮助他们更好地理解和掌握重积分的理论、方法和应用，不同程度地增强了协作、沟通能力和数学素养，而且也提高了自主学习、创新应用的兴趣与能力。

以下图1~4是相关问题的问卷反馈情况：

Figure 1. Can it enhance self-learning interest, etc.

图1. 能否提升自学兴趣等

Figure 2. Satisfaction with the seminar mode

图2. 对研讨模式的满意度

Figure 3. Mastery level of multiple integrals

图3. 对重积分的掌握程度

Figure 4. Recognition of this class

图4. 对这节课的认可度

3.3.3. 实践成果

学生越来越喜欢探究数学问题，对数学建模更感兴趣，实验组近半数学生参加了数学建模竞赛(包括全国大学生数学建模竞赛、“军事运筹杯”军事建模竞赛)和科创活动，较对照组显著提升，其中9人获得省级及以上奖项。

4. 结束语

基于动态分层的小班研讨教学模式让所有学生都能积极参与到课堂教学中，“脑袋动起来”，实现“能走的学生走得更快，能跑的学生跑得更远，能飞的学生飞得更高”，主动学习、积极探究、学会建构、能够应用，可以在不同程度上提高学生的持续数学学习能力、数学思维能力和创新应用能力，提高人才培养质量。如何利用AI及大数据等设计涵盖思维能力、参与度、学习态度等在内的多主体、多元化(水平、进步)、多层次的发展性考核评价方式是下一步需要继续研究的问题。

基金项目

2023年度陕西省高等教育教学改革研究项目，《智慧环境下“谱数双驱”的精准教学模式设计与实践》(编号23BY211)。