N价图的P₂(G)不变量

P₂(G) Invariant of N-Valent Graphs

摘要: 本文主要利用Jones-Wenzl幂等元的递归关系式中当n = 2时的情况，给出了n价顶点拆接关系式，根据该拆接关系式给出n价空间图的P₂(G)不变量。

Abstract: This paper mainly uses the case when n=2 in the recursive relation of Jones-Wenzl idempotents to present the skein relation of n-valent vertices, and based on this skein relation, gives the invariant of n-valent spatial graphs.

1. 引言

纽结可以看作$S^1$ 在$E^3$ 中的嵌入，它的分类问题是三维流形中的重要课题，Kauffman尖括号多项式[1]和Jones多项式[2]在其中发挥了重要作用，作为Jones多项式的推广，着色琼斯多项式(colored Jones polynomial)在1986年被E. Witten [3]率先发现，在Rashetikin和Turaev的方法下，可由量子群$U_a\left(s{l}_2\right)$ 的$n$ 维表示[4]得到。与之等价地，我们还可以利用Temperley-Lieb代数[5]和Jones-Wenzl幂等元[6]来定义着色琼斯多项式，其中Jones-Wenzl幂等元具有很好的性质，例如幂等性。

本文主要对Kauffman和Lins [5]引入的3价嵌入图的$P_2\left(G\right)$ 不变量进行推广，推广到$n$ 价嵌入图不变量，给出了$n$ 价顶点的拆接关系式并计算了由不同价数的顶点组合而成的空间图。在预备知识部分我们将介绍Temperley-Lieb代数的定义、Jones-Wenzl幂等元的递归关系式。在第二部分我们将介绍空间图理论与$P_2\left(G\right)$ 不变量的一些基本概念。第三部分给出了$n$ 价嵌入图的$P_2\left(G\right)$ 不变量的计算公式，并举了由不同价数的嵌入图不变量组成的稍复杂空间图的例子。

2. 预备知识

2.1. Temperley-Lieb代数的定义

定义2.1 [5] Temperley-Lieb代数是$Z\left[A,A^{-1}\right]$ 上的自由加法代数，具有基本缠结$U_1,U_2,\cdots ,U_{n-1}\in T_n$ ，这里$T_n$ 代表$n$ 股缠结构成的Temperley Lieb代数。也就是说，每个$U_i$ 是具有$n$ 个输入股和$n$ 个输出股的缠结，在$U_i$ 中，第$k$ 个输入端连接到第$k$ 个输出端，这里$k\ne i,i+1$ ，而第$i$ 个输入端连接到第$i+1$ 个输入端，第$i$ 个输出端连接到第$i+1$ 个输出端。

下面以$T_4$ 为例，列举出其中的四个基本缠结，如图1。

Figure 1. The elementary tangles of $T_4$

图1. $T_4$ 中的基本缠结

2.2. Temperley-Lieb代数的性质

性质2.2 [5]

1) $U_i{}^2=d{U}_i$ ，$d$ 表示分配给闭环的值。

2) $U_i{U}_{i+1}{U}_i=U_i$ 。

3) $U_i{U}_j=U_j{U}_i$ ，$\left|i-j\right|>1$ 。

上式缠结的乘积是将第一个缠结的输出股线连接到第二个缠结的输入股线。

2.3. Jones-Wenzl投影算子

定义2.3 [5]下面通过递归公式定义了Temperley-Lieb代数中的标准投影算子$f_i\left(i=0,1,2,\cdots ,n-1\right)$ ，投影算子可图解地表示为$f_i=$ 。

1) $f_0=1_n$ 。

2) $f_{k+1}=f_k-{\mu }_{k+1}{f}_k{U}_{k+1}{f}_k$ 。

这里${\mu }_1=d^{-1}$ ，${\mu }_{k+1}={\left(d-{\mu }_k\right)}^{-1}$ ，$d=-A^2-A^{-2}$ 。

引理2.4 [6] Jones-Wenzl投影算子具有以下特性

1) $f_i{}^2=f_i$ , $\left(i=0,1,2,\cdots ,n-1\right)$ 。

2) $f_i{U}_j=U_j{f}_i=0$ , $j\ge i$ 。

例如：

$f_1=$ $=$ $-\frac{1}{d}$ . 公式(2.1)

$f_1{U}_1=$ $=$ $-\frac{1}{d}$ $=0$ . 公式(2.2)

3. 空间图理论

3.1. Reidemeister变换

定义3.1 [7] Reidemeister变换如下(图2)：

Figure 2. Reidemeister move

图2. Reidemeister变换

其中变换$R_0$ 可以由$R_1$ 生成。由$R_0$ 和$R_2,\cdots ,R_4$ 生成的形变称为正则形变。这里我们研究的$P_2\left(G\right)$ 不变量在$R_2,R_3,R_4$ 变换下保持不变。在没有图形顶点的位置上，不变量在$R_2$ 和$R_3$ (正则变换)变换下保持不变，并且图形顶点展开后是平面缠结的形式，所以不变量在$R_4$ 变换下保持不变。

3.2. 三价顶点定义

定义3.2 [5]在这个定义中，我们将一个缠结的和与一个三价图顶点联系起来，如图3，顶点和缠结之和可以互换使用，顶点上的每一条线都用正整数$a,b,c$ 标记。假设$\left(a+b-c\right)$ ，$\left(a+c-b\right)$ 和$\left(b+c-a\right)$ 均为正偶数。这里$m=\frac{\left(a+b-c\right)}{2}$ ，$n=\frac{\left(a+c-b\right)}{2}$ ，$p=\frac{\left(b+c-a\right)}{2}$ 。

Figure 3. The definition of 3-valent graphical vertex

图3. 三价图顶点的定义

3.3. P₂(G)不变量的定义

定义3.3 [5]：$P_2\left(G\right)$ $=\langle 2\ast G\rangle$ ，这里$\langle \rangle$ 代表尖括号多项式的求值，$2\ast G$ 代表将$G$ 的每条股线替换为2条平行股线得到的网络。下面我们将给出价数为3时$P_2\left(G\right)$ 不变量，让$\left[G\right]$ 代表$P_2\left(G\right)$ ，因此，对于一个链环$K$ 有$\left[K\right]=\langle 2\ast K\rangle$ 并且：

$=$

$=$

为了方便后面计算，我们约定

1)

$=$

2)

$=$

$=d$

3)

$=$

$=d^2$

4)

$=$

引理3.4 [5]：依据公式(2.1)和公式(2.2)可以计算出一个三价顶点连接一个实心小圆点是等于零的，此引理也为后文例4.4的计算过程提供帮助。

$=$

$=0$

引理3.5 [5]

$=$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+\frac{2}{d^2}$

把3.3节的约定(1)~(4)应用到引理3.5上，可以得到：

$=$

$-\frac{1}{d}$

$-\frac{1}{d}$

$-\frac{1}{d}$

$+\frac{2}{d^2}$

引理3.6 [5]：

$=A^4$

$\text{+}{A}^{-4}$

$+A^2$

$+A^2$

$+A^{-2}$

$+A^{-2}$

$+$

$+$

$+$

$\text{+}$

$\text{+}\left(A^2+A^{-2}\right)$

$\text{+}$

该引理给出了交叉点的拆接关系式，可以用该引理结合定理4.2计算$n$ 价嵌入图不变量。

4. n价嵌入图不变量

4.1. 计算四价嵌入图不变量

对于$n$ 价嵌入图不变量，我们继续研究着色为2时的情况。因此，对于一个链环$K$ 有$\left[K\right]=\langle 2\ast K\rangle$ ，其中4价嵌入图不变量的4价顶点有以下关系式：

例4.1：

$=$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+$

.

证明：$=$

$-\frac{1}{d}$

$\text{=}$

$-\frac{1}{d}$

$-\frac{1}{d}$

$+\frac{1}{d^2}$

$\text{=}$

$-\frac{1}{d}$

$-\frac{1}{d}$

$+\frac{1}{d^2}$

$-\frac{1}{d}$

$+\frac{1}{d^2}$

$+\frac{1}{d^2}$

$-\frac{1}{d^3}$

$\text{=}$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+$

$+\frac{1}{d^2}$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$-\frac{1}{d^3}$

$+$

$+$

$+$

$+\frac{1}{d^3}$

在此结果上应用约定(1)~(4)得到结果。

4.2. 推广的n价嵌入图不变量

定理4.2 $n$ 价嵌入图不变量中的$n$ 价顶点根据公式(2.1)打开$n$ 个投影算子后的局部空间投影图有如下关系式：

$\text{=}{\displaystyle \sum _{m=0}^{n-2}{\left(-1\right)}^m}\frac{1}{d^m}{G}_n^m+{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{n-1}{d^{n-1}}{G}_n^n\left(m=0,1\cdots n-2\right)\left(n=3,4\cdots n\in Z\right)$

其中$G_n^m$ 表示对空间图作局部替换，替换后得到原图中顶点上依次“拔出”1条边，2条边……$m$ 条边，使他们成为自由端点，其余剩下的边由空心小圆点连接的$\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)$ 个空间图情况的总和。$n$ 表示空间图中实心小圆点连接的边数，$m$ 表示自由端点个数。

下面以三价图和四价图为例解释$G_n^m$

$G_3^0$ $\text{=}$

$G_3^1$ $\text{=}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$G_3^3$ $\text{=}$

$G_4^0$ $\text{=}$

$G_4^1$ $\text{=}$

.$\text{+}$ .

$\text{+}$

$\text{+}$

$G_4^2$ $\text{=}$

$\text{+}$ $\text{+}$

$\text{+}$ $\text{+}$

$\text{+}$

$G_4^4$ $\text{=}$

$=G_3^0-\frac{1}{d}{G}_3^1+\frac{2}{d^2}{G}_3^3$

$=G_4^0-\frac{1}{d}{G}_4^1+\frac{1}{d^2}{G}_4^2-\frac{3}{d^3}{G}_4^4$

证明：$n$ 价顶点空间图按照公式(2.1)打开$n$ 个投影算子，将得到$2^n$ 项。

每个投影算子都按照公式的第一项打开可以得到，记作${\left(-\frac{1}{d}\right)}^0{G}_n^0$ 。

若$n$ 个投影算子其中的一个按照公式(2.1)的第二项打开，其余$n-1$ 个投影算子都按照公式(2.1)的第一项打开，将得到$-\frac{1}{d}$ 乘以$\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)$ 个的和，记作$-\frac{1}{d}{G}_n^1$ 。

若$n$ 个投影算子其中的两个按照公式(2.1)的第二项打开，其余$n-2$ 个投影算子都按照公式(2.1)的第一项打开，将得到${\left(-\frac{1}{d}\right)}^2$ 乘以$\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)$ 个

的和，记作${\left(-\frac{1}{d}\right)}^2{G}_n^2$ 。

如果$n$ 个投影算子其中的$n-2$ 个按照公式(2.1)的第二项打开，其余两个投影算子都按照公式(2.1)的第一项打开，将得到${\left(-\frac{1}{d}\right)}^{n-2}$ 乘以$\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)$ 个

的和，记作${\left(-\frac{1}{d}\right)}^{n-2}{G}_n^{n-2}$ 。

以上，${\left(-\frac{1}{d}\right)}^0{G}_n^0+{\left(-\frac{1}{d}\right)}^1{G}_n^1+{\left(-\frac{1}{d}\right)}^2{G}_n^2+\cdots +{\left(-\frac{1}{d}\right)}^{n-2}{G}_n^{n-2}={\displaystyle \sum _{m=0}^{n-2}{\left(-1\right)}^m\frac{1}{d^m}{G}_n^m}$ 就是定理中的第一项。

如果$n$ 个投影算子其中的$n-1$ 个投影算子都按照公式(2.1)的第二项打开，只有一个按照公式中的第一项打开，将得到$\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)$ 个${\left(-\frac{1}{d}\right)}^{n-1}$ 乘以

，即${\left(-1\right)}^{n-1}\frac{1}{d^{n-1}}\cdot n\cdot G_n^n$ 。

如果每个投影算子都按照公式(2.1)的第二项打开得到1个${\left(-\frac{1}{d}\right)}^n$ 乘以

，即${\left(-1\right)}^n\frac{1}{d^{n-1}}$ 乘以

，记作${\left(-1\right)}^n\frac{1}{d^{n-1}}{G}_n^n$ 。

所以${\left(-1\right)}^{n-1}\frac{1}{d^{n-1}}\cdot n\cdot G_n^n+{\left(-1\right)}^n\frac{1}{d^{n-1}}\cdot G_n^n={\left(-1\right)}^{n-1}\frac{n-1}{d^{n-1}}{G}_n^n$ 即为定理中的第二项。

综上，定理得证。

该定理还可以结合引理3.6计算$n$ 价嵌入图不变量。

例4.3：计算$P_2$

解：$P_2$

$\text{=}$

$\text{=}$

$-\frac{1}{d}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$+\frac{1}{d^2}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$\text{+}$

$-\frac{3}{d^3}$

$=$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+$

$+\frac{1}{d^2}$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$-\frac{3}{d^3}$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+$

$+\frac{1}{d^2}$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$-\frac{3}{d^3}$

$=d^4-\frac{1}{d}\cdot 4d^3+\frac{1}{d^2}\cdot 6d^2-\frac{3}{d^3}\cdot d$

$=d^4-4d^2+6-3\cdot \frac{1}{d^2}$

在第二个等号中，从第二项开始都有两个实心黑色小圆点相连，根据公式(2.2)可知这些项都等于零，所以在第三个等号中只留下了第一项，后续继续应用公式可得到结果。

例4.4：计算$P_2$

解：$P_2$

$=$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+\frac{2}{d^2}$

$=$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+\frac{2}{d^2}$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$=$

$-\frac{1}{d}$

$+$

$+$

$+$

$-\frac{3}{d^3}$

$+\frac{1}{d^2}$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$-\frac{1}{d}$

$+\frac{1}{d^2}$

$+$

$+$

$+$

$-\frac{3}{d^4}$

$-\frac{1}{d^3}$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$=d^4-5d^2-4\cdot \frac{1}{d^2}+8$

基金项目

国家自然科学基金项目(12001255)。

NOTES

^*通讯作者。