一般函数下Beta-展式中极致例外集的剩余性质

The Residual Property of the Extremely Exceptional Set in the Beta-Expansion under General Function

摘要: 给定$\beta >1$ 和$x\in \left(0,1\right]$ 。对于任意的$y\in \left(0,1\right]$ ，关于$x$ 的run-length函数$r_x\left(y,n\right)$ 定义为在$y$ 的$\beta$ -展式的前$n$ 个数字中出现的$x$ 的$\beta$ -展式的前缀的最大长度。令非负函数$\phi \left(n\right)$ 满足$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\phi \left(n\right)}=+\infty$ ，我们对以下关于该函数的极致例外集$E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)=\left\{x\in \left[0,1\right]:\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}=0,\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}=+\infty \right\}$ 进行研究，给出该集合的剩余性质。

Abstract: Let $\beta >1$ and $x\in \left(0,1\right]$ . For any $y\in \left(0,1\right]$ , the run-length function $r_x\left(y,n\right)$ (with respect to $x$ ) is defined to be the maximal length of the prefix of the beta-expansion of $x$ which appears in the first $n$ terms of the beta-expansion of $y$ . Let the non-negative function $\phi \left(n\right)$ satisfy $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\phi \left(n\right)}=+\infty$ . We study the extremely exceptional set given by $E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)=\left\{x\in \left[0,1\right]:\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}=0,\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}=+\infty \right\}$ and establish its residual properties.

1. 引言

给定一个实数$\beta >1$ ，$T_{\beta }$ 是定义在$\left(0,1\right]\to \left(0,1\right]$ 上的$\beta$ 变换：

$T_{\beta }x=\beta x-\lceil \beta x\rceil +1,$

其中$\lceil x\rceil$ 表示不超过$x$ 的最小整数。Rényi首先在文献[1]中引出了$\beta$ -展式的概念，他证明了通过$T_{\beta }\left(x\right)$ 进行迭代运算，任意的$\left(0,1\right]$ 上的实数都可以唯一地展开成如下级数：

$x=\frac{{\epsilon }_1\left(x,\beta \right)}{\beta }+\frac{{\epsilon }_2\left(x,\beta \right)}{{\beta }^2}+\cdots +\frac{{\epsilon }_n\left(x,\beta \right)}{{\beta }^n}+\cdots ,$

其中，对于任意的$n\ge 1$ ，${\epsilon }_n\left(x,\beta \right)=\lceil \beta T_{\beta }^{n-1}x\rceil -1$ 被称为$x$ 的第$n$ 位数字。定义$x$ 的数字序列为$\epsilon \left(x,\beta \right):=\left({\epsilon }_1\left(x,\beta \right),{\epsilon }_2\left(x,\beta \right),\cdots ,{\epsilon }_n\left(x,\beta \right),\cdots \right)$ ，并称此序列为$x$ 的$\beta$ -展式。当$\beta$ 固定且不引起混淆时，常简记$\epsilon \left(x,\beta \right)$ 为$\epsilon \left(x\right)$ 。Rényi在文献[1]中证明了$\beta$ -变换具有一个等价于Lebesgue测度$ℒ$ 的不变遍历测度${\nu }_{\beta }$ ，并且系统研究了非负实数的$\beta$ -展式。此后，$\beta$ -动力系统$\left(\left(0,1\right],T_{\beta },{\nu }_{\beta }\right)$ 引起了广泛关注，更多相关的定理和结果可参见文献[1]-[4]。

给定$\beta >1$ ，对任意的$x\in \left(0,1\right]$ 和$n\in \mathbb{N}$ ，定义关于$x$ 的run-length函数$r_x\left(y,n\right)$ 为：在$y$ 的$\beta$ -展式的前$n$ 个数字中出现的$x$ 的$\beta$ -展式的前缀的最大长度，即：

$r_x\left(y,n\right)=\max \left\{1\le j\le n:{\epsilon }_{i+1}\left(y\right)={\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{i+j}\left(y\right)={\epsilon }_j\left(x\right),0\le i\le n-j\right\}.$

当满足上述条件的$j$ 不存在时，令$r_x\left(y,n\right)=0$ 。特别地，当$x=0$ 时恒有$\epsilon \left(0\right)=\left(0,0,\cdots \right)$ ，故函数$r_0\left(y,n\right)$ 表示$y$ 的$\beta$ -展式前$n$ 个数字中连续出现0的最大长度。

Erdös和Rényi [4]证明得到：当$\beta =2$ 时，对于Lebesgue测度下几乎所有的$y\in \left(0,1\right]$ ，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{r_0\left(y,n\right)}{{\log }_{2}n}=1.$

这一结论已在多种情况下得到推广和发展，具体参见文献[5]-[8]等。

给定$\beta >1$ ，对任意$x\in \left(0,1\right]$ 和$0\le \alpha \le +\infty$ ，考虑如下例外集：

$E_x\left(\alpha \right)=\left\{y\in \left(0,1\right]:\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{r_x\left(y,n\right)}{{\log }_{\beta }n}=\alpha \right\}.$

Lü和Wu [9]推广了上述Erdös和Rényi的极限定律，他们证明了对任意$x\in \left(0,1\right]$ 和Lebesgue测度下几乎所有的$y\in \left(0,1\right]$ ，都有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{r_x\left(y,n\right)}{{\log }_{\beta }n}=1.$

此外，他们研究了极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{r_x\left(y,n\right)}{{\log }_{\beta }n}$ 取特定值点时对应点集的Hausdroff维数，得到：

${\dim }_H{E}_x\left(+\infty \right)=\{\begin{array}{l}1,若\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\log }_{\beta }\left(-{\log }_{\beta }\left|I_n\left(x\right)\right|\right)}{n}=0;\hfill \\ 0,若\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{{\log }_{\beta }\left(-{\log }_{\beta }\left|I_n\left(x\right)\right|\right)}{n}>0.\hfill \end{array}$

Zheng和Wu [10]考虑如下极致例外集

$E_x\left(a,b\right)=\left\{y\in \left(0,1\right]:\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{r_x\left(y,n\right)}{{\log }_{\beta }n}=a,\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{r_x\left(y,n\right)}{{\log }_{\beta }n}=b\right\}$

并推广了Lü和Wu的结果，给出了集合$E_x\left(a,b\right)$ 的Hausdroff维数。

在数论中，从拓扑学角度研究不规则集大小的剩余性质是值得关注的问题，参见[11] [12]。在[13]-[15]中已证明集合$E_0\left(0,+\infty \right)$ 是剩余的。现将Zheng和Wu中的集合$E_x\left(a,b\right)$ 进行推广，将${\log }_{\beta }n$ 推广为一般非负函数$\phi \left(n\right)$ 。本文中，设一般非负单调递增函数$\phi \left(n\right)$ 满足$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\phi \left(n\right)}=+\infty$ 。定义集合

$E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)=\left\{x\in \left[0,1\right]:\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}=0,\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}=+\infty \right\}.$

自然地，我们考虑以同样的方法证明集合$E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 的剩余性质。受此启发，可得如下定理。

定理1：对任意的$\beta >1$ 和$x\in \left[0,1\right]$ ，都有集合$E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 在$\left[0,1\right]$ 中是剩余集。

本文的结构安排如下：第2部分回顾$\beta$ -展式的相关定义、定理和基本性质，第3部分给出定理1的详细证明。

2. 预备知识

本部分主要回顾$\beta$ -展式的相关定义、定理和基本性质。关于$\beta$ -展式的更多细节可参考文献[1] [2] [4]及其参考文献。

经典的$\beta$ -变换定义为：

$T_{\beta }^{*}\left(x\right)=\beta x-\lfloor \beta x\rfloor ,0\le x<1,$

其中$\lfloor x\rfloor$ 表示小于或等于$x$ 的最大整数。注意到，对任意的$x\in \left(0,1\right]$ ，有$T_{\beta }\left(x\right)$ 严格大于0。故此变换$T_{\beta }^{*}$ 确保每个$x\in \left(0,1\right]$ 均有一个无穷级数展开，且对于无穷多个$n\in \mathbb{N}$ 都有${\epsilon }_n\left(x,\beta \right)\ne 0$ 。

由$T_{\beta }$ 的定义可知，对于整数$n\ge 1$ ，$x$ 的第$n$ 位数字${\epsilon }_n\left(x,\beta \right)$ 属于字母表$\mathcal{A}=\left\{0,\cdots ,\lceil \beta \rceil -1\right\}$ 。令${\mathcal{A}}^{*}={\displaystyle {\cup }_{n=1}^{\infty }{\mathcal{A}}^n}$ 。任意两个词$\omega =\left({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n\right)$ ，${\omega }^{\prime }=\left({{\omega }^{\prime }}_1,\cdots ,{{\omega }^{\prime }}_m\right)\in {\mathcal{A}}^{*}$ ，定义

$\omega {\omega }^{\prime }=\left({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n,{{\omega }^{\prime }}_1,\cdots ,{{\omega }^{\prime }}_m\right).$

特别地，当$\varnothing$ 为空词时记$\varnothing \omega =\omega$ 。对任意两个词$\omega =({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n)$ ，${\omega }^{\prime }=\left({{\omega }^{\prime }}_1,\cdots ,{{\omega }^{\prime }}_m\right)\in {\mathcal{A}}^n$ ，等式$\omega ={\omega }^{\prime }$ 成立当且仅当${\omega }_i={{\omega }^{\prime }}_i,1\le i\le n$ 。对任意$k\in \mathbb{N}$ ，记${\omega }^k=\underset{k}{\underbrace{\left(\omega ,\cdots ,\omega \right)}}$ ，${\omega }^0=\varnothing$ 。需注意，并非所有由字母表${\mathcal{A}}^{\mathbb{N}}$ 中的数字组成的词都是$x\in \left(0,1\right]$ 中某个数的$\beta$ 展开，因此需要引入$\beta$ -可允许序列的概念。

一个有限词$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n\right)$ 被称为关于基$\beta$ 是可允许的(admissible)，如果存在一个$x\in \left(0,1\right]$ ，使得$x$ 的$\beta$ 展式满足${\epsilon }_1\left(x,\beta \right)={\epsilon }_1$ ，$\cdots$ ，${\epsilon }_n\left(x,\beta \right)={\epsilon }_n$ 。一个无限数字序列$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n,\cdots \right)$ 被称为可允许的，如果存在一个$x\in \left(0,1\right]$ ，其$\beta$ 展式与$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n,\cdots \right)$ 相同。

令${\sum }_{\beta }^n$ 表示所有长度为$n$ 的$\beta$ -可允许词的集合，即

${\sum }_{\beta }^n=\left\{\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n\right)\in {\mathcal{A}}^n:\exists x\in \left(0,1\right],\text{s}\text{.t}.{\epsilon }_j\left(x,\beta \right)={\epsilon }_j,\forall 1\le j\le n\right\}.$

令${\sum }_{\beta }^{*}$ 表示所有有限长度的$\beta$ -可允许序列的集合，即

${\sum }_{\beta }^{*}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\cup }}{\sum }_{\beta }^n}.$

令${\sum }_{\beta }$ 表示所有无限的$\beta$ -可允许序列的集合，即

${\sum }_{\beta }=\left\{\left({\epsilon }_1,{\epsilon }_2，\cdots \right)\in {\mathcal{A}}^{\mathbb{N}}:\exists x\in \left(0,1\right],\text{s}\text{.t}.{\epsilon }_j\left(x,\beta \right)={\epsilon }_j,\forall j\ge 1\right\}.$

单位1的$\beta$ 展式对于研究1的轨道的动力学性质以及证明$\beta$ -可允许词的性质具有重要作用。设

$\epsilon \left(1,\beta \right)=\left({\epsilon }_1^{*},\cdots ,{\epsilon }_n^{*},\cdots \right)$

为单位1的$\beta$ 展式。对于任意整数$n\ge 1$ ，定义

${\Gamma }_n={\Gamma }_n\left(\beta \right):=\underset{1\le k\le n}{\max }\underset{j}{\max }\left\{k\ge 0:{\epsilon }_{k+1}^{*}=\cdots ={\epsilon }_{k+j}^{*}=0\right\}.$ (2.1)

对一个可允许词$\epsilon =\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n\right)$ ，定义基于$\beta$ 下的$n$ 阶基本区间为：$\left(0,1\right]$ 中$\beta$ -展开的数字序列前缀与词$\epsilon$ 一一对应的点构成的区间，即：

$I_n\left(\epsilon \right):=I_n\left(\epsilon ,\beta \right)=\left\{x\in \left(0,1\right]:{\epsilon }_j\left(x,\beta \right)={\epsilon }_j,1\le j\le n\right\}.$

事实上，基本区间$I_n\left(\epsilon \right)$ 是一个左开右闭的区间。Li和Wu [16]证明了$\left|I_n\left(\epsilon \right)\right|\le {\beta }^{-n}$ ，其中$\left|I_n\left(\epsilon \right)\right|$ 代表区间$I_n\left(\epsilon \right)$ 的长度。记$I_n\left(x,\beta \right)=I_n\left({\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_n\left(x\right)\right)$ 。在不会引起混淆的情况下，本文剩余部分中$I_n\left(x\right)$ 即代表$I_n\left(x,\beta \right)$ 。一个基本区间被称为满区间，如果有$\left|I_n\left(\epsilon \right)\right|={\beta }^{-n}$ 。

以下引理将给出满词的相关定理与性质，具体证明可见[17]。

引理1：设$\beta >1$ 和任意的整数$n\in \mathbb{N}$ ，有

1) 对任意$m\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，如果$\epsilon \in {\sum }_{\beta }^n$ ，则$\epsilon 0^m\in {\sum }_{\beta }^{*}$ ；

2) 对任意$m\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，如果$\epsilon$ 为满的，则$\epsilon 0^m$ 也为满的；

3) 词$\epsilon$ 为满的，当且仅当对任意${\epsilon }^{\prime }\in {\sum }_{\beta }^{*}$ ，连接词$\epsilon {\epsilon }^{\prime }$ 为可允许的；

4) 如果词$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_{n-1},{{\epsilon }^{\prime }}_n\right)$ 为可允许的，且${{\epsilon }^{\prime }}_n>0$ ，则对于任意的$0\le {\epsilon }_n<{{\epsilon }^{\prime }}_n$ ，词$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_{n-1},{\epsilon }_n\right)$ 为满词；

5) 如果词$\epsilon$ 和${\epsilon }^{\prime }$ 都为满词，则连接词$\epsilon {\epsilon }^{\prime }$ 也为满词；

6) 基本区间$I_{n+{\Gamma }_n+1}\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n,0^{{\Gamma }_n+1}\right)$ 为满的。

给定$\beta >1$ ，对每个$x\in \left(0,1\right]$ 和$n\in \mathbb{N}$ ，令

$l_n\left(x\right)=\min \left\{h\le n:\left({\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{h-1}\left(x\right),1\right)\in {\sum }_{\beta }^h\right\}.$ (2.2)

可以验证，对于每个$n\in \mathbb{N}$ ，都有$n\le l_n\left(x\right)<+\infty$ 。因为对每个$x\in \left(0,1\right]$ 都存在一个无穷级数展开，且$l_n\left(x\right)$ 随$n$ 增加非减。此外，由引理1 (3)可知，对任意$n\in \mathbb{N}$ ，词$\left({\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{l_n\left(x\right)-1}\left(x\right),0\right)$ 是满的。特殊地，在本文剩余部分中对任意的$i\ge 0$ 记$l_i\left(x\right)$ 为$l_i$ 。

3. 定理1的证明

剩余集(residual set)是一个拓扑概念，用于描述拓扑空间中“大”的集合。回顾度量空间$X$ 中，集合$R$ 称为剩余集，如果其补集可表示为可数个无处稠密集的并集。在完备度量空间中，一个集合是剩余集当且仅当它包含一个稠密的$G_{\delta }$ 集，因此为证明$E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 是剩余集，需构造一个集合$U\in \left[0,1\right]$ 满足以下三个条件：

1) $U\in E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ ；

2) $U$ 在$\left[0,1\right]$ 中稠密；

3) $U$ 是一个$G_{\delta }$ 集。

以下致力于构造一个满足所需条件的集合。

对任意$x\in \left(0,1\right]$ 和$k\in \mathbb{N}$ ，设${\Gamma }_k$ 如(2.1)所定义，令

$u_k=k+{\Gamma }_k+1$ , $p_k=\min \left\{n:\phi \left(n\right)\ge {\beta }^{l_{u_k}}\right\}$ .

由于$\phi \left(n\right)$ 单调递增，因此$p_k$ 定义合理。

现定义${ℳ}_n\left(x\right)$ 如下：

${ℳ}_n\left(x\right)=\left\{\omega \in {\sum }_{\beta }^n:\omega \ne \left({\epsilon }_{i+1}\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{i+n}\left(x\right)\right),0\le i\le n-1,\omega ���\right\}$ (3.1)

对任意$n\ge 1$ ，选择一个合适的词${\omega }_n\left(x\right)\in {ℳ}_n\left(x\right)$ ，令

$U:={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\cup }}{\displaystyle \underset{\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k\right)\in {\sum }_{\beta }^k}{\cup }\mathrm{int}}}}\left(I_{p_k}\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k,0^{{\Gamma }_k+1},{\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{l_{u_k}-1}\left(x\right),0,{\omega }_{p_k-u_k-l_{u_k}}\right)\right).$

对任意词$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k\right)\in {\sum }_{\beta }^k$ ，由引理1(6)可得$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k,0^{{\Gamma }_k+1}\right)$ 是满的。由$l_n\left(x\right)$ 如(2.2)所定义得到，词$\left({\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{l_{u_k}-1}\left(x\right),0\right)$ 是满词，可验证词${\omega }_{p_k-u_k-l_{u_k}}$ 也是满的。由引理1 (1) (2) (3) (5)说明集合$U$ 是定义合理的。

注意到集合$\mathrm{int}\left(I_{\left|\epsilon \right|}\left(\epsilon \right)\right)$ 是一个开集，因此构造的集合$U$ 是一个$G_{\delta }$ 集。接下来只需证明$U\in E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 以及$U$ 在$\left[0,1\right]$ 中稠密。

引理2：$U\in E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 。

证明：由集合$U$ 的定义可知，存在无限多个$k$ 使得$y$ 的$\beta$ -展开的前$p_k$ 个数字形如：

$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k,0^{{\Gamma }_k+1},{\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{l_{u_k}-1}\left(x\right),0,{\omega }_{p_k-u_k-l_{u_k}}\right)$

即对于某些$\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k\right)\in {\sum }_{\beta }^k$ 有：$\epsilon \left(y,\beta \right)=\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_k,0^{{\Gamma }_k+1},{\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{l_{u_k}-1}\left(x\right),0,{\omega }_{p_k-u_k-l_{u_k}}\right)$ 。

对任意的$u_k+l_{u_k}\le n\le p_k$ 都有

$r_x\left(y,n\right)=l_{u_k}-1.$

从而可得

$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}\ge \underset{k\to \infty }{\lim }\frac{l_{u_k}-1}{\phi \left(u_k+l_{u_k}\right)}\\ \ge \underset{k\to \infty }{\lim }\frac{l_{u_k}-1}{u_k+l_{u_k}}\cdot \frac{u_k+l_{u_k}}{\phi \left(u_k+l_{u_k}\right)}\\ \ge \underset{k\to \infty }{\lim }\frac{l_{u_k}-1}{2l_{u_k}}\cdot \frac{u_k+l_{u_k}}{\phi \left(u_k+l_{u_k}\right)}=+\infty ,\end{array}$

其中最后一个等式由条件$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\phi \left(n\right)}=+\infty$ 得到。

且

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{r_x\left(y,n\right)}{\phi \left(n\right)}\le \underset{k\to \infty }{\lim }\frac{l_{u_k}-1}{\phi \left(p_k\right)}\le \underset{k\to \infty }{\lim }\frac{l_{u_k}-1}{{\beta }^{l_{u_k}}}=0,$

其中最后一个不等式源于$p_k$ 的定义。因此，可以证明$U\in E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 。

引理3：$U$ 在$\left[0,1\right]$ 中是稠密的。

证明：对于任意的$z\in \left[0,1\right]$ 以及$r>0$ ，需验证是否存在一个实数$z^{\prime }\in U$ 使得$\left|z-z^{\prime }\right|\le r$ 成立。

假设$\epsilon \left(z,\beta \right)=\left({\epsilon }_1\left(z\right),{\epsilon }_2\left(z\right),\cdots \right)$ 。令$q$ 是一个足够大的整数满足${\beta }^{-q}\le r$ ，且有$\left({\epsilon }_1\left(z\right),\cdots ,{\epsilon }_q\left(z\right)\right)\in {\sum }_{\beta }^q$ 。现令

$z^{\prime }\in \mathrm{int}\left(I_{p_q}\left({\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_q,0^{\Gamma q+1},{\epsilon }_1\left(x\right),\cdots ,{\epsilon }_{l_{u_q}-1}\left(x\right),0,{\omega }_{p_q-u_q-l_{u_q}}\right)\right),$

其中${\omega }_{p_{\text{q}}-u_q-l_{u_q}}\in {ℳ}_{p_q-u_q-l_{u_q}}\left(x\right)$ 。由于$z$ 和$z^{\prime }$ 的$\beta$ -展开有相同的前缀$\left({\epsilon }_1\left(z\right),\cdots ,{\epsilon }_q\left(z\right)\right)$ ，因此可以得到

$\left|z-z^{\prime }\right|\le {\beta }^{-q}\le r,$

故集合$U$ 在$\left[0,1\right]$ 中是稠密的。

综上，证得集合$E_x^{\phi \left(n\right)}\left(0,+\infty \right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上是剩余集。

基金项目

国家自然科学基金(12201127)。