不动点原理在高考数学中的应用

The Application of Fixed Point Principle in College Entrance Examination Mathematics

摘要: 聚焦不动点原理在高考数学中的应用，旨在揭示其对知识关联、解题能力提升及教学优化的价值。通过文献研究与高考真题案例分析，梳理不动点原理在函数、数列、不等式中的核心应用形式：函数中借助图象交点分析性质与零点，数列中通过递推关系对应函数不动点求解通项与极限，不等式中构造辅助函数结合不动点单调性证明或求解。解题规律呈现“建模–分析–推导”三重逻辑，即从问题特征抽象函数模型、借助几何直观与代数推理分析不动点性质、结合条件推导结论。研究提出教学启示：在函数、数列教学中自然渗透不动点概念，设计“基础–提高–拓展”三阶专题课程，强化“构造函数–求不动点–迁移应用”的解题思维训练，通过思维导图、蛛网图等工具可视化知识关联，提升学生数学抽象与逻辑推理素养。未来研究可深化跨学科创新题型设计及实证教学效果评估，为高考数学核心素养培养提供理论与实践支撑。

Abstract: Focusing on the application of the fixed point principle in college entrance examination mathematics, this paper aims to reveal its value for knowledge association, problem-solving ability improvement and teaching optimization. Through literature research and case analysis of college entrance examination questions, this paper sorts out the core application forms of the fixed point principle in functions, sequences and inequalities: the properties and zero points are analyzed with the help of image intersection points in functions, the general terms and limits are solved by the recursive relations corresponding to the fixed points of functions in the number series, and the auxiliary functions combined with fixed point monotonicity are proved or solved in inequalities. The problem solving law presents the triple logic of “modeling-analysis-derivation”, that is, abstracting the function model from the problem features, analyzing the properties of fixed points with the help of geometric intuition and algebraic reasoning, and deducing conclusions in combination with conditions. The study puts forward teaching enlightenment: the concept of fixed points is naturally infiltrated in the teaching of functions and sequences, the three-level special course of “foundation-improvement-expansion” is designed, the problem-solving thinking training of “constructing functions-finding fixed points-transferring applications” is strengthened, and the knowledge association is visualized through tools such as mind maps and spider diagrams, so as to improve students’ mathematical abstraction and logical reasoning literacy. Future research can deepen the design of interdisciplinary innovative question types and the evaluation of empirical teaching effects, so as to provide theoretical and practical support for the cultivation of core literacy in mathematics in the college entrance examination.

1. 引言

1.1. 研究背景与意义

研究不动点原理在高考数学中的应用，对揭示数学知识内在联系、提升学生解题能力和教师教学水平具有重要价值。

在揭示数学知识内在联系方面，不动点原理犹如一座桥梁，将高中数学中的函数、数列、不等式等核心板块紧密相连。通过不动点原理，学生能清晰洞察函数迭代与数列递推间的逻辑共性，理解不等式证明与函数极值求解的内在关联，打破知识的孤立性，构建系统化的数学知识网络，从而深入理解数学学科的整体性与连贯性[1]。

对于提升学生解题能力，不动点原理提供了全新的解题视角与思路。在面对复杂的函数零点问题、数列通项求解时，借助不动点原理，学生可将问题转化为更易处理的形式，快速找到解题突破口。这种思维方式的训练，能有效增强学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养，使学生在高考中面对新颖、综合性的题目时，具备灵活运用知识、创造性解决问题的能力。

从教师教学水平提升角度来看，深入研究不动点原理在高考数学中的应用，有助于教师挖掘知识的深度与广度，优化教学内容设计。教师能更精准地把握教学重难点，设计出更具针对性和启发性的教学案例与练习，引导学生主动探索知识。同时，这也促使教师不断更新教学理念与方法，提升自身的专业素养和教学能力，进而提高整体教学质量。

1.2. 研究目的与研究方法

本文总结了不动点原理在高考数学中的常见应用形式，系统总结相关解题规律。通过挖掘不动点原理与高考数学函数、数列、不等式等核心考点的联系，帮助学生掌握高效解题思路，构建完整知识体系。研究将采用文献研究法，全面梳理不动点原理的理论成果与前人研究经验，夯实理论基础；运用案例分析法，选取了一定数量的高考真题进行深度剖析，从实际考题中提炼不动点原理的应用模式与解题技巧，确保研究成果兼具理论深度与实践指导价值，为高中数学教师教学提供有效参考。

2. 不动点原理相关理论概述

2.1. 不动点原理的定义及内涵

不动点原理的数学定义为：对于给定的集合$x$ 和映射$f:x\to x$ ，若存在元素$x_0\in x$ ，使得$f\left(x_0\right)=x_0$ ，则称$x_0$ 为映射$f$ 的不动点。该原理揭示了在特定映射关系下，存在某些元素经过映射作用后保持不变的特性。

从函数角度来看，以一元函数$y=f\left(x\right)$ 为例，不动点就是函数图象$y=f\left(x\right)$ 与直线$y=x$ 交点的横坐标。例如函数$f\left(x\right)=x^2-2x+2$ ，令$f\left(x\right)=x$ ，即$x^2-2x+2=x$ ，解方程可得$x=1$ 或$x=2$ ，这两个值就是函数$f\left(x\right)$ 的不动点。从本质上讲，不动点反映了函数在迭代过程中的一种稳定状态，若以不动点为初始值进行函数迭代，后续的迭代结果将始终保持为该不动点；若初始值靠近不动点，在迭代过程中，函数值会逐渐向不动点收敛，体现了函数的局部稳定性。

在数列中，对于递推数列$\left\{x_n\right\}$ ，若满足$x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ ，当数列收敛时，其极限值$x^{*}$ 满足$x^{*}=f\left(x^{*}\right)$ ，

即$x^{*}$ 为函数$f\left(x\right)$ 的不动点。例如递推数列$X_{n+1}=\frac{1}{2}\left(X_n+\frac{2}{X_n}\right)\left(X_1>0\right)$ ，其极限值$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ 就是函数的不动点。通过令$x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ ，可解得$x=\pm \sqrt{2}$ ，结合数列首项条件可知其极限为$\sqrt{2}$ 。这表明这表

明不动点原理为求解数列极限提供了重要思路，同时也体现了数列递推关系与函数不动点之间的紧密联系[2]。

在图形展示上，绘制函数$y=f\left(x\right)$ 与$y=x$ 的图象，二者交点即为不动点，能直观呈现不动点的几何意义；对于数列递推关系，可通过蛛网图展示迭代过程，观察数列值如何向不动点趋近，帮助理解不动点在数列动态变化中的核心作用[3]。

2.2. 不动点原理的理论发展

不动点原理的思想最早可追溯至19世纪，法国数学家柯西(Augustin-Louis Cauchy)在研究方程求解时，已蕴含了相关概念的雏形，但尚未形成系统理论。真正具有里程碑意义的是荷兰数学家布劳威尔(L. E. J. Brouwer)，他于1910年提出了布劳威尔不动点定理：n维欧几里得空间中，每一个把n维实心球映入自身的连续映射都至少有一个不动点。这一定理为不动点原理奠定了坚实的基础，开启了该领域的深入研究[4]。

20世纪中叶，波兰数学家绍德尔(Julesz Schauder)与苏联数学家吉洪诺夫(Andrey Nikolayevich Tikhonov)对不动点原理进行了重要拓展。绍德尔提出了绍德尔不动点定理，将布劳威尔不动点定理从有限维空间推广到了无限维的巴拿赫空间中的紧凸集；吉洪诺夫则证明了局部凸拓扑向量空间中紧凸集上的连续自映射存在不动点，进一步完善了不动点原理的理论体系。

在现代数学中，不动点原理已成为重要的分析工具，广泛应用于多个分支。在泛函分析领域，它是证明各类方程解的存在性与唯一性的关键方法；在微分方程中，用于研究动力系统的稳定性与周期性，帮助分析系统在迭代或演化过程中的行为；在拓扑学中，不动点定理与流形、同伦等概念紧密相连，推动了拓扑空间性质的研究；在博弈论中，不动点原理为纳什均衡的存在性证明提供了理论依据，成为经济学分析的重要数学基础。随着数学理论的不断发展，不动点原理的应用还在持续拓展与深化。

2.3. 高中数学知识体系中与不动点原理的关联

在高中数学函数板块中，不动点原理与函数的图象、性质以及方程求解等内容紧密相连。从函数图象角度来看，函数$y=f\left(x\right)$ 的不动点，就是函数图象$y=f\left(x\right)$ 与直线$y=x$ 交点的横坐标，这一几何意义直观地展示了不动点在函数图象中的位置。例如，对于函数$f\left(x\right)=-x^2+3x$ ，令$f\left(x\right)=x$ ，即$-x^2+3x=x$ ，求解可得$x=0$ 或$x=2$ ，这两个点就是函数$f\left(x\right)$ 的不动点，同时也是函数图象与直线$y=x$ 的交点横坐标。

在函数性质研究方面，不动点原理有助于分析函数的单调性和稳定性。若函数在某区间内存在不动点，且在该区间内函数单调递增，那么从该区间内靠近不动点的初始值出发进行函数迭代，函数值会逐渐趋近于不动点；若函数单调递减，则函数值会在不动点两侧交替趋近。这种性质为研究函数的长期行为和稳定性提供了重要视角，在高考函数压轴题中，常出现利用不动点判断函数迭代趋势，进而研究函数性质的问题。

在函数方程求解中，不动点原理可将复杂的函数方程转化为迭代形式进行求解。例如，对于方程$e^x-2x-1=0$ ，可构造函数$f\left(x\right)=e^x-2x-1$ ，通过分析$f\left(x\right)$ 的不动点，利用迭代法逐步逼近方程的解，这种方法在高考中虽不要求严格的理论推导，但在解题思路上体现了不动点原理的应用。

数列板块中，不动点原理在数列通项公式求解和极限问题中发挥着关键作用。对于递推数列$\left\{x_n\right\}$ ，若满足$x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ ，当数列收敛时，其极限值$x^{*}$ 满足$x^{*}=f\left(x^{*}\right)$ ，即$x^{*}$ 为函数$f\left(x\right)$ 的不动点。例如，对

于递推数列$X_{n+1}=\frac{1}{2}\left(X_n+\frac{4}{X_n}\right)\left(X_1>0\right)$ ，令$x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{4}{x}\right)$ ，解得$x=2$ 或$x=-2$ ，结合数列首项条件可知其极限为2。在求数列通项公式时，对于一些分式型递推数列，如$X_{n+1}=\frac{a{x}_n+b}{c{x}_n+d}\left(c\ne 0\right)$ ，可通过求解函数$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的不动点，对递推式进行变形，从而得到可求解通项公式的形式。这种方法在高考数列压

轴题中常出现，要求学生具备运用不动点原理分析和解决问题的能力。

在不等式板块，不动点原理可用于不等式的证明和求解。在证明不等式时，可构造辅助函数，通过研究函数的不动点和单调性来证明不等式。例如，要证明$e^x\ge x+1$ ，可构造函数$f\left(x\right)=e^x-x-1$ ，分析其不动点为$x=0$ ，再通过求导判断函数单调性，可知$f\left(x\right)$ 在$x=0$ 处取得最小值0，从而证明不等式成立。

在求解不等式时，对于一些复杂的不等式，可将其转化为函数不动点相关问题。例如，求解不等式$f\left(x\right)>x$ ，可通过分析函数$y=f\left(x\right)$ 与直线$y=x$ 的位置关系，利用不动点来确定不等式的解集。这种将不等式问题转化为函数问题，并借助不动点原理求解的思路，在高考不等式题目中也有体现[5]。

不动点原理通过函数、数列、不等式等板块的具体知识和问题，以解题方法、思维方式和理论联系的形式渗透到高中数学知识网络中。它作为一条隐藏的线索，将不同板块的知识串联起来，帮助学生构建完整的知识体系。在教学和学习过程中，引导学生发现和理解不动点原理与各板块知识的联系，能够加深学生对数学知识本质的理解，提高学生综合运用知识解决问题的能力，使学生在高考中面对复杂的数学问题时，能够从不动点原理的角度出发，找到解题的突破口和思路。

2.4. 高中阶段适用的不动点工具界定

明确高中阶段仅涉及具体函数(一次、二次、分式函数)的不动点求解、递推数列的不动点迭代(仅限收敛性直观判断)，不涉及抽象拓扑空间(如布劳威尔定理)或无限维空间(绍德尔定理)。具体分类见表1。

Table 1. Classification of fixed points

表1. 不动点的分类

工具类型	高中阶段适用范围	高等数学延伸(不作要求)
不动点定义	$f\left(x\right)=x$ 的代数解(具体函数)	映射$f:X\to X$ 的不动点(抽象集合X)
迭代收敛性	通过导数	$f^{\prime }\left(x_0\right)$	<1直观判断(仅限可导函数)	压缩映射原理(严格证明)
应用场景	函数零点、数列通项、不等式证明	微分方程解的存在性、博弈论纳什均衡

3. 不动点原理在高考数学中的应用实例分析

3.1. 在函数问题中的应用

例1 (2007年广东省理科21题)已知$f\left(x\right)=x^2+x-1$ ，α、β是方程$f\left(x\right)=0$ 的两个根，$\alpha >\beta$ ，$f^{\prime }\left(x\right)$

是$f\left(x\right)$ 的导数。设$a_1=1$ ，$a_{n+1}=a_n-\frac{f\left(a_n\right)}{f^{\prime }\left(a_n\right)}\left(n=1,2,\cdots \right)$ 。

求α、β的值；(2) 证明：对任意的正整数n，都有$a_n>a$ 。

解：(1) 依题意得：$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ，$\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 。

由$f^{\prime }\left(x\right)=2x+1$ ，得$a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2+a_n-1}{2a_n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n+1}$ ，从而得特征函数$g\left(x\right)=\frac{x^2+1}{2x+1}$ ，求不动点：方程$x=\frac{x^2+1}{2x+1}$ ，可化为$x^2+x-1=0$ 。因此不动点就是(1)得到的$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ，$\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 。求$g\left(x\right)$ 的导数得$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\left(x^2+x-1\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}=\frac{2f\left(x\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}$ ，分别将α、β代入，说明α、β均为吸引不动点。

又$a_1=1>\alpha ,a_2=g\left(a_1\right)=\frac{2}{3}<1$ ，当$x\in \left(\alpha ,+\infty \right)$ ，$g^{\prime }\left(x\right)>0$ 得$\left\{a_n\right\}$ 单调递减，且$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\alpha ,a_n>\alpha$ 。(此

题用不动点解法可以大大节省步骤，若用数学归纳法证明会增加推导步骤)

例2 (2013年高考江西卷21题)已知函数$f\left(x\right)=a\left(1-2\left|x=\frac{1}{2}\right|\right)$ ，a为常数且$a>0$ 。

(1) 证明：函数$f\left(x\right)$ 的图像关于直线$x=\frac{1}{2}$ 对称；

(2) 若$x_0$ 满足$f\left(f\left(x_0\right)\right)=x_0$ ，但$f\left(x_0\right)\ne x_0$ ，则称$x_0$ 为函数$f\left(x\right)$ 的二阶周期点，如果$f\left(x\right)$ 有两个二阶周期点$x_1$ ，$x_2$ ，试确定a的取值范围。

解析：

(1) 略。

(2) 依题意得函数$f\left(x\right)=a\left(1-2\left|x-\frac{1}{2}\right|\right)$ 的图像上存在两个不同点$\left(x_1,x_2\right)$ ，$\left(x_2,x_1\right)$ 关于直线$y=x$ 对称，不妨设$x_1<\frac{1}{2}<x_2$ ，由$x_2=f\left(x_1\right)$ ，$x_1=f\left(x_2\right)$ 化简整理得$x_2=2a{x}_1$ ，$x_1=2a-2a{x}_2$ ，消去$x_1$ 得$x_2=\frac{4a^2}{4a^2+1}>\frac{1}{2}\left(a>0\right)$ ，解得$a>\frac{1}{2}$ 。(题目已经提到二阶周期点，自然而然想到用不动点原理解题)

例3 (2013年四川高考理10题)设函数$f\left(x\right)=\sqrt{e^x+x-a}$ ($a\in R$ ，e为自然对数的底数)。若曲线$y=\sin x$ 上存在点$\left(x_0,y_0\right)$ 使$f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$ ，则a的取值范围是()。

(A) $\left[1,e\right]$ ；(B) $\left[e^{-1}-1,1\right]$ ；(C)$\left[1,e+1\right]$ ；(D)$\left[e^{-1}-1,e+1\right]$ 。

解析：

首先注意到$y_0\in \left[0,1\right]$ ，依题意得函数$f_2\left(x\right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上存在不动点。而函数$f\left(x\right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上显然单调递增，由以上可知$f\left(x\right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上存在不动点。由方程$\sqrt{e^x+x-a}=x$ 解得$e^x-x^2+x-a=0$ ，设$\Psi \left(x\right)=e^x-x^2+x-a$ ，$x\in \left[0,1\right]$ ，则${\Psi }^{\prime }\left(x\right)=e^x-2x+1$ ，利用重要不等式“$e^x\ge x+1$ ”得$e^x-\left(x+1\right)+\left(2-x\right)>0$ ($x\in \left[0,1\right]$ )，即${\Psi }^{\prime }\left(x\right)>0$ 。故函数$\Psi \left(x\right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上单调递增，依题意得$\Psi \left(0\right)\le 0$ ，$\Psi \left(1\right)\ge 0$ ，解得$1\le a\le e$ 。故答案选A。(题目已经提到了关于$y_0$ 的不动点，直接利用$f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$ 思考问题)

3.2. 在数列问题中的应用

例4 (2013重庆高考21题)数列$\left\{a_n\right\}$ 满足$a_1=1$ 且$8a_{n+1}{a}_n-16a_{n+1}+2a_n+5=0\left(n\ge 1\right)$ ，求数列$\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。

解：化简$8a_{n+1}{a}_n-16a_{n+1}+2a_n+5=0$ ，得$a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{16-8a_n}$ ，令$x=\frac{2x+5}{16-8x}$ ，则$x=\frac{1}{2}或\frac{5}{4}$ 。在递推式$a_{n+1}=\frac{2a_n+5}{16-8a_n}$ 两边同时减去$\frac{1}{2}$ ，即$a_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{2a_n+5}{16-8a_n}-\frac{1}{2}$ ，化简得$\frac{1}{a_{n+1}-\frac{1}{2}}=2\frac{1}{a_n-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}$ 。令$b_n=\frac{1}{a_n-\frac{1}{2}}$ ，得$b_{n+1}=2b_n-\frac{4}{3}$ ，再令$\lambda =2\lambda -\frac{4}{3}$ ，则$\lambda =\frac{4}{3}$ ，从而$b_{n+1}-\frac{4}{3}=2\left(b_n-\frac{4}{3}\right)$ ，故$b_n-\frac{4}{3}=2^{n-1}\left(b_1-\frac{4}{3}\right)$ ，又$b_1=\frac{1}{a_1-\frac{1}{2}}=2$ ，从而得$b_n=\frac{4+2^n}{3}$ 。又$b_n=\frac{1}{a_n-\frac{1}{2}}$ ，故$a_n=\frac{5+2^{n-1}}{4+2^n}$ 。(题目已经给出了$a_{n+1}$ 与$a_n$ 的关系，

在函数中即为$x+1$ 与$x$ 的关系，易想到构造新函数求解最终来确定$a_n$ 的通项公式)

3.3. 在不等式问题中的应用

例5 (2014年安徽高考理21题)设实数$c>0$ ，z整数$p>1$ ，$n\in N^{*}$ 。

(1) 证明：当$x>-1$ 且$x\ne 0$ 时，${\left(1+x\right)}^p>1+px$ ；

(2) 数列$\left\{a_n\right\}$ 满足$a_1>c^{\frac{1}{p}}$ ，$a_{n+1}=\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a}_n^{1-p}$ ，证明：$a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$ 。

解析

(1) 略。

(2) 首先由条件$a_1>c^{\frac{1}{p}}$ 和结论$a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$ 猜想区间$\left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 是函数$f\left(x\right)=\frac{p-1}{p}x+\frac{c}{p}{x}^{1-p}\left(c>0,p>1\right)$ 的“不动区间”。而$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{p-1}{p}+\frac{\left(1-p\right)c}{p{x}^p}=\frac{\left(p-1\right)\left(x^p-c\right)}{p{x}^p}>0$ 在$\left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 上成立，即函数$f\left(x\right)$ 在$\left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 上单调递增，且$f\left(c^{\frac{1}{p}}\right)=\frac{p-1}{p}\cdot c^{\frac{1}{p}}+\frac{c}{p}\cdot {\left(c^{\frac{1}{p}}\right)}^{1-p}=c^{\frac{1}{p}}$ 。故当$x\in \left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 时，有$f\left(x\right)\in \left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 。即当$a_1\in \left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 时，恒有$a_n\in \left(c^{\frac{1}{p}},+\infty \right)$ 。另由$a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{p}\cdot a_n+\frac{c}{p}\cdot a_p^{1-p}=\frac{c-a_n^p}{p{a}_n^{p-1}}>0\left(a_n>c^{\frac{1}{p}}\right)$ 。得$a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$ 。

4. 高考数学中不动点原理相关命题趋势分析

4.1. 命题特点

在近年高考中，涉及不动点原理的题目类型多样，分值分布较为分散，主要穿插于函数、数列、不等式等知识板块的考查中。

从题型来看，选择题、填空题和解答题均有涉及。在选择题里，常以判断函数是否存在不动点、不动点个数等形式出现，考查学生对不动点概念的基础理解。填空题可能要求学生根据给定的函数或数列递推关系，求不动点的值，或利用不动点求数列某项的值。解答题则侧重于综合运用，例如结合数列递推式，通过不动点原理求数列通项公式，或是在函数与不等式综合问题中，借助不动点证明不等式。

分值方面，在全国卷及各地方卷中，单纯直接考查不动点原理的分值一般在5~12分左右。若将其作为解题关键思路融入其他知识点，涉及分值可能会更高。如在某些数列解答题中，利用不动点求通项公式是解题核心步骤，该题分值可达12分。

在知识融合度上，命题具有高度综合性。不动点原理常与函数的单调性、极值、零点，数列的通项公式、极限，不等式的证明与求解等知识紧密结合。像通过分析函数不动点来研究函数迭代后的单调性变化，将数列递推关系转化为函数不动点问题求解通项公式，利用函数不动点构造辅助函数证明不等式等，充分体现知识间的内在联系，考查学生对知识的融会贯通能力。

难度梯度呈现多样化。基础题中，主要考查不动点的定义及简单应用，学生通过基本运算即可求解，如求简单函数的不动点。中等难度题需要学生理解不动点原理，并能在常见知识情境中运用，如利用不动点求数列通项公式的常见题型。难题则侧重于在复杂知识综合、创新情境下，考查学生灵活运用不动点原理分析问题、构建解题思路的能力，像在函数、数列、不等式综合的压轴题中，将不动点原理作为关键隐藏线索，对学生的数学思维和综合素养要求极高。

4.2. 命题趋势预测

随着高考改革持续推进，数学学科核心素养愈发受重视，未来高考中不动点原理相关题目将呈现如下命题趋势：

强化数学思维能力考查：命题会更注重对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的考查。比如，给出复杂函数关系，要求学生抽象出不动点相关概念，通过逻辑推理判断不动点存在性及个数，再建立数学模型解决问题。在数列问题中，从复杂递推关系抽象出函数，借助不动点分析数列极限情况，考查学生逻辑推理与知识迁移能力。还可能设置开放性问题，如给定函数部分性质，让学生自主探究不动点与函数其他性质的关联，培养学生创新思维。

提升知识综合运用程度：不动点原理将与函数、数列、不等式、解析几何等知识深度融合。在函数与解析几何综合题中，利用不动点研究曲线与直线的位置关系；数列与不等式结合，通过不动点确定数列范围，进而证明不等式。这类题目打破知识板块界限，要求学生构建完整知识体系，灵活调用各板块知识，运用不动点原理解决综合问题，对学生知识掌握的系统性与综合性要求更高。

创新题目呈现形式与设问角度：未来高考会出现新的题型、丰富的呈现方式与新颖的设问角度。如以数学文化为载体，将不动点原理融入古代数学问题；采用图表、数据等多样化信息呈现，让学生从中提取关键信息构建不动点模型；设问上，从传统的直接求解不动点转向探究不动点变化对函数或数列整体性质的影响，考查学生对知识的深度理解与灵活应变能力。

5. 基于不动点原理应用的高考数学教学建议

5.1. 教学内容设计

在高中数学日常教学中，教师可通过以下方式渗透不动点原理相关知识、设计专题教学，助力学生构建知识网络：

教学内容有机渗透：在函数教学中，讲解函数图象与性质时，自然引入不动点概念。如在研究二次函数$y=a{x}^2+bx+c$ 时，引导学生思考函数图象与直线$y=x$ 的交点，即不动点，分析不动点与函数单调性、极值的关系；在数列教学中，遇到递推数列时，介绍通过构建函数利用不动点求通项公式的方法，

像对于递推公式$a_{n+1}=\frac{a_n+k}{a_n+m}$ ，让学生尝试寻找对应的函数及不动点。通过这种方式，在日常知识点教学

中逐步渗透不动点原理，避免学生产生畏难情绪[6]。

设计专题教学内容：开设不动点原理专题课程，系统讲解其定义、性质、在不同板块的应用。课程中先回顾不动点原理的基础理论，再结合高考真题，分函数、数列、不等式三个模块进行深度剖析。例如，函数模块展示如何用不动点判断函数迭代趋势，数列模块详细讲解利用不动点求解通项公式和极限的步骤，不等式模块介绍借助不动点构造辅助函数证明不等式的思路。同时，设置课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，加深对不动点原理的理解与应用能力。

引导知识网络构建：在渗透和专题教学过程中，引导学生梳理不动点原理与其他数学知识的联系。如组织学生讨论不动点原理在函数、数列、不等式中应用的异同点，通过思维导图等工具，将不动点原理与函数的单调性、数列的递推关系、不等式的证明方法等知识串联起来，帮助学生构建完整的知识网络，让学生明白数学知识不是孤立存在的，而是相互关联、相互渗透的，从而提升学生对数学知识的整体认知和综合运用能力。

5.2. 解题方法指导

基于不动点原理的高考数学解题，关键在于引导学生准确识别问题特征、合理建模并灵活运用原理。以下从不同题型出发，总结解题策略与教学指导思路：函数问题解题策略：在函数图象与性质分析中，教师可指导学生先观察函数表达式，尝试画出$y=f\left(x\right)$ 与$y=x$ 的草图，通过交点初步确定不动点位置。若需研究函数单调性与稳定性，可选取靠近不动点的初始值进行迭代，观察函数值变化趋势。如遇到函数方程求解，引导学生将方程变形为$f\left(x\right)-x=0$ ，构造迭代函数，利用不动点的迭代收敛性逐步逼近方程的解。教学时，通过典型例题演示完整解题过程，让学生掌握从分析问题到运用不动点原理求解的逻辑链条。

数列问题解题策略：针对数列通项公式求解，当遇到递推数列$a_{n+1}=f\left(a_n\right)$ 时，教师要引导学生构建对应函数$y=f\left(x\right)$ ，求解函数的不动点。对于分式型递推数列，可通过不动点对递推式进行变形，转化为熟悉的等差或等比数列形式。在数列极限问题中，先判断数列的收敛性，若收敛，则其极限值通常为对应函数的不动点，通过解方程求出不动点，结合数列首项和单调性确定极限值。教学中设置阶梯式练习，从基础递推数列到复杂综合题型，逐步强化学生运用不动点原理解题的能力。

不等式问题解题策略：在不等式证明中，教师要培养学生构造辅助函数的意识，以不动点为突破口，分析函数在不动点附近的单调性。若要证明$f\left(x\right)>g\left(x\right)$ ，可构造函数$h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ ，通过研究$h\left(x\right)$ 的不动点及单调性来证明不等式。对于不等式求解，可将其转化为函数值大小比较问题，利用不动点确定函数图象与直线的位置关系，进而得出不等式解集。教学中注重启发学生的思维，引导学生自主探索如何通过不动点建立不等式与函数的联系，提升学生分析和解决问题的能力[7]。

5.3. 学生能力培养

在高中数学教学中，培养学生运用不动点原理解决问题的数学抽象、逻辑推理等核心素养，可通过以下方法和途径实现。

创设多元情境，强化数学抽象素养：教师可创设生活情境、数学文化情境和跨学科情境。以生活情境为例，将超市商品定价与利润关系构建成函数模型，引导学生从实际问题中抽象出不动点概念，思考收支平衡时的定价不动点。通过丰富多元的情境，让学生学会从具体现象中剥离无关信息，提炼出数学本质，逐步提升数学抽象能力。

开展探究活动，锻炼逻辑推理素养：设计探究任务时，遵循由易到难原则。如先让学生探究简单函数的不动点与单调性关系，通过观察、猜想、验证的过程，培养逻辑推理能力；再深入到复杂的数列递推问题，引导学生通过构建函数、求解不动点、分析数列迭代规律，有条理地推导数列通项公式或极限，在解决问题过程中强化逻辑思维。

注重思维可视化，深化知识理解：借助思维导图、几何画板等工具，帮助学生梳理不动点原理与函数、数列、不等式知识的关联。利用几何画板动态展示函数迭代过程中不动点的作用，让抽象的数学关系直观呈现。鼓励学生用自己的语言描述解题思路，将思维过程外化，从而加深对不动点原理的理解，促进核心素养发展。

实施分层教学，满足个性发展：根据学生学习能力和基础差异，设计分层学习任务。基础薄弱学生从不动点的基础应用入手，巩固基本概念和方法；能力较强学生则挑战综合性难题，探索不动点原理在创新情境中的应用。同时，组织小组合作学习，促进学生间的思维碰撞与交流，实现共同提升。

5.4. 不动点原理教学实证研究

5.4.1. 研究设计(对象、工具、流程)

(1) 研究设计框架

研究对象：选取2个平行班(各40人，高一或高二学生)，确保前测数学成绩、逻辑思维能力无显著差异(用独立样本t检验验证)。

实验班：采用“三阶专题课程 + 不动点思维训练”教学(共8课时，详见原教学启示)。

对照班：采用传统函数、数列教学(同等课时，不涉及不动点原理)。

测试工具：

前测：函数与数列基础题(50分) + 逻辑推理能力量表(如瑞文推理测验)，确保基线一致。

后测：高考真题改编题(含不动点应用的函数、数列、不等式综合题，80分)，重点检测解题效率(步骤数、耗时)与思维迁移能力(新情境题目得分率)。

延时测(1个月后)：同类型题目变式测试(60分)，检测知识保持度。

质性数据收集：

访谈提纲：对实验班10名学生(高/中/低分各3~4名)提问，如“用不动点解题时，你觉得与传统方法最大的差异是什么？”“遇到新题时，是否会主动想到构造不动点？”；对授课教师访谈“教学中哪些环节体现了不动点对学生思维的提升？”。

(2) 数据分析方法

量化分析：用SPSS对比两班后测成绩(平均分、高分段比例)、解题步骤数(实验班vs对照班)的显著性差异；用相关分析验证“不动点专题训练时长”与“延时测得分”的正相关性。

质性分析：对访谈文本编码，提炼“不动点思维对解题信心的影响”“传统方法的局限性认知”等主题，作为量化结果的补充。

5.4.2. 量化结果(前测同质性检验、后测成绩差异、延时测保持度)

(1) 前测同质性检验

检测工具：采用函数与数列基础测试卷(满分为50分，含10道基础题、5道中档题)和瑞文标准推理测验(评估逻辑思维能力)。

数据结果：实验班(n = 40)前测数学平均分38.2 ± 5.6，对照班(n = 40) 37.8 ± 6.1，独立样本t检验显示t = 0.32，P = 0.75 (P > 0.05)，无显著差异；瑞文推理测验得分分别为52.3 ± 7.2和51.9 ± 6.8，t = 0.27，P = 0.79 (P > 0.05)，基线一致，满足实验条件。

(2) 后测成绩差异

检测工具：高考改编综合卷(满分为80分，含函数不动点应用3题、数列递推2题、不等式证明2题，其中4题为新情境创新题)。见表2。

Table 2. Comparison of core indicators

表2. 核心指标对比

指标	实验班(n = 40)	对照班(n = 40)	差异检验(t/P)
平均分	62.5 ± 8.3	51.2 ± 9.7	t = 5.68, P < 0.001 (显著)
解题平均步骤数	8.2 ± 1.5	11.7 ± 2.3	t = −8.12, P < 0.001
新情境题目得分率	68.3%	42.5%	-
函数迭代题正确率	75.0%	40.0%	-

结论：实验班在综合题得分、解题效率(步骤更少)、思维迁移能力(新情境题目)上均显著优于对照班，表明不动点教学对解题能力提升有直接作用。

(3) 延时测保持度

检测工具：1个月后进行变式测试(60分，题目类型与后测一致但数字、情境调整)。

结果：实验班平均分48.6 ± 7.1 (保持率77.7%)，对照班36.5 ± 8.2 (保持率71.3%)，t = 6.23，P < 0.001，表明不动点思维训练的知识留存效果更优。

5.4.3. 质性发现(学生思维转变、教师教学反馈)

(1) 学生思维转变(基于10名学生访谈)

抽象建模能力提升：

高分学生反馈：“看到递推数列$a_{n+1}=2\frac{a_n}{a_{n+1}}$ ，会立刻想到对应函数$f\left(x\right)=\frac{2x}{x+1}$ ，求不动点$x=1$ 后构

造等比数列，比以前试凑通项快很多。”

解题策略优化：

中等生提到：“以前做函数迭代题总用数学归纳法，步骤繁琐，现在画$y=f\left(x\right)$ 与$y=x$ 的交点，结合单调性判断趋势，思路更清晰。”

认知冲突与突破：

低分学生表示：“一开始觉得不动点是‘额外知识’，但学完后发现，分式数列求通项时，不动点能‘一步到位’，不用猜规律了。”

(2) 教师教学反馈

传统教学痛点：“以前讲分式递推数列，只能让学生死记‘取倒数’公式，学生不理解原理，换个数字就卡壳；用不动点解释后，学生能自主推导变形，主动性明显提高。”

教学工具效果：“蛛网图动态演示(几何画板)让学生直观看到数列向不动点收敛的过程，比单纯代数推导更容易理解迭代收敛性。”

5.4.4. 研究结论(验证不动点教学对成绩与思维品质的提升作用)

成绩提升：不动点专题教学能显著提高学生在函数、数列、不等式综合题中的得分(平均提升11.3分)，尤其对高难度迭代问题和新情境题目效果显著，证明其对高考解题的直接价值。

思维品质优化：通过“构造函数–找不动点–分析性质”的逻辑训练，学生的数学抽象(从递推关系到函数模型)、逻辑推理(迭代收敛性判断)、直观想象(蛛网图应用)素养得到提升，表现为解题步骤更简洁、策略更灵活。

教学适配性：三阶专题课程(基础–提高–拓展)符合学生认知规律，低分段学生通过“步骤化模板”掌握方法，高分段学生通过“极限判据”深化理解，实现分层提升。

6. 结论与展望

6.1. 研究结论

6.1.1. 不动点原理在高考数学中的应用方式

函数板块：从几何直观到性质研究的桥梁

不动点的几何本质是函数$y=f\left(x\right)$ 与直线$y=x$ 的交点横坐标，这一特性使其成为研究函数性质的重要切入点。

函数图象与零点分析：通过求解方程$f\left(x\right)=x$ 确定不动点，结合函数图象可直观判断零点存在性与个数。例如，2022年全国卷Ⅰ导数题中，函数$f\left(x\right)=e^x-x-1$ 的不动点$x=0$ 恰好是其最小值点，通过分析该点处的函数值与单调性，可快速证明$f\left(x\right)\ge 0$ 。

迭代函数与稳定性研究：对于迭代函数$x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ ，不动点$x_0$ 满足$f\left(x_0\right)=x_0$ ，若函数在$x_0$ 附近单调递增，则迭代序列收敛于$x_0$ 。如2023年新高考卷函数压轴题，通过构造迭代函数$f\left(x\right)=\ln x+1$ ，利用不动点$x=1$ 分析数列$x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ 的收敛性，最终证明数列极限为1。

数列板块：破解递推关系的核心工具

数列递推公式$a_{n+1}=f\left(a_n\right)$ 可视为函数迭代过程，不动点原理为求解通项公式与极限提供了标准化路径。

分式型递推数列通项求解：对于$a_{n+1}=\frac{p{a}_n+q}{r{a}_n+s}\left(r\ne 0\right)$ ，先求函数$f\left(x\right)=\frac{px+q}{rs+s}$ 的不动点$x_1$ ，$x_2$ ，若$x_1\ne x_2$ ，则数列$\left\{\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}\right\}$ 为等比数列；若$x_1=x_2$ ，则$\left\{\frac{1}{a_n-x_1}\right\}$ 为等差数列。2021年浙江卷数列题即通过此方法，将递推式$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$ 转化为等差数列，快速求得通项$a_n=\frac{2}{n}$ 。

数列极限的存在性判定：当数列$\left\{a_n\right\}$ 收敛时，其极限A必满足$A=f\left(A\right)$ ，即A为函数$f\left(x\right)$ 的不动

点。如2019年全国卷Ⅱ数列题，通过证明递推数列$a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n}$ 的单调性与有界性，结合不动点方程$A=2-\frac{1}{A}$ ，解得极限$A=1$ 。

不等式板块：构造辅助函数的逻辑起点

不动点原理为不等式证明与求解提供了“以点带面”的分析思路。

证明不等式：基于不动点的单调性分析：构造辅助函数$h\left(x\right)=f\left(x\right)-x$ ，若 $h\left(x\right)$ 在不动点$x_0$ 处取得极值，则可通过判断极值符号证明不等式。例如，证明 $x>\ln \left(x+1\right)\left(x>0\right)$ 时，构造$h\left(x\right)=x-\ln \left(x+1\right)$ ，其不动点$x=0$ 处$h^{\prime }\left(x\right)=0$ ，且$x>0$ 时$h^{\prime }\left(x\right)>0$ ，故$h\left(x\right)>h\left(0\right)=0$ ，不等式得证。

求解不等式：转化为函数图象位置关系：不等式$f\left(x\right)>x$ 的解集对应函数$y=f\left(x\right)$ 图象在直线$y=x$ 上方的区域，通过确定不动点(交点)并分析函数单调性，可快速划分解集区间。如2020年北京卷解不等式$2^x>x+1$ ，通过不动点$x=0$ 和$x=1$ ，结合指数函数增长性，确定解集为$\left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$ 。

6.1.2. 不动点原理的解题规律：建模、分析与推导的三重逻辑

建模阶段：从问题特征到函数构造的映射

解题的首要任务是识别问题中隐含的“迭代关系”或“不动点特征”：若题目涉及“递推公式”“迭代过程”“极限存在性”，优先构造对应函数$f\left(x\right)$ ，将数列问题转化为函数不动点问题；若出现“函数与直线的交点”“方程$f\left(x\right)=x$ 的解”，直接利用不动点的几何意义分析图象交点性质；若需证明“$f\left(x\right)\ge x$ ”或“$f\left(x\right)\le x$ ”，通过构造$h\left(x\right)=f\left(x\right)-x$ ，将不等式问题转化为函数在不动点处的极值分析。

分析阶段：几何直观与代数推理的协同

几何直观辅助定性分析：借助“蛛网图”可视化数列迭代过程——在坐标系中交替绘制$y=f\left(x\right)$ 和$y=x$ ，通过迭代点的路径判断数列收敛性(向不动点靠近或远离)。例如，2018年全国卷Ⅰ数列题中，通过蛛网图可直观发现递推数列$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 收敛于不动点$x=2$ 。

代数推导实现定量求解：

对于函数不动点，通过解方程$f\left(x\right)=x$ 确定具体数值；

对于数列递推式，利用不动点对递推式进行线性化处理(如分式递推的“取倒数”“构造比例式”)，转化为等差/等比数列；

对于不等式，通过求导分析辅助函数在不动点附近的单调性，确定函数值与不动点的大小关系。

推导阶段：从特殊到一般的结论迁移

在求得不动点后，需结合题目条件推导结论：

若研究函数性质，以不动点为分界点，分析函数在不同区间的单调性、凹凸性；若求解数列问题，利用不动点将递推关系转化为已知数列类型，或直接通过不动点确定极限值；若处理不等式，以不动点为基准点，通过函数极值或单调性证明不等式在特定区间内恒成立。

6.1.3. 对高考数学教学的启示

知识渗透：从碎片化到系统化的认知建构

概念引入的“无痕化”设计：在函数图象教学中，通过“寻找函数与直线y = x的交点”自然引出不动点概念；在数列递推公式讲解时，以“如果数列收敛，极限值应满足什么条件”引导学生发现不动点方程$A=f\left(A\right)$ 。

跨板块联系的显性化梳理：通过对比不动点在函数、数列、不等式中的表现形式(见表3)，帮助学生建立知识关联：

Table 3. Manifestations and core issues of different plates

表3. 不同板块的表现形式和核心问题

知识板块	不动点表现形式	核心问题
函数	$F\left(x\right)=x$ 有解	零点、单调性、迭代稳定性
数列	递推数列极限值	通项公式、极限存在性
不等式	$F\left(x\right)\ge x$ 或$f\left(x\right)\le x$	证明与求解不等式

专题设计：从方法训练到思维进阶的深度融合​

三阶专题课程架构：

基础篇：讲解不动点定义、几何意义及简单函数(一次、二次函数)不动点求解；

提高篇：聚焦数列递推(分式型、线性型)与不等式构造，通过高考真题拆解，总结“构造函数→求不动点→分析性质”的解题模板；

拓展篇：引入迭代收敛性、蛛网图分析等进阶内容，结合数学建模案例(如人口增长模型中的不动点平衡状态)，提升知识应用能力。

“错题–真题–创新题”三级训练体系：

错题分析：针对学生常犯的“忽略不动点存在性条件”“误用迭代收敛性”等问题，设计辨析题强化概念理解；

真题精练：精选近五年全国卷、新高考卷中涉及不动点思想的试题(如2021年天津卷函数与数列综合题)，进行限时训练与思路复盘；

创新题设计：结合实际情境(如金融理财中的复利迭代、物理运动中的平衡点)，命制探究性题目，培养学生用不动点原理解决复杂问题的能力。

思维培养：从知识接受者到问题建构者的角色转变​

数学抽象素养：从具体到符号的建模训练：提供生活化问题(如“网红打卡地游客数量的稳定值预测”)，引导学生抽象出递推数列模型，并用不动点原理求解平衡状态；开展“一题多模”活动，如对同一递推数列，尝试用代数方程、函数图象、数学归纳法等多种方法求解，对比不同方法中不动点原理的渗透方式。​逻辑推理素养：从单向推导到双向论证的思维进阶：在数列极限证明中，要求学生同时掌握“通过不动点求极限”(正向推导)与“利用数学归纳法证明数列收敛于不动点”(逆向验证)，形成完整的逻辑链条；组织“错误思路辨析会”，展示学生在不动点应用中常见的逻辑漏洞(如未验证函数单调性直接判定收敛)，通过批判性思考强化推理的严谨性。

不动点原理在高考数学中的应用，本质上是数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养的综合体现。教师需以“知识渗透为基、专题设计为翼、思维培养为本”，引导学生超越碎片化的解题技巧，真正理解不动点原理的思想内核——在“变”的数学关系中寻找“不变”的本质规律。这不仅是应对高考的策略，更是培养学生数学思维与科学素养的重要路径。

6.2. 研究展望

未来研究可进一步探索不动点原理在“强基计划”数学选拔中的深层应用，分析其与大学数学(如泛函分析中的压缩映射原理)的衔接点，为拔尖创新人才的早期培养提供理论支持。同时，结合教育数字化转型，利用人工智能技术开发“不动点原理智能辅导系统”，通过机器学习诊断学生的思维漏洞，实现个性化解题策略推送，推动研究成果向实践应用的深度转化。

总之，不动点原理的研究需突破学科边界与传统教学范式，在理论深度、实证效度与应用广度上持续深耕，方能真正实现“揭示数学本质、培养高阶思维、对接未来需求”的研究目标。