一类具有Neumann边界条件的向量型Sturm-Liouville问题的谱性质

Spectral Properties of a Class of Vector Sturm-Liouville Problems with Neumann Boundary Conditions

摘要: 本文在势函数$Q\left(x\right)$ 为一般的实对称矩阵的前提下，研究了Neumann边界条件下的向量型Sturm-Liouville问题的特征值的重数问题。讨论了特征值及特征函数判别式的渐近式，并给出了关于特征值重数的重要结论：如果矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)d\xi$ 的特征值重数至多为$k\left(1\le k\le m-1\right)$ ，那么，除了有限个特征值，向量型Sturm-Liouville问题的特征值重数也至多为$k$ 。

Abstract: This paper investigates the multiplicity of eigenvalues for vector-valued Sturm-Liouville problems under Neumann boundary conditions, with the potential function $Q\left(x\right)$ being a general real symmetric matrix. The asymptotic expressions of eigenvalues and characteristic functions are discussed, and the significant conclusion regarding the multiplicity of eigenvalues are presented: If the multiplicity of eigenvalues of the matrix ${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)d\xi$ is at most $k\left(1\le k\le m-1\right)$ , then, except for finitely many eigenvalues, the multiplicity of eigenvalues for the vector-valued Sturm-Liouville problem is also at most $k$ .

1. 引言

求解固体热传导模型的Sturm-Liouville (以下简称为S-L)问题起源于19世纪初，长期以来，对于标量型S-L问题的研究已经形成了相对完善的理论系统，如[1] [2]，作为标量型S-L问题的推广，其向量型问题的研究如今也是一个热门领域。有研究表明，经典的S-L理论中的诸多结论均可从标量型推广到向量型，如[3]-[5]，然而此类推广面临诸多复杂性，其核心难点集中体现在特征值的重数问题上。这是因为在标量型问题情形下，特征值通常是单重的，但在向量型问题中，特征值的重数显著增加，导致其分布规律也更为复杂，因此对于向量型S-L问题的研究是十分必要的。

向量型S-L问题是由向量方程(1)和边界条件构成：

$-y^{″}\left(x\right)+Q\left(x\right)y=\lambda y\left(x\right),x\in \left[0,1\right]$ (1)

这里，$\lambda \in ℂ$ 是谱参数，$I_m$ 表示$m\times m$ 阶单位矩阵，$z\left(x\right)$ 为定义在$\left[0,1\right]$ 上的$m$ 维向量值函数，$Q\left(x\right)$ 是定义在$\left[0,1\right]$ 上的连续$m\times m$ 阶实对称矩阵值函数，其中$m\ge 2$ 。早在1999年，Shen和Shieh在文献[6]中针对$Q\left(x\right)$ 为Jacobi矩阵值函数，且边界条件是Dirichlet边界条件的向量型S-L问题进行了研究，得到该问题最多只有有限个重数为$m$ 的特征值。文献[7]研究了方程(1)在Neumann边界条件下的情形，其中$Q\left(x\right)$ 为Jacobi矩阵值函数，得到与[6]类似的结论。同样针对$Q\left(x\right)$ 为Jacobi矩阵值函数，文献[8] [9]将边界条件进一步推广到一般的分离边界条件，并得到类似的结论。文献[10]研究了定义在区间(0, 1)上具有Dirichlet边界条件的m维向量型S-L问题，证明了如果矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的特征值重数至多为$k\left(1\le k\le m-1\right)$ ，那么除有限个特征值外，该向量型问题的特征值重数也至多为$k$ 。

受上述文献的启发，本文主要研究当$Q\left(x\right)$ 是一般的实对称矩阵时，$Q\in L\left(I,R^{m\times m}\right)$ ，$Q^{\prime }\in L\left(I,R^{m\times m}\right)$ 且$Q=Q^{*}$ ，方程(1)在Neumann边界条件

$y^{\prime }\left(0\right)=y^{\prime }\left(1\right)={\theta }_m,$ (2)

下的向量型S-L问题，讨论其特征值及特征判别式的渐近式，并给出了关于特征值重数的重要结论：如果矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的特征值重数至多为$k\left(1\le k\le m-1\right)$ ，那么，除了有限个特征值，向量型S-L问题(1)~(2)的特征值重数也至多为$k$ 。

2. 预备知识

令$\Phi \left(x,\lambda \right)$ 和$\Psi \left(x,\lambda \right)$ 是方程

$-Y^{″}+Q\left(x\right)Y=\lambda Y,x\in \left[0,1\right],$ (3)

分别满足初始条件

$\Phi \left(0,\lambda \right)={\theta }_m,{\Phi }^{\prime }\left(0,\lambda \right)=E_m,$ (4)

$\Psi \left(0,\lambda \right)=E_m,{\Psi }^{\prime }\left(0,\lambda \right)={\theta }_m,$ (5)

的矩阵值解，其中$Y\left(x\right)$ 是定义在$\left[0,1\right]$ 上的$m\times m$ 阶矩阵值函数，$Q\left(x\right)$ 是定义在$\left[0,1\right]$ 上的连续$m\times m$ 阶实对称矩阵值函数，$Q\in L\left(I,R^{m\times m}\right)$ ，$Q^{\prime }\in L\left(I,R^{m\times m}\right)$ 且$Q=Q^{*}$ 。那么向量型方程(1)的通解可以表示为

$y\left(x,\lambda \right)=\Phi \left(x,\lambda \right)c_1+\Psi \left(x,\lambda \right)c_2,$

其中$c_1$ 和$c_2$ 是任意$m$ 维常数向量，并且满足$c_1^{\text{T}}{c}_1+c_2^{\text{T}}{c}_2\ne 0$ 。

引理2.1：$\lambda$ 是向量型问题(1)~(2)的特征值，当且仅当$\det {\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)=0$ 。

证明：见文献[6]的定理4.1的证明，证毕。

记：$\Delta \left(\lambda \right)=\det {\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)$ ，称$\Delta \left(\lambda \right)$ 为问题(1)~(2)的特征值判别式。

引理2.2：向量型S-L问题(1)~(2)的线性无关解$y\left(x,\lambda \right)$ 的个数为$m-Rank\left({\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)\right)$ 。

证明：由$y^{\prime }\left(1,\lambda \right)={\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)c_2={\theta }_m$ 可知，当$\det {\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)\ne 0$ 时，即$c_2={\theta }_m$ ，只有零解，舍去。当$\det {\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)=0$ 时，非零解的个数由矩阵${\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)$ 的秩决定，即线性无关解的个数为$m-Rank\left({\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)\right)$ ，证毕。

由此引理可以得出：问题(1)~(2)特征值${\lambda }_{*}$ 的重数至多是$m$ 。特征值${\lambda }_{*}$ 的重数是$m$ 当且仅当${\Psi }^{\prime }\left(1,{\lambda }_{*}\right)$ 是零矩阵。

对于如上定义的$\Psi \left(x,\lambda \right)$ ，利用常数变易法可求得：

$\Psi \left(x,\lambda \right)=\cos \sqrt{\lambda }x{E}_m+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{\displaystyle {\int }_0^x\sin }\sqrt{\lambda }\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)\Psi \left(\xi ,\lambda \right)\text{d}\xi$ (6)

定理2.1：矩阵型S-L初值问题(3) (5)的渐近公式如下：

$\Psi \left(x,\lambda \right)=\cos \sqrt{\lambda }x{E}_m+O\left(\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right),\lambda \to \infty .$ (7)

证明：将(6)中的$\Psi \left(x,\lambda \right)$ 表达式代入积分部分的被积函数中，得

$\begin{array}{c}\Psi \left(x,\lambda \right)=\cos \sqrt{\lambda }x{E}_m+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{\displaystyle {\int }_0^x\sin }\sqrt{\lambda }\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)\left[\cos \sqrt{\lambda }\xi E_m+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{\displaystyle {\int }_0^{\xi }\sin }\sqrt{\lambda }\left(\xi -s\right)Q\left(s\right)\Psi \left(s,\lambda \right)\text{d}s\right]\text{d}\xi \\ =\cos \sqrt{\lambda }x{E}_m+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}{\displaystyle {\int }_0^x\sin }\sqrt{\lambda }\left(x-\xi \right)\cos \sqrt{\lambda }\xi Q\left(\xi \right)\text{d}\xi \\ +\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^x{\displaystyle {\int }_0^{\xi }\sin }}\sqrt{\lambda }\left(x-\xi \right)\sin \sqrt{\lambda }\left(\xi -s\right)Q\left(\xi \right)Q\left(s\right)\Psi \left(s,\lambda \right)\text{d}s\text{d}\xi \end{array}$

进行迭代后得到问题(3) (5)的解的渐近公式(7)，证毕。

定理2.2：令$\lambda =s^2$ ，$s=\sigma +i\tau$ ，$\sigma ,\tau \in ℝ$ ，当$\left|s\right|\to \infty$ 时，矩阵值函数${\Psi }^{\prime }\left(x,\lambda \right)$ 有以下渐近展开式

${\Psi }^{\prime }\left(x,s^2\right)=-s\sin sx{E}_m+\frac{\cos sx}{2}{\displaystyle {\int }_0^{x}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right).$ (8)

证明：由(6)可得

${\Psi }^{\prime }\left(x,s^2\right)=-s\sin sx{E}_m+{\displaystyle {\int }_0^x\cos }\left(s\left(x-\xi \right)\right)Q\left(\xi \right)\Psi \left(\xi ,s^2\right)\text{d}\xi ,$ (9)

将(7)代入(9)的等式右边，得到

$\begin{array}{c}{\Psi }^{\prime }\left(x,s^2\right)=-s\sin \left(sx\right)E_m+{\displaystyle {\int }_0^x\cos s\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)\left[\cos \left(s\xi \right)E_m+O\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right)\right]\text{d}\xi }\\ \text{=}-s\sin \left(sx\right)E_m+{\displaystyle {\int }_0^x\cos s\left(x-\xi \right)}\cos \left(s\xi \right)Q\left(\xi \right)\text{d}\xi +{\displaystyle {\int }_0^x\cos s\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)O\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right)\text{d}\xi }\\ =-s\sin \left(sx\right)E_m+\left[\frac{1}{2}\cos \left(sx\right){\displaystyle {\int }_0^{x}Q\left(\xi \right)\text{d}\xi }+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^x\cos \left(s\left(x-2\xi \right)\right)Q\left(\xi \right)\text{d}\xi }\right]\\ +{\displaystyle {\int }_0^x\cos s\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)O\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right)\text{d}\xi }\end{array}$ (10)

由Riemann-Lebesgue引理可知

$\begin{array}{l}\underset{\left|s\right|\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x\cos s}\left(x-2\xi \right)Q\left(\xi \right)\text{d}\xi =0,\\ \underset{\left|s\right|\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x\cos s}\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)\text{d}\xi =0,\end{array}$

因此，当$\left|s\right|\to \infty$ 时，

$\underset{\left|s\right|\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x\cos s\left(x-\xi \right)Q\left(\xi \right)O\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right)\text{d}\xi }=o\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right),$

可得(8)，证毕。

引理2.3 [7]：向量型S-L问题(1)~(2)有无穷多可数个实特征值，这些特征值有下界，无上界。记问题(1)~(2)的所有特征值为

${\left\{{\lambda }_{n,r}\right\}}_{n=0,r=1}^{\infty ,m}=\left\{{\lambda }_{0,1}, \cdots ,{\lambda }_{0,m};{\lambda }_{1,1},\cdots ,{\lambda }_{1,m};\cdots ;{\lambda }_{n,1};\cdots ,{\lambda }_{n,m};\cdots \right\}$

定理2.3：当$n\to \infty$ 时，${\lambda }_{n,r}\left(r=1,2,\cdots ,m\right)$ 有下面的渐近公式

$\sqrt{{\lambda }_{n,r}}=n\pi +\frac{{\mu }_r}{2n\pi }+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$ (11)

其中${\mu }_r$ 为矩阵${\displaystyle {\int }_0^{x}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的第r个特征值。

证明：由(8)可知

${\Psi }^{\prime }\left(1,{\lambda }_{n,r}\right)=-\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\sin \left(\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\right)E_m+\frac{\cos \sqrt{{\lambda }_{n,r}}}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_{n,r}}}\right),$

因为${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 是实对称矩阵，所以存在可逆矩阵$T$ ，使得

$T^{-1}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi T=diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right),$ (12)

注意其中${\lambda }_{n,r}$ 是实的，${\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m$ 是矩阵${\displaystyle {\int }_0^{x}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的$m$ 个特征值。将${\Psi }^{\prime }\left(1,{\lambda }_{n,r}\right)$ 变换为对角形式

$T^{-1}{\Psi }^{\prime }\left(1,{\lambda }_{n,r}\right)T=-\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\sin \left(\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\right)E_m+\frac{\cos \sqrt{{\lambda }_{n,r}}}{2}\left[diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right)\right]+o\left(\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_{n,r}}}\right),$ (13)

由引理2.1及(13)知

$\det \left(-\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\sin \left(\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\right)E_m+\frac{\cos \sqrt{{\lambda }_{n,r}}}{2}\left[diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right)\right]+o\left(\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_{n,r}}}\right)\right)=0,$

将上式转化为标量方程即得

$-\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\sin \left(\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\right)+\frac{\cos \sqrt{{\lambda }_{n,r}}}{2}{\mu }_r+o\left(\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_{n,r}}}\right)=0,\left(r=1,2,\cdots ,m\right),$

对于足够大的n，有${\lambda }_{n,r}\to \infty$ ，得

$\tan \left(\sqrt{{\lambda }_{n,r}}\right)=\frac{{\mu }_r}{2\sqrt{{\lambda }_{n,r}}},$

记$\sqrt{{\lambda }_{n,r}}=n\pi +{\epsilon }_{n,r}$ ，则对于足够大的n，有$\left|{\epsilon }_{n,r}\right|\to 0$ ，进一步

$\tan \left({\epsilon }_{n,r}\right)=\frac{{\mu }_r}{2\left(n\pi +{\epsilon }_{n,r}\right)},$

利用文献[11]的方法，得到

${\epsilon }_{n,r}=\frac{{\mu }_r}{2n\pi }+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$

由此推出(11)，证毕。

定理2.4：当$\left|s\right|\to \infty$ 时，特征判别式$\Delta \left(\lambda \right)$ 有渐近表达式

$\Delta \left(\lambda \right)=\det {\Psi }^{\prime }\left(1,s^2\right)={\displaystyle \prod _{r=1}^m\left[\left(-s\sin s\right)+\frac{\cos s}{2}{\mu }_r\right]}+{\rm O}\left({\left|s\right|}^{m-2}\right).$ (14)

其中，${\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m$ 是矩阵${\displaystyle {\int }_0^{x}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的$m$ 个特征值。

证明：由引理2.1，(8)以及(12)可得

$T^{-1}{\Psi }^{\prime }\left(x,s^2\right)T=-s\sin sx{E}_m+\frac{\cos sx}{2}diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right)+o\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right),$

对上式求行列式可得

$\begin{array}{c}\Delta \left(\lambda \right)=\det {\Psi }^{\prime }\left(1,s^2\right)\\ =\det \left[-s\sin s{E}_m+\frac{\cos s}{2}diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right)+o\left(\frac{1}{\left|s\right|}\right)\right]\\ ={\displaystyle \prod _{r=1}^m\left[\left(-s\sin s\right)+\frac{\cos s}{2}{\mu }_r\right]}+{\rm O}\left({\left|s\right|}^{m-2}\right).\end{array}$

即得到(14)，证毕。

3. 向量型Sturm-Liouville问题的特征值重数

定理3.1：如果矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的特征值重数至多为$k\left(1\le k\le m-1\right)$ ，那么，除了有限个特征值，向量型S-L问题(1)~(2)的特征值重数也至多为k。

证明：设${\lambda }_{n,r}$ 是问题(1)~(2)的一个特征值(其中$1\le r\le m$ )。记$s_{n,r}=\sqrt{{\lambda }_{n,r}}$ ，由于所有${\lambda }_{n,r}$ 均为实特征值，根据引理2.1以及(8)，当$\left|s_{n,r}\right|\to \infty$ 时，得

${\Psi }^{\prime }\left(1,s_{n,r}^2\right)=-s_{n,r}\sin s_{n,r}{E}_m+\frac{\cos s_{n,r}}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{\left|s_{n,r}\right|}\right),$ (15)

由定理2.3可得

$s_{n,r}=n\pi +{\epsilon }_{n,r},{\epsilon }_{n,r}=\frac{{\mu }_r}{2n\pi }+O\left(\frac{1}{n^2}\right),$ (16)

对于足够大的n，由上式知${\epsilon }_{n,r}\to 0$ ，则有$\cos \left(n\pi +{\epsilon }_{n,r}\right)\to 1$ ，将(16)代入(15)中，得

${\Psi }^{\prime }\left(1,s_{n,r}^2\right)=-s_{n,r}\sin \left(n\pi +{\epsilon }_{n,r}\right)E_m+\frac{\cos s_{n,r}}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{\left|n\pi +{\epsilon }_{n,r}\right|}\right),$

$\sec s_{n,r}{\Psi }^{\prime }\left(1,s_{n,r}^2\right)=-s_{n,r}\tan \left(n\pi +{\epsilon }_{n,r}\right)E_m+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{n}\right),$

$\sec s_{n,r}{\Psi }^{\prime }\left(1,s_{n,r}^2\right)=-s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}{E}_m+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{n}\right),$ (17)

又由(12)，得

$\begin{array}{l}{T}^{-1}\sec s_{n,r}{\Psi }^{\prime }\left(1,s_{n,r}^2\right)T\\ =diag\left(-s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_1}{2},-s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_2}{2},\cdots ,-s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_m}{2}\right)+o\left(\frac{1}{n}\right).\end{array}$ (18)

利用反证法，假设问题(1)~(2)的特征值${\lambda }_{n,r}$ 的重数为$k+1$ 。那么，根据引理2.2，矩阵${\Psi }^{\prime }\left(1,s_{n,r}^2\right)$ 的秩为$m-\left(k+1\right)$ ，不妨设最后$m-\left(k+1\right)$ 行向量$r_{k+2},r_{k+3},\cdots ,r_m$ 线性无关。那么前$k+1$ 个行向量$r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ 均可由$r_{k+2},r_{k+3},\cdots ,r_m$ 线性表出。因此，矩阵(18)的前$k+1$ 个对角元素是$o\left(\frac{1}{n}\right)$ 。那么有

$\begin{array}{l}-s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_1}{2}+o\left(\frac{1}{n}\right)=0,\\ -s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_2}{2}+o\left(\frac{1}{n}\right)=0,\\ ⋮\\ -s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_{k+1}}{2}+o\left(\frac{1}{n}\right)=0.\end{array}$ (19)

则由(19)式中第一个等式依次减去其余各式可得

$\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{2}=o\left(\frac{1}{n}\right),\frac{{\mu }_1-{\mu }_3}{2}=o\left(\frac{1}{n}\right),\cdots ,\frac{{\mu }_1-{\mu }_{k+1}}{2}=o\left(\frac{1}{n}\right).$ (20)

因为${\mu }_j\left(1\le j\le m\right)$ 的重数不超过$k$ ，因此${\mu }_1-{\mu }_2,{\mu }_1-{\mu }_3,\cdots ,{\mu }_1-{\mu }_{k+1}$ 中至少存在一个非零项。不妨设${\mu }_1-{\mu }_2\ne 0$ ，这与(20)式中$\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{2}=o\left(\frac{1}{n}\right),\left(n\to \infty \right)$ 矛盾。由此可证，问题(1)~(2)的特征值除有限个外，其重数至多为$k$ ，证毕。

推论3.1：若矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的特征值均为单重的，则问题(1)~(2)的特征值除有限个特征值外，其余皆为单重特征值。

推论3.2：若矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的特征值重数不超过$m-1$ ，则问题(1)~(2)的特征值除有限个外，重数也不超过$m-1$ 。

推论3.3：如果${\lambda }_{n,r}$ 是问题(1)~(2)的任一特征值(无论它的重数是多少)均有

$\sqrt{{\lambda }_{n,r}}=n\pi +O\left(\frac{1}{n}\right),r=1,2,\cdots ,m.$

证明：若势函数$Q\left(x\right)$ 满足定理3.1中的条件，根据该定理结论可知(19)中至少有一个等式成立，现假设(19)中第一个等式成立，即

$-s_{n,r}\tan {\epsilon }_{n,r}+\frac{{\mu }_1}{2}+o\left(\frac{1}{n}\right)=0,$

$\tan {\epsilon }_{n,r}=\frac{{\mu }_1-2o\left(\frac{1}{n}\right)}{2s_{n,r}}=\frac{{\mu }_1}{2n\pi }-\frac{2o\left(\frac{1}{n}\right)}{2n\pi }=O\left(\frac{1}{n}\right),$

故有

${\epsilon }_{n,r}=O\left(\frac{1}{n}\right).$

证毕。

推论3.4：若矩阵${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi$ 的特征值都是$m$ 重的，那么，问题(1)~(2)的特征值除了有限个，其重数均为$m$ 重，即

${\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi =\mu E_m.$

证明：当$n\to \infty$ 时，若问题(1)~(2)的特征值都是$m$ 重的，将不同的特征值记为${\lambda }_n$ ，即

${\lambda }_{n,1}={\lambda }_{n,2}=\cdots ={\lambda }_{n,m}=:{\lambda }_n;s_n=\sqrt{{\lambda }_n},s_n=n\pi +{\epsilon }_n,$ (21)

由推论3.3知，${\epsilon }_n=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ，${\Psi }^{\prime }\left(1,{\lambda }_n\right)=O_m$ ，则由(15)知

$-s_n\sin s_n{E}_m+\frac{\cos s_n}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{\left|s_n\right|}\right)=O_m,$ (22)

注意到$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos {\epsilon }_n=1$ ，因此

$-s_n\tan s_n{E}_m+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{1}Q}\left(\xi \right)\text{d}\xi +o\left(\frac{1}{\left|s_n\right|}\right)=O_m,$

化解得

$\begin{array}{c}\tan s_n{E}_m=\frac{1}{2s_n}diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right)+\frac{1}{s_n}o\left(\frac{1}{\left|s_n\right|}\right)\\ =\frac{1}{2n\pi }diag\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_m\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right),\end{array}$

因$\left\{n\tan {\epsilon }_n\right\}$ 是有界的，则${\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_m$ ，证毕。

例3.1：考虑四维向量型S-L问题

$\{\begin{array}{l}-y^{″}+Q\left(x\right)y=\lambda y,x\in \left[0,1\right],\hfill \\ y^{\prime }\left(0\right)=y^{\prime }\left(1\right)=\theta ,\hfill \end{array}$ (23)

这里

$Q\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}{q}_1\left(x\right)+q_2\left(x\right)& q_1\left(x\right)-q_2\left(x\right)& 0& 0\\ q_1\left(x\right)-q_2\left(x\right)& q_1\left(x\right)+q_2\left(x\right)& 0& 0\\ 0& 0& q_1\left(x\right)+q_3\left(x\right)& q_1\left(x\right)-q_3\left(x\right)\\ 0& 0& q_1\left(x\right)-q_3\left(x\right)& q_1\left(x\right)+q_3\left(x\right)\end{array}\right),$

存在常数酉矩阵

$T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right),T^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right),$

则有

$T^{-1}Q\left(x\right)T=\Lambda \left(x\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1\left(x\right)& 0& 0& 0\\ 0& q_1\left(x\right)& 0& 0\\ 0& 0& q_2\left(x\right)& 0\\ 0& 0& 0& q_3\left(x\right)\end{array}\right)=diag\left(q_1\left(x\right),q_1\left(x\right),q_2\left(x\right),q_3\left(x\right)\right),$

若对$\forall i\ne j\left(i,j=1,2,3\right)$ ，有

${\displaystyle {\int }_0^1{q}_i}\left(\xi \right)\text{d}\xi \ne {\displaystyle {\int }_0^1{q}_j}\left(\xi \right)\text{d}\xi ,$

则由定理3.1可知，除了有限个特征值外，问题(23)的特征值重数至多为2重。事实上，通过变换$y=Tz$ ，可将问题(23)转化为

$\{\begin{array}{l}-z^{″}=\Lambda \left(x\right)z-\lambda z,\hfill \\ z^{\prime }\left(0\right)=z^{\prime }\left(1\right)=\theta ,\hfill \end{array}$ (24)

这样就将问题(24)转化为以下问题

$\{\begin{array}{l}-{z^{″}}_i+q_i\left(x\right)z_i={\mu }^{\left(i\right)}{z}_i,x\in \left[0,1\right],\hfill \\ {z^{\prime }}_i\left(0\right)={z^{\prime }}_i\left(1\right)=0,\hfill \end{array}$ (25)

记${\mu }_n^{\left(i\right)}\left(i=1,2,3,n\in {\mathbb{N}}_0\right)$ 表示问题(25)的特征值，$\overrightarrow{z_i}\left(x,{\mu }_n^{\left(1\right)}\right)$ 表示对应的特征函数。注意到$T{\left[z_1\left(x,{\mu }_n^{\left(1\right)}\right),0,0,0\right]}^{\text{T}}$ 和$T{\left[0,z_1\left(x,{\mu }_n^{\left(1\right)}\right),0,0\right]}^{\text{T}}$ 是相应于${\mu }_n^{\left(1\right)}$ 的两个线性无关的特征函数，因此${\mu }_n^{\left(1\right)}\left(n\in {\mathbb{N}}_0\right)$ 是向量型问题(23)的2重特征值，$T{\left[0,0,z_2\left(x,{\mu }_n^{\left(2\right)}\right),0\right]}^{\text{T}}$ 和$T{\left[0,0,0,z_3\left(x,{\mu }_n^{\left(3\right)}\right)\right]}^{\text{T}}$ 为相应于向量型问题(23)的特征值${\mu }_n^{\left(2\right)}$ 和${\mu }_n^{\left(3\right)}$ 的特征函数，证毕。

基金项目

国家自然科学基金(12261066)；内蒙古自然科学基金(2023LHMS01015)。

NOTES

^*通讯作者。