涉及分担集合的亚纯函数正规定则研究

Research on Normality Rules for Meromorphic Functions Involving Sharing Sets

摘要: 本文主要讨论了一类涉及分担集合的亚纯函数正规定则，通过利用Pang-Zalcman引理构造辅助函数，结合正规族理论与Nevanlinna理论，利用经典引理，在前人研究的基础上，得到了一类新的正规定则。

Abstract: This paper discusses the normality rules for a class of meromorphic functions involving sharing sets. By constructing auxiliary functions using the Pang-Zalcman lemma, combining normal family theory with Nevanlinna theory, and applying classical lemmas, we obtain a new class of normality rules based on previous research.

1. 引言

定义1 [1]如果对任何$z\in D$ ，$f\left(z\right)\in S$ 当且仅当$g\left(z\right)\in S$ ，称$f$ 和$g$ 在区域$D$ 上具有分担集$S\subset C$ ，通常用$f\left(z\right)\in S_1\iff g\left(z\right)\in S_2$ 来表示$f\left(z\right)\in S_1$ 当且仅当$g\left(z\right)\in S_2$ 。

Schwick [2]于1992年首先认识到函数族的正规性与分担值之间具有联系，证明了如下定理。

定理A 设$a$ ，$b$ ，$c\in C$ 互相判别，$ℱ$ 是区域$D$ 内的一个亚纯函数族，如果对每个$f\in ℱ$ ，$f$ 和$f^{\prime }$ 具有分担值$a$ ，$b$ ，$c$ ，那么$ℱ$ 在$D$ 内正规。

庞学诚与Zalcman [3]利用Pang-Zalcman引理对定理A给出了较简单的证明，并且将条件减弱为具有两个分担值。刘晓俊和庞学诚[4]进一步将分担三值条件减弱，转而考虑了分担集合的情形，证明了若亚纯函数族$ℱ$ 中$f$ 与其导数$f^{\prime }$ 于$D$ 具有分担集$\left\{a,b,c\right\}$ ，则$ℱ$ 在$D$ 内正规。

自然地，可以研究将分担值推广为分担函数情形的正规定则，目前已有许多相关的结果。2013年，刘晓毅，程春暖[5]讨论了分担函数的情形，得到了如下结论。

定理B 设$ℱ$ 是区域$D$ 内没有单零点的一个亚纯函数族，$a\left(z\right)$ ，$b\left(z\right)$ 是两个全纯函数满足$a\left(z\right)\ne 0$ 和$b\left(z\right)=0\Rightarrow a^{\prime }\left(z\right)\ne 0$ ，如果对任意$f\in ℱ$ 在$D$ 内满足$f\left(z\right)=a\left(z\right)\iff f^{\prime }\left(z\right)=b\left(z\right)$ ，那么$ℱ$ 在$D$ 内正规。

2023年，刘丹，邓炳茂[6]在文献[6]证明了如下定理。

定理C 设$ℱ$ 是区域$D$ 内的一个亚纯函数族，$m$ ，$n$ ，$k$ 为三个正整数，集合$S_1=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ ，$S_2=\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\right\}$ 且$S_2\ne \left\{0\right\}$ ，其中$a_1,a_2,\cdots ,a_m,b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 分别是$m$ ，$n$ 个有穷复数且互相判别。如果对任意$f\in ℱ$ ，$z\in D$ ，$f$ 的零点重级至少为$k+1$ ，且$f\left(z\right)\in S_1\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)\in S_2$ ，那么$ℱ$ 在$D$ 内正规。

定理D 设$ℱ$ 是区域$D$ 内的一个亚纯函数族，设$m$ ，$k$ 为两个正整数，且$m\left(\ge k+4\right)$ ，设集合$S_1=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ ，$S_2=\left\{0\right\}$ ，其中$a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 分别是$m$ 个有穷复数，且互相判别。如果对任意$f\in ℱ$ ，$z\in D$ ，$f$ 的零点重级至少为$k$ ，且$f\left(z\right)\in S_1\Rightarrow f^{\left(k\right)}\left(z\right)\in S_2$ ，则$ℱ$ 在$D$ 内正规。

随后，冉娜[7]将$f^{\left(k\right)}$ 推广到$f$ 的$k$ 阶微分多项式$L\left(f\right)=f^{\left(k\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^k{c}_i}{f}^{\left(k-i\right)}$ ，证明了当$k\ge 2$ 时，结论仍然成立。

本文将文献[7]中的$L\left(f\right)$ 推广到$L\left(f\right)\left(z\right)+P\left(f\right)\left(z\right)$ ，其中$L\left(f\right)\left(z\right)=f^{\left(k\right)}\left(z\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{c}_i\left(z\right)f^{\left(i\right)}}\left(z\right)$ ，$P\left(f\right)\left(z\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^q{b}_i\left(z\right)f^i}\left(z\right)$ ，得到了如下结果。

定理1设$ℱ$ 是区域$D$ 内的一个亚纯函数族，设$m$ ，$q$ ，$n$ ，$k$ 为四个正整数，集合$S_1=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ ，$S_2=\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\right\}$ 且$S_2\ne \left\{0\right\}$ ，其中$a_1,a_2,\cdots ,a_m,b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 分别是$m$ ，$n$ 个互相判别的有穷复数。如果对任意$f\in ℱ$ ，$z\in D$ ，$f$ 的零点重级至少为$k+1$ ，且$f\left(z\right)\in S_1\iff L\left(f\right)\left(z\right)+P\left(f\right)\left(z\right)\in S_2$ ，则$ℱ$ 在$D$ 内正规。其中$L\left(f\right)\left(z\right)=f^{\left(k\right)}\left(z\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{c}_i\left(z\right)f^{\left(i\right)}}\left(z\right)$ ，$P\left(f\right)\left(z\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^q{b}_i\left(z\right)f^i}\left(z\right)$ ，$c_i\left(i=1,2,\cdots ,k-1\right)$ ，$b_i\left(i=1,2,\cdots ,q\right)$ 为区域$D$ 内的全纯函数。

定理2 设$ℱ$ 是区域$D$ 内的一个亚纯函数族，设$m$ ，$k$ 为两个正整数，且$m\left(\ge k+4\right)$ ，设集合$S_1=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ ，$S_2=\left\{0\right\}$ ，其中$a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 分别是$m$ 个有穷复数，且互相判别。如果对任意$f\in ℱ$ ，$z\in D$ ，$f$ 的零点重级至少为$k$ ，且$f\left(z\right)\in S_1\Rightarrow L\left(f\right)\left(z\right)+P\left(f\right)\left(z\right)\in S_2$ ，则$ℱ$ 在$D$ 内正规。

2. 引理

引理1 [8]设$ℱ$ 为区域$D$ 内的亚纯函数族，对于每一个$f\in ℱ$ ，$f$ 的零点至少是$k$ 级的，若存在$A\ge 1$ ，使得对$f$ 的任意一个零点$z_0$ ，有$\left|f^{\left(k\right)}\left(z_0\right)\right|\le A$ ，若$ℱ$ 在$z_0\in D$ 处不正规，则对任意$0\le \alpha \le k$ ，存在：

(1) 点列$z_j\in \Delta$ ，$z_j\to z_0$ ；

(2) 函数列$\left\{f_n\left(z\right)\right\}\subseteq ℱ$ ；

(3) 正数列${\rho }_j$ ，${\rho }_j\to 0^{+}$ ；

使得

$g_j\left(\zeta \right)=\frac{f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)}{{\rho }_j^{\alpha }}\to g\left(\xi \right)$ ，

其中$g\left(\xi \right)$ 为复平面$C$ 上的非常数亚纯函数，零点重级至少为$k$ ，并且$g^{\#}\left(\xi \right)\le g^{\#}\left(0\right)=kA+1$ 。

引理2 [9]设$f$ 为复平面上的有穷级超越亚纯函数，$k$ 为正整数，$a$ ，$b\left(\ne 0\right)$ 为有穷复数，若$f$ 的零点重级至少为$k$ ，且$f\left(z\right)=0\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=a$ ，则$f^{\left(k\right)}-b$ 有无穷多个零点。

引理3 [10]设$f=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0+\frac{q\left(z\right)}{p\left(z\right)}$ ，其中$a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 为常数，$a_n\ne 0$ ，$p\left(z\right)$ ，$q\left(z\right)$ 是两个互素的多项式，且$\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}p$ ，$k$ 为正整数，若$f^{(k)}\ne 1$ ，则有

(1) $n=k$ 且$n!a_n=1$ ；

(2) $f\left(z\right)=\frac{1}{k!}{z}^k+\cdots +a_{1}z+a_0+\frac{1}{{\left(az+b\right)}^m}$ ；

(3) 若$f$ 的零点重级至少为$k+1$ ，则(2)式中$m=1$ ，且$f\left(z\right)=\frac{{\left(cz+d\right)}^{k+1}}{az+b}$ ，其中$a\ne 0$ ，$b$ ，$c\ne 0$ ，$d$ 为常数。

引理4 [9]设$f$ 为复平面上的有穷级亚纯函数，$b\left(\ne 0\right)$ 为有穷复数，$k\left(\ge 2\right)$ 是一个正整数，若$f$ 的零点重级至少为$k$ ，且$f=0\iff f^{\left(k\right)}=a$ ，$f^{\left(k\right)}\ne b$ ，则$f$ 是一个常数。

引理5 设$f$ 为复平面上的有穷级亚纯函数，$b\left(\ne 0\right)$ 为有穷复数，若$f$ 的零点均重级，且$f=0\iff f^{\prime }=0$ ，$f^{\prime }\ne b$ ，则$f$ 是一个常数。

证明由引理2可知，$f$ 为有理函数，若$f$ 为非多项式有理函数，令$f=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0+\frac{q\left(z\right)}{p\left(z\right)}$ ，其中$a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 为常数，$a_n\ne 0$ ，$p\left(z\right)$ ，$q\left(z\right)$ 是两个互素的多项式，且$\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}p$ ，不失一般性，设$b=1$ ，由引理3可知$f=\frac{{\left(cz+d\right)}^2}{az+b}$ ，其中$a\ne 0$ ，$b$ ，$c\ne 0$ ，$d$ 为常数，注意到$\frac{c}{a}\ne \frac{d}{b}$ ，否则$f=\frac{d^2}{b^2}\left(az+b\right)$ ，与$f$ 的零点重级均重级矛盾。从而$f^{\prime }=\frac{2c\left(cz+d\right)\left(az+b\right)-a{\left(cz+d\right)}^2}{{\left(az+b\right)}^2}=\frac{\left(cz+d\right)\left(acz+2bc-ad\right)}{{\left(az+b\right)}^2}$ ，当$z=\frac{ad-2bc}{ac}$ 时，$f^{\prime }=0$ ，由$\frac{c}{a}\ne \frac{d}{b}$ 可知$\frac{ad-2bc}{ac}\ne -\frac{d}{c}$ ，从而$f\ne 0$ ，与$f=0\iff f^{\prime }=0$ 矛盾。若$f$ 为次数至少为2的多项式，则与$f^{\prime }\ne 1$ 矛盾，从而$f$ 为常数。

引理6 [6]设$g\left(z\right)$ 为复平面上的亚纯函数，$k\left(\ge 2\right)$ 是一个正整数，则

${\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\left(k\right)}=\frac{g^{\left(k\right)}\left(z\right)}{g^2\left(z\right)}+{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-2}{a}_i}{g}_i+k!\frac{{\left(g^{\prime }\left(z\right)\right)}^k}{g^{k+1}\left(z\right)}$ ，

其中$a_i\left(i=0,1,\cdots ,k-2\right)$ 是关于${\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\prime },{\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\prime \text{}\prime },\cdots ,{\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\left(k-1\right)}$ 的多项式。

引理7 [11]设$f$ 为复平面上的亚纯函数，设$b\left(\ne 0\right)$ 为有穷复数，$k$ 是一个正整数，若$f$ 的零点重级至少为$k+1$ ，$f^{\left(k\right)}\ne b$ 且$f$ 的极点均重级，则$f$ 是一个常数。

3. 定理证明

定理1证明

因为$S_2\ne \left\{0\right\}$ ，不失一般性，设$b_1\left(\ne 0\right)\in S_2$ 。不妨设$D=\Delta$ ，下面分两种情形进行讨论。

情形1 $S_1=\left\{0\right\}$

设$ℱ$ 为单位圆盘$\Delta =\left\{z:\left|z\right|\le 1\right\}$ 上的亚纯函数族，若$ℱ$ 在$\Delta$ 内不正规，由引理1，取$\alpha =k$ ，则存在$f_n\in ℱ$ ，$z_n\to z_0$ ，${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\xi \right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在复平面$C$ 上按球距内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数$g\left(\xi \right)$ ，且$g\left(\xi \right)$ 零点重级至少为$k+1$ ，级至多为2，且满足$g^{\#}\left(\xi \right)\le g^{\#}\left(0\right)=kA+1$ 。

断言：(i) $g=0\iff g^{\left(k\right)}=0$ 且$0\in S_2$

一方面，设$g\left({\xi }_0\right)=0$ ，由Hurwitz定理可知，存在${\xi }_n\to {\xi }_0$ ，当$n\to \infty$ 时，$g_n\left({\xi }_n\right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，从而$f_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，于是$L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，由定理条件可知$0\in S_2$ ，又因为

$\begin{array}{l}L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)\\ =f_n^{\left(k\right)}\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{c}_i\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)f_n^{\left(i\right)}}\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{b}_i\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)f^i}\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)\\ =g_n^{\left(k\right)}\left({\xi }_n\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{\rho }_n^{k-i}{c}_i\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)g_n^{\left(i\right)}}\left({\xi }_n\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{b}_i\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right){\rho }_n^{ik}{g}_n^i}\left({\xi }_n\right)\\ \to g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right).\end{array}$

于是$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，从而$g=0\Rightarrow g^{\left(k\right)}=0$ 且$0\in S_2$ 。

另一方面，设$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=0$ ，断言$g^{\left(k\right)}\cancel{\equiv }0$ ，否则$g$ 为一个$k$ 次多项式，与$g\left(\xi \right)$ 零点重级至少为$k+1$ 矛盾，即$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=0$ 但$g^{\left(k\right)}\cancel{\equiv }0$ ，又因为

$\begin{array}{l}L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)\\ =f_n^{\left(k\right)}\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{c}_i\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)f_n^{\left(i\right)}}\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{b}_i\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)f^i}\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)\\ =g_n^{\left(k\right)}\left(\xi \right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}{\rho }_n^{k-i}{c}_i\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)g_n^{\left(i\right)}}\left(\xi \right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{b}_i\left(z_n+{\rho }_n\xi \right){\rho }_n^{ik}{g}_n^i}\left(\xi \right)\\ \to g^{\left(k\right)}\left(\xi \right).\end{array}$ (1)

由Hurwitz定理知，存在${\xi }_n\to {\xi }_0$ ，当$n\to \infty$ 时，$L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，又因为$0\in S_2$ ，由定理条件可知$f_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，于是$g_n\left({\xi }_n\right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，因此$g\left({\xi }_0\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n\left({\xi }_n\right)=0$ ，从而$g^{\left(k\right)}=0$ 且$0\in S_2$ $\Rightarrow g=0$ ，断言(i)得证。

断言：(ii) $g^{\left(k\right)}\ne b_1$

设$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=b_1$ ，断言$g^{\left(k\right)}\cancel{\equiv }{b}_1$ ，否则$g$ 为一个$k$ 次多项式，与$g\left(\xi \right)$ 零点重级至少为$k+1$ 矛盾，即$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=0$ 但$g^{\left(k\right)}\cancel{\equiv }{b}_1$ ，由(1)式与Hurwitz定理知存在${\xi }_n\to {\xi }_0$ ，当$n\to \infty$ 时有$L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=b_1$ ，$b_1\left(\ne 0\right)\in S_2$ ，由定理条件可知$f_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，从而$g_n\left({\xi }_n\right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，$b_1=g\left({\xi }_0\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n\left({\xi }_n\right)=0$ ，与已知条件矛盾。断言(ii)得证。

由引理4与引理5可知，$g$ 是一个常数，矛盾，从而$ℱ$ 在$D$ 内正规。

情形2 $S_1\ne \left\{0\right\}$

设$ℱ$ 是单位圆盘$\Delta =\left\{z:\left|z\right|\le 1\right\}$ 上的亚纯函数族，若$ℱ$ 在$\Delta$ 内不正规，由引理1，取$\alpha =k$ ，则存在$f_n\in ℱ$ ，$z_n\to z_0$ ，${\rho }_n\to 0^{+}$ 使得

$g_n\left(\xi \right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在复平面$C$ 上按球距内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数$g\left(\xi \right)$ ，且$g\left(\xi \right)$ 零点重级至少为$k+1$ 。

断言：(i) $g^{\left(k\right)}\ne b_1$

设$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=b_1$ ，断言$g^{\left(k\right)}\cancel{\equiv }{b}_1$ ，否则$g$ 为一个$k$ 次多项式，与$g\left(\xi \right)$ 零点重级至少为$k+1$ 矛盾，即$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=0$ 但$g^{\left(k\right)}\cancel{\equiv }{b}_1$ ，由(1)式和Hurwitz定理知存在${\xi }_n\to {\xi }_0$ ，当$n\to \infty$ 时有 $L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=b_1$ ，由定理条件可知存在$a_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 和函数列$\left\{f_n\right\}$ 的子列，不失一般性，仍记为$\left\{f_n\right\}$ ，于是$f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)=a_i$ ，注意到$a_i\ne 0$ ，否则$g_n\left({\xi }_n\right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ ，从而$b_1=g\left({\xi }_0\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n\left({\xi }_n\right)=0$ ，这与已知矛盾。所以$g_n\left({\xi }_n\right)={\rho }_n^{-k}{f}_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=\infty$ ，于是$b_1=g\left({\xi }_0\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n\left({\xi }_n\right)=\infty$ ，矛盾。断言(i)得证

断言：(ii) $g\left(\xi \right)$ 极点均重级

因为$S_1\ne \left\{0\right\}$ ，不妨设$a_1\left(\ne 0\right)\in S_1$ ，设$g\left({\xi }_0\right)=\infty$ ，当$g\cancel{\equiv }\infty$ 时，存在$D_{\delta }=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|\le \delta \right\}$ ，当$n\to \infty$ 时，$\frac{1}{g_n}$ 和$\frac{1}{g}$ 在$D_{\delta }$ 内全纯，并且在$D_{\delta }$ 内有$\frac{1}{g_n}\to \frac{1}{g}$ ，从而对任意$\xi \in D_{\delta }$ 有$\frac{1}{g_n\left(\xi \right)}-\frac{{\rho }_n^k}{a_1}\to \frac{1}{g\left(\xi \right)}$ ，故由Hurwitz定理，存在${\xi }_n\to {\xi }_0$ ，当$n\to \infty$ 时，$\frac{1}{g_n\left(\xi \right)}-\frac{{\rho }_n^k}{a_1}=0$ ，即$f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)=a_1$ ，由定理条件可知存在$b_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 和函数列$\left\{f_n\right\}$ 的子列，不失一般性，仍记为$\left\{f_n\right\}$ ，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n^{\left(k\right)}\left({\xi }_n\right)=g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=b_j$ 。

当$k=1$ 时，有

${{\left(\frac{1}{g\left(\xi \right)}\right)}^{\prime }|}_{\xi ={\xi }_0}=-\frac{g^{\prime }\left({\xi }_0\right)}{g^2\left({\xi }_0\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-\frac{g^{\prime }\left({\xi }_n\right)}{g^2\left({\xi }_n\right)}\right)=0$ 。

当$k\ge 2$ 时，由引理6，有

${\left(\frac{1}{g\left(\xi \right)}\right)}^{\left(k\right)}=\frac{g^{\left(k\right)}\left(\xi \right)}{g^2\left(\xi \right)}+{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-2}{a}_i}{g}^i+k!\frac{{\left(g^{\prime }\left(\xi \right)\right)}^k}{g^{k+1}\left(\xi \right)}$ ，

其中$a_i\left(i=0,1,\cdots ,k-2\right)$ 是关于${\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\prime },{\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\prime \text{}\prime },\cdots ,{\left(\frac{1}{g\left(z\right)}\right)}^{\left(k-1\right)}$ 的多项式。

因此

$\begin{array}{c}{{\left(\frac{1}{g\left(\xi \right)}\right)}^{\left(k\right)}|}_{\xi ={\xi }_0}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{g_n\left({\xi }_n\right)}\right)}^{\left(k\right)}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[-\frac{g_n^{\left(k\right)}\left({\xi }_n\right)}{g^2\left({\xi }_n\right)}+{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-2}{a}_i}{g}_n^i\left({\xi }_n\right)+k!\frac{{\left({g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)\right)}^k}{g^{k+1}\left({\xi }_n\right)}\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-2}{a}_i}{g}_n^i\left({\xi }_n\right)+k!\frac{{\left({g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)\right)}^k}{g_n^{k+1}\left({\xi }_n\right)}\right]\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-2}{a}_i}{g}_n^i\left({\xi }_n\right)+k!\frac{{\left({g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)\right)}^k}{g_n^{k+1}\left({\xi }_n\right)}\right]+a_0\left({\xi }_0\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-2}{a}_i}{g}_n^{i-1}\left({\xi }_n\right)+k!{\left(-\frac{{g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)}{g_n^2\left({\xi }_n\right)}\right)}^k{\left(-1\right)}^{\left(k\right)}{g}_n^{k-2}\left({\xi }_n\right)\right]g_n\left({\xi }_n\right)+a_0\left({\xi }_0\right)\end{array}$

又因为$\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n\left({\xi }_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\rho }_n^{-k}{a}_1=\infty$ ，于是$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^{k-2}{a}_i}{g}_n^{i-1}\left({\xi }_n\right)+k!{\left(-\frac{{g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)}{g_n^2\left({\xi }_n\right)}\right)}^k{\left(-1\right)}^{\left(k\right)}{g}_n^{k-2}\left({\xi }_n\right)\right]=0$ ，即$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \sum _{i=2}^{k-2}{a}_i}{g}_n^{i-2}\left({\xi }_n\right)+k!{\left(-\frac{{g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)}{g_n^2\left({\xi }_n\right)}\right)}^{\left(k\right)}{\left(-1\right)}^{\left(k\right)}{g}_n^{k-3}\left({\xi }_n\right)\right]g_n\left({\xi }_n\right)+a_1\left({\xi }_0\right)=0$ ，以此类推，可得$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{k-2}\left({\xi }_0\right)+k!{\left(-\frac{{g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)}{g_n^2\left({\xi }_n\right)}\right)}^k{\left(-1\right)}^{\left(k\right)}{g}_n\left({\xi }_n\right)=0$ ，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{{g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)}{g_n^2\left({\xi }_n\right)}\right)}^k=0$ ，于是$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-\frac{{g^{\prime }}_n\left({\xi }_n\right)}{g_n^2\left({\xi }_n\right)}\right)=0$ ，从而${{\left(\frac{1}{g(\xi )}\right)}^{\prime }|}_{\xi ={\xi }_0}=0$ ，所以$\xi ={\xi }_0$ 是$g\left(\xi \right)$ 的重级点，断言(ii)得证。由引理7可知$g\left(\xi \right)$ 是一个常数，与假设矛盾.从而$ℱ$ 在$D$ 内正规。

定理2证明

不失一般性，令$D=\Delta$ ，设$ℱ$ 是单位圆盘$\Delta$ 上的亚纯函数族，若$ℱ$ 在$\Delta$ 内不正规，不妨设在$z_0\in \Delta$ 处不正规，由引理1，取$\alpha =0$ ，则存在$f_n\in ℱ$ ，$z_n\to z_0$ ，${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\xi \right)=f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在复平面$C$ 上按球距内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数$g\left(\xi \right)$ 。

断言：$g\left(\xi \right)=a_i\Rightarrow g^{\left(k\right)}\left(\xi \right)=0$ ，$i=0,1,\cdots ,m$

设$g\left({\xi }_0\right)=a_i$ ，$i=0,1,\cdots ,m$ ，由于$g\left(\xi \right)$ 是一个非常数亚纯函数，从而$g^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\cancel{\equiv }{a}_i$ ，由Hurwitz定理知存在${\xi }_n\to {\xi }_0$ ，当$n\to \infty$ 时，$g_n\left({\xi }_n\right)=f_n\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=a_i$ ，由定理条件$f\left(z\right)\in S_1\iff L\left(f\right)\left(z\right)+P\left(f\right)\left(z\right)\in S_2$ ，可知$L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)=0$ 。因此$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n^{\left(k\right)}\left({\xi }_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\rho }_n^k\left[L\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)+P\left(f_n\right)\left(z_n+{\rho }_n{\xi }_n\right)\right]=0$ 。断言得证。

由Nevanlinna第二基本定理得

$\begin{array}{c}\left(m-2\right)T\left(r,g\right)\le {\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{N}\left(r,\frac{1}{g-a_i}\right)}+S\left(r,g\right)\\ \le N\left(r,\frac{1}{g^{\left(k\right)}}\right)+S\left(r,g\right)\le \left(k+1\right)T\left(r,g\right)+S\left(r,g\right)\end{array}$

于是$\left(m-k-3\right)T\left(r,g\right)\le S\left(r,g\right)$ ，又因为$m\ge k+4$ 故$T\left(r,g\right)\le S\left(r,g\right)$ 矛盾。从而$ℱ$ 在$D$ 内正规。

4. 结论与讨论

本文研究了亚纯函数正规族理论中的一个具体问题，即涉及分担集合的正规定则，在前人研究的基础上，将$L\left(f\right)$ 推广到更一般的形式$L\left(f\right)\left(z\right)+P\left(f\right)\left(z\right)$ ，得到了一个新的结果。

基金项目

国家自然科学基金项目(12061077)；

新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2022D01A217)。

NOTES

^*通讯作者。