摘要: 随着大语言模型技术的迅猛发展，其在教育领域中的应用潜力日益凸显。本文聚焦于整数规划这一运筹学核心教学内容，针对当前教学实践中存在的答疑机制薄弱、教学案例资源匮乏及课程内容滞后等问题，系统探讨了大语言模型在教学中的三重辅助作用：智能答疑、教学设计与编程求解。本文通过具体示例展示了学生如何利用大语言模型辅助完成模型生成、模型检验和编程求解等任务，以及教师如何借助大语言模型高效生成多样化教学案例和材料。进一步地，本文指出，大语言模型的引入不仅优化了教学流程，更潜移默化地促进了学生的问题分解、模式识别、抽象和算法设计等计算思维能力发展。最后，本文呼吁在推进技术应用的同时，仍应坚持“教师主导、技术辅助”的教学原则，以实现智能化与规范化教学的良性融合。
Abstract: With the rapid development of large language model (LLM) technologies, their application potential in the field of education has become increasingly evident. This paper focuses on integer programming, a core subject in operations research, and addresses current challenges in teaching practice such as weak question-answering mechanisms, insufficient teaching case resources, and outdated course content. It systematically explores the threefold auxiliary role of LLMs in teaching: intelligent question and answering, instructional design, and programming-based problem solving. Through concrete examples, the paper demonstrates how students can use LLMs to assist with model generation, validation, and code-based solution processes, and how instructors can efficiently generate diverse teaching cases and materials with the help of LLMs. Moreover, this paper points out that the incorporation of LLMs not only optimizes the teaching process but also implicitly fosters the development of students’ computational thinking skills, including problem decomposition, pattern recognition, abstraction, and algorithmic design. The paper concludes by emphasizing the importance of maintaining the teaching principle of “teacher-led, technology-assisted” in order to achieve a healthy integration of intelligent and standardized instruction.
1. 引言
1.1. 传统整数规划教学模式中存在的问题
整数规划是运筹学课程中的一个核心内容，其作为一种重要的数学规划方法，常被用于解决生产调度、资源配置及组合优化等问题，在工程、经济和管理等多个领域均具有广泛应用价值[1]。笔者从事运筹学课程教学多年，发现传统的整数规划教学面临以下三个主要问题：
首先，课程在答疑辅导方面存在较大不足。由于课时限制，教师难以在课堂上逐一点名询问所有学生的问题并进行针对性解答。整数规划建模题目通常较复杂、批改耗时较长，故即使在课后辅导中教师也难以发现并解决每个学生的疑问，这使得部分学生存在的问题无法得到及时解决，长期积压易形成知识断层。
其次，现有的整数规划教学案例资源匮乏。教师受限于备课时间与教学资源，往往只能反复使用诸如“0-1背包问题”、“任务分配问题”等经典案例。这些题目虽然有助于夯实基础，但由于题型相对单一、重复度高，难以激发学生的学习兴趣，也不足以全面锻炼学生在实际问题中的建模与求解能力。
最后，当前整数规划教学的课程内容相对滞后，缺乏现代化实践手段。现有教学仍以模型构建与传统手工求解方法为主，较少引入现代求解器工具及其应用场景，教学内容与现实问题脱节，难以满足新时代工程与管理实践的需求。
总的来说，当前整数规划教学在答疑机制、教学案例资源以及课程内容现代化方面存在明显不足。课堂时间有限导致学生问题难以及时解决，案例单一限制了学生能力的拓展，而课程内容仍停留在传统模型与手工方法层面，难以适应现实应用需求。优化教学设计、丰富案例库并引入现代智能求解工具，已成为整数规划教学改革的关键方向。
1.2. 大语言模型的发展现状
近年来，人工智能技术飞速发展，尤其是以OpenAI为代表的大语言模型取得了突破性进展[2]。2022年，OpenAI推出了大语言模型ChatGPT，该模型通过指令微调和基于人类反馈的强化学习，使其在语言理解、任务执行、价值判断等方面更加贴近人类预期，从而实现了内容生成与人类价值观的初步对齐，显著缓解了早期语言模型中普遍存在的幻觉与逻辑错误问题[3]。2023至2024年，GPT-4V和GPT-4o等多模态模型相继问世，这些模型能够将文本、图像、音频乃至视频整合到统一系统中，极大地拓展了语言模型的能力边界，使其能够以更丰富的交互方式解决复杂问题。2024年，OpenAI发布的Oracles-1 (O1)大模型在数学推理与编程等高阶任务上表现卓越，这标志着语言模型在逻辑推理与结构建模能力方面取得了巨大提升。
随着大语言模型在语言理解、逻辑推理等方面的能力提升，其在教育领域的应用潜力日益凸显。已有研究表明，大语言模型在多学科领域均展现出辅助教学价值，包括语言学习[4]、编程训练[5]、科学写作[6]、医药教育[7]等。在以逻辑推导与符号化表达为特征的数学课程中，这种优势尤为显著：大语言模型既能理解数学题目并生成详细解题步骤，为学生提供即时反馈与个性化辅导，又能将数学模型转化为可执行算法，贯通数学课程从理论到实践的教学闭环。
运筹优化类课程(如整数规划)涉及从问题理解、模型构建到算法实现的完整流程。然而，传统的整数规划教学存在教师答疑不及时、案例资源匮乏、实践环节薄弱等问题，制约了学生综合应用能力的培养。通过大语言模型辅助教学，既可缓解教师答疑压力、提升教学效率，又能突破传统内容限制，通过生成多样化建模案例辅助学生理解复杂模型构建过程，同时指导算法代码编写以强化实践能力。更重要的是这一新型教学机制不仅优化了教学过程，更有助于学生在实践中潜移默化地发展分解问题、模式识别、抽象与算法设计等计算思维核心能力。
本文旨在探讨大语言模型在整数规划教学中的三重应用——作为智能答疑工具、教学辅助工具和编程指导工具，以解决传统教学痛点，推动课程内容与现实应用的深度融合。
2. 大语言模型在整数规划教学中的应用
本章将探讨如何将大语言模型作为智能教学助手引入整数规划课程，重点研究其在三个关键教学环节的应用：智能答疑、教学设计和编程求解指导，以全面提升课程教学质量和学生实践能力。更进一步地，我们尝试将其教学功能与学生计算思维的提升相结合，展示了大语言模型应用于辅助教学对学生问题分解、模式识别、抽象和算法设计能力的提升。
2.1. 大语言模型在智能答疑中的应用：强化问题分解与模式识别能力
在答疑环节，大语言模型的核心价值不仅在于快速响应学生疑问，更在于引导学生在模型构建过程中学会“分解问题”与“模式识别”。
首先，大语言模型能够有效辅助学生完成建模过程。学生只需输入自然语言描述的问题陈述，系统即可自动识别关键建模要素(包括决策对象、约束关系和优化目标)，并据此指导学生设定决策变量、构建目标函数及约束条件，最终形成完整的整数规划模型。在此过程中，大语言模型辅助学生将自然语言问题陈述分解为形式化建模要素，提升了其问题的拆解能力。其次在反复互动中，学生可将大语言模型生成的建议方案与自身思路进行对比分析，识别出结构相似问题的共同建模策略，建立起模型结构与问题情景的模式识别能力。以经典的“生产计划优化”问题为例(图1)，当学生输入完整问题描述后，大语言模型能够准确识别“产量”作为决策变量、“资源限制”作为线性不等式约束，并指导学生构建利润最大化的目标函数。
其次，大语言模型可作为建模结果的验证工具。学生在完成初步建模后，可将构建的决策变量、目标函数和约束条件提交给大语言模型进行审核。基于其自然语言理解与数学表达式解析能力，大语言模型能够评估决策变量定义的合理性、约束条件的逻辑严密性，并识别潜在的冗余、不一致或逻辑缺陷。这种交互式验证过程不仅帮助学生完善模型结构，还能培养其形式化思维和建模严谨性。以生产计划问题为例(图2)，学生可将建模方案以图像形式输入，由大语言模型评估建模的合理性。
Figure 1. Generating integer programming models with the assistance of ChatGPT
图1. 借助ChatGPT生成整数规划模型
Figure 2. Verification of integer programming model with the assistance of ChatGPT
图2. 借助ChatGPT检验整数规划模型
2.2. 大语言模型在教学设计中的应用：提升抽象建模能力
在教学设计层面，大语言模型的引入，不仅提升了教学内容的多样性和系统性，也为学生“抽象问题”能力的培养提供了工具支撑。
首先，大语言模型能够协助教师高效生成多样化的教学案例。当前整数规划教学中普遍存在案例类型单一的问题，诸如0-1背包问题、任务分配问题和工厂选址问题等经典案例虽有助于阐释核心概念，却难以培养学生对建模场景的多元理解和知识迁移能力。通过与大语言模型交互，教师只需输入特定知识点(如“二进制决策变量设置”或“含容量约束的线性目标函数”)或现有案例的结构框架，即可快速生成多个情境各异、数据变化的衍生案例。多样化的建模场景在保持知识点核心结构的同时，提升了学生对整数规划模型结构的抽象理解能力。例如，教师可指导大语言模型将传统背包问题转化为时间分配或课程选择等贴近学生实际生活的情境，在保持核心知识结构不变的前提下，增强案例的代入感和教学有效性。此外，教师还可利用大语言模型生成分层教学材料(基础型、进阶型、开放型)，满足课堂讲授、课后练习和测评设计等不同教学环节的需求，从而拓展教学内容的广度和深度。如图3所示，当输入考察问题的要求后，大语言模型可即时生成相应的教学案例。
Figure 3. Teaching case generated with the assistance of ChatGPT
图3. 借助ChatGPT生成教学案例
其次，大语言模型可在教学材料制备方面发挥重要辅助作用。在课程备课阶段，教师往往需要投入大量时间编写幻灯片、整理例题、设计教学活动与评估方案。借助大语言模型，教师可基于授课主题、课程大纲或教学目标，生成包含核心概念解析、应用场景说明、典型例题与解答、课堂练习建议、教学大纲草案以及阶段性测试题目等完整教学素材。这种智能化的材料生成方式不仅能显著减轻教师的备课负担，更能提升教学资源的系统性与针对性。教师可对生成内容进行筛选整合与个性化调整，形成符合自身教学风格与学生需求的定制化课程内容，促进教学向差异化与智能化方向发展。如图4所示，大语言模型成功生成对偶问题的教学大纲，并能按需生成特定类型的讲解案例。
Figure 4. Teaching materials generated with the assistance of ChatGPT
图4. 借助ChatGPT生成教学材料
2.3. 大语言模型在编程求解中的应用：增强算法设计能力
考虑到整数规划课程通常面向数学专业学生，其编程基础相对薄弱，传统教学模式往往更侧重模型构建与理论推导，而对模型实现与编程求解的指导较为有限。为此，在教学中引入具备代码生成与语义理解能力的大语言模型(如ChatGPT)，可有效帮助学生实现“从模型到算法”的过渡，提升其算法设计能力。
教师可专门设计实践应用教学环节，指导学生利用大语言模型将抽象数学模型转化为可执行代码。具体实施可分为三个阶段：首先，教师介绍主流优化求解器(如Gurobi、CPLEX、SciPy等)的基本原理与适用场景；其次，通过具体案例开展“从模型到代码”的示范教学，现场演示如何将已构建的规划模型转换为Python代码，涵盖变量定义、目标函数设定、约束表达与求解器调用等关键步骤，帮助学生形成对算法系统的结构化理解，促进其算法设计能力的提升；最后，如图5所示，学生可将整数规划模型输入ChatGPT，大语言模型生成的Python代码不仅可直接运行，还包含详细注释，有助于学生理解算法执行流程。
Figure 5. Python code generated with the assistance of ChatGPT
图5. 使用ChatGPT生成Python代码
教师可进一步结合Gurobi等求解器，完整演示问题求解流程，包括模型求解、结果解析与可视化呈现，实现从“问题描述”到“数值输出”的全过程贯通，帮助学生建立“问题建模 → 数学表达 → 程序实现 → 结果分析”的闭环认知体系。
在课后环节，教师可设计基于真实或仿真场景的实践任务，指导学生运用大语言模型完成包括问题建模、代码生成与求解分析的全流程训练。通过这种持续性的任务驱动式教学，学生不仅能够深化对整数规划方法的理解，更能有效培养将数学理论转化为实际问题解决能力的综合素质。
3. 总结
随着人工智能技术的持续发展，大语言模型在教育领域的应用将不断深化，为整数规划教学开拓更广阔的发展前景。未来，学校教学管理部门可与教师协同合作，依托大语言模型强大的文本生成与交互能力，构建集教学、学习与评估于一体的智能化平台。该平台不仅能自动生成个性化习题，还能实时解答学生疑问并提供纠错指导。然而，在推进大语言模型广泛应用的同时，也需审慎应对其带来的挑战，包括生成内容的准确性保障、学生过度依赖大语言模型等问题。因此，教学实践中应当始终坚持“教师主导、技术辅助”的原则，通过人机协同确保教学目标的实现与学生能力的系统提升。
基金项目
本研究得到国家重点研发计划(编号：2022YFA1004000)、国家自然科学基金项目(编号：12371324)和中央高校基本科研业务费专项资金(编号：xzy012024071)的资助。
NOTES
*通讯作者。