基于循环覆盖与L²方法的q-丰沛除子对数消灭定理的研究

Logarithmic Vanishing Theorems for q-Ample Divisors via Cyclic Coverings and L² Method

摘要: 本文主要使用循环覆盖技巧与L²方法来研究紧Kähler流形上q-丰沛除子的对数消灭定理。首先回顾了对数微分形式层及带有对数可积联络的层的基本理论。随后利用循环覆盖技巧，证明了紧Kähler流形上支撑于q-丰沛除子的光滑除子及简单交叉除子的若干新的对数消灭定理。

Abstract: This paper primarily employs the technique of cyclic covering and L² method to investigate logarithmic vanishing theorems for q-ample divisors on compact Kähler manifolds. We begin by reviewing the foundational theory of logarithmic differential forms and sheaves equipped with logarithmic integrable connections. Building on this, we apply the cyclic covering method to establish several new logarithmic vanishing theorems for smooth divisors and simple normal crossing divisors supported on q-ample divisors in the compact Kähler setting.

1. 引言

关于光滑射影流形上对数微分形式层以及带有对数可积联络的层的基本理论是由P. Deline在[1]中建立的。H. Esnault和E. Viehweg在[2] [3]中研究了复代数流形上的对数de Rham复形与消灭定理之间的关系，并且指出许多消灭定理可由Deligne关于对数Hodge到de Rham谱序列在E₁层退化的结果推出。在[4]中，Huang-Liu-Wan-Yang 证明了紧Kähler流形上半正线丛的许多对数消灭定理。在本文中，设X是一个紧Kähler流形，我们将讨论关于q-丰沛除子的对数消灭定理。

首先，我们回顾q-丰沛线丛和q-丰沛除子的定义。

定义1.1设X是一个紧复流形，L是X上的一个全纯线丛。如果对于X上的任意凝聚层$ℱ$ ，存在一个正整数$m_0=m_0\left(X,L,ℱ\right)>0$ ，使得

$H^j\left(X,ℱ\otimes L^m\right)=0$ ，当$j>q,m\ge m_0$ 时

则称L是q-丰沛的。如果一个除子D满足${\mathcal{O}}_X\left(D\right)$ 是q-丰沛线丛，则称除子D是一个q-丰沛除子。

关于q-丰沛除子的消灭定理，D. Greb和A. Küronya在[5]中证明了当X是光滑射影簇时，光滑、约化且有效的除子满足q-Kodaira消灭定理。如果X是正规射影扇形簇，N. Broomhead、J.-C. Ottem和A. Prendergast-Smith在[6]中证明了任意q-丰沛线丛满足q-Kodaira 消灭定理。在[7]中，Liu-Wan-Yang 证明了如下结论：

定理1.2 ([7])设X是一个紧Kähler流形，D是一个简单交叉除子，如果D是一个有效q-丰沛除子的支撑集，则有

$H^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\right)=0$ ，当$i+j\ge n+q+1$ .

特别地，取$i=n$ ，得到

$H^{\text{j}}\left(X,K_X+D\right)=0$ 当$j>q$ .(1)

在本文中，我们将利用循环覆盖技巧和L²方法，进一步推广现有的消灭性结论，得到q-丰沛除子的两个新的对数消灭定理。与已有结果相比，这些定理不仅涵盖了更一般的情形，而且在处理对数微分形式和线丛时都表现出较强的适用性。我们首先考虑光滑除子的情形：

定理1.3设D是一个光滑除子，并且它是某个q-丰沛有效除子的支撑集。如果L是一个全纯线丛，且满足$L^N={\mathcal{O}}_X\left(D\right)$ ，对某个$N\ge 0$ ，则

$H^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\otimes L^{-K}\right)=0$ ，当$i+j\ge n+q+1,0\le k\le N-1$ .

定理1.3的证明依赖于循环覆盖的构造以及对q-丰沛性在拉回下保持性的分析。通过这一方法，我们能够在较弱的条件下得到对数微分形式与负次幂线丛系数下的消灭定理。

在此基础上，我们进一步将结果推广至简单交叉除子的情形。考虑如下更为一般的场景：

定理1.4设$D={\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{D}_i}$ 是一个简单交叉除子，并且D是某个有效q-丰沛除子的支撑集，如果$L^N={\mathcal{O}}_X\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{b}_i{D}_i}\right)$ ，其中$b_i\in \left(-N,N\right)\cap \mathbb{Z}$ 对某个$N\in \mathbb{Z}$ 成立，且$X-D$ 是单连通的，则

$H^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\otimes L\right)=0$ ，当$i+j\ge n+q+1$

与定理1.3相比，定理1.4在除子D不再光滑而是简单交叉时仍然成立，并且允许更广泛的线丛扭曲条件。值得强调的是，这类结论在推广Kodaira型消灭定理和研究q-丰沛性对几何结构的影响方面具有重要意义。

2. 预备知识

在本节中，我们将回顾一些关于对数联络和循环覆盖的基本定义与事实。更多细节可参考[2] [3] [8]-[13]。

2.1. 对数联络

设X是一个维数为n的紧复流形，D是X里的一个简单交叉除子，即$D={\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{D}_i}$ ，其中$D_i\left(1\le i\le r\right)$ 是彼此不同在X中横截相交的光滑超曲面。

记自然包含映射$\tau :U:=X-D\to X$ ，并设

${\Omega }_X^p\left(\ast D\right)=\underset{\overrightarrow{\nu }}{\lim }{\Omega }_X^p\left(\nu \cdot D\right)={\tau }_{\ast }{\Omega }_U^p.$

于是$\left({\Omega }_X^{•}\left(\ast D\right),d\right)$ 构成一个复形。由Deligne在[14]中引入的对数形式层

${\Omega }_X^p\left(\log D\right)$

定义为沿D具有对数极点的${\Omega }_X^p\left(\ast D\right)$ 的子层，即对于任何开集$V\subset X$ ,

$\Gamma \left(V,{\Omega }_X^P\left(\log D\right)\right)=\left\{\alpha \in \Gamma \left(V,{\Omega }_X^P\left(\ast D\right)\right):\alpha 及d\alpha 沿�D均只有��极�\right\}.$

由[1]或[3]可知，对数复形$\left({\Omega }_X^{•}\left(\log D\right),d\right)$ 是$\left({\Omega }_X^{•}\left(\ast D\right),d\right)$ 的一个子复形，且${\Omega }_X^p\left(\log D\right)$ 是局部自由，

${\Omega }_X^p\left(\log D\right)={\wedge }^p{\Omega }_X^1\left(\log D\right).$

对于任意$z\in X$ ,可在$z=\left(0,\cdots ,0\right)$ 的一个小领域$U$ 中选择局部全纯坐标$\left\{z^1,\cdots ,z^n\right\}$ ，使得

$D\cap U=\left\{z^1\cdots z^k=0\right\}$

为若干坐标超平面的并。这样的二元组

$\left(U,\left\{z^1,\cdots ,z^n\right\}\right)$

称为一个对数坐标系[15]。此时，${\Omega }_X^p\left(\log D\right)$ 由全纯形式和对数微分$\frac{d{z}_i}{z_i}\left(i=1,\cdots ,k\right)$ 生成，即

${\Omega }_X^p\left(\log D\right)={\Omega }_X^p\left(\frac{d{z}^1}{z^1},\cdots ,\frac{d{z}^k}{z^k}\right).$

记

$A^{0,q}\left(X,{\Omega }_X^p\left(\log D\right)\right)$

为取值于${\Omega }_X^p\left(\log D\right)$ 的X上光滑$\left(0,q\right)$ -形式的空间，并将$A^{0,q}\left(X,{\Omega }_X^p\left(\log D\right)\right)$ 的元素为对数$\left(p,q\right)$ -形式。

现在回顾局部自由层上的对数联络的定义。

定义2.1 [3]设$\epsilon$ 是X上的一个局部自由层，且有

$\nabla :\epsilon \to {\Omega }_X^1\left(\log D\right)\otimes \epsilon$

是一个$ℂ$ -线性映射，满足

$\nabla \left(f\cdot e\right)=f\cdot \nabla e+df\otimes e.$ (2)

定义

${\nabla }_a:{\Omega }_X^a\left(\log D\right)\otimes \epsilon \to {\Omega }_X^{a+1}\left(\log D\right)\otimes \epsilon$

为

${\nabla }_a\left(\omega \otimes e\right)=d\omega \otimes e+{\left(-1\right)}^{\alpha }\omega \wedge \nabla e.$

若对所有a满足${\nabla }_{a+1}\circ {\nabla }_a=0$ ，这样的$\nabla$ 被称为沿D的可积对数联络，(或者简称为联络)。复形

$\left({\Omega }_X^{•}\left(\log D\right)\otimes \epsilon ,{\nabla }_{•}\right)$

被称为$\left(\epsilon ,\nabla \right)$ 的对数de Rham复形。

设L是X上的一个全纯线丛，满足

$L^N={\mathcal{O}}_X\left({\displaystyle \sum _{i=1}^r{a}_i{D}_i}\right)$

其中$a_i\in \mathbb{Z},1\le i\le r$ 。则有

命题2.2 在L上存在一个沿D的可积对数联络。

证明. 设$\sigma$ 是${\mathcal{O}}_x\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{a}_i{D}_i}\right)$ 的规范亚纯截面，取L的一个局部标架e，使得

$e^N={\displaystyle \prod _{i=1}^r{\left(z^i\right)}^{-a_i}\sigma }$ (3)

定义

$\partial e:=\frac{1}{N}\partial \log \frac{e^N}{\sigma }e=-{\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{a_i}{N}}\frac{d{z}^i}{z^i}e$ (4)

其取值在${\Omega }_X^1\left(\log D\right)\otimes L$ 中。这个定义是良好的：任取满足${e^{\prime }}^N=e^N$ 的另一局部标架$e^{\prime }$ ，由于$\partial \left(\frac{e^{\prime }}{e}\right)=0$ ，于是

$\partial e^{\prime }=-{\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{a_i}{N}}\frac{d{z}^i}{z^i}{e}^{\prime }=\frac{\partial e}{e}{e}^{\prime }=\frac{e^{\prime }}{e}\partial e=\partial \left(\frac{e^{\prime }}{e}\right)\otimes e+\frac{e^{\prime }}{e}\partial e$ ，

从而满足(2)。进一步地，定义L上的对数联络d为

$d:L\to {\Omega }_X^1\left(\log D\right)\otimes L$ ，$d\left(f\cdot e\right):=f\cdot \partial e+df\otimes e$ .

它在${\Omega }_X^p\left(\log D\right)\otimes L$ 上诱导出对数联络：

$d\left(\omega \otimes e\right)=d\omega \otimes e+{\left(-1\right)}^p\omega \wedge \partial e=d\omega \otimes e+{\left(-1\right)}^p\omega \wedge \left(-{\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{a_i}{N}\frac{d{z}^i}{z^i}}\right)\otimes e.$

通过直接计算，可以得到$d^2=0$ ，因此d是L上沿D的一个可积对数联络。

2.2. 循环覆盖

在本小节中，设L是X上的一个全纯线丛，满足

$L^N={\mathcal{O}}_X\left({\displaystyle \sum _{i=1}^r{a}_i{D}_i}\right)$ ，

其中$a_i\ge 0$ 且$a_i\in \mathbb{Z}$ 。记s为${\mathcal{O}}_X\left({\displaystyle \sum _{i=1}^r{a}_i{D}_i}\right)$ 的规范截面，并以$\mathbb{L}$ 表示线丛L的全空间。设丛投影为$\pi :\mathbb{L}\to X$ 。若$\nu \in \Gamma \left(\mathbb{L},{\pi }^{\ast }L\right)$ 是自然(tautological)截面，则${\pi }^{\ast }s-{\nu }^N$ 的零除子在$\mathbb{L}$ 中确定了一个解析子空间，记为$X\left[\sqrt[n]{s}\right]$ ，记$X\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 的正规化为$\overline{X}\left[\sqrt[n]{s}\right]$ ，并且记$\overline{\pi }:\overline{X}\left[\sqrt[n]{s}\right]\to X$ 。我们称$\overline{X}\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 为由s取第N次根得到的循环覆盖。映射$\overline{\pi }$ 是平坦且有限的，$\overline{X}\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 是一个正常(normal)多样体，并且，

${\overline{\pi }}_{\ast }{\mathcal{O}}_{\overline{X}\left[\sqrt[n]{s}\right]}=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\oplus }}{L}^{-\text{i}}\left(\lfloor \frac{i}{N}{\displaystyle \sum _{j=1}^r{a}_j{D}_j}\rfloor \right)$，

(参见例如[3]或[11])。

设L的一个局部标架e，则L的任一元素可写作为$\nu \cdot e$ 。因此，作为复流形，$\mathbb{L}$ 的局部坐标可记为$\left(z,\nu \right)$ 。在该局部坐标下，

$X\left[\sqrt[N]{s}\right]:=\left\{\left(z,\nu \right)\in \mathbb{L}|{\nu }^N-s\left(z\right)=0\right\},$

其中$s=s\left(z\right)e$ 。因此，当且仅当

$\nabla \left({\nu }^N-s\left(z\right)\right)=\left(N{\nu }^{N-1},\nabla s\left(z\right)\right)=0$ ，

时，点$\left(z,\nu \right)\in \mathbb{L}$ 是$X\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 的奇点；这等价于$z\in \text{Sing}\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{a}_i}{D}_i\right)$ 。

若${\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{a}_i{D}_i}$ 是既约且光滑，则$\text{Sing}\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{a}_i}{D}_i\right)=\varnothing$ ，从而$X\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 光滑，在此情况下有$X\left[\sqrt[n]{s}\right]=\overline{X}\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 。

命题2.3 [9] [16]. 设$\pi :X\left[\sqrt[n]{s}\right]\to X$ 是沿光滑除子D分歧并由L决定的N-重循环覆盖，其中$L^N={\mathcal{O}}_X\left(D\right)$ ，且记$D^{\prime }$ 是$X\left[\sqrt[n]{s}\right]$ 上的约化除数${\pi }^{-1}\left(D\right)$ ，则

(i) ${\mathcal{O}}_{X\left[\sqrt[N]{s}\right]}\left(D^{\prime }\right)={\pi }^{\ast }L$ ；

(ii) ${\pi }^{\ast }D=N{D}^{\prime }$ ；

(iii) $K_{X\left[\sqrt[N]{s}\right]}={\pi }^{\ast }\left(K_X\otimes L^{N-1}\right)$ ；

(iv) ${\pi }_{\ast }{\mathcal{O}}_X={\oplus }_{i=0}^{N-1}{L}^{-i}$ ；

(v) ${\pi }^{\ast }{\Omega }_X^{•}\left(\log D\right)={\Omega }_{X\left[\sqrt[n]{s}\right]}^{•}\left(\log \left({\pi }^{\ast }D\right)\right)$ 。

3. 对数消灭定理

在本节中，我们将利用循环覆盖技巧来讨论关于q-丰沛除子的一些对数消灭定理。

命题3.1若$\left(X,\omega \right)$ 是紧Kähler流形，则Y也是紧Kähler流形。

证明：由循环覆盖的构造可知，Y是线丛全空间$\mathbb{L}$ 的一个紧复子流形。取上L的一个Hermite度量h，由于Y紧，我们可取足够大的$R>0$ ，使得

$Y\looparrowright Y_R:=\left\{\upsilon e\in L,{\Vert \upsilon \Vert }_h^2=h{\left|\upsilon \right|}^2<R\right\}\subset \mathbb{L}$ . (5)

直接计算得

$\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }{\Vert \upsilon \Vert }_h^2=\sqrt{-1}\left(\partial \overline{\partial }\log h\right){\Vert \upsilon \Vert }_h^2+\sqrt{-1}h\delta \upsilon \wedge \delta \overline{\upsilon }$ ，

其中$\delta \upsilon :=d\upsilon +\upsilon \partial \log h$ 。限制到开流形$Y_R$ 上，有

$\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }{\Vert \upsilon \Vert }_h^2=-CR{\pi }^{\ast }\omega +\sqrt{-1}h\delta \upsilon \wedge \delta \overline{\upsilon }$

其中常数$C>0$ 满足$\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }\log h>-C\omega$ ，$\pi :Y_R\left(\subset \mathbb{L}\right)\to X$ 为自然投影。由此知对任意$C_1>CR$ ， $C_1{\pi }^{\ast }\omega +\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }{\Vert \upsilon \Vert }_h^2$ 是$Y_R$ 上的Kähler度量。结合(5)式并作限制，便得到Y上的一个Kähler度量。

设X为维数为n的紧Kähler流形。

定理3.2设D是一个光滑除子，并且它是某个q-丰沛有效除子的支撑集。如果全纯线丛L满足$L^N={\mathcal{O}}_X\left(D\right)$ ，(其中$N\ge 0$ )，则

$H^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\otimes L^{-k}\right)=0$ ，当$i+j\ge n+q+1,0\le k\le N-1$

证明：设$\pi :Y\to X$ 为沿着D的N重循环覆盖，由于$\pi$ 是一个平坦且有限的，对于任意的$0\le k\le N-1$ ，由命题2.3(iv)与[16]可得

$\begin{array}{c}{H}^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\otimes L^{-k}\right)\subset H^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\otimes \underset{k=0}{\overset{N-1}{{\displaystyle \oplus }}}{L}^{-k}\right)\\ =H^j\left(X,{\pi }_{\ast }\left({\Omega }_x^i\left(\log D^{\prime }\right)\right)\right)\\ \cong H^j\left(Y,{\Omega }_Y^i\left(\log D^{\prime }\right)\right)\end{array}$ (6)

设$\tilde{D}$ 是有效q-丰沛除子，且$Supp\left(\tilde{D}\right)=D$ ，则${\pi }^{\ast }\tilde{D}$ 仍为Y上的有效q-丰沛除子(见命题2.3(ii))，且$Supp\left({\pi }^{\ast }\tilde{D}\right)=D^{\prime }$ ，事实上

$Supp\left({\pi }^{\ast }\left(\tilde{D}\right)\right)={\pi }^{-1}\left(\tilde{D}\right)={\pi }^{-1}\left(D\right)=D^{\prime }$

对任意的凝聚层$ℱ$ ，由射影公式与$\pi$ 的Leray谱序列，(见[17])有

$H^j\left(Y,{\left({\mathcal{O}}_Y\left({\pi }^{\ast }\tilde{D}\right)\right)}^{\otimes L}\otimes ℱ\right)\cong H^j\left(X,{\left({\mathcal{O}}_X\left(\tilde{D}\right)\right)}^{\otimes L}\otimes {\pi }_{\ast }ℱ\right)$ .

依定义2.1，${\pi }^{\ast }\tilde{D}$ 也是Y上的q-丰沛除子。由命题3.1及[7]得到

$H^j\left(Y,{\Omega }_Y^i\left(\log D^{\prime }\right)\right)=0,i+j\ge n+q+1$

与(6)合并即得

$H^j\left(X,{\Omega }_X^i\left(\log D\right)\otimes L^{-k}\right)=0,i+j\ge n+q+1,0\le k\le N-1$

下面的命题是[4, Theorem 3.1]与[7, Theorem 1.2]的一个应用。设L为X上的全纯线丛。

定理3.3设$D={\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{D}_i}$ 是一个简单交叉除子，并且D是某个有效q-丰沛除子的支撑集，如果

$L^N={\mathcal{O}}_X\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{b}_i{D}_i}\right)$ ，其中$b_i\in \left(-N,N\right)\cap \mathbb{Z}$ 对某个$N\in \mathbb{Z}$ 成立，且$X-D$ 是单连通的，则

$H^j\left(X,{\Omega }_x^i\left(\log D\right)\otimes L\right)=0$ ，当$i+j\ge n+q+1$ .

证明：设${\sigma }_i$ 是${\mathcal{O}}_X\left(D_i\right)$ 的规范截面。由假设

$\underset{i=1}{\overset{r}{\otimes }}{\sigma }_i{}^{\otimes b_i}\in H^0\left(X,L^N\right)$ ,

且它在$U:=X-D$ 上不消灭。又因U是单连通，可在${L|}_U$ 上选取一支分支截面，记为

$\tilde{\sigma }:={\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\otimes }}{\sigma }_i^{\otimes b_i}\right)}^{1/N}\in H^0\left(U,{L|}_U\right).$

事实上，由于$L^N$ 是X上的全纯线丛，其全空间${\mathbb{L}}^N$ 维数为n + 1的开复流形，故

$\underset{i=1}{\overset{r}{\otimes }}{\sigma }_i^{\otimes b_i}:X\to L^N$ .

是全纯映射。注意到

$p:L-\left\{0\right\}\to L^N-\left\{0\right\},e\to e^N$

是覆盖映射，这里的$\left\{0\right\}$ 记作为L的零截面。由于U单连通，依[18]，存在提升${\tilde{\sigma }}^N:U\to L-\left\{0\right\}$ 使得

${\tilde{\sigma }}^N=p\circ \tilde{\sigma }=\underset{i=1}{\overset{r}{\otimes }}{\sigma }_i^{\otimes b_i}.$

又因为p在局部为双全纯映射，故$\tilde{\sigma }$ 是${L|}_U$ 的一个全纯截面。

记$H_{\left(2\right)}^{i,j}\left(U,{L|}_U,{\omega }_U,h_U^L\right)$ 是$L^2$ -Dolbeault上同调群(见[4])。为了比较扭线丛${L|}_U$ 与平凡线丛${\mathcal{O}}_U$ 系数下的$L^2$ 上同调，我们构造了如下自然的乘法映射：

$\otimes \tilde{\sigma }:H_{\left(2\right)}^{i,j}\left(U,{\mathcal{O}}_U,{\omega }_p,h_1\right)\to H_{\left(2\right)}^{i,j}\left(U,{L|}_U,{\omega }_p,h_2\right)$ (7)

其中${\omega }_p$ 是U上的一个Poincaré型度量，(见[4])，$h_1$ 与$h_2$ 分别为${\mathcal{O}}_U$ 与${L|}_U$ 上的光滑Hermite度量。更具体地，我们设

$h_1={\displaystyle \prod _{i=1}^r{\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_{\text{i}}}^{2{\tau }_i}}{\left(\log \left({\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_i}^2\right)\right)}^{\alpha }$

以及

$h_2={\displaystyle \prod _{i=1}^r{\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_{\text{i}}}^{2\left({\tau }_i-\frac{b_i}{N}\right)}}{\left(\log \left({\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_i}^2\right)\right)}^{\alpha }{\left({\displaystyle \prod _{i=1}^r{\Vert ·\Vert }_{D_i}^{2b_i}}\right)}^{\frac{1}{N}}$ ，

其中$\alpha >0$ 是一个足够大的偶整数，${\tau }_i\in \left(0,1\right]$ ，${\Vert ·\Vert }_{D_i}^{}$ 是${\mathcal{O}}_X\left(D_i\right)$ 上任意固定的平滑度量。

注意到$\tilde{\sigma }$ 是U上满足${\tilde{\sigma }}^N={\otimes }_{i=1}^r{\sigma }_i^{\otimes b_i}$ 的全纯截面，故其模长满足：

${\Vert \tilde{\sigma }\Vert }_{h_2}^2={\displaystyle \prod _{i=1}^r{\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_i}^{2\left({\tau }_i-\frac{b_i}{N}\right)}{\left(\log \left({\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_i}^2\right)\right)}^{\alpha }{\left({\displaystyle \prod _{i=1}^r{\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_i}^{2b_i}}\right)}^{\frac{1}{N}}}=h_1$ .

因此，$\otimes \tilde{\sigma }$ 是一个在$L^2$ 意义下的同构映射。

接下来，我们简要说明为何[4]中应用$L^2$ -Dolbeault理论的关键条件在当前情形下成立。文献中要求的主要条件包括：(1) $U=X-D$ 具有Poincaré型度量；(2) 度量$h_2$ 具有下面形式

$h_2={\displaystyle \prod _{i=1}^s{\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_{\text{i}}}^{2{\tau }_i}{\left(\log \left({\Vert {\sigma }_i\Vert }_{D_i}^2\right)\right)}^{\alpha }{h}^L}$

其中${\tau }_i\in \left(0,1\right]$ ，

在本情形中，由于D是简单法线交叉除子，因此U上存在良定义的Poincaré型度量${\omega }_P$ (见[4])。而且我们选择的度量$h_1$ 与$h_2$ 满足${\tau }_i-\frac{b_i}{N}\in \left(0,1\right]$ 和${\tau }_i\in \left(0,1\right]$ 。此外，X是紧Kähler流形，D是简单交叉除子，故满足对数几何与解析技术所需的正则性假设。

综上，文献[4]中的假设在此均得满足，于是我们得到同构

$H^j\left(X,{\Omega }_X^i\left(\log D\right)\right)\cong H_{\left(2\right)}^{i,j}\left(U,{\mathcal{O}}_U,{\omega }_p,h_1\right)$ (8)

以及

$H^j\left(X,{\Omega }_X^i\left(\log D\right)\otimes L\right)\cong H_{\left(2\right)}^{i,j}\left(U,{L|}_U,{\omega }_p,h_2\right)$ (9)

由(7)、(8)及同构(9)得到

$H^j\left(X,{\Omega }_X^i\left(\log D\right)\otimes L\right)\cong H^j\left(X,{\Omega }_X^i\left(\log D\right)\right).$

最后，再结合[7]，便得到所需消灭性结论：

$H^j\left(X,{\Omega }_X^i\left(\log D\right)\otimes L\right)=0,i+j\ge n+q+1.$

证毕。

注3.4 若X为射影情形，关于q-丰沛除子的各种对数消灭定理已在[2] [5] [6]中得到研究。

4. 结论与讨论

本文采用循环覆盖技巧与L²方法，证明了关于q-丰沛除子的两个新的对数型消失定理，作为对文献[4] [7]中相关工作的进一步发展与推广。我们所得到的定理中，定理1.3针对光滑除子的情形，给出了在扭曲系数下的对数消灭性结论；而定理1.4则将这一结论推广到了更一般的简单法线交叉除子(simple normal crossing divisors)情形。然而，定理1.4的成立依赖于额外的假设，即要求开子空间$X-D$ 是单连通的。

因此，一个自然而重要的问题是：定理1.3是否仍然适用于一般的简单交叉除子？换言之，是否能够在不要求D光滑的前提下仍然保持同样的消灭性？此外，定理1.4中的单连通性条件是否为必要？在缺少该假设的情况下，结论是否依然成立？这些问题的进一步研究将有助于更深入理解q-丰沛性与对数型 消灭性之间的内在联系，也可能为更一般的消灭性理论奠定基础。

基金项目

该研究得到国家自然科学基金(项目编号：12101093)和重庆理工大学科研启动基金资助项目的资助。