500 m级拱桥缆索吊施工期间风缆振动特性研究

Study on Vibration Characteristics of Wind-Cables during Cable-Hoisting Construction of a 500 m-Class Arch Bridge

摘要: 某主跨500 m级特大拱桥按缆索吊装斜拉扣挂施工法设计，其缆索吊风缆跨径接近800 m，且风缆跨内无任何横向缆索或竖向吊杆，导致其几何刚度非常低。这类超长水平柔性风缆在桥梁工程中罕见，有必要分析其振动特性。本文建立了这类超长水平柔性风缆振动的理论模型，并分析了各设计参数对该桥风缆振动响应的影响。结果表明：1) 在轴向激励频率Ω与一阶固有频率f₁的比值分别为1和2附近时，风缆将分别出现明显的线性内部共振和参数共振；2) 风缆参数振动对激振频率Ω非常敏感，这与超长索的自振基频过低有关；3) 轴向激励幅值U_d对风缆的参数振动有显著影响，激励幅值较小时不足以激发参数共振，激励幅值较大时参数共振的振幅增大、但增速有所放缓；4) 风缆阻尼比ξ₁对风缆的参数振动有显著影响，阻尼比较小时不足以抑制参数共振，但适当增大后可显著抑制参数共振。本文结论可为该类超长风缆的振动控制提供指导。

Abstract: A long-span arch bridge with a main span of 500 m was designed using the cable-hoisting and stayed-cable fastening method, in which the span of the wind-cable for the cable-hoisting system approached 800 m. No transverse cables or vertical hangers were present within the span of the wind-cable, resulting in extremely low geometric stiffness. Such ultra-long horizontal flexible wind-cables are rare in bridge engineering, necessitating an analysis of their vibration characteristics. In this study, a theoretical model for the vibration of such ultra-long horizontal flexible wind-cables was established, and the influence of various design parameters on the vibration response of the cable was analyzed. The results indicated that: 1) When the ratio of the axial excitation frequency Ω to the first-order natural frequency f₁ was approximately 1 and 2, significant linear internal resonance and parametric resonance were observed, respectively; 2) The parametric vibration of the cable was highly sensitive to the excitation frequency Ω, which was attributed to the excessively low fundamental frequency of ultra-long cables; 3) The amplitude of axial excitation U_d exerted a significant influence on the parametric vibration of the cable—small excitation amplitudes were insufficient to trigger parametric resonance, whereas larger amplitudes increased the resonance amplitude, though the growth rate slowed; 4) The damping ratio ξ₁ of the cable significantly affected its parametric vibration—a low damping ratio was insufficient to suppress parametric resonance, but a moderate increase could effectively mitigate it. The conclusions can provide guidance for the vibration control of this type of ultra-long wind-cable.

1. 引言

某主跨500 m级特大拱桥桥址位于深切“V”型峡谷区，其桥面距离水面高达350 m，峡谷风效应显著[1] [2]，风场环境复杂，对大跨度拱桥的施工过程极为不利。大跨度拱桥通常采用缆索吊装斜拉扣挂法[3]施工，其施工临时结构系统(包括缆塔[4]、风缆[5]、扣索[6]等)的抗风性能直接影响施工安全。尤其是该桥的缆索吊风缆长度接近800米级，对低频风荷载极为敏感，在特定风速下易发生“线性内部共振”[7]和“参数振动”[8]，严重威胁结构安全[9] [10]。当前桥梁抗风研究主要集中于成桥状态的抗风性能[11]-[14]，对施工期临时结构的风致振动问题关注相对不足，特别是针对斜拉扣挂缆索吊装体系，现有研究存在多方面局限性。该500 m级拱桥施工期间的缆索吊虽为临时结构，但考虑到该桥建设期长达5~10年，且所处的自然环境恶劣，为保证该桥施工期的缆索吊结构安全，有必要精确分析其振动特性。

2. 工程概况

本桥主拱肋的总体施工方案采用斜拉扣挂法，即从两岸向跨中分节段悬臂拼装，跨中合龙，其中吊装节段最大重量可达到480 t，为满足施工需要，设置2 × 250 t缆索吊机，起吊拱肋节段时，2组承重索同时横移到上游或下游并相互靠拢共同起吊。缆索吊机布置为3跨，跨径组合为(180 + 782 + 246.3) m，垂跨比1/13.5，两侧均采用岩锚形式。总体布置图如图1所示。

该缆塔通风缆计算跨径777.46 m，两侧塔顶等高，空缆状态下应力水平(208 MPa)较低，导致其几何刚度较小、一阶自振频率较低，对于这类超长水平柔性风缆，容易在低频激励下激发共振。

Figure 1. General layout diagram of stayed-cable fastening and cable-hoisting system (m)

图1. 斜拉扣挂及缆索吊机总体布置图(m)

3. 超长水平柔性风缆振动理论模型

Figure 2. In-plane vibration mechanical model of wind-resistant cables

图2. 风缆面内振动力学模型

参考文献[15] [16]，可将轴向激励下超长水平柔性风缆的振动简化为图2，推导得水平风缆跨中一阶模态振动微分方程如下：

${\ddot{v}}_1+2{\xi }_1{\omega }_1{\dot{v}}_1+\left({\omega }_1^2+{\alpha }_1\cos 2\pi \Omega t\right)v_1+3{\alpha }_2{v}_1^2+{\alpha }_3{v}_1^3+4{\alpha }_4\cos 2\pi \Omega t=0$ (1)

式(1)中：

${\omega }_1^2={\omega }_0^2\left[1+\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{\pi }\right)}^4{\lambda }^2\right]$ ，${\omega }_0^2={\pi }^{2}H/\left(m{L}^2\right)$ ，$2{\xi }_1{\omega }_1=c_y/m$ ，${\alpha }_1={\pi }^{2}EA{U}_d/\left(m{L}^3\right)$ ，

${\alpha }_2=\pi EAg/\left(H{L}^2\right)$ ，${\alpha }_3={\pi }^{4}EA/\left(4m{L}^4\right)$ ，${\alpha }_4=EAg{U}_d/\left(\pi HL\right)$ ，

$d=mg{L}^2/\left(8H\right)$ ，$L_e\approx L\left[1+8{\left(d/L\right)}^2\right]$ ，${\lambda }^2={\left(mgL/H\right)}^{2}L/\left[H{L}_e/\left(EA\right)\right]$

其中：v₁为一阶横向动位移，H为缆索轴力，m为缆索单位长度质量，g为重力加速度，L为缆索的跨度，u(x)和v(x)分别为缆索的轴向、横向动位移，U_d为激励幅值，c_x、c_y分别为缆索x向和y向的单位长度粘性阻尼系数；ω₀为与缆索同截面A和计算跨径L但不考虑垂度d的标准弦的一阶振动圆频率，ξ₁为缆索一阶振动模态阻尼比。

式(1)为常微分方程，可采用龙格–库塔法求解。基于该理论方程模型，可方便分析各设计参数对超长水平柔性风缆振动响应的影响。

4. 实际设计参数下风缆振动响应的求解

针对上述缆索吊的通风缆，以其空缆状态(轴力H = 285 kN)为振动分析的基准工况，此时考虑垂度效应后的风缆一阶自振频率f₁ = 0.283 Hz、垂度d = 28.036 m、阻尼比ξ₁ = 0.002，按轴向激励幅值U_d = 0.050 m、激励频率Ω∈[0, 1.2] Hz求解式(1)，计算结果如下。

4.1. U_d = 0.050 m时，Ω = f₁的结果

Figure 3. Time history curve when U_d = 0.050 m and Ω = 0.283 Hz ≈ f₁

图3. U_d = 0.050 m，Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时的时程曲线

Figure 4. Frequency spectrum curve when U_d = 0.050 m and Ω = 0.283 Hz ≈ f₁

图4. U_d = 0.050 m，Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时的频谱曲线

分析图3和图4可知：Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时风缆响应在激振约1000 s后趋于稳定，其频谱峰值之和≈时程曲线振幅；主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 5.498 m，表明此时风缆发生了一阶主共振(即《抗风规范》[7]所述的“线性内部共振”)。

4.2. U_d = 0.050 m时，Ω = 2f₁的结果

Figure 5. Time history curve when U_d = 0.050 m and Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁

图5. U_d = 0.050 m，Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时的时程曲线

Figure 6. Frequency spectrum curve when U_d = 0.050 m and Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁

图6. U_d = 0.050 m，Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时的频谱曲线

分析图5和图6可知：Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时风缆发生了共振效应，响应在激振约1800 s后趋于稳定，其频谱峰值之和≈时程曲线振幅；主振动频率0.283 Hz、振幅R = 2.195 m，表明此时发生了《抗风规范》[7]所述的参数振动。

4.3. U_d = 0.050 m时，Ω∈[0, 1.2] Hz的结果

Figure 7. Amplitude response results when U_d = 0.050 m with Ω∈[0, 1.2] Hz (Ω varying at 0.01 Hz intervals)

图7. U_d = 0.050 m，Ω∈[0, 1.2] Hz (Ω间隔0.01 Hz变化时)时的振幅结果

Figure 8. Amplitude response results when U_d = 0.050 m with Ω∈[0, 1.2] Hz (Ω varying at 0.001 Hz intervals)

图8. U_d = 0.050 m，Ω∈[0, 1.2] Hz (Ω间隔0.001 Hz变化时)时的振幅结果

分析图7和图8可知：

1) 风缆在轴向激励频率Ω与风缆一阶固有频率f₁的比值为1和2附近各有一个峰值，分别表现出了明显的线性内部共振现象和参数共振现象；

2) 线性内部共振的激振带宽约为Ω∈[0.249, 0.313] Hz，而参数共振的激振带宽仅为Ω∈[0.565, 0.567] Hz，明显小于前者——可见参数共振对激振频率非常敏感(当然这也与缆索吊的超长水平柔性风缆自振基频过低有关)，导致Ω间隔0.01 Hz变化时未出现参数共振，按间隔0.001 Hz变化时方才出现。

5. 变更设计参数对风缆振动响应的影响分析

为进一步明确激励幅值U_d、风缆阻尼比ξ₁对风缆面内振动响应v的影响，对这些设计参数取不同值的情况进行分析如下，对于垂度的影响则未作分析(因缆索垂度与轴力相关、轴力发生变化时垂度也会相应变化)。

5.1. 激励幅值U_d的影响

为研究轴向激励幅值U_d对共振情况的影响，保持其他设计参数不变(Ω = f₁和2f₁、H = 285 kN、ξ₁ = 0.002)，分别计算轴向激励幅值U_d = 0.025 m和0.1 m时的激振结果如下。

5.1.1. U_d = 0.025 m时，Ω = f₁和Ω = 2f₁的结果

Figure 9. Lateral dynamic displacement when U_d = 0.025 m and Ω = 0.283 Hz ≈ f₁

图9. U_d = 0.025 m，Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时的横向动位移

Figure 10. Lateral dynamic displacement when U_d = 0.025 m and Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁

图10. U_d = 0.025 m，Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时的横向动位移

分析图9和图10的U_d = 0.025 m的激振结果可知：

1) Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时，主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 4.394 m，表明此时风缆发生了线性内部共振，且相比基准工况U_d = 0.050 m的振幅(R = 5.498 m)减小了约20%；

2) Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时，主要振动频率0.566 Hz、振幅仅约0.040 m，相比基准工况U_d = 0.050 m的振幅(2.195 m)非常小，表明轴向激励幅值较小时不足以激发参数共振。

5.1.2. U_d = 0.100 m时，Ω = f₁和Ω = 2f₁的结果

Figure 11. Lateral dynamic displacement when U_d = 0.100 m and Ω = 0.283 Hz ≈ f₁

图11. U_d = 0.100 m，Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时的横向动位移

Figure 12. Lateral dynamic displacement when U_d = 0.100 m and Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁

图12. U_d = 0.100 m，Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时的横向动位移

分析图11和图12的U_d = 0.100 m的激振结果可知：

1) Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时，主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 6.830 m，表明此时风缆发生了线性内部共振，且相比基准工况U_d = 0.050 m的振幅(R = 5.498 m)增加了约24%；

2) Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时，主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 3.295 m，表明此时风缆发生了参数共振，且相比基准工况U_d = 0.050 m的振幅(R = 2.195 m)增加了约50%。

综上可见，轴向激励幅值U_d对该特大拱桥缆索吊超长风缆的参数共振有显著影响，激励幅值较小时不足以激发参数共振，激励幅值较大时参数共振的振幅增大、但增速有所放缓。

5.2. 风缆阻尼比ξ₁的影响

为研究风缆阻尼比ξ₁对共振情况的影响，保持其他设计参数不变(Ω = f₁和2f₁、U_d = 0.050 m、H = 285 kN)，分别计算ξ₁ = 0.003、0.004时的激振结果如下。

5.2.1. ξ₁ = 0.003时，Ω = f₁和Ω = 2f₁的结果

Figure 13. Lateral dynamic displacement when ξ₁ = 0.003 and Ω = 0.283 Hz ≈ f₁

图13. ξ₁ = 0.003，Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时的横向动位移

Figure 14. Lateral dynamic displacement when ξ₁ = 0.003 and Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁

图14. ξ₁ = 0.003，Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时的横向动位移

分析图13和图14的ξ₁ = 0.003的激振结果可知：1) Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时，主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 5.488 m，表明此时风缆发生了线性内部共振，且相比基准工况ξ₁ = 0.002的振幅(R = 5.498 m)减小了约0.2%；2) Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时，主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 1.414 m，表明此时风缆发生了参数共振，且相比基准工况H = 285 kN的振幅(R = 2.195 m)减小了约36%。

5.2.2. ξ₁ = 0.004时，Ω = f₁和Ω = 2f₁的结果

Figure 15. Lateral dynamic displacement when ξ₁ = 0.004 and Ω = 0.283 Hz ≈ f₁

图15. ξ₁ = 0.004，Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时的横向动位移

Figure 16. Lateral dynamic displacement when ξ₁ = 0.004 and Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁

图16. ξ₁ = 0.004，Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时的横向动位移

分析图15和图16的ξ₁ = 0.004的激振结果可知：1) Ω = 0.283 Hz ≈ f₁时，主要振动频率0.283 Hz、振幅R = 5.474 m，表明此时风缆发生了线性内部共振，且相比基准工况ξ₁ = 0.002的振幅(R = 5.498 m)减小了约0.4%；2) Ω = 0.566 Hz ≈ 2f₁时，主要振动频率0.566 Hz、振幅仅约0.080 m，相比基准工况ξ₁ = 0.002的振幅(R = 2.195 m)非常小，表明风缆阻尼比足够大时可以抑制其参数共振。

综上可见，风缆阻尼比ξ₁对该特大拱桥缆索吊超长风缆的参数共振有显著影响，风缆阻尼比较小(0.002)时不足以抑制参数共振，适当增大后则可显著抑制，如采用索端电涡流阻尼器或粘滞阻尼器，只需较小的出力和行程即可显著抑制这类超长风缆的参数共振，起到“四两拨千斤”的减振效益。

6. 结论

某主跨500 m级特大拱桥缆索吊的缆塔通风缆计算跨径长达778.46 m，且跨内无任何对其存在约束作用的横向缆索或竖向吊杆，这类超长缆索在桥梁工程中罕见，有必要分析其振动情况。本文主要对其进行理论分析，主要结论如下：

1) 基准工况(轴向激励幅值U_d = 0.050 m、风缆轴力H = 285 kN、阻尼比ξ₁ = 0.002)下，在轴向激励频率Ω与一阶固有频率f₁的比值为1和2附近时，风缆将出现明显的线性内部共振和参数共振(但参数共振所需的激发时长远大于线性内部共振)，横向动位移振幅分别达5.498 m和2.195 m。

2) 基准工况下，风缆一阶主共振的激振带宽约为Ω∈[0.249, 0.313] Hz，一阶参数振动的激振带宽为Ω∈[0.565, 0.567] Hz，可见参数振动对激振频率非常敏感，这与超长索的自振基频过低有关。

3) 轴向激励幅值U_d对风缆的参数振动有显著影响，激励幅值较小时不足以激发参数共振，激励幅值较大时参数共振的振幅增大、但增速有所放缓。

4) 风缆阻尼比ξ₁对风缆的参数振动有显著影响，阻尼比较小(0.002)时不足以抑制参数共振，但适当增大后(增大至0.004)可显著抑制参数共振，这为该类超长风缆的参数振动控制提供了方向指导。

基金项目

国家自然科学基金项目(52278497)；中国博士后科学基金项目(2023M33359)；湖南省自然科学基金项目(2023JJ10046, 2024JJ9081)。

NOTES

^*通讯作者。