两个基本屈服准则几何轨迹建立的探索

Exploration on Establishing Geometric Trajectories of Two Fundamental Yield Criteria

摘要: Mises屈服准则和Tresca屈服准则是力学领域两个基本的屈服准则，在不同的应力状态下，两个屈服准则对应的几何轨迹在相关的力学教材中都有介绍，但对于三向应力状态下Tresca屈服准则几何轨迹——正六棱柱面的建立过程，在相关教材中没有具体的描述。本文首先利用平面坐标旋转公式建立平面应力状态下Mises屈服准则的几何轨迹，再通过严格的数学分析建立了三向应力状态下Tresca屈服准则的几何轨迹——内接于Mises圆柱面的正六棱柱面。

Abstract: Mises and Tresca yield criteria are two fundamental yield criteria in the field of mechanics. The geometric trajectories corresponding to the two yielding criteria under different stress states are introduced in related mechanical textbooks. However, the process of establishing the geometric trajectory of the Tresca yield criterion in three-dimensional stress state-the regular hexagonal prism surface is not detailly described in relevant textbooks. In this paper, the geometric trajectory of Mises yield criterion under plane stress state was first established by the formula of plane coordinate rotation. Then, through rigorous mathematical analysis, the geometric trajectory of Tresca yield criterion under triaxial stress state—the regular hexagonal cylindrical surface inscribed on Mises cylinder surface—was established.

1. 引言

屈服准则是受力物体内质点是否进入塑性变形状态的判据，建立精确描述物体变形状态的屈服准则一直是力学领域研究的重要方向。在力学发展进程中，著名的屈服准则有描述各向同性金属材料的Tresca准则(1864年)和Mises准则(1913年)，描述各向异性金属材料的Hill48准则、Hosford66准则和Barlat89准则[1]-[5]，描述岩土材料变形稳定性的Drucker-Prager准则、Mohr-Coulomb准则和Hoek-Brown准则[6]-[9]。

Tresca准则和Mises准则是经典力学中两个最基本的屈服准则，具有表述简单易于应用的优点，至今仍在金属和非金属材料变形力学分析领域得到应用[10]-[13]。在以应力为坐标轴的坐标系中，屈服准则对应的几何轨迹是屈服准则一种直观的表述形式，通常称之为屈服轨迹，对于Tresca准则和Mises准则的屈服轨迹在塑性力学相关教材中都有介绍，但对于其建立过程通常缺乏详细的描述。

本文利用等式变换和平面坐标旋转公式，对平面应力状态下Mises准则的几何轨迹——椭圆的建立过程进行了分析，对Tresca准则在主应力空间中几何轨迹——六棱柱面的建立过程进行了详细的分析，便于读者更好地理解上述屈服轨迹的形成原理。

2. 平面应力状态下Mises屈服准则的几何轨迹

平面应力状态是三维应力状态的一种简化形式，但通常能够满足受力分析的精度要求，它定义为应力只存在于平行于平面方向，而与平面垂直的法线方向的应力分量为零。对于弯曲梁的纵截面、薄壁管扭转时平行于轴线的管壁面、薄板冲压时平行于冲压方向薄壁面等面上质点的应力分析都可以按照平面应力状态进行处理。

在平面应力状态下，假设主应力分量${\sigma }_3$ 与平面法线方向一致，则将${\sigma }_3=0$ 代入Von Mises屈服准则表达式

${\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}^2=2{\sigma }_s^2$ (1)

得

${\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2={\sigma }_s^2$ (2)

方程(2)对应的几何轨迹为坐标系$\left(o{\sigma }_1{\sigma }_2\right)$ 内一椭圆[14] [15]，该椭圆的对称中心与坐标原点重合，长、短半轴与坐标轴的夹角为π/4，文献利用平面坐标旋转公式把方程(2)变为一标准椭圆方程，证明方程(2)对应的几何轨迹为标准椭圆逆时针旋转π/4而形成。不同于文献[16]中采用直接带入坐标旋转公式的方法，本文首先通过对式(2)进行系列变换而将其转换为一标准椭圆方程，再根据变换前后的坐标系间的对应关系，并依据平面坐标旋转公式，确定方程(2)对应的轨迹为标准椭圆逆时针旋转π/4而成。具体过程如下：

对(2)式进行变换得

$\begin{array}{c}{\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2=\frac{1}{2}{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+\frac{1}{2}{\left({\sigma }_1+{\sigma }_2\right)}^2-{\sigma }_1{\sigma }_2\\ =\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2-{\sigma }_1{\sigma }_2\right]+\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1+{\sigma }_2\right)}^2-{\sigma }_1{\sigma }_2\right]\end{array}$

则

$\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2-{\sigma }_1{\sigma }_2\right]+\left[{\left({\sigma }_1+{\sigma }_2\right)}^2-{\sigma }_1{\sigma }_2\right]=2{\sigma }_s^2$

即

$\left({\sigma }_1^2-3{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2\right)+\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2\right)=2{\sigma }_s^2$ (3)

(3) 式等价于

$\left(\frac{3}{2}{\sigma }_1^2-3{\sigma }_1{\sigma }_2+\frac{3}{2}{\sigma }_2^2\right)+\left(\frac{1}{2}{\sigma }_1^2+{\sigma }_1{\sigma }_2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)=2{\sigma }_s^2$ (4)

(4) 式可化为

$3{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1-\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2\right)}^2=2{\sigma }_s^2$

则

$\frac{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2\right)}^2}{{\left(\sqrt{2}{\sigma }_s\right)}^2}+\frac{{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2\right)}^2}{{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s\right)}^2}=1$ (5)

令${{\sigma }^{\prime }}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2$ ，${{\sigma }^{\prime }}_2=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2$ ，即

$\left(\begin{array}{c}{{\sigma }^{\prime }}_1\\ {{\sigma }^{\prime }}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\end{array}\right)$ (6)

则式(5)转变为

$\frac{{{\sigma }^{\prime }}_1^2}{{\left(\sqrt{2}{\sigma }_s\right)}^2}+\frac{{{\sigma }^{\prime }}_2^2}{{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s\right)}^2}=1$ (7)

方程(7)对应的几何轨迹为坐标系$\left(o{{\sigma }^{\prime }}_1{{\sigma }^{\prime }}_2\right)$ 中一椭圆(称之为Mises椭圆)。由平面坐标旋转公式

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ (8)

式中，$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 与$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ 分别为坐标系旋转前后的点坐标，$\phi$ 为逆时针方向的旋转角。

则式(6)为

$\left(\begin{array}{c}{{\sigma }^{\prime }}_1\\ {{\sigma }^{\prime }}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{4}& \sin \frac{\pi }{4}\\ -\sin \frac{\pi }{4}& \cos \frac{\pi }{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\end{array}\right)$ (9)

则坐标$\left(\begin{array}{c}{{\sigma }^{\prime }}_1\\ {{\sigma }^{\prime }}_2\end{array}\right)$ 是由$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\end{array}\right)$ 坐标逆时针旋转π/4角所成，于是方程(7)对应的椭圆轨迹可以看成由轨迹方程为

$\frac{{\sigma }_1^2}{{\left(\sqrt{2}{\sigma }_s\right)}^2}+\frac{{\sigma }_2^2}{{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s\right)}^2}=1$ (10)

的椭圆(称之为标准椭圆——standard eclipse)旋转π/4角而形成，即在坐标系$\left(o{\sigma }_1{\sigma }_2\right)$ 中对应的椭圆旋转π/4角而成，坐标旋转并不改变图形的形状特征，则方程(7)与(10)对应的轨迹如图1所示，图中的实线椭圆为方程(1)对应的轨迹，即平面应力状态下Mises屈服准则对应的几何轨迹。

Figure 1. Geometric trajectory of Mises yield criterion under plane stress state

图1. 平面应力状态下Mises准则的几何轨迹

3. 主应力空间中Tresca屈服准则的几何轨迹

Tresca屈服准则的表达式对应着自变量为主应力${\sigma }_1$ 、${\sigma }_2$ 和${\sigma }_3$ 的函数，而Mises屈服准则的表达式如果采用上述主应力为自变量的函数，其表达式比采用直角坐标系中的9个应力分量为自变量的函数要简化明显，所以对于一般的应力状态，上述屈服准则的几何轨迹通常在坐标系$\left(o{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3\right)$ 所建立的主应力空

间中进行分析。在主应力空间中，Mises屈服准则对应的轨迹为轴线为第一象限等倾线半径为$\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s$ 的圆

柱面，该圆柱面的建立过程在塑性力学相关文献中都有具体的描述[14] [15] [17] [18]。对于Tresca屈服准则在主应力空间中屈服轨迹则为与上述圆柱面同一轴线，并且位于圆柱面内的正六棱柱面，对于该六棱柱面的建立过程，相关文献通常以“显而易见，……”、“同理，……”等语言一笔带过，缺乏具体的描述。本文通过严格的数学分析，对上述六棱柱面的建立过程进行了详细描述，具体过程如下文。

如图2所示，在坐标系$\left(o{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3\right)$ 所建立的主应力空间中，矢量$op$ 表示任一应力张量，矢量$on$ 为第一象限的等倾线(与各坐标轴的夹角相等)，矢量$om$ 和$mp$ 分别对应着任一应力张量的应力球张量和应力

偏张量，在该主应力空间中，Mises屈服准对应的几何轨迹为轴线为$on$ 半径为$\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s$ 的圆柱面，简称为Mises圆柱面。

Figure 2. Stress tensor and its components in principal stress space

图2. 主应力空间中的应力张量及其分量

设主应力各分量之间的关系为${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$ ，即主应力${\sigma }_1$ 和${\sigma }_3$ 分别为质点的最大和最小正应力，则Tresca屈服准则对应的表达式为

${\sigma }_1-{\sigma }_3={\sigma }_s$ (11)

令

${\sigma }_1-{\sigma }_2=\frac{n}{m}{\sigma }_s\left(n\le m\right)$ (12)

式中，$m$ 为正整数，$n$ 为自然数。

则

${\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2=\left[{\left(\frac{n}{m}\right)}^2+{\left(1-\frac{n}{m}\right)}^2\right]{\sigma }_s^2$

很容易证明

$\left[{\left(\frac{n}{m}\right)}^2+{\left(1-\frac{n}{m}\right)}^2\right]\le 1$

则

${\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2\le {\sigma }_s^2$

在主应力空间中，代入应力偏张量对应的矢量模长的表达式

$\begin{array}{c}\left|mp\right|=\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-\frac{1}{3}{\left({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3\right)}^2}\\ =\sqrt{\frac{1}{3}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}^2\right]}\end{array}$

得到Tresca屈服准则在主应力空间的轨迹应满足

$\left|mp\right|\le \sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s$ (13)

式(13)表明方程(11)对应的屈服轨迹应位于轴线为等倾线$on$ ，半径为$r=\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s$ 的圆柱内，即位于Mises圆柱面上或其内部。

在主应力空间中，如果不考虑式(13)的约束条件，则方程(11)对应的轨迹为一族平面，如图3所示，该族平面的数量可以无限多，其中每一个平面与坐标平面$\left(o{\sigma }_1{\sigma }_3\right)$ 的交线对应着方程(10)，即与$o{\sigma }_1$ 轴和$o{\sigma }_3$ 轴的交点分别为$\left({\sigma }_s,0,0\right)$ 和$\left(0,0,-{\sigma }_s\right)$ 的直线。

Figure 3. The plane family corresponding to the equation ${\sigma }_1-{\sigma }_3={\sigma }_s$

图3. 方程${\sigma }_1-{\sigma }_3={\sigma }_s$ 对应的平面族

在图3所示的平面族内，只有其中一个与等倾线$on$ 平行并且位于Mises圆柱面内的平面才能满足式(12)，该平面与Mises圆柱面的方位关系如图4所示，图中的红色平面即为该平面。

Figure 4. The ${\sigma }_1-{\sigma }_3={\sigma }_s$ plane meeting the Tresca yield criterion (marked in red) and Mises cylinder surface

图4. 满足Tresca屈服准则的${\sigma }_1-{\sigma }_3={\sigma }_s$ 平面(标记为红色)及Mises圆柱面

在主应力分量${\sigma }_1$ 、${\sigma }_2$ 和${\sigma }_3$ 之间的大小关系未定的情况下，Tresca屈服准则的表达式为

$\left|{\sigma }_1-{\sigma }_2\right|={\sigma }_s$ ；$\left|{\sigma }_2-{\sigma }_3\right|={\sigma }_s$ ；$\left|{\sigma }_1-{\sigma }_3\right|={\sigma }_s$ (14)

基于上述分析结果，方程(14)对应着满足式(13)的主应力空间中6个平面，其中的一个平面为图4中所示的平面，由上述分析，该6个平面只有都平行于等倾线$on$ 并且位于Mises圆柱面内才能满足式(13)，方程(14)对应的6个平面分别与$o{\sigma }_1{\sigma }_2$ 、$o{\sigma }_2{\sigma }_3$ 和$o{\sigma }_1{\sigma }_3$ 坐标面的交线方程依次为

${\sigma }_1-{\sigma }_2=\pm {\sigma }_s$ ；${\sigma }_2-{\sigma }_3=\pm {\sigma }_s$ ；${\sigma }_1-{\sigma }_3=\pm {\sigma }_s$ (15)

如图5所示，上述6个位于Mises圆柱面内的6个平面组成一个正六棱柱面(标记为红色)，称为Tresca六棱柱面，即为主应力空间中的Tresca屈服准则对应的几何轨迹。

Figure 5. Yield trajectories in principal stress space

图5. 主应力空间中的屈服轨迹

4. 结论

基于对平面应力状态下Mises屈服准则表达式的数学变换，利用平面坐标旋转公式，把标准椭圆旋转π/4角，得到平面应力状态下Mises屈服准则的椭圆方程，从而得到平面应力状态下的Mises屈服准则

的几何轨迹。基于Tresca屈服准则的几何轨迹到主应力空间中的等倾线的距离应满足小于或等于$\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s$ 的条件，得到Tresca屈服准则的几何轨迹——平行于等倾线并且内接于Mises圆柱面的正六棱柱面。

基金项目

沈阳航空航天大学本科教学改革研究项目(JG251103A4)。