导数在高中数学教学的应用研究——几何体的表面积与体积的关系

Research on the Application of Derivatives in High School Mathematics Teaching—The Relationship between Surface Area and Volume of Geometric Bodies

摘要: 通过数形结合的方式，在高三导数专题复习中创造性地构建了一个立体化的知识探究体系：通过对数学本质的深度挖掘发现几何体表面积与体积导数之间的普适关系，揭示导数概念的几何内涵。以几何直观引导代数推导，有机构建知识网络。“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。不仅提高了复习效率，还通过自主探究让学生在知识再发现的过程中体会到数学的统一美与逻辑严谨性，实现从“学会”到“会学”的质变。

Abstract: Through the combination of numbers and shapes, a three-dimensional knowledge exploration system was creatively constructed in the special review of high school derivatives: by deeply exploring the essence of mathematics, the universal relationship between geometric surface area and volume derivatives was discovered, revealing the geometric connotation of the concept of derivatives. Geometric intuition is used to guide algebraic deduction and organically construct a knowledge network. “When numbers are lacking in form, they are less intuitive, and when shapes are lacking in form, they are difficult to be precise. The combination of numbers and forms is excellent in every way, and isolation and separation make everything go smoothly.” Not only does it improve review efficiency, but it also allows students to experience the unified beauty and logical rigor of mathematics through independent exploration in the process of knowledge rediscovery, achieving a qualitative change from “learning” to “being able to learn”.

1. 引言

在高三数学复习阶段，传统机械式的训练往往容易让学生感到枯燥乏味。与之相比，本次探究式教学设计通过“几何体的表面积与体积关系”这一创新性小专题，为导数复习注入了新的活力。本文教学设计的创新特色：① 探究过程的递进性：观察公式得到初步猜想，多层次验证完善猜想，最后从导数定义出发严格论证猜想；② 认知与情感的融合：经历“直觉猜想→反例质疑→理论完善”的完整思维过程，在探究中体验“困惑→顿悟→确信”的心理。探究过程中提升学生数学建模能力，培养批判性思维能力，强化数形结合意识，增强学生对数学的热爱。本文通过精心设计的探究活动，在高三复习阶段实现知识巩固与素养提升的双赢[1]。学生在发现数学规律的过程中，不仅深化了对导数概念的理解，更获得了宝贵的科学研究体验，为终身学习奠定了坚实基础。

2. 教学内容分析

教师提出核心问题：几何体的表面积与体积之间有什么关系？学生通过观察圆的周长、面积公式，球的表面积、体积公式发现几何体的表面积与体积的导数之间有倍数关系，归纳总结猜想1，特例验证，用反例修正猜想，特例再验证，最终找到几何体表面积与体积导数公式的真正关系并揭示此关系的数学本质。在课堂中培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养。

从多面体体积公式出发带领学生回顾导数/偏导数的几何意义，引入“神奇的纸”的直观理解。其中探究活动设计：① 观察公式提出猜想(球、正方体)；② 特殊多面体验证(长方体)；③ 发现猜想局限性(圆锥反例)；④ 建立一般理论。在此过程中，发展学生的数学抽象能力，通过“再发现”过程提升学生探究能力强化极限思维。

3. 教学策略分析

高中数学核心素养体现了对学生数学能力和思维品质的培养。六条核心素养不仅体现了对数学知识的深度理解和应用，还强调了数学思维的培养以及解决实际问题的能力。

学生观察圆的周长与面积公式、球的表面积与体积公式，发现规律，提出猜想。波利亚在他的《怎样解题》一书中说：类比是一种相似性。相似的物体在某些方面彼此一致，而类似的物体则在它们相应部分的特定关系上相一致。因此猜想其他几何体也有类似的规律。在统一规律的过程中需要学生建立几何模型，能够培养并锻炼学生直观想象及数学抽象的能力，同时需要学生使用逻辑推理中的类比推理和归纳推理提出猜想，最终通过严格论证证明猜想的正确性，并指出其背后的数学逻辑。

因此高三数学小专题“多面体表面积与体积关系”这一课时，不仅能激发学生对于数学知识的探究欲望，还可以培养高中生的数学抽象、逻辑推理以及数学建模等数学核心素养。

4. 基于核心素养培养的“几何体表面积与体积关系”教学目标设计

1) 通过“观察特例→提出猜想→设计验证→发现矛盾→修正模型”的完整探究路径，引导学生最终建构几何体体积导数与表面积关系的普适理论。培养学生的数学抽象、逻辑推理以及数学建模等核心素养。

2) 基于极限思想，本质上揭示多面体体积与表面积的关系。

教学重点：从特例中发现几何体表面积与体积之间的关系，建立数学模型：$S=k{V}^{\prime }$ ，实现从特殊到一般的理论推广。

教学难点：通过特例找出系数$k$ ，并用导数定义解释其背后蕴含的数学逻辑。

5. 教学过程设计

5.1. 提出问题

问题1 从小学到高中，我们接触了不同的平面图形与立体图形，其中学习的重点是周长与面积公式、表面积与体积公式[2]。这些公式之间有关系吗？以常见的圆与球为例，观察以下公式。说不定我们会有一些发现。

圆的周长及面积公式：$C_{圆}=2\pi r,S_{圆}=\pi r^2$ ；

球的表面积及体积公式：$S_{球}=4\pi r^2,V_{球}=\frac{4}{3}\pi r^3$ 。

学生观察发现：

圆的周长等于其面积的导数${S^{\prime }}_{圆}=2\pi r，C_{圆}={S^{\prime }}_{圆}$ ；

球的表面积等于其体积的导数${V^{\prime }}_{球}=4\pi r^2,S_{球}={V^{\prime }}_{球}$ 。

教师：既然圆的周长等于其面积的导数，球的表面积等于其体积的导数，这是偶然的数学巧合，还是几何体的普适规律？

【教学效果】学生通过计算发现圆与球体中蕴含的深刻规律，教师以此为认知锚点，自然引出了核心研究问题：“这是偶然的数学巧合，还是几何体的普适规律？”引起学生探究兴趣，创设“发现者情境”唤醒学生认知内驱力。

5.2. 其他几何体有这样的规律吗？

5.2.1. 正方形、正方体

问题2 请同学们从最熟悉的几何原型——正方形(二维)与正方体(三维)出发，展开数学探究。

正方形的周长$C_{正方形}$ 及面积$S_{正方形}$ 公式：$C_{正方形}=4a,S_{正方形}=a^2$ ；

正方体的表面积$S_{正方体}$ 及体积$V_{正方体}$ 公式：$S_{正方体}\text{=}6a^2,V_{正方体}\text{=}{a}^3$ 。

学生计算发现：正方形的周长等于其面积的导数的两倍，正方体的表面积等于其体积的导数的两倍。

${S^{\prime }}_{正方形}=2a,C_{正方形}=2{S^{\prime }}_{正方形}$

${V^{\prime }}_{正方体}=3a^2,S_{正方体}=2{V^{\prime }}_{正方体}$

教师引导学生思考：在二维平面中，圆的周长是其面积的导数的1倍，而正方形的周长等于其面积的导数的2倍。在三维空间中，球的表面积等于其体积的导数的1倍，而正方体的表面积等于其面积的导数的2倍。这些差异背后隐藏着怎样的几何本质？

【教学效果】学生在计算探究中发现，虽然正方形、正方体与球体类似，都存在体积导数与表面积之间的关联性，但具体的数学关系却存在显著差异。这一发现自然引发了学生的认知冲突：为什么不同几何体的这种关系会有所不同？教师适时抓住这一思维契机，引导学生深入分析几何特征对数学关系的影响机制。在教学实践中，教师特别注重鼓励学生从多角度思考数学问题，通过这样的探究过程，不仅培养了学生的数学思维能力，更有效提升了他们的创新意识和科学探究精神。

学生：本来这些图形就有不同，圆是个曲边图形而正方形是多边形，球是旋转体而正方体是多面体。圆与正方形、球与正方体不一样，所以导致了以上不同。

教师：在探究初期，我和同学们持有相同的观点。但我们需要反思：这种差异的根本原因真的如表面所见吗？让我们回归导数的本质定义。

【教学评价】当学生提出关于正方体与球体体积导数差异的初步解释时，教师适时指出其论证可能存在局限性，从而自然过渡到本节课的核心内容——导数的本质探究。教师通过启发式提问引导学生深入思考：为什么几何体的体积变化率会与其表面积产生关联？这一关键问题的探讨，既揭示了导数概念的物理意义，又为后续引入“膜”的思想实验(通过无限薄层累积理解体积与表面积的关系)奠定了概念基础。在此过程中，教师注重培养学生严谨的数学思维，强调从直观认识到严格论证的过渡，体现了数学概念教学的渐进性和系统性。

导数的定义：设函数$y=f\left(x\right)$ 在点$x_0$ 的某领域内有定义，若极限$\underset{x\to x_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 存在，则称函数

$f$ 在点$x_0$ 可导，称该极限为函数$f$ 在点$x_0$ 的导数，记作$f^{\prime }\left(x_0\right)$ 。

以球和正方体为例：

$V^{\prime }\left(r\right)=\underset{r\to r_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{V\left(r\right)-V\left(r_0\right)}{r-r_0}=\underset{r\to r_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\Delta V}{\Delta r}=\underset{r\to r_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{4}{3}\pi \left(r^2+r{r}_0+r_0^2\right)=4\pi r^2=S\left(r\right)$

$V^{\prime }\left(a\right)=\underset{a\to a_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{V\left(a\right)-V\left(a_0\right)}{a-a_0}=\underset{a\to a_0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\Delta V}{\Delta a}=\underset{a\to a_0}{{\displaystyle \lim }}\left(a^2+a{a}_0+a_0^2\right)=3a^2=\frac{1}{2}S\left(a\right)$

教师只需要把球和正方体(如下图)的体积增量和自变量增量分别计算，说不定能找到这两者关系不同的原因。

函数在某点的导数就是函数在该点的瞬时变化率，以球为例，瞬时变化率通俗的理解，就像给它均匀地贴了一张“膜”，当这张“膜”的厚度趋向$0$ 时，此时就反映了球的半径为$r$ 时的变化速率，即瞬时变化率。换言之，将这张膜从几何体上揭下来，假如这张“膜”能铺平，当膜的厚度趋向$0$ ，那么这张膜的面积即此时球的体积的导数。

由上图可知，球的体积的导数应是球的表面积，即$S_{球}={V^{\prime }}_{球}$ 。

换言之，对正方体而言，正方体的体积的导数应是正方体$3$ 个方向的侧面积，即$S_{正}\left(a\right)=3a^2=2{V^{\prime }}_{正}\left(a\right)$ 。正方体的体积导数本就不该是$S\left(a\right)=6a^2$ 。

【教学效果】教师以导数概念为核心展开教学，首先通过复习导数的定义，帮助学生建立清晰的概念框架。随后，教师巧妙地将抽象的导数概念与具体的几何体(球体和正方体)相结合，引导学生思考：“如何求这些几何体的体积变化率？”在此过程中，教师组织学生开展思维实验，通过具体实例的推演，让学生直观感受体积变化与表面积的内在联系。这一教学设计不仅巩固了学生对导数概念的理解，更为后续深入探究几何体表面积与体积的普遍关系奠定了重要的认知基础。

问题3 球与正方体的表面积与体积的导数之间的关系可以统一吗？观察以下球、正方体截面图。

学生：过球心的平面将球切开得截面图，垂直于正方体底面的平面将正方体切开得截面图。观察可知球的半径增量是向所有方向同时增长，而正方体棱长的增量是向$3$ 个面的方向增长。球与正方体最大区别就是半径与棱长增长的方向，若能找到正方体中某变量是向$6$ 个面的方向增长，说不定规律就统一了。

将“膜”下的正方体位置移动到下图的位置得到其截面图，可知正方体半棱长$t$ 的增量是向$6$ 个面的方向同时增长。此时正方体的“膜”即$6$ 个面的面积。直接计算得

正方体：$V\left(t\right)={\left(2t\right)}^3=8t^3$ ，$V^{\prime }\left(t\right)=24t^2$ ，$S_{6个面}=6\times {\left(2t\right)}^2=24t^2=V^{\prime }\left(t\right)$

问题4 此时将正方体(半棱长$t$ )的表面积与体积的导数关系按球半径$r$ 增长的方向统一为$S=V^{\prime }$ 。若将球(半径$r$ )按正方体的棱长的增长方向也能统一吗？

观察球的截面图直径是类比正方体的棱长向两个方向增长，在每个方向上以$\frac{\Delta d}{2}$ 增长，计算得：

$V\left(d\right)=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^3=\frac{\pi }{6}{d}^3$ ，$S\left(d\right)=4\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi d^2$ ，$V^{\prime }\left(d\right)=\frac{\pi }{2}{d}^2$

此时球中存在$S\left(d\right)=2V^{\prime }\left(d\right)$ ，与正方体以棱长为自变量时表面积与体积的导数关系是一致的。为了方便观察，将以上结论整理为表1。

Table 1. Standard experiment system result data 1

表1. 标准试验系统结果数据1

几何体	自变量	一个方向增长	两个方向增长
球	半径$r$	$S=V^{\prime }$
球	直径$d$		$S=2V^{\prime }$
正方体	半棱长$t$	$S=V^{\prime }$
正方体	棱长$a$		$S=2V^{\prime }$

由表1可知：几何体的表面积与其体积的导数的关系由自变量的增长方向来判断即可。因此提出猜想1：如果自变量向一个方向增长，此时自变量的增量是“膜”厚度的$1$ 倍，那么：$S=V^{\prime }$ 。如果自变量

向两个方向增长，此时自变量的增量是“膜”厚度的$\frac{1}{2}$ ，那么：$S=2V^{\prime }$ 。

【教学评价】在数学探究活动中，教师精心设计问题情境，以球体和正方体为研究对象，引导学生深入探索体积导数变化的动态规律。通过对比分析两种几何体的截面变化特征，学生敏锐地观察到：随着自变量(如直径或半棱长)“增长方向”的变化，几何体体积的导数与其表面积之间存在着精确的数学关联。这一重要发现激发了学生提出关于“几何体体积的导数与表面积关系”的理论猜想。整个教学过程中，教师不仅系统培养了学生的数学建模思维，更通过启发式教学方法，循序渐进地提升了学生独立构建数学模型的核心素养，体现了“从具体到抽象”的数学认知发展规律[3]。

教师：猜想$1$ 是由具体的例子提出的，不具备普遍性。

学生：可用其他几何体公式来检验猜想$1$ 。

5.2.2. 长方体

问题5 让我们以长方体为例来验证之前的猜想。请同学们思考：当长方体的长、宽、高分别发生变化时，体积的导数如何表示？这些导数与对应方向上的表面积有什么关系？这与我们之前研究的球体和正方体的结论是否一致？请分组讨论，并通过具体计算来验证你们的猜想。

长方体：$S_{长方体}=2\times \left(ab+ah+bc\right),V_{长方体}=abc$ 。

师：此时的长方体体积公式中有$3$ 个不同的未知数。显然与球、正方体直接求体积的导数不同，利用偏导求出(介绍偏导)。

学生：将$a$ 视为未知数时，${V^{\prime }}_a=bc$ 。将$b$ 视为未知数时，${V^{\prime }}_b=ac$ 。将$c$ 视为未知数时，${V^{\prime }}_c=ab$ 。再将这三个式子相加，类比正方体，得出$S=2V^{\prime }$ 。

类比正方体，长方体中的长宽高都是向两个方向增加，增量是“膜”厚度的$\frac{1}{2}$ ，因此从计算结果看符合猜想1。将以上结论整理为表2。

Table 2. Standard experiment system result data 2

表2. 标准试验系统结果数据2

几何体	自变量	一个方向增长	两个方向增长
球	半径$r$	$S=V^{\prime }$
球	直径$d$		$S=2V^{\prime }$
正方体	半棱长$t$	$S=V^{\prime }$
正方体	棱长$a$		$S=2V^{\prime }$
长方体	长$a$ 、宽$b$ 、高$c$		$S=2V^{\prime }$

【教学评价】在“猜想–验证”的探究循环中，学生通过球、正方体初步建立猜想，适用长方体(3个未知数)来验证猜想，在课堂上实现创新素养与批判思维的协同发展。

5.2.3. 圆锥

问题6 经过对球、正方体、长方体的探究，同学们是否发现了体积导数与表面积之间的普适规律？现在，让我们以圆锥体为新的研究对象，进一步验证这个猜想。

学生：设圆柱的底面半径为$r$ ，高为$h$ ，母线为$l$ 。

$V_{圆锥}\text{=}\frac{1}{3}\pi r^{2}h,S_{圆锥}\text{=}\pi r^2+\pi rl$

类比圆柱的体积的求偏导，分别将底面半径$r$ 、高$h$ 当作自变量时得

${V^{\prime }}_r=\frac{2}{3}\pi rh,{V^{\prime }}_h=\frac{1}{3}\pi r^2$

按照我们的经验，以底面圆半径$r$ 为自变量求得的体积导数应乘1 (一个方向增长)，以高$h$ 为自变量求得的体积导数应该乘2 (两个方向增长)，最后再相加，因此得到

${V^{\prime }}_r\times 1+{V^{\prime }}_h\times 2=\frac{2}{3}\pi rh\times 1+\frac{1}{3}\pi r^2\times 2=\frac{2}{3}\pi rh+\frac{2}{3}\pi r^2$

【教学评价】通过长方体验证，初步发现了体积导数与表面积的某种关联。然而，数学探究需要更严谨的态度。特例验证只能提高猜想可信度，而圆锥体的反例表明猜想可能存在适用条件。这个发现过程体现了数学研究的精髓：通过反例修正认知，推动理论完善。引导学生保持这种求真精神，继续深入探索其中的数学本质，提高学生对数学探究的兴趣。

5.3. 为什么圆锥不符合猜想？圆锥的表面积与其体积的导数关系是什么？

问题7 同学们在验证圆锥体时发现了一个有趣的现象：根据计算结果，圆锥的表面积与体积导数之间的关系似乎不符合我们之前的猜想。这个发现非常重要！让我们回到最初的思维实验，通过截面图计算体积的导数。

学生：假设有一个底面半径为$r$ 、高为$h$ 、母线长为$l$ 的圆锥，此时圆锥的外面均匀地加一层“膜”，从顶点切开，得截面图。

假设“膜”的厚度为$\Delta d$ ，此时记高$DH$ 为$h_1$ 、半径$EH$ 为$r_1$ 、高$AG$ 记为$h$ 、半径$BG$ 为$r$ ，

易证$\Delta IEB\cong \Delta JEB$ ，利用全等三角形，可知

$\angle BEJ=\angle BEI=\frac{1}{2}\angle ABH=\frac{\theta }{2}$

又知

$\sin \alpha =\frac{r}{l}=\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}$

$r_1=\frac{\Delta d}{\tan \gamma }+r=\left(1+\frac{1}{\sin \alpha }\right)\Delta d+h=\left(1+\frac{l}{r}\right)\Delta d+h$

$h_1=\Delta d+\frac{\Delta d}{\sin \alpha }+h=\left(1+\frac{1}{\sin \alpha }\right)\Delta d+h=\left(1+\frac{l}{r}\right)\Delta d+h$

$r_1=\frac{\Delta d}{\tan \frac{\theta }{2}}+r=\frac{l+r}{h}\Delta d+r$

此时发现高、半径并不是像之前那些圆柱几何体中仅仅向一个方向或向两个方向增长，高的增量$\left(DA+GH\right)$ 不是纸厚度$\Delta d$ 的一半，半径的增量也不是简单的等于纸厚度$\Delta d$ ，而是$EJ$ 这段距离。利用相

似三角形计算可得半径的增量$\Delta r$ 是纸厚度的$\left(\frac{l+r}{h}\right)$ 倍，高的增量$\Delta h$ 是纸厚度的$\left(1+\frac{l}{r}\right)$ 倍。

求圆锥体积的导数：

将$r$ 当作自变量时：${V^{\prime }}_r=\frac{2}{3}\pi rh$

将h当作自变量时：${V^{\prime }}_h=\frac{1}{3}\pi r^2$

$\begin{array}{c}{V^{\prime }}_r\times \left(\frac{l+r}{h}\right)+{V^{\prime }}_h\times \left(1+\frac{l}{r}\right)\\ =\frac{2}{3}\pi rh\times \left(\frac{l+r}{h}\right)+\frac{1}{3}\pi r^2\times \left(1+\frac{l}{r}\right)\\ =\frac{1}{3}\pi r\left[2l+2r+r+l\right]\\ =\pi r\left(r+l\right)\end{array}$

$S_{圆锥}={V^{\prime }}_r\times \left(\frac{l+r}{h}\right)+{V^{\prime }}_h\times \left(1+\frac{l}{r}\right)$

观察最后的计算结果发现：圆锥的表面积等于半径的增量$\left(\frac{l+r}{h}\right)$ 与半径偏导相乘与高的增量$\left(1+\frac{l}{r}\right)$

与高偏导相乘，最后相加。

教师：同学们，让我们重新审视球、正方体和圆锥中表面积与体积导数的关系。经过深入分析，我们发现原猜想可能存在简化过度的问题，单纯依据自变量增长方向确定系数的方法不够完善。不同几何体的内在特性被忽视了，需要寻找更本质的数学表征建立更普适的数学模型。

学生：经过对圆锥体的深入计算与分析，我们可以提出一个更精确的数学猜想2：对于光滑几何体，其表面积S与体积V的导数之间存在如下关系：

$S=k{V}^{\prime }$

其中系数$k$ 等于自变量的增量与纸厚度的比值。

这个猜想同样也适用于圆、正方体、长方体。

【教学效果】通过圆锥体的特例研究，引导学生完成了一次完整的数学探究过程：批判性反思阶段：学生通过圆锥体计算(问题7)发现初始猜想的局限性；引导分析偏差来源。培养数学怀疑精神：“看似完美的猜想也需要严格验证”。思维实验重构，学生通过圆锥截面变化分析；最终提出新猜想建模建立修正关系式，并用之前的几何体验证普适性。

在这一过程中对学生能力的培养：提升数学建模的严谨性，形成“猜想–验证–修正”的研究范式。促进学生思维发展：从直觉猜想→精确建模的思维跃迁，建立几何直观与代数表达的联系，并让学生体会到理解数学理论的渐进发展过程。

5.4. 验证猜想2

问题8 用圆台检验猜想$2$ 。

学生：用圆台检验猜想$2$ 。当圆台外面均匀地加了一层“膜”，“膜”的厚度为$\Delta d$ ，此时用过上下底圆心的平面将圆台切开，得到以下截面图，设圆台上底圆半径为$r$ ，下底圆半径为$R$ ，高为$h$ ，母线长为$l$ 。此时要找出上下底圆的半径、高的增量。

高的增量：$\Delta h=AQ+OJ=2\Delta d$

上底半径的增量：$\Delta r=NQ=\frac{\Delta d}{\tan \beta }=\frac{\Delta d}{\tan \frac{\alpha }{2}}$

下底半径的增量：$\Delta R=EH=\frac{\Delta d}{\tan \gamma }=\frac{\Delta d}{\tan \frac{\theta }{2}}$

$\tan \frac{\alpha }{2}=\tan \frac{\pi -\theta }{2}=\frac{\sin \left(\pi -\theta \right)}{1+\cos \left(\pi -\theta \right)}=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=\frac{\frac{AO}{AB}}{1-\frac{BO}{AB}}=\frac{h}{l-R+r}$

$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\frac{AO}{AB}}{1+\frac{BO}{AB}}=\frac{AO}{AB+BO}=\frac{h}{l+R-r}$

整理得：

$\Delta h=2\Delta d$

$\Delta r=NQ=\frac{\Delta d}{\tan \beta }=\frac{\Delta d}{\tan \frac{\alpha }{2}}=\frac{l-R+r}{h}\Delta d$

$\Delta R=EH=\frac{\Delta d}{\tan \gamma }=\frac{\Delta d}{\tan \frac{\theta }{2}}=\frac{l+R-r}{h}\Delta d$

已知圆台体积：$V_{圆台}=\frac{1}{3}\pi h\left(r^2+R^2+rR\right)$ 。

当将$h$ 作为自变量时，${V^{\prime }}_h=\frac{\pi }{3}\left(r^2+R^2+Rr\right)$ ；

当将$r$ 作为自变量时，${V^{\prime }}_r=\frac{\pi }{3}h\left(2r+R\right)$ ；

当将$R$ 作为自变量时，${V^{\prime }}_R=\frac{\pi }{3}h\left(2R+r\right)$ ；

以他们各自增量与纸厚度的比值作为系数与各自体积导相乘并相加得：

$\begin{array}{c}2\times \frac{\pi }{3}\left(r^2+R^2+Rr\right)+\frac{l-R+r}{h}\times \frac{\pi }{3}h\left(2r+R\right)+\frac{l+R-r}{h}\times \frac{\pi }{3}h\left(2R+r\right)\\ =\frac{\pi }{3}\left(2r^2+2R^2+2Rr+2lr-2Rr+2r^2+Rl-R^2+Rr+2Rl+2R^2-2Rr+lr+Rr-r^2\right)\\ =\frac{\pi }{3}\left(3r^2+3R^2+3lr+3Rl\right)\\ =\pi \left(r^2+R^2+lr+Rl\right)\end{array}$ $S_{圆台}=2\times {V^{\prime }}_h+\frac{l-R+r}{h}\times {V^{\prime }}_r+\frac{l+R-r}{h}\times {V^{\prime }}_R$

教师：同学们通过深入的探究，成功建立了关于几何体表面积与体积导数关系的数学模型。特别值得肯定的是，这个具有普适性的理论框架不仅可以解释球、圆锥等基本几何形体，还能够推广应用到更复杂的几何结构，比如圆台等旋转曲面体。

【教学效果】通过圆台的检验，使学生掌握了研究方法：建立几何体的参数化模型→计算体积函数的偏导数→分析导数与表面积的数学关系→寻找普适性的规律表达。这种从特殊到一般的数学建模能力，正是数学研究的核心素养。

5.5. 为什么会有这样的规律？背后的数学逻辑是什么？

教师：尽管通过“猜想→检验→修正→再验证”的科学探究循环，我们归纳出几何体表面与其体积导数的经验性关系为：$S=k{V}^{\prime }$ ，但这一结论目前仍停留于思维实验与数值验证层面，尚未获得严格的数学证明。这引发两个本质性问题：为什么会有这样的规律呢？其背后的数学逻辑是什么？

通过圆锥和圆台的验证过程，我们已经触及了一个深刻的数学原理。让我们用更精确的数学语言来描述这个发现：设想这样一张神奇的纸，将多面体完全的包裹，其厚度逼近$0$ (即$\Delta d\to 0$ )，新多面体的体积增量设为$\Delta V$ ，则$\Delta V=S_{纸}\times \Delta d$ (就像在多面体表面均匀地刷了一层油漆，且这层油漆的厚度无限薄，也就是那张神奇的纸的厚度无限接近于0)。在求这张纸的表面积的过程中，也就是求此多面体的表面积。

设几何体体积$V$ 是参数$x_1,x_2,\cdots x_n$ 的函数，当各参数各自增长时：$\Delta V={\displaystyle \sum \frac{\partial V}{\partial x_i}}\Delta x_i$ 。

表面积：$S_{原几何体}=S_{纸}=\underset{\Delta d\to 0}{\lim }\frac{\Delta V}{\Delta d}=\underset{\Delta d\to 0}{\lim }{\displaystyle \sum \frac{\partial V}{\partial x_i}}\frac{\Delta x_i}{\Delta d}$ 。

原几何体体积中自变量$\Delta x$ 与纸厚度$\Delta d$ 的比值即系数$k$ ，得到结论：$S=k{V}^{\prime }$ 。

【教学效果】尽管学生未曾接触微积分，但通过思维实验展现了多元微积分与几何的深刻联系，统一处理了多面体与曲面体的情况为后续学习微分几何奠定基础。这个一般性的结论，将我们之前的特例发现提升到了理论高度，体现了数学从具体到抽象的思维过程。让学生对于导数的理解更加深刻，培养学生的模型意识、抽象能力。

6. 教学设计说明与反思

最开始的猜想1并不是完全错误，仅仅适用于某些特殊单方向扩展的标准多面体(如正方体、长方体)。猜想2的理论突破任意可微几何体，引入几何体体积中自变量$\Delta x$ 与纸厚度$\Delta d$ 的比值即系数$k$ ，建立普适公式$S=k{V}^{\prime }$ ，再通过极限定义严格论证。

尽管找规律的过程一波三折，但只要细心认真，相信高中生也可以靠现有的知识来找到。因此这部分内容，可以在高三复习导数这个小专题下进行。在常规知识中发现内在深层联系，让学生体会到数学统一的美，培养学生对于数学的好奇心。

教师是学习引导者、思维促进者，学生是知识建构者、规律发现者，本节课成功实现了三个转变：从“教师讲授”到“学生发现”的教学方式转变；从“知识传授”到“素养培养”的目标升级；从“孤立知识点”到“知识网络建构”的认知跃迁。这种教学模式不仅让学生深入理解了数学本质，更培养了可持续发展的数学探究能力。