1. 引言
在微积分课程所涵盖的旋转曲面教学板块中，单叶旋转双曲面占据着极为重要的地位，是极具代表性的教学内容。从其形成机制来看，它是由一条双曲线围绕自身的虚轴旋转一周后所生成的曲面，这一形成过程清晰地界定了它作为旋转曲面的基本属性。然而，在长期的实际教学活动中，一个较为普遍且突出的问题逐渐浮现出来，即学生在学习单叶旋转双曲面时，存在明显的认知偏向。他们往往仅仅关注到单叶旋转双曲面作为“旋转曲面”这一较为直观、易于理解的特性，而对于其同样重要，甚至在某些应用场景中更为关键的另一属性——“直纹面”，却表现出理解上的重重困难，在认知上难以真正接受这一特性。
所谓直纹面，从数学定义来讲，是指能够由一族直线(即直母线)通过连续不断的运动而生成的曲面。而单叶旋转双曲面恰恰就是这样一种特殊的直纹面。根据大量的教学实践观察以及与学生的交流反馈发现，学生对于“一条直线通过特定运动能够生成看似复杂的双曲面”这一抽象程度较高的数学结论，常常会产生困惑，难以在脑海中构建起直线与双曲面之间的内在联系。
鉴于上述学生在学习过程中遇到的问题，在单叶旋转双曲面的教学环节中，对直纹面相关知识内容进行有针对性的补充就显得尤为必要且意义重大。单叶旋转双曲面所具备的“旋转曲面”与“直纹面”这双重属性，使其在整个几何理论体系中占据着独特而不可替代的位置。这双重属性相互交织，共同构成了单叶旋转双曲面丰富的几何内涵，为深入研究和应用该曲面奠定了坚实的理论基础。不仅如此，单叶旋转双曲面在实际应用领域也展现出了卓越的性能和优势。其优异的力学稳定性，能够使其在承受各种外力作用时，依然保持结构的完整性和稳定性；而结构经济性特点，则使得在实际工程应用中，能够以相对较低的成本实现高效的结构构建。这些突出的特点使得单叶旋转双曲面在众多实际领域，如工程建设中的大型建筑结构设计、艺术设计领域的创意造型构建等，都得到了极为广泛且巧妙的应用。它不仅为解决实际工程问题提供了有效的技术手段，还为艺术创作带来了独特的灵感源泉，将数学的理性之美与实际应用的功能性完美地融合在一起。
本文紧密立足于长期积累的教学实践经验，从单叶旋转双曲面直纹面属性的引入方法、直观化的演示手段以及其在实际中的应用案例这三个关键维度出发，深入且全面地探讨关于单叶旋转双曲面的教学设计思路。本文的创新不在于提出全新的教学理论或工具，而在于针对“单叶旋转双曲面”这一具体知识点，整合推导、演示、应用等教学元素，形成一套系统可行的教学流程，其价值在于实用性和可推广性。旨在通过系统的教学设计，帮助学生更好地理解和掌握单叶旋转双曲面的双重属性，突破学习过程中的认知难点，同时凸显数学理论与实际问题之间的紧密联系，为微积分中几何内容的教学提供具有参考价值的教学模式和方法，推动教学质量的提升和教学效果的优化。
近年来，在可视化教学工具应用方面，国内外学者进行了大量探索。王沛清等(2018)通过实证研究表明，动态可视化工具能有效降低学生对空间几何概念的理解难度，提升学习兴趣和空间想象能力，其研究发现使用动态几何软件的学生在空间图形认知测试中的得分比传统教学班级高出23.6% [1]。
在单叶旋转双曲面教学研究领域，现有成果呈现出理论探讨与实践探索并存的特点。吕林根等在《解析几何》教材中系统阐述了单叶双曲面的直纹面理论，但缺乏具体的教学实施策略[2]。
在教学模式整合方面，建构主义学习理论指导下的教学实践取得了显著成效。王丽(2021)将“理论推导–直观演示–应用实践”三环节整合模式应用于微分几何教学，结果显示该模式能使学生的知识迁移能力提升35% [3]。李志强等(2022)的研究进一步表明，在工程数学教学中引入实际应用案例可使学生的学习投入度提高27%，且能显著增强其数学建模意识[4]。
综合来看，现有研究存在三个明显不足：一是可视化工具的应用多集中于旋转曲面的形态展示，对直纹面生成过程的动态演示研究不足；二是单叶旋转双曲面教学研究偏重理论阐释，缺乏系统的教学设计方案；三是将数学理论与工程应用深度结合的实证研究较为匮乏。本研究正是针对这些不足，构建整合式教学设计并通过教学实验验证其有效性，希望填补相关研究空白。
2. 单叶旋转双曲面的直纹面属性引入
为打破学生对“双曲面由直线生成”的认知壁垒，教学中可通过具体问题引导学生自主推导，从代数层面验证其直纹面属性。
问题：求直线L:
绕z轴旋转所得旋转曲面的方程，它表示什么曲面？
推导步骤：设旋转曲面上任一点为
，过点P做平面垂直于z轴，平面交直线L于点
。由于
在直线L上，因此满足又因为“旋转半径不变”——即旋转后点
到z轴的距离等于
到z轴的距离。因此有：
又因
(旋转时z坐标不
变)，
代入上式并平方整理得：
。该方程正是一个单叶旋转双曲面的标准方程。
结论：一条直线绕z轴旋转可生成单叶旋转双曲面，也从代数推导上证明了标准方程的单叶旋转双曲面可由直线族(直母线)生成，即它是直纹面。
3. 直观演示：动态可视化辅助理解
抽象的代数推导仍可能让学生感到抽象，因此教学中需结合动态演示工具，将“直线生成双曲面”的过程可视化。
3.1. 动态演示设计
利用功能强大的Geogebra软件制作交互式动图，为学生呈现一个生动、直观的直线生成单叶旋转双曲面的过程。在三维坐标系中，精确绘制直线L，通过Geogebra的动画功能，清晰地展示直线L绕z轴旋转的全过程。在旋转过程中，同步实时显示逐渐生成的曲面轮廓，让学生能够直观地观察到直线是如何通过连续运动，一步一步地形成单叶旋转双曲面的，亲眼见证“直线运动形成曲面”这一神奇而抽象的数学现象的连续变化过程。这种直观的动态演示能够极大地增强学生对知识的感性认识，将原本抽象的数学概念变得具体可感，降低学生的理解难度，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
3.2. 补充资源拓展
除了利用Geogebra制作动图进行演示外，还可以积极引入优质的外部视频资源，进一步丰富学生的学习体验，拓展学生对单叶旋转双曲面直纹面属性的理解。例如，可引入链接为https://m.kepuchina.cn/videodetail?id=380861的视频资源。该视频通过精细化建模技术，以极高的清晰度和逼真度呈现了直母线族(多组平行直线)共同生成单叶旋转双曲面的过程。在视频中，学生可以清晰地看到多组平行直线按照特定的规律运动，相互交织，最终共同构建出单叶旋转双曲面的完整形态。这一过程不仅生动地展现了数学的对称美，让学生感受到数学的内在魅力，同时也进一步强化了“直纹面由直线族生成”这一核心概念，使学生对单叶旋转双曲面的直纹面属性有更为深入和全面的理解。
动态演示的价值在于：弥补抽象推导的不足，帮助空间想象能力较弱的学生建立直观认知，为后续理解及其应用奠定基础。
4. 单叶旋转双曲面的实际应用
单叶旋转双曲面的直纹面属性与其力学稳定性、结构经济性相结合，使其在多个领域展现出独特价值，这些应用也成为连接数学理论与实际问题的重要桥梁。
4.1. 建筑领域
大型冷却塔：发电厂、核电站的冷却塔是单叶旋转双曲面的经典应用。其核心优势在于：直母线特性使施工可采用直线型钢筋、混凝土构件，大幅降低曲面成型难度；曲面形态能引导空气形成自然对流，提升冷却效率；从力学角度，该结构对风力等外力的分散性强，抗风稳定性显著。例如德国哈蒙核电站冷却塔、中国上海外高桥电厂冷却塔均采用此纯粹单叶旋转双曲面设计，实现了功能与成本的平衡[5]。
4.2. 机械工程领域
交错轴齿轮传动：当两轴不平行且不相交(交错轴)时，传统齿轮难以实现平稳传动，而单叶旋转双曲面的两族直母线为解决方案提供了思路——将两齿轮的齿廓分别设计为双曲面的两族直母线，传动时齿面接触线始终为直线，保证了力的连续传递，传动效率可达90%以上[6]。广泛应用于汽车分动箱、机床主轴等装置。
曲面刀具设计：加工复杂曲面零件(如模具型腔)时，基于直纹面原理的刀具可沿直母线轨迹运动，避免传统曲线刀具的“切削不连续”问题，使加工表面粗糙度降低30%以上[7]，显著提升精度。
4.3. 交通与运输领域
桥梁结构：大跨度斜拉桥的桥塔常采用类单叶旋转双曲面造型，如某跨江斜拉桥的桥塔通过“下宽上窄再微扩”的形态，减少风阻系数约20% [8]；拉索按直母线方向排列，使桥面荷载均匀传递至塔体，增强整体稳定性。
航天器天线支撑：航天器天线的抛物面精度要求极高，其支撑框架采用直纹面设计——用碳纤维直线型材搭建双曲骨架，既满足轻量化(重量降低40%) [9]，又通过直线连接保证结构刚性，确保天线在太空环境下的形态稳定性。
5. 教学效果评估
为验证教学设计的有效性，本文在2024年春季学期选取东华大学微积分课程两个平行班开展教学实验。实验班(140人)采用本文设计的“推导–演示–应用”教学流程，对照班(140人)采用传统“公式讲解 + 例题练习”教学模式。
5.1. 数据收集方法
1) 前后测对比：设计包含5道单叶旋转双曲面属性理解题和3道单叶旋转双曲面应用分析题的测试卷，满分 100 分。前测在课堂教学前进行，后测在教学结束后一周进行。
2) 课堂观察：记录两班学生在单叶旋转双曲面属性讲解环节的专注时长(每分钟抬头率 ≥ 80%视为专注)。
5.2. 结果分析
1) 成绩对比：实验班前后测平均分从42.3分提升至88.5分，对照班从41.8分提升至62.1分，实验班提升幅度显著高于对照班。
2) 课堂专注度：实验班单叶旋转双曲面讲解环节平均专注时长为12.5分钟，对照班为6.8分钟，差异具有统计学意义。
6. 结语
单叶旋转双曲面的直纹面属性，本质是“直线的连续运动与曲面的几何约束达成平衡”：直线的“直”保证了几何简单性(易构造、易计算)，曲面的“曲”则满足了旋转对称与力学需求。单叶旋转双曲面的教学设计需兼顾“理论严谨性”与“直观可感性”：通过代数推导建立逻辑基础，借助动态演示突破认知难点，结合实际应用展现数学价值。
本研究的教学实验表明，这种整合式教学设计能有效提升学生对抽象几何概念的理解效果。这一过程不仅帮助学生理解“旋转曲面与直纹面”的内在联系，更培养了其用数学思维分析实际问题的能力，体现了“从理论到实践”的教学闭环。后续研究可进一步拓展至其他旋转曲面的教学设计，并探索不同可视化工具的适用场景差异。
基金项目
感谢东华大学“示范教研室–高等数学教研室”项目(项目编号：109-03-0007082)的资助。