弱链对角占优M-矩阵${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$上界改进的估计式

Improved Estimation on Upper Bounds for ${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ of Weakly Chained Diagonally Dominant M-Matrices

摘要: 本文研究弱链对角占优M-矩阵$A$ 的逆矩阵的无穷大范数上界估计问题，给出矩阵$A$ 及其逆矩阵元素关系的不等式，结合新不等式得到了${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的上界新估计式，理论分析和数值算例表明新估计式改进了某些现有结果。

Abstract: In this paper, the problem of estimating the bounds of the infinite norm of the inverse matrix of a weakly chained dominant M-matrix $A$ is studied. The inequalities of element relation on matrix $A$ and its inverse matrix are given, combined with the new inequality, new estimation upper bounds of ${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ are obtained. The theory analysis and numerical examples show that the new estimations improve some of the related results.

1. 引言

M-矩阵在生物学、数学、经济学、环境科学等领域具有广泛的应用价值，M-矩阵理论为这些问题的研究和解决提供了数学基础和工具。近年来众多学者对M-矩阵的最小特征值、逆矩阵的无穷大范数、Hadamard积的最小特征值界的估计等问题进行了大量研究，也给出了许多重要结果[1]-[9]。本文通过定义弱链对角占优M-矩阵$A$ 的新参数，结合矩阵$A$ 的元素对其逆矩阵元素的界进行放缩，给出弱链

对角占优M-矩阵的${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的上界新估计式。

2. 预备知识

为叙述方便，先给出本文需要用到的一些记号。

用$R^{m\times n}$ 表示$m\times n$ 阶实矩阵的集合，记$N=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 且$d_i=\frac{{\displaystyle \sum _{j\in N,j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}{a_{ii}}$ ，$J\left(A\right)=\left\{i\in N:d_i<1\right\}$ ，$u_i=\frac{{\displaystyle \sum _{i+1\le j\le n}\left|a_{ij}\right|}}{a_{ii}}$ ，$s_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|d_k}}{\left|a_{jj}\right|}$ ，$r_i=\underset{j\ne i}{\max }\left\{\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|}}\right\}$ ， $m_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|r_i}}{\left|a_{jj}\right|}$ ，$q_{ji}=\min \left\{s_{ji},m_{ji}\right\}$ ，$h_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|q_{ji}-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|q_{ki}}}$ ，$h_i=\underset{j\ne i}{\max }\left\{h_{ji}\right\}$ 。 $v_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|q_{ki}{h}_i}}{\left|a_{jj}\right|}$ ，$p_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|v_{ki}}}{\left|a_{jj}\right|}$ ，$p_i=\underset{i\le j\le n}{\max }\left\{p_{ji}\right\}$ 。

定义1.1 [2] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ ，如果对任意的$i,j\in N$ ，$i\ne j$ ，都有$a_{ij}\le 0$ ，则称$A$ 为Z-矩阵，记为$A\in Z_n$ 。设$A\in Z_n$ ，则$A$ 可表示为$A=sI-B$ ，其中$B\ge 0$ 。当$s\ge \rho \left(B\right)$ 时，则称$A$ 为M-矩阵；当$s>\rho \left(B\right)$ 时，则称$A$ 为非奇异M-矩阵。

定义1.2 [1] [2] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ ，如果满足下面条件

(1) $\left|a_{ii}\right|\ge {\displaystyle \sum _{j\in N,j\ne i}\left|a_{ij}\right|}$ ，$i\in N$ ；

(2) $J\left(A\right)\ne \Phi$ ；

(3) 对于任意$i\in N,i\notin J\left(A\right)$ ，存在非零元素链$a_{i{i}_1}{a}_{i_1{i}_2}\cdots a_{i_{r}k}\ne 0$ ，其中$i\ne i_1$ ，$i_1\ne i_2$ ，$i_r\ne k$ ，$k\in J\left(A\right)$ ，则称$A$ 为弱链对角占优矩阵。

引理1.1 [1] [2] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，则$A^{\left(k,n\right)}\left(k=1,\cdots ,k-1\right)$ 也是弱链对角占优M-矩阵。这里$A^{\left(n_1,n_2\right)}$ 表示由$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 的$n_1$ 至$n_2$ 行和$n_1$ 至$n_2$ 列的元素组成的子矩阵。

引理1.2 [1] [2] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$B=A^{\left(2,n\right)}$ ，$A^{-1}={\left({\alpha }_{ij}\right)}_{i,j=1}^n$ ，$B^{-1}={\left({\beta }_{ij}\right)}_{i,j=2}^n$ ，有

${\alpha }_{11}=\frac{1}{\Delta },{\alpha }_{i1}=\frac{1}{\Delta }{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\beta }_{ik}}\left(-a_{k1}\right),{\alpha }_{1j}=\frac{1}{\Delta }{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\beta }_{kj}}\left(-a_{1k}\right),{\alpha }_{ij}={\beta }_{ij}+{\alpha }_{1j}{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\beta }_{ik}}\left(-a_{k1}\right).$

其中，$\Delta =a_{11}-{\displaystyle \sum _{k=2}^n{a}_{1k}\left[{\displaystyle \sum _{i=2}^n{\beta }_{ki}{a}_{i1}}\right]}$ 。

设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，P N Shivakumar在文献[2]中给出

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le {{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[a_{ii}{\displaystyle \prod _{j=1}^i\left(1-u_j\right)}\right]}}^{-1}.$ (1)

2012年，潘淑珍等在文献[3]给出优于文献[2]的弱链对角占优M-矩阵的上界估计式

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}\left(1-u_1{t}_1\right)}+{\displaystyle \sum _{i=2}^n\left[\frac{1}{a_{ii}\left(1-u_i{t}_i\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{i-1}\left(1+\frac{u_j}{1-u_j{t}_j}\right)}\right]}$ .(2)

其中

$t_{ki}=\{\begin{array}{l}\frac{\left|a_{ki}\right|}{\left|a_{kk}\right|-{\displaystyle \sum _{j=i+1,j\ne k}^n\left|a_{kj}\right|}},\left|a_{ki}\right|\ne 0,\\ 0,\left|a_{ki}\right|=0.\end{array}$ $t_i=\{\begin{array}{l}\underset{i+1\le k\le n}{\max }{t}_{ki},1\le i\le n-1,\\ 0,i=n.\end{array}$

3. 弱链对角占优矩阵的${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的上界估计

本节给出${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 上界的一些新估计式，为此给出以下引理。

引理2.1 [1] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$A^{-1}=\left({\alpha }_{ij}\right)$ ，则

$\left|{\alpha }_{ji}\right|\le \frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle {\sum }_{k\ne i,j}\left|a_{jk}\right|d_k}}{\left|a_{jj}\right|}\left|{\alpha }_{ii}\right|=s_{ji}\left|{\alpha }_{ii}\right|$ , $i\ne j$ .(3)

引理2.2 [3] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$n\ge 2$ ，$A^{-1}=\left({\alpha }_{ij}\right)$ ，满足$u_1<1$ ，则

${\alpha }_{11}\le \frac{1}{a_{11}\left(1-t_1{u}_1\right)}$ .(4)

引理2.3 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$A^{-1}=\left({\alpha }_{ij}\right)$ ，则

$\left|{\alpha }_{ji}\right|\le \frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle {\sum }_{k\ne i,j}\left|a_{jk}\right|v_{ki}}}{a_{jj}}\left|{\alpha }_{ii}\right|=p_{ji}\left|{\alpha }_{ii}\right|\le p_i\left|{\alpha }_{ii}\right|\le \left|{\alpha }_{ii}\right|$ , $i\ne j$ .(5)

证明 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，则$\left|a_{jj}\right|\ge {\displaystyle \sum _{k\ne j}\left|a_{jk}\right|}={\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|}+\left|a_{ji}\right|$ ，所以 $0\le \frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|}}\le 1$ ，由$r_i$ 的定义知$0\le r_i\le 1$ ，故$r_i\ge \frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|}}$ ，即$r_i\ge \frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|r_i}}{\left|a_{jj}\right|}=m_{ji}$ ，则$0\le m_{ji}\le r_i\le 1$ 。因为$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，所以$0\le s_{ji}\le d_i\le 1$ 。

由$q_{ji}$ 的定义知$0\le q_{ji}\le 1$ 。当$q_{ji}=m_{ji}$ 时，有

$0\le h_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|q_{ji}-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|q_{ki}}}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|m_{ji}-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|m_{ki}}}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|\left(r_i-m_{ki}\right)}}\le 1$ .

当$q_{ji}=s_{ji}$ 时，有

$0\le h_{ji}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|q_{ji}-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|q_{ki}}}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{jj}\right|s_{ji}-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|s_{ki}}}=\frac{\left|a_{ji}\right|}{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|\left(d_i-s_{ki}\right)}}\le 1$ .

故$0\le h_i\le 1$ 。

设

$h_i\left(\epsilon ,1\right)=\underset{j\ne i}{\max }\left\{h_{ji}\left(\epsilon ,1\right)\right\},$ $h_{ji}\left(\epsilon ,1\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\left|a_{ji}\right|+\epsilon }{\left|a_{jj}\right|q_{ji}-{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|q_{ki}}}\text{, }i\in J\left(A\right),\\ 1,i\in N,i\notin J\left(A\right).\end{array}$

在此不妨假设$q_{ji}=s_{ji}$ ，则

$q_{ji}\left(\epsilon ,1\right)=s_{ji}\left(\epsilon ,1\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle \sum _{k\ne j,i}\left|a_{jk}\right|d_k+\epsilon }}{\left|a_{jj}\right|},i\in J\left(A\right),\\ 1,i\in N,\notin J\left(A\right).\end{array}$

其中$\epsilon$ 为使得$0<h_i\left(\epsilon ,1\right),s_{ji}\left(\epsilon ,1\right)\le 1$ 的充分小的正数。设

$D_j\left(\epsilon ,1\right)=\left(q_{1i}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right),\cdots ,q_{i-1,i}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right),1,q_{i+1,i}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right),\cdots ,q_{ni}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)\right),i\in N.$

显然，当$D_j\left(\epsilon ,1\right)=diag\left(1,1,\cdots ,1\right)=I$ 时，$A{D}_j\left(\epsilon ,1\right)$ 是弱链对角占优矩阵，且当$D_j\left(\epsilon ,1\right)\ne I$ 时，$A{D}_j\left(\epsilon ,1\right)$ 是严格对角占优矩阵，所以，$A{D}_j\left(\epsilon ,1\right)$ 一定是弱链对角占优矩阵，由引理2.1得

$\frac{{\alpha }_{ji}}{q_{ji}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)}\le \frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle {\sum }_{k\ne i,j}\left|a_{jk}\right|q_{ki}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)d_{ki}^{\left(1\right)}\left(\epsilon ,1\right)}}{a_{jj}{q}_{ji}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)}\left|{\alpha }_{ii}\right|,j\ne i$ .

其中$d_{ki}^{\left(1\right)}\left(\epsilon ,1\right)=\frac{\left|a_{ki}\right|+{\displaystyle {\sum }_{t\ne k,i}\left|a_{kt}\right|q_{ti}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)}}{\left|a_{kk}\right|q_{ki}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)}$ ，则

${\alpha }_{ji}\le \frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle {\sum }_{k\ne i,j}\left|a_{jk}\right|\frac{\left|a_{ki}\right|+{\displaystyle {\sum }_{t\ne k,i}\left|a_{kt}\right|q_{ti}\left(\epsilon ,1\right)h_i\left(\epsilon ,1\right)}}{\left|a_{kk}\right|}}}{a_{jj}}\left|{\alpha }_{ii}\right|,j\ne i.$

当$\epsilon \to 0$ 时，有

${\alpha }_{ji}\le \frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle {\sum }_{k\ne i,j}\left|a_{jk}\right|\frac{\left|a_{ki}\right|+{\displaystyle {\sum }_{t\ne k,i}\left|a_{kt}\right|q_{ti}{h}_i}}{\left|a_{kk}\right|}}}{a_{jj}}\left|{\alpha }_{ii}\right|=\frac{\left|a_{ji}\right|+{\displaystyle {\sum }_{k\ne i,j}\left|a_{jk}\right|v_{ki}}}{a_{jj}}\left|{\alpha }_{ii}\right|,j\ne i.$

即${\alpha }_{ji}\le p_{ji}\left|{\alpha }_{ii}\right|\le p_i\left|{\alpha }_{ii}\right|\le \left|{\alpha }_{ii}\right|,j\ne i$ 。

引理2.4 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$A^{-1}=\left({\alpha }_{ij}\right)$ ，则

$\frac{1}{a_{ii}}\le {\alpha }_{ii}\le \frac{1}{a_{ii}-{\displaystyle \sum _{j\ne i}\left|a_{ij}\right|p_{ji}}}$ .(6)

证明 类似于文献[4]中的引理2.3的证明，可证结论成立。

定理2.1设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$B=A^{\left(2,n\right)}$ ，$A^{-1}={\left({\alpha }_{ij}\right)}_{i,j=1}^n$ 且$B^{-1}={\left({\beta }_{ij}\right)}_{i,j=2}^n$ ，则

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{\max \left\{d_1,1+\left(p_1-t_1\right)d_1\right\}}{1-d_1{t}_1}{\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }$ .(7)

证明 设${\eta }_i={\displaystyle \sum _{j=1}^n{\alpha }_{ij}}$ ，$M_A={\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ ，$M_B={\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }$ ，则$M_A=\underset{i\in N}{\max }\left\{{\eta }_i\right\}$ ，$M_B=\underset{2\le i\le n}{\max }\left\{{\displaystyle \sum _{j=2}^n{\beta }_{ij}}\right\}$ 。由引理1.2和(4)式可得

$\begin{array}{c}{\eta }_1={\alpha }_{11}+{\displaystyle \sum _{j=2}^n{\alpha }_{1j}}={\alpha }_{11}+\frac{1}{\Delta }{\displaystyle \sum _{k=2}^n\left(-a_{1k}\right){\displaystyle \sum _{j=2}^n{\beta }_{kj}}}\\ \le {\alpha }_{11}+\frac{1}{\Delta }{\displaystyle \sum _{k=2}^n\left(-a_{1k}\right)M_B}={\alpha }_{11}+{\alpha }_{11}{a}_{11}{d}_1{M}_B\\ \le \frac{1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{d_1}{1-d_1{t}_1}{M}_B.\end{array}$

当$2\le i\le n$ 时，由引理1.2和(5)式得

${\displaystyle \sum _{k=2}^n{\beta }_{ik}}\left(-a_{k1}\right)=\Delta {\alpha }_{i1}\le \Delta p_1{\alpha }_{11}=p_1\le 1.$ (8)

故对$2\le i\le n$ ，由引理1.2，(5)和(8)式知

$\begin{array}{c}{\eta }_i={\alpha }_{i1}+{\displaystyle \sum _{j=2}^n{\alpha }_{ij}}={\alpha }_{i1}+{\displaystyle \sum _{j=2}^n\left({\beta }_{ij}+{\alpha }_{1j}{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\beta }_{ik}\left(-a_{k1}\right)}\right)}\\ \le p_1{\alpha }_{11}+{\displaystyle \sum _{j=2}^n\left({\beta }_{ij}+{\alpha }_{1j}{p}_1\right)}={\eta }_1{p}_1+{\displaystyle \sum _{j=2}^n{\beta }_{ij}}\le {\eta }_1{p}_1+M_B.\end{array}$

若${\eta }_1\le p_1{\eta }_1+M_B$ ，则

$\begin{array}{c}{M}_A=\underset{2\le i\le n}{\max }\left|{\eta }_i\right|\le p_1{\eta }_1+M_B\le p_1\left(\frac{1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{d_1}{1-d_1{t}_1}{M}_B\right)+M_B\\ =\frac{p_1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{1+\left(p_1-t_1\right)d_1}{1-d_1{t}_1}{M}_B\le \frac{1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{1+\left(p_1-t_1\right)d_1}{1-d_1{t}_1}{M}_B.\end{array}$

若${\eta }_1>p_1{\eta }_1+M_B$ ，则

$M_A={\eta }_1\le \frac{1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{d_1}{1-d_1{t}_1}{M}_B$ .

综上有

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}\left(1-d_1{t}_1\right)}+\frac{\max \left\{d_1,1+\left(p_1-t_1\right)d_1\right\}}{1-d_1{t}_1}{\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }$ .

定理得证。

对定理2.1利用迭代法可得如下结论。

定理2.2 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，则

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}\left(1-u_1{t}_1\right)}+{\displaystyle \sum _{i=2}^n\left(\frac{1}{a_{ii}\left(1-u_i{t}_i\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{i-1}\frac{max\left\{u_j,1+\left(p_j-t_j\right)u_j\right\}}{1-u_j{t}_j}}\right)}$ (9)

应用引理2.4，类似于定理2.1和定理2.2的证明可得如下定理，其证明不再赘述。

定理2.3设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，$B=A^{\left(2,n\right)}$ ，$A^{-1}={\left({\alpha }_{ij}\right)}_{i,j=1}^n$ 且$B^{-1}={\left({\beta }_{ij}\right)}_{i,j=2}^n$ ，则

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}-{\displaystyle \sum _{j=2}^n\left|a_{1j}\right|p_{j1}}}+\frac{\max \left\{d_1,1+\left(p_1-t_1\right)d_1\right\}}{1-d_1{t}_1}{\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }$ .(10)

定理2.4 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，则

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}-{\displaystyle \sum _{j=2}^n\left|a_{1j}\right|p_{j1}}}+{\displaystyle \sum _{i=2}^n\left(\frac{1}{a_{ii}-{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|p_{ji}}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{i-1}\frac{\max \left\{u_j,1+\left(p_j-t_j\right)u_j\right\}}{1-u_j{t}_j}}\right)}$ (11)

定理2.5 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链格对角占优M-矩阵，则

$\begin{array}{c}{\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{a_{11}\left(1-u_1{t}_1\right)}+{\displaystyle \sum _{i=2}^n\left(\frac{1}{a_{ii}\left(1-u_i{t}_i\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{i-1}\frac{\max \left\{u_j,1+\left(p_j-t_j\right)u_j\right\}}{1-u_j{t}_j}}\right)}\\ \le \frac{1}{a_{11}\left(1-u_1{t}_1\right)}+{\displaystyle \sum _{i=2}^n\left[\frac{1}{a_{ii}\left(1-u_i{t}_i\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{i-1}\left(1+\frac{u_j}{1-u_j{t}_j}\right)}\right]}.\end{array}$

证明 设$A=\left(a_{ij}\right)\in R^{n\times n}$ 是弱链对角占优M-矩阵，显然有$0\le p_i,t_i\le 1$ ，$u_i<1$ ，则

$1+\frac{u_j}{1-u_j{t}_j}=\frac{1+\left(1-t_j\right)u_j}{1-u_j{t}_j}$ ,

又$1+\left(1-t_j\right)u_j\ge 1>u_j$ ，且$1+u_j\left(1-t_j\right)\ge 1+u_j\left(p_j-t_j\right)$ ，结论成立。

故定理2.5改进了文献[3]的定理3.3，进而优于文献[2]中定理3.3。

$$ 4. 数值算例

例1 设

$A=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& -1\\ -2& 5& -3\\ -2& -3& 7\end{array}\right)$ ，$J\left(A\right)=\left\{1,3\right\}$ ，显然$A$ 是弱链对角占优矩阵M矩阵，应用文献[2] [3]分别计算得${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 2.0476$ ，${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 1.3883$ 。应用本文定理2.2和定理2.4分别计算得${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 1.1821$ ， ${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 1.1651$ 。

例2 设

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -0.1& -0.1& -0.1\\ -0.2& 1& -0.1& -0.7\\ -0.1& -0.2& 1& -0.1\\ -0.1& -0.2& -0.1& 1\end{array}\right)$ ，$J\left(A\right)=\left\{1,3,4\right\}$ ，显然$A$ 是弱链对角占优矩阵M矩阵，应用文献[2] [3]分别计算得${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 24.4444$ ，${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 9.1163$ 。应用本文定理2.2和定理2.4分别计算得 ${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 5.7309$ ，${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le 5.4204$ 。数值例子进一步验证了本文的结果比参考文献[2] [3]中的结果更为精确。

5. 结论

本文通过弱链对角占优M-矩阵$A$ 及其逆矩阵元素关系的不等式，得到${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的新上界改进了已有的某些结果，同时数值算例也说明新估计式的有效性和可行性。

基金项目

云南省教育厅科学研究基金项目，项目编号：2023J1074，2023J1078。