块H-矩阵新的等价表征及谱分析

New Equivalent Characterizations and Spectral Analysis of Block H-Matrices

摘要: 本文首先给出了块严格$S-\alpha$ 对角占优矩阵的一类等价条件，从而得到非奇异块H-矩阵新的判定条件。同时，给出了一类非奇异H-矩阵的特征值范围。最后通过例子说明了判定条件的有效性以及对近期结果的改进。

Abstract: This paper first presents a class of equivalent conditions for block strictly $S-\alpha$ diagonally dominant matrices, thereby obtaining new criteria for nonsingular block H-matrices. Meanwhile, it provides the eigenvalue range of a class of nonsingular H-matrices. Finally, examples are given to illustrate the effectiveness of the criteria and the improvement over recent results.

1. 引言

在矩阵理论这一充满深度与广度的研究领域中，矩阵分块技术凭借其独特的优势占据着举足轻重的地位，有着极为广泛的应用。它能够将复杂的高维矩阵问题巧妙分解为若干个低维子矩阵问题，极大地简化了矩阵的运算与分析过程，为众多矩阵理论难题的解决提供了关键思路。1962年，Feingold和Varga首次提出了分块矩阵的对角占优性，吸引众多学者对此进行了颇有价值的推广与改进。如李敏、孙玉祥、

孙吉荣、高会双、Ren Y等[1]-[12]诸多学者，分别利用了${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>{\left(R_i\right)}^{\alpha }{\left(C_i\right)}^{\left(1-\alpha \right)}$ 与${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>\alpha R_i+\left(1-\alpha \right)C_i$

两种等价形式，以及相关的诸多块H-矩阵类，从不同角度、不同层面深入探究，研究了一系列的块H-矩阵等价形式的判定条件。这些条件为块H-矩阵的识别与分析提供了有力的依据。不仅如此，部分学者还在此基础上，在等价形式的框架下进一步开展了矩阵特征值包含域的谱分析。

本文在诸多学者研究的基础上，主要结合文献[3]和文献[9]讨论了一类块H-矩阵等价表征的新的判定条件。同时，针对该类块H-矩阵，对其特征值包含域进行了细致且深入的分析，旨在进一步丰富块H-矩阵的理论体系。最后，通过数值算例直观且有效地验证了新判定条件的可行性与有效性，充分展现了本研究的理论价值与实际意义。

2. 记号与相关定理定义

设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ ，且分块如下

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{m1}& A_{m2}& \cdots & A_{mm}\end{array}\right)$ .(1)

其中$A_{ij}\in M_{n_i}\left(C\right)$ 且非奇异，${\displaystyle \sum _{i=1}^m{n}_i=n}$ ，$i\in M=\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ 。对$\forall i,j\in M$ 给出定义$R_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}\Vert A_{ij}\Vert }=R_i$ 和$C_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}\Vert A_{ij}\Vert }=C_i$ ，记$\sigma \left(A\right)$ 为矩阵$A$ 的谱，$\Vert ·\Vert$ 为任意的矩阵诱导范数。定义分块矩阵$A$ 的块比较矩阵$T\left(A\right)={\left(t_{ij}\right)}_{m\times m}\in R^{m\times m}$ ，其中

$t_{ij}=\{\begin{array}{l}{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1},i=j\hfill \\ -\Vert A_{ij}\Vert ,i\ne j\hfill \end{array}$ ，$\forall i,j\in M$ .

故可定义其范数矩阵为

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{12}\Vert & \cdots & \Vert A_{1m}\Vert \\ \Vert A_{21}\Vert & {\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}& \cdots & \Vert A_{2m}\Vert \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \Vert A_{m1}\Vert & \Vert A_{m2}\Vert & \cdots & {\Vert A_{mm}^{-1}\Vert }^{-1}\end{array}\right)$ .

记$S$ 是$M$ 的任意非空子集，$\overline{S}$ 是$M$ 中$S$ 的补集，即$S,\overline{S}\subset M$ ，$S\cap \overline{S}=\varnothing$ ，$S\cup \overline{S}=M$ 。

对$\forall i\in S$ ，设$R_i^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in S,t\ne i}\Vert A_{it}\Vert }=R_i^S$ ，$R_i^{\overline{S}}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert A_{it}\Vert }=R_i^{\overline{S}}$ ，$C_i^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in S,t\ne i}\Vert A_{ti}\Vert }=C_i^S$ ， $C_i^{\overline{S}}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert A_{ti}\Vert }=C_i^{\overline{S}}$ ，故有$R_i=R_i^S+R_i^{\overline{S}}$ ，$C_i=C_i^S+C_i^{\overline{S}}$ 。另设$r_i^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in S,t\ne i}\left|a_{it}\right|}$ ，$r_i^{\overline{S}}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\left|a_{it}\right|}$ ， $c_i^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in S,t\ne i}\left|a_{ti}\right|}$ ，$c_i^{\overline{S}}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\left|a_{ti}\right|}$ ，同样有$r_i\left(A\right)=r_i^S\left(A\right)+r_i^{\overline{S}}\left(A\right)$ ，$c_i\left(A\right)=c_i^S\left(A\right)+c_i^{\overline{S}}\left(A\right)$ 。

对矩阵指标集进行划分，具体如下：

$M_1=\left\{i|R_i^S<{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}<C_i^S\right\}$ , $M_2=\left\{i|C_i^S<{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}<R_i^S\right\}$ ,

$M_3=\left\{i|{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\ge C_i^S>R_i^S\right\}$ , $M_4=\left\{i|{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\ge R_i^S>C_i^S\right\}$ ,

$M_5=\left\{i|{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}>C_i^S=R_i^S\right\}$ , $M_6=\left\{i|{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\le R_i^S,{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\le C_i^S\right\}$ ,

显然，$M=M_1\cup M_2\cup M_3\cup M_4\cup M_5\cup M_6$ 。

定义1 [2] 存在$\alpha \in \left[0,1\right]$ 和$k\in N$ ，使得

$\left|a_{ii}\right|>{\left(r_i^S\right)}^{\alpha }{\left(c_i^S\right)}^{1-\alpha }+r_i^{\overline{S}},S\subset N,\left|S\right|=k$ ,(2)

则称$A$ 为严格$S-\alpha$ 对角占优矩阵。

定义2 [5] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在$\alpha \in \left[0,1\right]$ ，使得

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>{\left(R_i\right)}^{\alpha }{\left(C_i\right)}^{\left(1-\alpha \right)}$ ，$\forall i\in M$ ,

则称$A$ 为严格${\alpha }_2$ 型块对角占优矩阵，记为$A\in {\alpha }_2\text{-}BSD$ 。

定义3 [6] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在$\alpha \in \left[0,1\right]$ ，使得

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>\alpha R_i+\left(1-\alpha \right)C_i$ ，$\forall i\in M$ ,

则称$A$ 为严格${\alpha }_1$ 型块对角占优矩阵，记为$A\in {\alpha }_1\text{-}BSD$ 。

引理1 [6] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若矩阵$A$ 满足$A\in {\alpha }_1\text{-}BSD$ 或$A\in {\alpha }_2\text{-}BSD$ ，则$A$ 是一个块H-矩阵。

引理2 [7] 若$\tau ,\sigma$ 为两个非负实数，则对$\forall \alpha \in \left[0,1\right]$ 有

$\alpha \tau +\left(1-\alpha \right)\sigma \ge {\tau }^{\alpha }{\sigma }^{\left(1-\alpha \right)}$ ,

当且仅当$\alpha =0$ 或$\alpha =1$ 时，有$\tau =\sigma$ 。

引理3 [4] 假设$f\left(t\right)=at+b\left(1-t\right)$ ，对$\forall t\in \left(0,1\right)$ 有

若$a>b>0$ ，则$f\left(t\right)$ 是一个单调递增的函数。

若$b>a>0$ ，则$f\left(t\right)$ 是一个单调递减的函数。

引理4 [4] 对$\forall \epsilon >0\left(\epsilon =o\left(x\right),x\to 0\right)$ ，定义

$E=\left\{z\in C|\left|z-a\right|\le b+\epsilon \right\}$ , $F=\left\{z\in C|\left|z-a\right|\le b\right\}$ ,

有$E=F$ 。

引理5 [8] 设矩阵$B=\left(b_{ij}\right)\in C^{m\times m}$ ，其中

$b_{ij}=\{\begin{array}{l}{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1},i=j\hfill \\ \Vert A_{ij}\Vert ,i\ne j\hfill \end{array},i,j\in M$ ,

若矩阵$B$ 满足(2)式为严格$S-\alpha$ 对角占优矩阵，则有

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]>{\left(R_i^S\right)}^{\alpha }{\left(C_i^S\right)}^{1-\alpha }$ , $S\subset N,\left|S\right|=k$ ,

成立，并称矩阵$A$ 为块严格$S-\alpha$ 对角占优矩阵。

证明 由定义1可知，若矩阵$B$ 满足(2)式为严格$S-\alpha$ 对角占优矩阵，则存在正数$x_1,x_2,\cdots ,x_m>0$ ，使得

$x_i\left|b_{ii}\right|>x_j{\displaystyle \sum _{j\ne i}\left|b_{ij}\right|},i,j\in M$ .

作正对角矩阵$X=diag\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_m\right\}$ ，即可得$BX$ 为严格对角占优矩阵。于是作 $X_1=diag\left\{x_1{I}_{n_1},x_2{I}_{n_2},\cdots ,x_m{I}_{n_m}\right\}$ ，则$A{X}_1$ 为块严格对角占优矩阵，故有引理5结论成立。

引理6 [3] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若$M_6=\varnothing$ ，对$\forall i\in M_1$ ，$\forall j\in M_2$ 有

$\underset{j\in M_2}{\max }\frac{R_j^{}-{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}}{R_j^{}-C_j^{}}<\underset{i\in M_1}{\min }\frac{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{}}{C_i^{}-R_i^{}}$ ,

则$A$ 为非奇异块H-矩阵。

引理7 [3] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若矩阵$A\in {\alpha }_1\text{-}BSD$ ，那么

$\sigma \left(A\right)\subseteq G\left(A\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right)}{\displaystyle \underset{i\in M_1\cup M_3}{\cup }{G}_i}{\displaystyle \underset{j\in M_2\cup M_4\cup M_5}{\cup }{G}_j}$ ,

其中

$G_M={\displaystyle \underset{i\in M}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_i^{\overline{S}}\left(A\right)\right\}}$ ,

$G_i=\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le \left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{}}{C_t^{}-R_t^{}}\right)R_i^{}+\left(\underset{t\in M_2}{\max }\frac{C_t^{}-{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}}{C_t^{}-R_t^{}}\right)C_i^{}\right\}$ , $i\in M_1\cup M_3$ ;

$G_j=\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le \left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^{}-{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}}{R_v^{}-C_v^{}}\right)R_j^{}+\left(\underset{v\in M_1}{\min }\frac{{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-C_v^{}}{R_v^{}-C_v^{}}\right)C_j^{}\right\}$ , $j\in M_2\cup M_4\cup M_5$ .

引理6和引理7为文献[3]中的主要结果，本文在此基础上利用不等式的放缩技巧，扩大的块H-矩阵的判定范围，给出一类新的等价表征，并对其进行谱分析。从而对文献中的结果进行改进。

3. 主要结果

3.1. 定理1

设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在$S,\overline{S}\subset M$ ，$S\cap \overline{S}=\varnothing$ ，$S\cup \overline{S}=M$ 。对$\forall i\in S$ ，有${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>R_i^S$ ，对$\forall i\in M_1$ ，$\forall j\in M_2$ 有

$\underset{j\in M_2}{\max }\frac{R_j^S-\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]}{R_j^S-C_j^S}<\underset{i\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]-R_i^S}{C_i^S-R_i^S}$ , (3)

当且仅当$M_6=\varnothing$ ，则$A$ 为非奇异块H-矩阵。

证明 充分性，对$\forall i\in M_1$ ，$\forall j\in M_2$ 有

$R_i^S<{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}<C_i^S$ ，$C_j^S<{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}<R_j^S$ ,

则有$0<\frac{\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]-R_i^S}{C_i^S-R_i^S}<1$ ，$0<\frac{R_j^S-\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]}{R_j^S-C_j^S}<1$ 。

由(3)式和引理2可知，存在$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，使得

$\underset{j\in M_2}{\max }\frac{R_j^S-\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]}{R_j^S-C_j^S}<1-\alpha <\underset{i\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]-R_i^S}{C_i^S-R_i^S}$ , (4)

故而可得

$\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]>\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_j^S\ge {\left(R_j^S\right)}^{\alpha }{\left(C_j^S\right)}^{1-\alpha }$ ,

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]>\alpha R_i^S+\left(1-\alpha \right)C_i^S\ge {\left(R_i^S\right)}^{\alpha }{\left(C_i^S\right)}^{1-\alpha }$ .

对$\forall i\in M_3\cup M_4\cup M_5$ 以及$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，显然有

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]>\alpha R_i^S+\left(1-\alpha \right)C_i^S\ge {\left(R_i^S\right)}^{\alpha }{\left(C_i^S\right)}^{1-\alpha }$ ,

由条件$M_6=\varnothing$ ，对$\forall i\in M_1\cup M_2\cup M_3\cup M_4\cup M_5\cup M_6$ ，$\exists \alpha \in \left(0,1\right)$ ，使得

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]>\alpha R_i^S+\left(1-\alpha \right)C_i^S\ge {\left(R_i^S\right)}^{\alpha }{\left(C_i^S\right)}^{1-\alpha }$ ,

故$A$ 为非奇异块H-矩阵。

必要性，因为$A$ 为非奇异块H-矩阵，显然有$M_6=\varnothing$ ，且对$\forall i\in M_1$ 有

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]>\alpha R_i^S+\left(1-\alpha \right)C_i^S\ge {\left(R_i^S\right)}^{\alpha }{\left(C_i^S\right)}^{1-\alpha }$ ,

故

$1-\alpha <\frac{\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]-R_i^S}{C_i^S-R_i^S}$ . (5)

而对$\forall j\in M_2$ ，有$\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]>\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_j^S\ge {\left(R_j^S\right)}^{\alpha }{\left(C_j^S\right)}^{1-\alpha }$ ，故有

$\frac{R_j^S-\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]}{R_j^S-C_j^S}<1-\alpha$ . (6)

由(5)式和(6)式可知对$\forall i\in M_1$ ，$\forall j\in M_2$ 有

$\underset{j\in M_2}{\max }\frac{R_j^S-\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]}{R_j^S-C_j^S}<\underset{i\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]-R_i^S}{C_i^S-R_i^S}$ .

综上，矩阵$A$ 为非奇异块H-矩阵。该定理对文献中的引理6进行改进，相较于文献中的结果，此定理的判定范围更广。最后由数值算例2进行相关证明。

3.2. 定理2

设$A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若矩阵$A$ 为非奇异块H-矩阵，那么

$\sigma \left(A\right)\subseteq G\left(A\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right){\displaystyle \cup G_M}}{\displaystyle \underset{i\in M_1\cup M_3}{\cup }{G}_i}{\displaystyle \underset{j\in M_2\cup M_4\cup M_5}{\cup }{G}_j}$ ,

其中

$G_M=\underset{i\in M}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_i^{\overline{S}}\left(A\right)\right\}$ ,

$G_i=\left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}\right)R_i^S+\left(\underset{t\in M_2}{\max }\frac{C_t^S-\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]}{C_t^S-R_t^S}\right)C_i^S\right\}$

$i\in M_1\cup M_3$ ;

$G_j=\left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}\right)R_j^S+\left(\underset{v\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]-C_v^S}{R_v^S-C_v^S}\right)C_j^S\right\}$

$j\in M_2\cup M_4\cup M_5$ .

证明 因$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]>\alpha R_i^S+\left(1-\alpha \right)C_i^S$ ，$\alpha \in K$ ，其中

$K=\left(\underset{j\in M_2}{\max }\frac{R_j^S-\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]}{R_j^S-C_j^S},\underset{i\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\right]-R_i^S}{C_i^S-R_i^S}\right)\subset \left(0,1\right)$ .

当$\lambda \in \sigma \left(A_{ii}\right)$ ，则$\exists i\in M$ ，有$\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \alpha R_i^S+\left(1-\alpha \right)C_i^S$ ，$\alpha \in K$ 。

接着根据引理3考虑以下五种情况：

若$i\in M_1$ ，则$0<R_i^S<C_i^S$ ，因为$f\left(t\right)=R_i^{S}t+C_i^S\left(1-t\right)$ 是一个单调递减的函数，故对$\forall \epsilon >0$ ，令${\epsilon }_1=\frac{\epsilon }{C_i^S-R_i^S}$ ，可以得到${\epsilon }_1>0$ 和

$\begin{array}{c}\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}-{\epsilon }_1\right)R_i^S+\left(1-\left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}-{\epsilon }_1\right)\right)C_i^S\\ =\left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}-{\epsilon }_1\right)R_i^S+\left(1-\left(1-\underset{t\in M_2}{\max }\frac{C_t^S-\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]}{C_t^S-R_t^S}\right)+{\epsilon }_1\right)C_i^S\\ =\left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}\right)R_i^S+\left(\underset{t\in M_2}{\max }\frac{C_t^S-\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]}{C_t^S-R_t^S}\right)C_i^S+{\epsilon }_1\left(C_i^S-R_i^S\right)\\ =\left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}\right)R_i^S+\left(\underset{t\in M_2}{\max }\frac{C_t^S-\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]}{C_t^S-R_t^S}\right)C_i^S+\epsilon .\end{array}$

因此，我们可以得到

$\lambda \in \left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{t\in M_2}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]-R_t^S}{C_t^S-R_t^S}\right)R_i^S+\left(\underset{t\in M_2}{\max }\frac{C_t^S-\left[{\Vert A_{tt}^{-1}\Vert }^{-1}-R_t^{\overline{S}}\right]}{C_t^S-R_t^S}\right)C_i^S+\epsilon \right\}$

$\lambda \in G_i$ , $i\in M_1$ .

2) 若$j\in M_2$ ，则$0<C_j^S<R_j^S$ ，因为$f\left(t\right)=R_j^{S}t+C_j^S\left(1-t\right)$ 是一个单调递增的函数，故对$\forall \epsilon >0$ ，令${\epsilon }_2=\frac{\epsilon }{R_j^S-C_j^S}$ ，可以得到${\epsilon }_2>0$ 和

$\begin{array}{c}\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}+{\epsilon }_2\right)R_j^S+\left(1-\left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}+{\epsilon }_2\right)\right)C_j^S\\ =\left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}+{\epsilon }_2\right)R_j^S+\left(1-\left(1-\underset{v\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]-C_v^S}{R_v^S-C_v^S}\right)-{\epsilon }_2\right)C_j^S\\ =\left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}\right)R_i^S+\left(\underset{v\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]-C_v^S}{R_v^S-C_v^S}\right)C_j^S+{\epsilon }_2\left(R_j^S-C_j^S\right)\\ =\left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}\right)R_i^S+\left(\underset{v\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]-C_v^S}{R_v^S-C_v^S}\right)C_j^S+\epsilon .\end{array}$

因此，我们可以得到

$\lambda \in \left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}\right)R_j^S+\left(\underset{v\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]-C_v^S}{R_v^S-C_v^S}\right)C_j^S+\epsilon \right\}$

$\lambda \in G_j$ , $j\in M_2$ .

3) 若$i\in M_3$ ，则$0<R_i^S<C_i^S$ ，因为$f\left(t\right)=R_i^{S}t+C_i^S\left(1-t\right)$ 是一个单调递减的函数，这与1)类似，故可得$\lambda \in G_i$ ，$i\in M_3$ 。

4) 若$j\in M_4$ ，则$0<C_j^S<R_j^S$ ，因为$f\left(t\right)=R_j^{S}t+C_j^S\left(1-t\right)$ 是一个单调递增的函数，这与2)类似，故可得$\lambda \in G_j$ ，$j\in M_4$ 。

5) 若$j\in M_5$ ，则$0<C_j^S=R_j^S<\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\left(A\right)\right]$ ，故有

$\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right]>\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_j^S$ , $\alpha \in \left(0,1\right)$ ,

若令这$\alpha =\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}$ ，则有

$\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\left(A\right)\right]\le \left(\underset{v\in M_1}{\max }\frac{R_v^S-\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]}{R_v^S-C_v^S}\right)R_j^S+\left(\underset{v\in M_1}{\min }\frac{\left[{\Vert A_{vv}^{-1}\Vert }^{-1}-R_v^{\overline{S}}\right]-C_v^S}{R_v^S-C_v^S}\right)C_j^S$ ,

即可得出$\lambda \in G_j$ ，$j\in M_5$ 。

综上所述，矩阵$A$ 为非奇异块H-矩阵且有$M=M_1\cup M_2\cup M_3\cup M_4\cup M_5$ 时，有

$\sigma \left(A\right)\subseteq G\left(A\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right){\displaystyle \underset{i\in M}{\cup }{G}_M}}{\displaystyle \underset{i\in M_1\cup M_3}{\cup }{G}_i}{\displaystyle \underset{j\in M_2\cup M_4\cup M_5}{\cup }{G}_j}$ .

4. 论数值算例

4.1. 算例1

考虑矩阵$A$ ：

$A=\left(\begin{array}{cccccccc}8& 1& 1& 3& 1& -1& 1& 0\\ 2& 13& 2& 5& 1& 2& 0& -1\\ 3& 1& 13& 8& -1& 1& 1& -3\\ 0& 1& 7& 31& 1& 1& 2& 1\\ 1& -4& 1& 1& 14& 2& 1& 2\\ 1& 1& -1& 1& 1& 35& -1& 1\\ 1& 0& 1.5& 0.5& 0& 0.5& 7& 2\\ 0& 1& 0& 1& 0.5& 0& 3& 11\end{array}\right)$ .

将矩阵$A$ 作如下分块，并得其范数矩阵

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}\end{array}\right)$ , $A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{12}\Vert & \Vert A_{13}\Vert & \Vert A_{14}\Vert \\ \Vert A_{21}\Vert & {\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{23}\Vert & \Vert A_{24}\Vert \\ \Vert A_{31}\Vert & \Vert A_{32}\Vert & {\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{34}\Vert \\ \Vert A_{41}\Vert & \Vert A_{42}\Vert & \Vert A_{43}\Vert & {\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}\end{array}\right)$ .

即将矩阵$A$ 划分成每个子块均为$2\times 2$ 阶的分块矩阵。令$S=\left\{1,2\right\}$ ，则$\overline{S}=\left\{3,4\right\}$ 取范数为矩阵的2-范数。

通过计算可以得

${\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{7}\text{.5964}$ , $\Vert A_{12}\Vert =6.2429$ , $\Vert A_{13}\Vert =2.3028$ , $\Vert A_{14}\Vert =1$ ;

$\Vert A_{21}\Vert =3.1796$ , ${\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{10}\text{.2903}$ , $\Vert A_{23}\Vert =1.4142$ , $\Vert A_{24}\Vert =3.1926$ ;

$\Vert A_{31}\Vert =4.1926$ , $\Vert A_{32}\Vert =1.4142$ , ${\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}=13.8985$ , $\Vert A_{34}\Vert =2.3028$ ;

$\Vert A_{41}\Vert =1$ , $\Vert A_{42}\Vert =1.6283$ , $\Vert A_{43}\Vert =0.5$ , ${\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{5}\text{.8123}$ .

对于定理1有以下结果：

第一行：$R_1^S=6.2429>\left[{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-R_1^{\overline{S}}\right]=7.7964-2.3028-1=4.2936>C_1^S=3.1796$ ；

第二行：$R_2^S=3.1796<\left[{\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-R_2^{\overline{S}}\right]=\text{10}\text{.2903}-\text{1}\text{.4142}-\text{3}\text{.1926}=5.6835<C_2^S=6.2429$；

第三行：$C_3^{\overline{S}}=0.5<R_3^{\overline{S}}=2.3028<\left[{\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-R_3^S\right]=\text{13}\text{.8985}-4.1926-1.4142=8.2917$；

第四行：$R_4^{\overline{S}}=0.5<C_4^{\overline{S}}=2.3028<\left[{\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}-R_4^S\right]=\text{5}\text{.8123}-1-1.6283=3.184$。

综上，$M_1=\left\{2\right\},M_2=\left\{1\right\},M_3=\left\{4\right\},M_4=\left\{3\right\},M_5=M_6=\varnothing$ 。将以上数据代入(4)式计算可得

$0.6363\approx \frac{R_1^S-\left[{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-R_1^{\overline{S}}\right]}{R_1^S-C_1^S}<\frac{\left[{\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-R_2^{\overline{S}}\right]-R_2^S}{C_2^S-R_2^S}\approx 0.8174$ .

根据定理1可知矩阵$A$ 为非奇异块H-矩阵。

4.2. 算例2

考虑矩阵$A$ ：

$A=\left(\begin{array}{cccccccc}9& 1& 1& 3& 1& -1& 1& 0\\ 2& 13& 2& 5& 1& 2& 0& -1\\ 3& 1& 13& 8& -1& 1& 1& -3\\ 0& 1& 7& 31& 1& 1& 2& 1\\ 1& -4& 1& 1& 14& 2& 1& 2\\ 1& 1& -1& 1& 1& 35& -1& 1\\ 1& 0& 1.5& 0.5& 0& 0.5& 7& 2\\ 0& 1& 0& 1& 0.5& 0& 3& 11\end{array}\right)$ .

将矩阵$A$ 作如下分块，并得其范数矩阵

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}\end{array}\right)$ , $A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{12}\Vert & \Vert A_{13}\Vert & \Vert A_{14}\Vert \\ \Vert A_{21}\Vert & {\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{23}\Vert & \Vert A_{24}\Vert \\ \Vert A_{31}\Vert & \Vert A_{32}\Vert & {\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{34}\Vert \\ \Vert A_{41}\Vert & \Vert A_{42}\Vert & \Vert A_{43}\Vert & {\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}\end{array}\right)$ .

即将矩阵$A$ 划分成每个子块均为$2\times 2$ 阶的分块矩阵。令$S=\left\{1,2\right\}$ ，则$\overline{S}=\left\{3,4\right\}$ 取范数为矩阵的2-范数。

通过计算可以得

${\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{8}\text{.5114}$ , $\Vert A_{12}\Vert =6.2429$ , $\Vert A_{13}\Vert =2.3028$ , $\Vert A_{14}\Vert =1$ ;

$\Vert A_{21}\Vert =3.1796$ , ${\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{10}\text{.2903}$ , $\Vert A_{23}\Vert =1.4142$ , $\Vert A_{24}\Vert =3.1926$ ;

$\Vert A_{31}\Vert =4.1926$ , $\Vert A_{32}\Vert =1.4142$ , ${\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}=13.8985$ , $\Vert A_{34}\Vert =2.3028$ ;

$\Vert A_{41}\Vert =1$ , $\Vert A_{42}\Vert =1.6283$ , $\Vert A_{43}\Vert =0.5$ , ${\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{5}\text{.8123}$ .

对于引理2有：

第一行：$R_1^{}=9.5457>{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{8}\text{.5114}>C_1^{}=8.3722$ ；

第二行：$R_2^{}=7.7864<C_2^{}=9.2854<{\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{10}\text{.2903}$ ；

第三行：$C_3^{}=4.217<R_3^{}=7.9096<{\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{13}\text{.8985}$ ；

第四行：$R_4^{}=3.1283<{\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{5}\text{.8123}<C_4^{}=6.2206$ 。

综上，$M_1=\left\{4\right\},M_2=\left\{1\right\},M_3=\left\{2\right\},M_4=\left\{3\right\},M_5=M_6=\varnothing$ 。将以上数据代入(4)式计算可得

$0.8814\approx \frac{R_1^{}-{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}}{R_1^{}-C_1^{}}>\frac{{\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}-R_4^{}}{C_4^{}-R_4^{}}\approx 0.8680$ .

这不满足引理2的条件。

对于本文定理1有以下结果：

第一行：$R_1^S=\text{6}\text{.2429}>\left[{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-R_1^{\overline{S}}\right]=\text{8}\text{.5114}-\text{2}\text{.3028}-\text{1}=\text{5}\text{.2086}>C_1^S=3.1796$；

第二行：$R_2^S=\text{3}\text{.1796}<\left[{\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-R_2^{\overline{S}}\right]=\text{10}\text{.2903}-\text{1}\text{.4142}-\text{3}\text{.1926}=5.6835<C_2^S=6.2429$；

第三行：$C_3^{\overline{S}}=0.5<R_3^{\overline{S}}=2.3028<\left[{\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-R_3^S\right]=\text{13}\text{.8985}-4.1926-1.4142=8.2917$；

第四行：$R_4^{\overline{S}}=0.5<C_4^{\overline{S}}=2.3028<\left[{\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}-R_4^S\right]=\text{5}\text{.8123}-1-1.6283=3.184$。

综上，$M_1=\left\{2\right\},M_2=\left\{1\right\},M_3=\left\{4\right\},M_4=\left\{3\right\},M_5=M_6=\varnothing$ 。将以上数据代入(4)式计算可得

$0.3376\approx \frac{R_1^S-\left[{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-R_1^{\overline{S}}\right]}{R_1^S-C_1^S}<\frac{\left[{\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-R_2^{\overline{S}}\right]-R_2^S}{C_2^S-R_2^S}\approx 0.8174$ .

根据定理1可知矩阵$A$ 为非奇异块H-矩阵。

5. 总结

本文给出了块严格$S-\alpha$ 对角占优矩阵的一类等价表征并理论证明其为非奇异块H-矩阵，描述了其特征值包含域。数值算例1中可以看出定理1是成立的。数值算例2可以看出其判定范围相比于文献[3]中的结果是更加广泛的。因此，本文结果块H-矩阵中可判定范围更加广泛，特征值包含域更加精确。

致 谢

感谢导师、师姐和同门对本项目的悉心指导和帮助，在此表示由衷的感谢！

基金项目

湖南省科研创新一般项目《广义严格对角占优矩阵的高效迭代算法研究(23C0342)》。

NOTES

^*通讯作者。