不可约实特征标均为线性特征标的有限群

Finite Groups Whose Every Irreducible Real Character Is Linear

摘要: 有限群的特征标理论是刻画有限群结构的重要工具之一。如果有限群的特征标取实值，称该特征标为实值特征标。有限群不可约实特征标的性质对群结构的影响是很重要的，本文研究了不可约实特征标均为线性特征标的有限群的性质和结构。

Abstract: The character theory of finite groups is one of the important tools for characterizing the structure of finite groups. If a character of a finite group takes real values, it is called a real-valued character. The properties of irreducible real characters of a finite group heavily influence its structure. This paper investigates the properties and structure of the finite group whose every irreducible real character is linear.

1. 引言

设$G$ 为有限群，符号$G{L}_n\left(C\right)$ 表示复数域$C$ 上所有$n$ 阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成的群。一般地，称同态${\rm X}:G\to G{L}_n\left(C\right)$ 为群$G$ 的复表示。对每个$g\in G$ ，上述同态${\rm X}$ 的像的迹，即矩阵${\rm X}\left(g\right)$ 的迹$tr\left({\rm X}\left(g\right)\right)$ ，可以验证其为群$G$ 的一个类函数，不妨记为$\chi$ 。这样的$\chi$ 称为表示${\rm X}$ 提供的特征标。显然，对每个$g\in G$ ，$\chi \left(g\right)\in C$ 。特别地，如果对任意的$g\in G$ ，成立$\chi \left(g\right)\in R$ ，即$\chi \left(g\right)$ 是实数，我们称$\chi$ 为群$G$ 的实值特征标，简称实特征标。

另外，如果$x$ 是群$G$ 中的元素且$x$ 和$x^{-1}$ 在$G$ 中共轭，则称$x$ 是群$G$ 的实元素。容易验证，如果$x$ 是群$G$ 的实元素，则$x$ 的任何G-共轭元均是实元素，此时称实元素所在的共轭类为$G$ 的实共轭类。文献[1]中证明了任何一个有限群的不可约实特征标个数和其实共轭类个数相等。在[2]中，作者首先给出了几乎实群和几乎奇阶群的概念，然后分别考察了这两类群的性质和结构。在文献[3]中，作者提出了可以根据不可约实特征标的个数考察群结构，并且作者刻画了具有2个不可约实特征标或2个实共轭类的群结构。此外，Navarro等人在文献[4]中研究了不可约实特征标的次数均为素数幂的有限群。特别地，由于Iwasaki 在文献[3]中提出的根据不可约实特征标的个数研究群结构这一问题，再结合文献[2]中几乎实群的性质，于是在本文中，我们研究不可约实特征标均为线性特征标的有限群的性质和结构特征，并给出了这类群的详细结构刻画。另外，本文的符号都是标准的，可以参考文献[5]和[6]。

2. 引理和主要结论

设$G$ 为有限群，如果群$G$ 中存在对合$x$ ，即2阶元素$x$ ，则显然$x$ 和$x^{-1}$ 在$G$ 中共轭，于是，对合永远是有限群中的实元素，当然，此时群$G$ 是偶数阶群，实际上，我们有下面更有用的结论。

引理1有限群$G$ 为奇阶群当且仅当$G$ 中实元素只有单位元。

证明：设$G$ 为奇阶群，$x$ 是群$G$ 的实元素，则根据实元素定义可以知道，$x$ 所在的G-共轭类和$x^{-1}$ 所在的G-共轭类是相同的，即$c{l}_G\left(x\right)=c{l}_G\left(x^{-1}\right)$ 。因此映射$\phi :a\mapsto a^{-1}$ 是集合$c{l}_G\left(x\right)$ 上的一个置换。注意到$\left|c{l}_G\left(x\right)\right|$ 是$\left|G\right|$ 的因子，因此$\left|c{l}_G\left(x\right)\right|$ 是奇数。于是一定存在$y\in c{l}_G\left(x\right)$ ，使得映射$\phi$ 固定元素$y$ ，也即$y^{-1}=\phi \left(y\right)=y$ ，故$y^2=1$ 。由于$o\left(y\right)$ 也是$\left|G\right|$ 的因子，因此$o\left(y\right)$ 一定是奇数，故得到$o\left(y\right)=1$ ，即$y=1$ 。注意到$y\in c{l}_G\left(x\right)$ ，因此$x$ 一定是群$G$ 的单位元。

反之，如果设$G$ 中实元素只有单位元，下证明$G$ 为奇阶群。反证法，假设$\left|G\right|$ 为偶数，则根据有限群的Cauchy定理，$G$ 中一定存在对合，而对合是实元素，这与条件$G$ 中实元素只有单位元矛盾，故假设不成立。综上引理1得证。

下面的结论出自文献[4]。

引理2有限群$G$ 的实共轭类个数和不可约实特征标个数相等。

由引理1和引理2，我们可以立即得到以下结论。本文主要结论的证明中将应用到以下引理3的结论。

引理3有限群$G$ 的不可约实特征标只有主特征标当且仅当$G$ 为奇阶群。

下面我们给出有限群特征标理论中比较有用的Frobenius-Schur定理，先给出引理4中涉及到的群特征标概念。设$G$ 是有限群，$g\in G$ ，$n$ 是正整数，定义${\vartheta }_n\left(g\right)=\left|\left\{h\in G|h^n=g\right\}\right|$ ，称${\vartheta }_n\left(g\right)$ 为元素$g$ 在$G$ 中的$n$ 次根的个数。容易验证${\vartheta }_n$ 是群$G$ 的类函数。于是${\vartheta }_n$ 可以表示为下式：

${\vartheta }_n={\displaystyle \sum _{\chi \in Irr\left(G\right)}{\nu }_n\left(\chi \right)\chi }$ 。

由文献[5]引理4.4可以知道，当$g\in G$ ，$\chi \in Irr\left(G\right)$ ，${\nu }_n\left(\chi \right)$ 如上定义时，${\nu }_n\left(\chi \right)=\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \sum _{g\in G}\chi \left(g^n\right)}$ 。

引理4 ([5]，定理4.5)设$G$ 是有限群，$\chi \in Irr\left(G\right)$ 。则

(1) ${\nu }_2\left(\chi \right)=1,-1,0$ ；

(2) ${\nu }_2\left(\chi \right)=0$ 当且仅当$\chi$ 不是实值特征标；

(3) ${\nu }_2\left(\chi \right)=1$ 当且仅当$\chi$ 是由实表示提供的实值特征标；

(4) ${\nu }_2\left(\chi \right)=-1$ 当且仅当$\chi$ 是实值特征标，但$\chi$ 不能由任何实表示提供。

不可约实特征标的个数对有限群的结构影响是很重要的。例如S. Iwasaki在文献[3]中，就提出可以根据有限群$G$ 的不可约实特征标个数来考察群的结构，在[3]中，作者考察了具有1个或2个不可约实特征标的有限群的性质和结构。本文考查不可约实特征标均为线性特征标的有限群的结构，得到了以下定理。

定理1 如果有限群$G$ 的所有不可约实特征标均为线性特征标，则当且仅当$G=P\times K$ ，其中$P$ 为群$G$ 的Sylow 2-子群且$P$ 的所有不可约实特征标也为线性特征标。

证明：先证充分性。我们设$G=P\times K$ ,其中$P$ 为群$G$ 的Sylow 2-子群且$P$ 的所有不可约实特征标为线性特征标。任取群$G$ 的不可约实特征标$\alpha$ 。由于$G=P\times K$ ，因此分别存在$P$ 和$K$ 的不可约特征标$\beta ,\gamma$ ，使得$\alpha =\beta \times \gamma$ 又因为

${\alpha }_P=\gamma \left(1\right)\beta ,{\alpha }_K=\beta \left(1\right)\gamma$

注意到$\alpha$ 为实值特征标，因此得到$\beta ,\gamma$ 均为实值特征标。又因为$K$ 是奇数阶群，根据引理1可以得到$\gamma$ 一定是主特征标，即$\gamma =1_K$ 。根据已知条件子群$P$ 的所有不可约实特征标为线性特征标，因此$\beta \left(1\right)=1$ 故得到，

$\alpha \left(1\right)=\beta \left(1\right)\gamma \left(1\right)=1$ ，

于是得证$\alpha$ 一定为线性特征标，定理充分性得证。

下证必要性。设群$G$ 的所有不可约实特征标均为线性特征标。根据引理1，不妨设$G$ 为偶阶群。任取$g\in G$ ，令${\vartheta }_2\left(g\right)=\left\{a\in G|a^2=g\right\}$ 。由引理4可得，

$\left|{\vartheta }_2\left(g\right)\right|={\displaystyle \sum _{\chi \in Irr\left(G\right)}{v}_2\left(\chi \right)\chi \left(g\right)}$ (1)

其中，${\vartheta }_2\left(\chi \right)$ 为Schur指数。注意到，由引理4可以知道，如果上式中，$\chi$ 不为实特征标，则$v_2\left(\chi \right)=0$ ；当$\chi$ 为实特征标但$\chi$ 不能由实表示提供，则$v_2\left(\chi \right)=-1$ ；当$\chi \in Ir{r}_R\left(G\right)$ 为实特征标且$\chi$ 由实表示提供，则$v_2\left(\chi \right)=1$ 。由于条件群$G$ 的所有不可约实特征标均为线性特征标，而线性特征标本身可以看作其表示，因此得到$G$ 的所有不可约实特征均由实表示提供，故对任意的$g\in G$ ，成立：

$\left|{\vartheta }_2\left(g\right)\right|={\displaystyle \sum _{\chi \in Ir{r}_R\left(G\right)}\chi \left(g\right)}$ (2)

又因为对任意的$\chi \in Ir{r}_R\left(G\right)$ ，成立$o\left(\chi \right)|2$ ，因此$\left|G:\ker \chi \right|\le 2$ 。于是

$O^2(G)\le {\displaystyle \underset{\chi \in Ir{r}_R\left(G\right)}{\cap }\ker \chi }$

从而对任意的$g\in O^2\left(G\right)$ ，对任意的$\chi \in Ir{r}_R\left(G\right)$ ，均有$\chi \left(g\right)=\chi \left(1\right)=1$ 。根据上述式子(2)得$\left|{\vartheta }_2\left(g\right)\right|=\left|Ir{r}_R\left(G\right)\right|$ 。特别地，取$g=1$ ，可以得到$\left|Ir{r}_R\left(G\right)\right|=1+t$ ，其中$t$ 为群$G$ 中2阶元的个数。

任取奇数阶元素$y\in G$ 。记$y^2=h$ 。如果令集合$S=\left\{yb|b^2=1,b\in C_G\left(y\right)\right\}$ ，则对任意的$yb\in S$ ，成立

${\left(yb\right)}^2=ybyb=y^2{b}^2=y^2=h$ ，

故得到，

$S\subseteq {\vartheta }_2\left(h\right)=\left\{a\in G|a^2=h\right\}$ 。

另一方面，任取$x\in {\vartheta }_2\left(h\right)$ ，且记$x=x_2{x}_{2^{\prime }}$ ，其中$x_2$ 是元素$x$ 的2-部，$x_{2^{\prime }}$ 是$x$ 的$2^{\prime }$ -部。于是$x=x_2{x}_{2^{\prime }}=x_{2^{\prime }}{x}_2$ ，以及$y^2=h=x^2=x_2^2{x}_{2^{\prime }}^2$ 。注意到$o\left(y\right)=o\left(y^2\right)$ 是奇数，所以$y^2=x_{2^{\prime }}^2$ 且$x_2^2=1$ 。又因为$\langle x_{2^{\prime }}\rangle =\langle y\rangle$ ，因此可以设$x_{2^{\prime }}=y^m,m\in {\rm Z}$ 。因此得到，$y^2=x_{2^{\prime }}^2=y^{2m}$ ，从而$y^{2\left(m-1\right)}=1$ 。故得到$o\left(y\right)|2\left(m-1\right)$ ，注意到$o\left(y\right)$ 是奇数，从而$o\left(y\right)|\left(m-1\right)$ ，即得到$y^{m-1}=1$ ，进而$y^m=y$ ，于是综上得到，

$x_{2^{\prime }}=y^m=y$ 以及$x=x_{2}y=y{x}_2$ 。

注意到由前面式子，容易得到，$x_2^2=1$ 以及$x_2\in C_G\left(y\right)$ ，于是$x\in S$ 进而得到${\vartheta }_2\left(h\right)\subseteq S$ ，从而综上我们得到${\vartheta }_2\left(h\right)=S$ ，于是成立

$\left|{\vartheta }_2\left(h\right)\right|=\left|S\right|=\left|Ir{r}_R\left(G\right)\right|=t+1$ 。

上述式子意味着，对任意的群$G$ 中的对合$x$ ，均成立$xy=yx$ ，故得到$O^2\left(G\right)\le C_G\left(x\right)$ 。

令$P$ 是$G$ 的Sylow-2子群，$a\in {\rm Z}\left(P\right)$ 且$o\left(a\right)=2$ 。显然$G=O^2\left(G\right)P$ 。注意到由前可知$O^2\left(G\right)\le C_G\left(a\right)$ ，因此$a\in {\rm Z}\left(G\right)$ ，我们考虑商群$G/\langle a\rangle$ ，因为$G/\langle a\rangle$ 的不可约实特征标也是线性特征标，于是对$\left|G\right|$ 进行归纳，我们可以得到，

$G/\langle a\rangle =P/\langle a\rangle \times M/\langle a\rangle$ ，

其中，$M/\langle a\rangle$ 是奇数阶群，且$P/\langle a\rangle$ 的所有不可约实特征标是线性特征标。从而得到$P,M$ 都是$G$ 的正规子群，以及$G=PM$ 。如果设$\left|M/\langle a\rangle \right|=k$ ，则$\left|M\right|=2k$ 。注意到$k$ 是奇数，因此$M$ 存在指数为2的特征子群记为$K$ ，且$\left|K\right|=k$ ，从而$K$ 也是$G$ 的正规子群，且$G=P\times K$ 。

最后，设$\theta$ 是子群$P$ 的不可约实特征标，则$\theta \times 1_K$ 是群$G$ 的不可约实特征标。从而$\theta \times 1_K$ 是线性特征标，故得到$\theta$ 是子群$P$ 的线性特征标，也即得证子群$P$ 的任何不可约实特征标都是线性特征标。

3. 结语

有限群的特征标理论是群表示理论的重要组成部分，也是核心内容，它是刻画有限群结构的有力工具之一。我们知道，有限群的特征标取值是代数整数，当特征标取值是特殊的实数时，有限群的性质或者结构就会被限制。本文主要根据Iwasaki在文献[3]中提出的根据不可约实特征标的个数研究群结构这一问题，以及结合文献[2]中几乎实群的性质，继续研究了不可约实特征标均为线性特征标时群的结构，得到了这类群是可分解群。本文中得到的结论对后续研究不可约实特征标性质，尤其是不可约实特征标个数对有限群结构的影响是非常重要的。

基金项目

国家自然科学基金(12201553)；云南民族大学教学研究项目(2022JG-032)。