核心素养导向下高中数学项目式学习的教学设计与实践研究 ——以“三角函数的实际应用”为例

Teaching Design and Practice Research of Project Based Learning in High School Mathematics under the Guidance of Core Literacy—Taking “Practical Application of Trigonometric Functions” as anExample

摘要: 当前基础教育课程改革的核心在于促进学生核心素养的发展。数学核心素养作为学科育人价值的集中体现，其有效培养亟需突破传统教学中侧重知识传授与解题训练的局限。项目式学习凭借其情境真实性、任务驱动性和探究过程性，为整合发展数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养提供了重要的实践路径。本研究聚焦高中数学，以“三角函数的实际应用”为具体载体，系统探索核心素养导向下的项目式教学设计与实践，旨在为深化素养落地提供可操作的案例参考和理论支撑。

Abstract: The core of current basic education curriculum reform is to promote the development of students’ core competencies. As a concentrated manifestation of the educational value of the subject, the effective cultivation of mathematical core literacy urgently needs to break through the limitations of traditional teaching that focuses on knowledge transmission and problem-solving training. Project Based Learning (PBL) provides an important practical path for integrating and developing core competencies such as mathematical abstraction, logical reasoning, and mathematical modeling through its situational authenticity, task-driven nature, and exploratory process. This study focuses on high school mathematics, using the practical application of trigonometric functions as a specific carrier to systematically explore project-based teaching design and practice under the guidance of core competencies, aiming to provide actionable case references and theoretical support for deepening the implementation of competencies.

1. 引言

当前深化基础教育课程改革的核心指向学生发展核心素养的培育。数学核心素养作为关键学科素养，其有效落实亟需突破传统教学中偏重知识传授与解题训练的局限[1]。项目式学习(Project Based Learning, PBL)以其情境真实性、任务驱动性和学习过程性，为数学核心素养的整合培养提供了实践路径[2]。本研究聚焦于数学核心素养的培养，构建了“情境–任务–素养”的PBL核心素养发展机制模型：

(1) 真实/拟真情境驱动。精心设计的、与学生生活经验或社会科技发展相关的真实(或高度拟真)问题情境(如“太阳能板倾角优化”)，是PBL的起点[3]。这种情境打破了学科界限，还原了数学知识的应用本源，为学生理解数学的“有用性”和“必要性”提供了直观背景，有效激发探究动机，并为“数学建模”素养提供源头活水。

(2) 复杂问题任务链。围绕核心驱动性问题，设计具有挑战性、开放性、结构化的子任务链(如“建立单日模型→推广至年度模型→计算优化→验证修正”)。这些任务要求学生像“数学家”或“工程师”一样工作，经历完整的数学问题解决循环(提出问题→分析建模→求解计算→验证解释→反思推广)。任务的复杂性促使学生主动调用、整合、甚至重构已有的数学知识(如三角函数性质、导数应用)和跨学科知识(如地理、物理)，并在实践中深化理解[4]。这为“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”、“直观想象”等素养的综合运用与发展创造了必然需求。

(3) 协作探究与反思迭代。在完成任务的过程中，学生通过小组协作、自主探究、实验验证、技术工具辅助(如GeoGebra, Excel)、师生及生生互动对话等方式，不断尝试、试错、修正、优化其解决方案。这一过程充满了“做数学”的实践，强调思维的显性化和交流碰撞，不仅深化了概念理解(如参数ω的物理意义)，更直接锻炼了“逻辑推理”的严谨性、“数学运算”的精确性、“数据分析”的批判性[5]。持续的反思(元认知)环节(如模型假设检查、误差分析讨论)则促使学生跳出具体操作，审视思维过程、方法优劣和模型局限，这是素养内化与迁移的关键。

(4) 素养导向成果与评价。最终形成的项目成果(如技术报告、模型、答辩)是学生素养发展水平的集中体现[6]。而多元化的评价(关注过程与结果、知识与应用、能力与素养)，特别是基于清晰量规(Rubric)的评价，不仅提供反馈，更引导学生明确素养发展的目标和路径，反向促进学习[7]。

2. 高中数学项目式教学设计的原则

2.1. 核心素养导向原则

项目目标层面强调教学设计要脱离仅为了学习知识与技能、聚焦于学生数学核心素养的培育，因此，项目主题的选择、项目目标的设计、问题的设计、项目的活动设置、项目的评价设计都需要指向数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析6方面核心素养的培育[8]。以设计“三角函数的实际应用”的项目为例，核心项目目标应该是引导学生感受真实情境的数学建模全过程(观察、抽象、建立函数关系、求解、检验)，丰富模型化的数学思想意识；解决一些复杂测量问题、优化问题或周期问题，提升学生的逻辑推理和数学运算能力；解决一些有关物理振动、天文周期或工程结构等问题时，培养学生直观想象和数据分析素养[9]。设计者应分解分析该项目教学设计的过程哪一个步骤、哪一个环节可以承载、促进哪一个方面的素养，让学生在项目学习中，素养目标有意识地、有层次地渗透和生成，以提升学生核心素养，项目学习成为素养落地的载体。

2.2. 问题情境直观化原则

抽象是数学学科固有的属性，是教学中的难点，项目驱动教学的长处之一就是赋予抽象以丰富的直观内涵。该原则认为项目中心问题的驱动是基于学生可感、可见的实践情境或各学科的跨界背景，具有直观表征和指向意义。情境真实、适中且不可人为建构，自然引起认知冲突和探究兴趣[10]。如“某公园景观桥设计的拱形桥体模型”、“摩天轮座舱位置的运动解析”、“太阳能电池板面最有效的倾斜角”，均是三角函数(特别是正弦函数、余弦函数)与几何、物理、工程直观的情境，直观化的任务情境减少了数学学科的抽象性，从而为学生利用数学工具解决真实问题开辟了一条清晰的路径，也方便了学生内在动机的激发与促进，使学生深刻体会到数学知识的工具性、数学的本质，乃至数学的美，这对以后学生进行概念迁移和模型建构十分有帮助。

2.3. 学生主体性原则

此原则强调教学设计应保障学生在项目推进的全过程自主建构学习的主导地位。为此，教师应以学习的“引路人”、“支持人”和“合作者”的身份设计能够给予学生自主经历“提出问题–解决问题(策略计划、数据收集、建模、运算求解、论证评价)–反思拓展”的完整探索过程足够空间并安排合适结构的设计[11]。该原则强调问题环节(拟合函数、拟合参数等)安排认知上的冲击力，使学生调动原有知识(数的函数的性质、几何关系)，然后猜想、尝试、研讨、修正等。如在三角函数应用的项目学习中，由学生自主选定测量办法(现场测量或搜集数据)、选定拟合函数、拟定参数求解的方法、评价模型误差并讨论物理(实际)意义；教师应设计开放的问题、提供思维支架(如问题提示单、反思提示卡)、组织同学协作研讨等而非代替学生深度思考和做出决策，侧重培养学生的问题解决、批判性思维、协作交流与元认知能力。

2.4. 评价多元化原则

项目式学习的复杂性决定了单一的结果性评价远不足以反映学习全貌。此原则要求构建多维度、多主体、多形式的综合评价体系。维度上，需涵盖知识技能的掌握与应用(如三角函数模型的正确建立与求解)、核心素养的发展水平(如建模过程的严谨性、推理的清晰性)、学习过程的表现(如探究的主动性、协作的有效性、克服困难的毅力)以及项目成果的质量(如报告/模型的科学性、创新性、实用性)。主体上，结合教师评价、学生自评、同伴互评，多角度审视学习成效。形式上，综合运用表现性评价(观察记录、口头答辩)、过程性评价(学习日志、阶段性成果评审、协作记录)和结果性评价(项目报告、模型作品、测试)，并依据预设的、清晰透明的量规(Rubrics)进行评判。例如，对“三角函数模型解决实际问题”的评价量规，需细化模型构建的合理性、数学表达的准确性、问题解决的完整性、解释说明的逻辑性以及团队协作的有效性等指标及其等级标准[12]。多元评价不仅为教学改进提供依据，更是引导学生反思、促进素养持续发展的重要反馈机制。

3. 高中数学项目式教学实施策略

3.1. 经验类比，理论迁移，增进对项目式教学的理解

教师对项目式教学的理解是落实项目式教学的基础。策略上需要引导教师通过比较项目式学习与自身的、比较熟悉、已经有所经验的数学教学活动(如探究性学习、问题解决教学、数学建模活动)进行经验性的类比，把握其相同之处(如强调问题导向，注重过程体验)，突出项目式学习不同的特色(如整体性、真实性、成果性、较长周期与较大的学生自主性)。这是为了引导教师抓住已有的认知图式，从而减少新教学范式带来的陌生感和抵触感[13]。同时，要促进对项目式学习教学的理论层面的学习，深入阐明项目式学习与数学核心素养发展的内在逻辑关系，如，具体阐述项目式学习如何通过真实的情境下完成复杂真实的问题解决，为数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学素养的综合发展提供载体和有效领域，其过程性、协作性、反思性等特征如何满足素养发展需要的长期性与实践性要求[14]。理论层面的学习要与具体的案例(如“三角函数的实际应用”一节中，模型建构与求解过程如何整体训练多个数学素养)结合，让学生真正认识项目式学习，并非教学形式上的简单更替或转换，而是促进素养达成的有效途径和方式，理念上由“知识教学”向“素养教育”发生质变，更愿意主动实施。

3.2. 不完全项目式教学，将学生领进项目式教学的门

对于初次尝试或者受限于课时限制等教学现场的实际需求，不完整的项目式教学是对实施全过程较为完整的项目式教学的一种比较务实可行的选择，仍然保留真实情境、学生为主体的自主探究与实践、指向核心素养这些项目式教学的核心特征，但忽略或者删减项目过程的完整性或者任务的复杂性和细致性[15]。如在开展“三角函数的实际应用”项目时，可以由教师预先设置任务中的驱动性问题(“分析某地一年中正午时刻太阳高度角的变化规律并据此估算当地建筑物的最佳采光高度”，或者“分析图中A建筑区的建筑物间最佳间距h是多少”，等等)，给出部分经过选择的关键数据、或者关键信息以及主要的探究步骤框架，学生在教师提供的“半结构”的平台上，主要聚焦模型建立(“选择合适的三角函数模型”)、模型的参数求解(“利用已知条件选择适当的方法进行拟合或者计算”，等等)、结果的应用与解释等核心环节的自主探究与实践过程，低门槛进入，让学生在相对完整的项目式教学经历中集中体验和学习项目式学习中最核心的建模、推导、运算等关键能力，并且给予教师更集中地落实核心素养目标在关键环节的指导时间，有效控制项目过程与负荷，有助于学生将来的学习过程中更好地承担起更多、更复杂的、历时性更长的完整项目式教学任务。

3.3. 小项目式教学，弱化对资源条件的要求

一般性的小项目式教学实践适应于各种资源条件相对单一、缺乏跨学科的支撑、缺乏校外实践条件等客观现实。这些小项目式教学实践具有项目指向比较集中(仅对应于数学课程中特定的数学知识内容)，情境任务贴近且程度不是太高(应确保学生跳一跳能够够得着)，探究时间较短(一般不超过1~3课时)，依赖校外资源较少等特点。如围绕“三角函数图像和性质”的学习目标，设计项目“由单摆运动测重力加速度g”：了解单摆运动的周期公式。学生需理解单摆周期公式$\text{T}=2\text{π}\sqrt{\text{L}/\text{g}}$ 中蕴含的三角函数模型(周期运动)，通过实验测量不同摆长L对应的周期T，收集数据，利用三角函数性质(或结合数据处理知识)求解g值，并分析误差来源。此类小项目情境直观(物理实验)，数学核心目标明确(函数模型识别、参数求解、性质应用)，实施便捷(可在实验室或教室完成)，能高效锻炼数学建模、数学运算、数据分析等素养[16]。小项目易于嵌入常规教学单元，可作为新课引入、核心概念深化或单元复习的有效形式。其常态化实施不仅弱化了资源条件约束，更能通过“积少成多”的方式，使项目式学习成为日常教学的重要组成部分，持续、浸润式地促进学生核心素养的发展，并为开展更大规模项目奠定坚实基础。

4. 高中数学项目式教学设计的流程

4.1. 分析教学内容，确立项目主题

教学内容分析需锚定课标要求与核心素养发展点。以第三单元三角函数为例，要剖析周期性、参数的实际意义和建立数学模型的现实作用。项目主题设计要符合三个方面的要求：一是真实性，主题从真实世界的问题导入(如设计桥拱、分析潮汐周期)；二是跨学科，涉及了其它学科(如物理、地理等)的相关知识背景(如太阳能板倾角问题要涉及光学和几何)；三是探究性，问题要有一定的开放性，不同解答可以寻找到多种途径(如通过测量或拟合数据建立正弦模型)。不能人为“加工”，适当复杂才有高阶思维驱动问题，如“设计城市摩天轮观光舱间的安全距离”，需考虑振幅、频率、安全距离的关系。

4.2. 依据课标要求，制定项目目标

目标设计需分层映射六大核心素养。知识层明确基础技能(如利用$\text{y}=\text{A}\sin \left(\omega x+\varphi \right)+\text{b}$ 解析实际问题)；能力层聚焦建模全流程(情境抽象→变量识别→函数建构→误差分析)；素养层细化行为指标(如数学运算体现于参数精确求解，逻辑推理见于模型合理性论证)。目标表述须可观测、可评价，例如：“学生能通过太阳高度角年变化数据，建立余弦函数模型，计算冬至/夏至日角度差(数学运算、数据分析)，并解释模型对建筑采光优化的指导价值(数学建模、逻辑推理)”。

4.3. 汇集项目资源，拆解项目问题

情境源(本地天气数据表、建筑物图纸)、工具(Geogebra动态演示、直角尺实物)、前概念、知识点(导数概念、基本初等函数求导、导数的应用)。大问题拆分按照“总–分”模式进行：总问题“在计算屋顶的坡角时，如何才能保证我们在冬季保温，夏季隔热，设计出一个经济环保的屋顶”拆分为：“收集本地天气数据表信息→抽象纬度、季节与太阳辐射角之间的关系→建立三角函数方程→对三角函数方程求导→得到太阳辐射角最佳值(即屋顶最佳坡角)→检验该模型的经济性、环保性”。每个小问题分解中嵌入认知冲突(修正地球绕太阳公转轨道的偏心率对结果造成的影响)——撬动学生的前概念(向量、导数)。

4.4. 制定实施计划，确定评价标准

将内容安排在合适的单元与阶段：前情体验阶段(情境导入，1课时)→初步运用阶段(小组探讨，3课时)→改进阶段(模型迭代，2课时)→展示反馈阶段(产品展示、交流点评，1课时)。同时要根据时间节点确立阶段性的成果任务(例如在2课时统计结果处理环节要求学生写出拟合结果报告)。而其中的任务评价要做到一课三结合——知识运用结合评价量规(如模型的契合度占30%左右)、过程表现结合观察表记录学生间合作、独立解决问题的效能、素养发展结合学生的反思日志和个人答辩质疑追问(如学生在答辩中提出能否证明拟合出的模型比线性回归更恰当些？)。评价任务在课前出示后，要有目标达成度的标准给学生。

5. 高中数学项目式教学设计案例——以“三角函数的实际应用”为例

5.1. 高中数学项目式教学设计

5.1.1. 项目主题确立与目标设定

(1) 主题来源与真实性

项目源于可再生能源应用背景，核心驱动问题为：“如何科学确定某纬度地区固定式住宅屋顶太阳能板倾角，使其一年内接收的太阳辐射总量最大化？”该问题直接关联国家“双碳”战略，具有明确的工程价值与生态意义。情境整合了地理(纬度、太阳赤纬角变化)、天文(地球公转轨道)、物理(太阳辐射强度计算)及工程优化知识。

(2) 核心素养目标细化

目标严格对应六大核心素养，并设定可观测的行为指标：

数学建模：能基于太阳高度角变化规律，抽象关键变量(纬度$\phi$ 、太阳赤纬角$\delta$ 、时角$\omega$ )，建立正午太阳高度角α的数学模型$\alpha ={90}^{\circ }-\left|\phi -\delta \right|$ ，进而推导斜面太阳辐射强度与倾角β的函数关系$\text{I}\left(\beta \right)\propto \text{max}\left(0,\sin \left(\alpha +\text{β}\right)\right)$ ，最终构建年总辐射量$\text{S}\left(\beta \right)$ 关于β的三角函数积分模型(或离散累加模型)。

数学运算：能利用所建模型，结合本地气象站提供的典型年太阳高度角时序数据(或太阳赤纬角公式$\delta \approx {23.45}^{\circ }\text{*}\sin \left({360}^{\circ }\text{*}\left(284+\text{n}\right)/365\right)$ ，通过数值积分(或离散求和)精确计算不同倾角β对应的$\text{S}\left(\beta \right)$ 值。

逻辑推理：能论证模型简化假设(如忽略大气衰减、日变化、朝向等)的合理性及其对结果可能的影响；能通过求导$\text{ds}\left(\beta \right)/\text{d}\beta =0$ 或分析$\text{S}\left(\beta \right)$ 数据变化趋势，逻辑推导并验证最优倾角β_opt通常接近当地纬度$\varphi$ 的理论依据。

数据分析：能处理真实气象数据集，筛选有效辐射与高度角信息；分析模型计算结果与实际安装案例的差异，评估误差来源(如云层影响、数据分辨率)。

直观想象：能借助GeoGebra动态模拟太阳光线与不同倾角斜面的几何关系，直观理解$\sin \left(\alpha +\beta \right)$ 的物理意义。

数学抽象：能将复杂的太阳辐射接收过程，抽象为关键几何角度(α, β)的三角函数关系。

5.1.2. 项目问题拆解与资源支持

(1) 阶梯式问题链驱动探究

数据获取与变量识别：如何获取项目所在地(如北纬40˚)典型年逐日正午太阳高度角数据？(途径：国家气象科学数据中心、NASA数据库或简化公式计算)。影响斜面辐射接收效率的核心变量有哪些？

基础模型建立：如何建立某固定日期正午时刻，斜面太阳辐射接收强度I与太阳高度角α及太阳能板倾角β的数学关系？推导$\text{I}\left(\beta \right)\propto \text{max}\left(0,\sin \left(\alpha +\beta \right)\right)$ 。

年度模型拓展：如何将单日正午模型推广至计算一年内总辐射量$\text{S}\left(\beta \right)$ ？设计离散累加方案$\text{S}\left(\beta \right)={\displaystyle \sum \left[\text{I}\_\text{i}\left(\beta \right)\text{*}\Delta \text{t}\_\text{i}\right]}$ 或理解连续积分模型。

计算求解与优化：利用提供的数据/公式，计算北纬30˚、40˚地区不同β值(如0˚，10˚，...，90˚)对应的$\text{S}\left(\beta \right)$ 。如何确定使$\text{S}\left(\beta \right)$ 最大的最优倾角β_opt？比较β_opt与当地纬度$\varphi$ 的关系。

模型验证与修正：计算结果是否与工程经验(β_opt ≈ $\varphi$ )吻合？分析显著偏差的原因(如忽略散射辐射、日变化)。思考如何改进模型(如引入日积分、天空散射模型)。

(2) 结构化资源与工具支持

数据资源：国家气象信息中心提供的“中国典型城市年太阳高度角数据集”(含北纬30˚、40˚代表城市)；简化太阳赤纬角$\delta$ 计算公式表。

认知工具：GeoGebra动态交互课件(模拟不同日期、纬度、倾角下的光线入射角)；Excel/Python计算模板(用于数据批量处理、$\text{S}\left(\beta \right)$ 计算与绘图)。

实验器材(可选)：小型太阳能电池板、照度计、量角器，用于基础关系$\text{I}\propto \sin \left(\alpha +\beta \right)$ 的定性验证。

思维脚手架：“太阳能板辐射计算原理”背景阅读卡；“模型假设合理性检查清单”；“误差来源分析提示表”。

5.1.3. 实施流程与阶段任务

项目总课时设定为7课时，分阶段实施：

(1) 情境导入与问题界定(1课时)

播放建筑能耗与太阳能利用视频，引出驱动性问题。学生分组研读资料，明确任务目标、核心变量(纬度、倾角、太阳高度角)及预期成果(最优倾角推荐报告及模型简述)。

(2) 探索建模与数据求解(3课时)

任务1：学习太阳高度角α计算公式，获取/计算本地典型年数据。

任务2：利用GeoGebra模拟，协作推导斜面法向辐射强度与$\sin \left(\alpha +\beta \right)$ 的正比关系，理解$\text{I}\left(\beta \right)$ 模型。

任务3：设计$\text{S}\left(\beta \right)$ 计算方案(离散累加)，使用计算工具完成北纬30˚、40˚地区$\text{S}\left(\beta \right)$ 在β = 0˚至90˚间的计算，绘制$\text{S}-\beta$ 关系图。

任务4：分析图表，确定β_opt，比较其与纬度的关系，初步形成结论。

(3) 模型优化与深化反思(2课时)

引入认知冲突：展示实际工程中β_opt常略小于$\varphi$ 的现象，引导学生反思模型缺陷(忽略散射辐射、早晚辐射)。

提供修正资料(如各向同性散射模型简介)，鼓励尝试简单修正(如 $\text{I}\_\text{total}=\text{I}\_\text{direct*}\sin \left(\alpha +\beta \right)+\text{I}\_\text{diffuse*}\left(1+\cos \beta \right)/2$ )。

分组讨论模型简化假设的合理性、计算结果的可靠性及实际应用建议。

(4) 成果总结与答辩评价(1课时)

各组撰写简版技术报告，重点呈现：模型核心公式、计算流程简述、最优倾角结果、误差分析与实用建议。进行模拟“能源公司方案评审会”答辩，接受教师与同伴质询(如：“为何忽略日变化影响？”“模型对高纬度冬季适用性如何？”)。

5.1.4. 多元化评价设计

评价严格遵循1.4节原则，贯穿全程：

(1) 评价维度与核心素养精准对齐

评价维度紧密围绕项目目标，并逐项映射至六大核心素养的具体表现：

① 数学建模素养(25%)

重点评价能否从“太阳能板倾角优化”问题中识别关键变量(纬度$\varphi$ 、赤纬角$\delta$ 、倾角β、太阳高度角α)；能否建立斜面辐射强度I与α、β的三角函数关系(I $\propto$ sin(α+β))；能否构建年度总辐射量S(β)的离散累加或积分模型；模型假设(忽略散射、日变化等)的合理性论证。

② 逻辑推理素养(20%)

重点评价模型推导过程(如I $\propto$ sin(α + β)的几何证明)的严谨性；求解最优倾角β_opt (求导找极值或数据分析趋势)的逻辑链条清晰度；对结论“β_opt ≈ $\varphi$ ”的解释与论证深度；对模型局限性及修正方案(如引入散射项)的批判性思考。

③ 数学运算素养(15%)

重点评价利用公式计算每日α的准确性；利用工具(Excel/Python)进行大规模离散累加计算S(β)的流程正确性与结果精度；求导计算极值点(若采用连续模型)的准确性。

④ 数据分析素养(15%)

重点评价处理真实气象数据(筛选、清洗异常值)的规范性；利用图表(S(β) vs β关系图)分析趋势、定位最优值β_opt的有效性；对计算结果与实际案例差异的原因分析(误差来源识别)的深度。

⑤ 直观想象素养(10%)

重点评价利用GeoGebra动态模拟理解太阳光线、斜面角度、太阳轨迹周期性($\omega$ 变化)等空间几何关系的能力；将图表数据与物理/几何意义建立联系的能力。

⑥ 数学抽象素养(5%)

重点评价能否从复杂的太阳辐射接收物理过程中，剥离次要因素，抽象出最核心的数学关系(角度决定辐射强度)。

⑦ 学习过程与合作表现(10%)：评价贯穿全程，包括探究的主动性、克服困难的毅力、小组协作的有效性(分工、沟通、互助)、反思日志的质量(元认知)。

(2) 评价主体与形式

结合教师评价(主导，侧重素养与知识)、学生自评(反思学习过程与个人贡献)、同伴互评(侧重协作与贡献度)。

① 表现性评价

教师观察记录(课堂参与、探究活动、GeoGebra操作)、口头答辩表现。

② 过程性评价

学习日志/反思日记、阶段性成果报告(如数据获取报告、基础模型推导报告)、协作平台互动记录(引入学习分析：记录讨论频次、内容深度、文档协作历史等，用于分析协作效能和探究深度)。

③ 结果性评价

最终技术报告、答辩PPT、计算模板/代码、优化建议书。

(3) 评价工具与信效度保障

针对上述每个核心素养维度和学习过程维度，开发了详细的分级评价量规(例如，数学建模量规包含“变量识别”、“关系建立”、“模型构建”、“假设评估”等指标，每个指标分3~4个水平描述)。量规在项目开始前即提供给学生，使其明确评价标准。

所使用的核心素养评价量规(Rubrics)在实施前，邀请了3位数学教育专家和2位经验丰富的中学教师进行内容效度审议，并根据反馈进行了修订。在小范围预测试后，计算了教师评价者间信度(Kappa系数)和量规内部一致性信度(Cronbach’s α系数均在0.85以上)，表明评价工具具有较好的可靠性和稳定性。

充分利用学习分析技术收集的过程数据作为评价的重要补充依据。例如：分析在线协作平台(如腾讯文档、钉钉群)的日志数据，评估小组讨论的活跃度、任务分工的均衡性、文档迭代的深度。分析GeoGebra操作记录，了解学生对几何关系动态探索的频率和路径，辅助评价“直观想象”素养。跟踪阶段性报告的提交质量与时间节点，评估项目进度管理和阶段性目标达成情况。

5.2. 实施效果分析

为严谨评估项目式教学对高中生数学核心素养发展的影响，本研究采用准实验设计，在试点学校选取两个数学基础相近的高二理科平行班(各n = 52人)，分别作为实验组(实施“三角函数的实际应用”PBL教学)和对照组(采用常规讲授 + 练习教学)。在项目实施前一周对所有学生进行前测(包含三角函数基础、简单建模能力、逻辑推理题目)，确保两组在数学基础与关键素养起点上无显著差异(独立样本t检验，p > 0.05)。项目实施周期为7课时。项目结束后一周内，对所有学生进行后测。后测工具聚焦考察“三角函数的实际应用”相关的数学建模能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数据分析能力，题目设计与项目任务高度相关但情境有所变化(例如，“设计遮阳棚角度以最大化冬季采光夏季遮阳”)。同时，对实验组学生的项目成果(报告、答辩表现)按照“多元化评价设计”中制定的量规进行评分，作为其素养表现的深度证据，并收集了学生的反思日志和访谈记录。

5.2.1. 量化分析结果

(1) 组内比较

实验组后测成绩(M = 82.36, SD = 8.71)显著高于其前测成绩(M = 70.15, SD = 9.83)，配对样本t检验结果显著(t(51) = 9.24, p < 0.001)，表明实验组学生在项目学习后相关能力素养有显著提升。对照组后测(M = 73.58, SD = 10.02)虽也高于前测(M = 70.89, SD = 9.95)，但提升幅度较小，配对t检验结果边缘显著(t(51) = 2.01, p = 0.050)。

(2) 组间比较

独立样本t检验显示，实验组后测成绩显著高于对照组后测成绩(t(102) = 4.87, p < 0.001)，效应量Cohen’s d = 0.94 (>0.8，属大效应量)，表明PBL教学在提升学生“三角函数的实际应用”相关素养方面显著优于常规教学。

在后测分项能力题上，实验组在数学建模(建立实际问题与三角函数模型的联系)、逻辑推理(模型合理性论证、优化决策推导)和数据分析(处理数据、图表解读、误差理解)方面的得分率均显著高于对照组(p < 0.01)，效应量(d)在0.78~1.05之间(中到大效应量)。在数学运算(复杂公式计算)方面，实验组也略高于对照组，但差异未达显著水平(p > 0.05)。

5.2.2. 质性分析结果

基于Rubric的评分显示，实验组在“数学建模”(平均等级：良好)和“逻辑推理”(平均等级：良好)素养表现最为突出。78%的组能系统阐述建模全流程(抽象→建模→求解→验证→解释)。在模型修正环节，41%的组主动尝试引入散射辐射补偿项(+I_diffuse)，展现出批判性思维。

访谈中，35%的学生明确提到“三角函数已不再是书本上的周期图形，而是分析现实问题(如节能效益)的计算工具”，表明应用意识显著增强。对正午太阳高度角公式α = 90˚ − |φ − δ|和斜面辐射关系I ∝ sin(α + β)的理解深度与应用灵活性远超对照组(对照组学生更多表现为公式套用)。

学习分析数据显示，小组协作中承担核心任务(数据分析、模型模拟)的学生比例从初期的34%提升至79%。反思日志中频繁出现关于“模型简化与误差取舍”的讨论(如“没有小数点就是模型简化，误差就是模型复杂，对不对？”)，反映出元认知能力和对模型本质理解的提升。尽管过程中学生遇到数据量大(“很烦”)和模型修正的挑战(“因素太多”)，但普遍表现出较高的坚持度和问题解决意愿(“我就想到了限制偏移”)。

6. 结语

本研究以“三角函数的实际应用”为具体载体，系统探索了核心素养导向下高中数学项目式学习的教学设计与实践路径。通过确立核心素养导向、问题情境直观化、学生主体性及评价多元化四项原则，构建了从项目主题确立、目标制定、资源整合到评价设计的完整教学流程。实证案例表明，依托“太阳能板倾角优化”等真实情境的项目实践，能有效促进学生数学建模、逻辑推理等核心素养的整合发展，显著提升其知识迁移能力与问题解决效能。