Maple数学软件在应用型本科院校高等数学教学中的应用

Application of Maple Mathematics Software in Higher Mathematics Teaching in Application Oriented Undergraduate Colleges

摘要: 本文最主要的目的是探讨Maple数学软件在应用型本科院校高等数学教学中的应用。通过Maple软件的可视化和强大的计算能力，能够演示高等数学教学中的核心概念，降低了学生的认知门槛，培养了学生的工程思维能力，有效提升了课堂活力，激发了学生的学习兴趣。在应用型本科院校的高等数学教学中，引入Maple数学软件能够显著增强学生运用数学工具解决实际问题的能力，这对实现应用型本科院校的人才培养目标具有重要的实践意义。

Abstract: The main purpose of this article is to explore the application of Maple mathematical software in higher mathematics teaching in applied undergraduate colleges. Through the visualization and powerful computing capabilities of Maple software, core concepts in higher mathematics teaching can be demonstrated, reducing students’ cognitive barriers, cultivating their engineering thinking ability, effectively enhancing classroom vitality, and stimulating students’ learning interest. In the teaching of advanced mathematics in applied undergraduate colleges, the introduction of Maple mathematical software can significantly enhance students’ ability to use mathematical tools to solve practical problems, which has important practical significance for achieving the talent cultivation goals of applied undergraduate colleges.

1. 引言

《高等数学》课程是应用型本科院校理工科、经济管理类专业开设的一门核心必修课程[1] [2]。《高等数学》的主要内容是围绕微积分展开的，并且延伸到多元函数微分学、积分学、常微分方程、级数等内容。《高等数学》是一门非常抽象，而且逻辑性很强的数学课程。对于大一的学生来说是一门非常具有挑战性的课程。在以往的《高等数学》实践教学中，往往存在以下问题：(1)《高等数学》的内容非常的抽象，对于应用型本科院校来说，往往还存在教学内容与专业实际脱节的情况；(2)《高等数学》的授课比较单一，在教学实践中，数学教师往往更注重于基本概念，注重于基本定理的推导。学生存在对基本公式的机械记忆，而忽略对于定理和公式的理解等；(3) 课时严重不足，有些专业甚至需要在学习中间开展专业实训，直接导致课时分布严重不足等现象。基于以上高等数学教学中存在的诸多问题，本文的最主要的目的是通过引入Maple软件(版本为Maple2024) [3]-[8]，结合多媒体的教学，使得学生能更直观地理解复杂数学概念，通过Maple软件强大的可视化和符号计算能力有效地提升学生解决实际问题的能力。通过教学的理论与实践的结合，助力应用型人才的培养，培养学生利用数学软件和高等数学知识解决实际问题的能力。而且，Maple软件与教学技术理论可以得到系统融合[9]，主要体现在三个方面：(1) TPACK框架驱动，Maple作为技术工具可以无缝对接高等数学核心内容，重构抽象概念传递路径；(2) 认知负荷理论优化，Maple的可视化能力显著减低学生对符号语言的内在认知负荷，将认知资源转化为工程问题的本质；(3) SAMR模型升级应用：本文利用Maple软件替代了手工计算，重塑了学习流程，推动了数学思维向工程思维能力培养方面的迁移。

2. Maple软件在高等数学教学中的案例

2.1. Maple数学软件在极限教学中的应用

在《高等数学》上册的教学中，有一个非常重要的数学公式就是两个重要的极限公式，在很多《高等数学》教材中，普遍都是通过比较面积大小的方法证明了重要极限公式I。但是对于重要极限公式II，

都是通过单调有界准则证明的，首先构造了数列$a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ ，接下来，利用二项式展开式和不等式证明

了$\left\{a_n\right\}$ 单调递增，然后再证明$a_n<3$ 。在这个证明过程中，并没有通过绘图来说明这个极限随着自变量的变化趋势。本文将通过Maple软件绘制重要极限公式II的图像。重要极限公式II为：$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$ ，通过Maple软件绘制它的图形和代码如下，其中蓝色的线条表示的是函数$y={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 在区间$\left[-100,100\right]$

的图形，红色部分表示的水平渐近线$y=e$ 。极限公式II的图形代码如下：

restart;with(plots);

f := x -> (1 + 1/x)^x;

plot(f(x), x = −100 .. 100, title = "Graph of (1 + 1/x)^x as x approaches infinity", labels = ["x", "f(x)"], color = blue, view = [−100 .. 100, 2 .. 3], gridlines = true);

plots[display](plot(f(x), x = −100 .. 100, color = blue), plot(exp(1), x = −100 .. 100, color = red, linestyle = dashed), title = "Graph with Asymptote y = e", labels = ["x", "f(x)"], gridlines = true);

运行(Enter键)，即可得到图1。

Figure 1. The graph of function $y={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ on the interval $\left[-100,100\right]$

图1. 函数$y={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 在区间$\left[-100,100\right]$ 的图形

2.2. Maple软件在常微分方程求解方面的应用

利用Maple软件计算方程$y^{″}+4y={\cos }^{2}x$ 的通解，该方程可以通过手算计算得到通解为：

$y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+\frac{1}{8}x\sin 2x+\frac{1}{8}$ 。通过Maple软件编程验算手算结果是准确的。相应的Maple程序如下：

with(DEtools, odeadvisor);

#定义微分方程

ode := diff(y(x), x$2) + 4*y(x) = cos(x)^2;

# 使用 dsolve 求解通解

dsolve(ode, y(x));

运行(Enter键)，即可得到以上方程的通解。

2.3. Maple软件空间解析几何绘图中的应用

《高等数学》中有一章的内容为空间解析几何。本节主要讲述空间直角坐标系中的直线、平面、空间曲面和空间曲线的方程等内容，这部分的内容特别抽象，很难绘制图形。本节借助于Maple软件绘

制半球面$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 和圆柱面${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ 的图像如下图所示。

Figure 2. Curve of the intersection line between hemispherical surface $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ and cylindrical surface ${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$

图2. 半球面$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 和圆柱面${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ 的交线的曲线

相应的Maple程序如下：

restart;

with(plots);

with(plottools);

a := 1;

x_curve := a*cos(theta)^2;

y_curve := a*cos(theta)*sin(theta);

z_curve := a*abs(sin(theta));

display(implicitplot3d(z = sqrt(a^2 − x^2 − y^2), x = -a .. a, y = -a .. a, z = 0 .. a, color = blue, transparency = 0.7, grid = [40, 40, 40]), implicitplot3d((x − a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2, x = 0 .. a, y = -a .. a, z = 0 .. a, color = green, transparency = 0.7, grid = [30, 30, 30]), spacecurve([x_curve, y_curve, z_curve], theta = -Pi/2 .. Pi/2, color = red, thickness = 5, numpoints = 2000), spacecurve([x_curve, y_curve, z_curve], theta = Pi/2 .. (3*Pi)/2, color = red, thickness = 5, numpoints = 2000), axes = normal, labels = ["x", "y", "z"], orientation = [60, 75], scaling = constrained);

运行(Enter键)，即可得到图2。

2.4. Maple数学软件在三重积分计算中的应用

计算三重积分${\displaystyle \underset{\Omega }{\iiint }x\text{d}x\text{d}y\text{d}z}$ ：其中积分区域$\Omega$ 由三个坐标面及平面$x+2y+z=1$ 围成的闭区域。

相应的Maple程序如下：

with(Student[MultivariateCalculus]);

MultiInt(x, z = 0 .. 1 − x − 2*y, y = 0 .. (1 − x)/2, x = 0 .. 1, output = steps);

运行(Enter键)，即可得到结果。

2.5. Maple数学软件级数中的应用

利用Maple软件求级数$\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\cdots$ 的和。

相应的Maple程序如下：

restart;

sum(1/((2*n−1)*(2*n+1)), n = 1..infinity);

运行(Enter键)，即可得到结果。

2.6. 优化问题

工厂铁路线上AB段的距离为100 km，工厂C距A处为20 km，AC垂直于AB。为了运输需要，要在AB线上选择一点D向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货物的运费之比为3:5。为了使货物从供应站B运送到工厂C的运费最省，问：D点应选在何处？

相应的Maple程序如下：

f := x -> 3*(100 − x) + 5*sqrt(x^2 + 400);

minimize(f(x), x = 0..100, location);

运行(Enter键)，即可得到结果。注意这里$x=\left|AD\right|$ 。本题目通过数学计算可得$x=15\text{km}$ 。与Maple计算结果吻合。

3. Maple软件在高等数学教学中的实证研究

通过以上例子可以证实Maple软件为高等数学的教学提供很多可视化和数值计算等方面提供了很多便利。在2024学年~2025年学年第二学期的教学中，以某应用型本科院校管理类专业高等数学的两个不同的专业为例子，一个专业利用传统教学为对照组，另外一个专业使用了Maple软件为实验组，经过一学期的教学，最后的期末考试的学生成绩如表1所示，显然从表1中可以看到，通过在教学中使用Maple软件进行教学，学生的优秀人数有所增加，不及格率显著降低。

Table 1. Student performance evaluation

表1. 学生成绩评价

班级	学生人数	等级
		优秀(90分以上)	良好(80~89分)	中等(70~79分)	及格(60~69分)	不及格
对照组(传统教学)	51人	0人	7人(13.72%)	10人(19.61%)	24人(47.06%)	10人(19.61%)
实验组(使用Maple)	51人	3人(5.88%)	6人(11.76%)	25人(49.02%)	14人(27.45%)	3人(5.88%)

4. 反思技术的双面：挑战与风险

4.1. 挑战与反思

Maple软件在《高等数学》的教学中显著提高了学生解决数学问题的能力。但是也存在两个方面的挑战与风险：一方面，学生过度依赖数学软件可能会导致基本运算能力的弱化，学生忽略手算的练习将无法巩固基本的知识点；另外一方面，教学实施风险将加大，《高等数学》数学课程是高等数学理工科管理类专业的基础课程，涉及的授课老师较多，教师对于Maple软件技能的掌握可能会存在不足，《高等数学》课程严重不足也将导致，Maple软件的授课内容将会被压缩。

4.2. 教学策略建议

一方面，人机结合策略要被引入，在所有的案例中，必须做到“先手算后软件”的策略，在所有的案例设计中，手算尝试后再用Maple进行验证；另外一方面，设计混合式的教学模式，例如可以考虑60%的传统练习 + 40%Maple应用模式，可以规避风险。

5. 总结

本文将Maple软件应用于《高等数学》的教学中，结合PPT的演示讲解，加深了学生对于抽象的数学符号语言的理解。特别是对几何图形的绘图，应用数形结合的方法使得学生快速理解数学问题，以上的6个问题笔算结果与Maple软件计算的结果一致。引入Maple数学软件能够显著增强学生运用数学工具解决实际问题的能力，这对实现应用型本科院校的人才培养目标具有重要的实践意义。

基金项目

四川省哲学社会科学重点研究基地四川省教师教育研究中心高校师德师风建设长效机制创新研究探索课题研究成果，项目编号：TER2024-025。成都大学计算机学院微课程项目(SmartIT_G133)。