生成式AI在函数极限可视化教学中的应用初探

A Preliminary Study on the Application of Generative AI in the Visualized Teaching of Function Limits

摘要: 随着人工智能技术的快速发展，AI协同教学已成为教育教学改革的重要工具。本文聚焦数学分析选讲课程中的重要内容——函数极限求解，提出将AI技术作为“智能助手”应用于辅助教师设计教学设计，利用AI技术生成动态可视化图像，以更有效地刺激学生的视觉与听觉，提升学生学习兴趣与对抽象知识的理解程度，为数学教学提供了一种新的可视化资源生成途径。

Abstract: With the rapid development of artificial intelligence technology, AI-assisted collaborative teaching has become an important tool for educational innovation. This article focuses on the key content of the elective course of Mathematical Analysis—the solution of function limits, and proposes to apply AI technology as an “intelligent assistant” to assist teachers in designing teaching plans. By using AI technology to generate dynamic visual images, it can more effectively stimulate students’ visual and auditory senses, enhance their interest in learning and understanding of abstract knowledge, and provide a new approach to generating visual resources for mathematics teaching.

1. 引言

在当今科学技术迅猛发展的背景下，生成式AI技术凭借其独特的创造性、多模态能力与实时交互性等特点，为教育领域积极探索创新突破提供了新动力。AI在教育中的深化应用，不仅可以推动课程智能化升级，促进课程交叉融合，而且可以催生教师、学生、机器的三元互动教学模式[1] [2]。同时，在AI辅助教学的环境下，教师、学生与AI协同开展的教育模式也已经成为教育领域的必然趋势，AI技术所具备的特征与独特的优势也极大程度地动摇了教师与学生的传统角色定位[3]。然而AI辅助教学并不能取代教师，而是作为“智能助手”辅助教师进行教学设计、课件制作、答疑解惑等工作，弥补传统教育教学中存在的短板。通过AI技术的应用实现教学资源迭代更新、教学方式升级变革、教学评价系统创新、师生数字化能力提升等，以教育教学与新型科学技术相融合，从而促进我国高等教育人才水平的提升[4]。

在数学分析课程的学习中，极限是贯穿整个学科体系的核心概念，从历年考研真题来看，有关求函数极限的题目在试卷中出现的频率极高。然而，面对学习难度较大的知识点，以及枯燥无味的传统课堂教学模式，多数学生对于学习数学抱着知难而退的想法，学习积极性较差，经常表现为在课堂上无法集中精力或者不愿意积极主动深入思考，所以仍然存在抽象思维不足以及方法掌握不全面的问题。虽然许多研究针对大学的数学教学提出了多种教学模式的创新应用，但利用新型科学技术协同教学的研究仍然较少[5]-[7]。

因此，利用AI技术帮助实现将各种信息元素如文本、图像、动画等进行融合，设计精准的可视化动图，可以创造更加形象直观的学习环境供学生学习，对学生的视觉和听觉施加了双重刺激，帮助学生提高对知识的理解和掌握程度。

2. AI辅助教学的教学案例分析

求解函数极限的方法丰富多样，常用的包括利用等价无穷小进行替换、洛必达法则、泰勒公式展开、单调有界定理以及利用夹逼定理等进行求解。学生往往依据题目自主选择适用的方法，而题目中所求的函数多数为复合函数等无法直接判断函数变化趋势的复杂函数。因此，利用AI生成有关极限函数的可视化动图，应用在相关例题的讲解中，有助于学生更加直观地理解函数极限。

2.1. 确定授课内容——求函数极限的方法

求函数的极限是研究生考试中数学分析科目以及考研数学的必考内容，关于利用泰勒公式、等价无穷小替换以及洛必达法则计算函数极限更是高频考点。本节课主要借助历年各高校的考研真题，引导学生复习回顾如何利用导数的定义、等价无穷小与洛必达法则、泰勒展开法三种方法求解函数极限，题目的选取能直观地呈现命题趋势，更具有参考价值。

1. 导数的定义：

设$f\left(x\right)$ 在$\left[-1,1\right]$ 上连续，求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+f\left(x\right)\sin x}-1}{3^x-1}$ 。

2. 等价无穷小与洛必达法则：

(1) 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^{x}t\ln \left(1+t\sin t\right)\text{d}t}}{1-\cos x^2}$ 。

(2) 求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_t^x\left[t^2\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right]\text{d}t}}{x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ 。

3. 泰勒展开法：

(1) 求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x^2}$ 。

(2) 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{\alpha x^2}{\cos }^{2\alpha }x-1}{x^2}$ 。

2.2. 将AI辅助教学利用到教学设计中

选择五道历年来的考研真题作为本节课的例题以及练习题，为了能让学生更直观地体验函数极限的求解，利用AI技术辅助教学，对AI输入准确的指令，如利用AI软件DeepSeek来生成图像，输入指令：我是一名大学数学教师，正在撰写关于求函数极限的方法的教学设计，请识别上传的题目，现在请对上述题目利用导数的定义进行求解，要求生成体现函数极限变化趋势的动图，用html格式输出。同时，运行AI生成的代码，得到采用可视化工具生成相关所求极限的函数的动图。

一、例题讲解：

例题1：设$f\left(x\right)$ 在$\left[-1,1\right]$ 上连续，求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+f\left(x\right)\sin x}-1}{3^x-1}$ 。

Figure 1. Behavior of the hypothetical limit function as $x\to 0$

图1. 当$x\to 0$ 时假设的极限函数图像变化趋势图

分析：根据题目所给的条件，可以假设满足在$\left[-1,1\right]$ 上连续的函数$f\left(x\right)=2+\cos x$ ，利用AI生成关于极限函数随着$x$ 变化而变化的动图，见图1，通过调整$x$ 的取值，观察当$x\to 0$ 时极限函数图像的行为。其中红色曲线表示极限函数，绿色水平虚线表示理论函数极限值。当$x$ 取值逐渐趋近于0时，函数值逐渐趋近于理论极限值。要注意在$x=0$ 处函数未定义，但极限仍然存在。

接下来对题目进行求解，由于题目中只给出函数$f\left(x\right)$ 在区间上连续的条件，所以不能对函数直接进行求导，可以利用导数的定义进行求解。

解：设$g\left(x\right)=\sqrt[3]{1+f\left(x\right)\sin x}$ ，

则$g\left(0\right)=\sqrt[3]{1+f\left(0\right)\cdot 0}=1$ 。

原极限可写为：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{3^x-1}$ 。

由导数的定义知：$g^{\prime }\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{x-0}$ ，

又利用等价无穷小替换$3^x-1~x\ln 3$ ，

得：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{3^x-1}=\frac{g^{\prime }\left(0\right)}{\ln 3}$ 。

计算可得：$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left[1+f\left(x\right)\sin x\right]}^{-\frac{2}{3}}\cdot \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[1+f\left(x\right)\sin x\right]$ ，

故$g^{\prime }\left(0\right)=\frac{1}{3}{\left(1\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left[f^{\prime }\left(0\right)\cdot 0+f\left(0\right)\cdot 1\right]=\frac{f\left(0\right)}{3}$ ，

因此极限结果为：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+f\left(x\right)\sin x}-1}{3^x-1}=\frac{f\left(0\right)}{3\ln 3}$ 。

例题2：求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^{x}t\ln \left(1+t\sin t\right)\text{d}t}}{1-\cos x^2}$ 。

Figure 2. Behavior of the limit function as $x\to 0$

图2. 当$x\to 0$ 时极限函数图像变化趋势图

分析：根据生成的图2也可以观察到，随着$x$ 取值逐渐趋近于0时，函数值逐渐趋近于理论极限值。观察极限函数形式，分子是一个变上限积分函数，当$x\to 0$ 时，${\displaystyle {\int }_0^{x}t\ln \left(1+t\sin t\right)\text{d}t\to 0}$ ，$1-\cos x^2\to 0$ ，在数学分析中，我们将两个无穷小量之比或者两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，判断原极限

函数符合$\frac{0}{0}$ 型不定式极限，满足使用洛必达法则求解的条件，可以直接进行求解。

解：应用洛必达法则，分别对原函数的分子与分母进行求导。

根据微积分基本定理可知：

分子的导数：$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[{\displaystyle {\int }_0^{x}t\ln \left(1+t\sin t\right)\text{d}t}\right]=x\ln \left(1+x\sin x\right)$ 。

分母的导数：$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(1-\cos x^2\right)=2x\sin x^2$ 。

则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^{x}t\ln \left(1+t\sin t\right)\text{d}t}}{1-\cos x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln \left(1+x\sin x\right)}{2x\sin x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\sin x\right)}{2\sin x^2}$ 。

当$x\to 0$ 时，$\ln \left(1+x\sin x\right)~x\sin x$ ，$\sin x^2~x^2$ 。

应用等价无穷小替换，代入极限表达式可得：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\sin x}{2x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}$ 。

利用重要极限：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ ，可得：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$ 。

因此极限结果为：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^{x}t\ln \left(1+t\sin t\right)\text{d}t}}{1-\cos x^2}=\frac{1}{2}$ 。

例题3：求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x^2}$ 。

Figure 3. Behavior of the limit function and Taylor approximation as $x\to +\infty$

图3. 当$x\to +\infty$ 时极限函数与泰勒近似变化趋势图

分析：图3中蓝色曲线表示极限函数，绿色水平线表示理论函数极限值，红色虚线表示的曲线代表泰勒近似值。观察动图，当$x$ 逐渐趋近于正无穷时，极限函数取值与泰勒近似值差距逐渐减小直至完全重合，并且共同趋近于理论极限值。并且，想要利用泰勒公式进行求解，需要对原函数进行变换。

解：$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}\cdot {\text{e}}^{x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ ，

对$\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 进行泰勒展开可得：$\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ 。

故$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}\cdot {\text{e}}^{x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{x^2\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-\frac{1}{2}+o\left(1\right)}={\text{e}}^{-\frac{1}{2}}$ 。

因此极限结果为:$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x^2}={\text{e}}^{-\frac{1}{2}}$ 。

二、练习：请同学完成以下关于求极限函数的问题，尝试用AI生成可视化动图，并尝试结合生成的可视化图像讲解题目，由学生代表对题目进行讲解。

(1) 求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_t^x\left[t^2\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right]\text{d}t}}{x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ 。

(2) 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{\alpha x^2}{\cos }^{2\alpha }x-1}{x^2}$ 。

在学生进行求解时提醒学生，对于第一题，判断出题目符合利用洛必达法则求解的$\frac{\infty }{\infty }$ 型不定式，观察函数会发现若直接分别对函数的分子、分母进行求导，分子可以得到更加简化的形式，但分母的形式会变得更加复杂，此时要善用等价无穷小进行替换。观察当$x\to +\infty$ 时，$\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)~\frac{1}{x}$ 。进行替换后，原式$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_t^x\left[t^2\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right]\text{d}t}}{x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_t^x\left[t^2\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right]\text{d}t}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x^2\left({\text{e}}^{\frac{1}{t}}-1\right)-x\right]$ 。极限函数变成了$\infty -\infty$ 型不定式，需要对其的形式进行变换才能继续使用洛必达法则进行求解。作代换$t=\frac{1}{x}$ ，则$t\to 0$ 。令$m=\frac{1}{x}$ ，原式可以继续变化为$\underset{m\to 0^{+}}{\lim }\left[\frac{1}{m^2}\left({\text{e}}^m-1\right)-\frac{1}{m}\right]=\underset{m\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\text{e}}^m-m-1}{m^2}$ 。 函数极限形式成功转换为$\frac{0}{0}$ 型不定式极限，满足洛必达法则求解条件，得$\underset{m\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\text{e}}^m-m-1}{m^2}=\underset{m\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\text{e}}^m-1}{2m}=\underset{m\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\text{e}}^m}{2}=\frac{1}{2}$ 。同时，对于第二题，提醒学生注意泰勒展开的准确性，避免计算错误。

该部分是必须完成的教学内容，对于练习题部分，不必局限学生的思维，学生会有其他求解方法，可以一起讨论，发散学生的数学思维。同时，也鼓励学生分享其他利用生成式AI帮助学习的好方法，也促进教师对于数字化能力的发展。

2.3. AI促进师生数字化能力提升

AI技术深度融入教育领域，正深刻变革教师与学生的能力结构，发展数字化能力已经成为教师专业技能不可或缺的一部分，也是学生适应未来社会发展所必需的能力。教师借助AI实现优化教学资源、创新教学方式，促进“人机协同、教学相长”的教学新模式的发展，这种教学模式的创新不仅坚持了学生为主体、教师为主导的教学理念，更帮助学生在智能时代重塑认知模式与能力结构，助力高校培养具有数字化能力的人才。

同时，学生在课堂上不仅能够学到专业知识，也能了解AI技术如何能在自己所学的领域发挥作用，通过对练习题的求解以及利用AI生成相关题目的可视化动图，也发展了学生的智能终端素养以及人机交互能力，同时引发学生关于AI技术在其他学习科目或者专业中如何应用的思考，促进发展学生的创造能力。

3. AI作为教学工具的优缺点及教师面对的挑战分析

随着人工智能技术的飞速发展，生成式AI在教育领域的应用也日益广泛。它不仅为教师创新教学方法提供了新思路，也为师生互动和个性化学习提供了新的教学途径。以下将具体分析生成式AI作为教学工具所具备的优点、存在的缺点以及教师在使用过程中可能面临的挑战。

3.1. AI作为教学工具的优点

3.1.1. 操作便利性

相较于教学所常用的GeoGebra以及几何画板等软件，教师需要学习相关软件的操作方法和功能，具备一定的使用门槛，并且制作复杂图像的难度较大，便利性较低。而教师在利用生成式AI设计所需要的教学内容时，AI可以根据具体的需求，快速生成动态可视化图像以及其他教学内容。例如，在函数极限求解方法的教学中，教师只需要输入严谨且明确的指令，AI就能在短时间内生成符合要求的代码，并且不需要使用其他软件就可以直接运行代码生成动态图像。对于操作者而言，操作过程相对简单，无需掌握复杂的编程或软件操作技巧，具有较强的便利性。生成式AI所具备的便利性使得教师可以将更多精力放在教学环节设计和教学方法创新上，而不是花费大量时间用于制作图像。

3.1.2. 定制化与个性化支持

对于像GeoGebra和几何画板等常用的数学教学软件，虽然具有较强的定制化能力，但教师需要通过调整参数、设置条件等方式，制作符合教学需求的内容。其中，定制化程度不仅受软件的功能限制，还对操作者的软件掌握程度具有极高的要求。而生成式AI具有多模态能力，能够结合文本、图像、动画等多种形式与师生进行交互。例如在使用过程中，AI可以根据教师的具体教学需求和指令，生成定制化的动态可视化内容，满足不同的知识点讲解需求。学生也可以就具体的问题向AI进行提问，AI不仅能提供多种解答方法，还能配合具体的动态图像进行讲解，满足不同学生的学习需求。同时，AI可以根据学生的学习情况和反馈，提供个性化的学习建议和练习题目，帮助不同需求的学生进行针对性地提升。生成式AI能够提供目前其他教学软件无法达到的定制化与个性化支持，更有助于师生实现个性化发展。

3.2. AI作为教学工具的缺点

3.2.1. 输出结果的准确性有待验证

生成式AI虽然具有创造性，但有时会生成错误的内容。例如在函数极限求解的可视化教学中，通常会出现的识别极限函数不准确的问题，从而导致AI生成的动态图像与理论极限值不符，或者图像变化趋势存在偏差的情况。这就需要教师花费时间和精力去验证输出结果的准确性，在验证输出的结果正确后才能进行使用。而像GeoGebra等经过长期的开发与完善的软件，需要教师依据严谨的逻辑进行制作，生成的图像在数学教学中具有较高的可靠性。因此，无论是教师利用AI辅助教学，还是学生利用其进行自主学习，都不能完全直接依赖于AI生成的结果，必须具备辨别结果准确性的能力。

3.2.2. 专业软件经济成本较高

专业性的AI软件通常采用订阅制或者买断制的购买方法，并且费用通常较为昂贵，部分软件还会支持云服务等功能，也会收取额外的费用。而GeoGebra以及几何画板等软件通常为低成本的买断制，对服务器硬件的要求也不高，更适合长期使用。

3.3. 教师在使用过程中可能遇到的挑战

3.3.1. 验证输出结果的准确性

如前所述，生成式AI可能会生成错误的动态图像或解答过程，教师需要对AI的输出结果进行严格验证之后才能采取使用。对于复杂的函数极限问题，验证过程可能会花费教师大量的时间和精力，这就要求教师具备扎实的数学专业知识、较高的判断力以及足够的耐心，能够准确识别AI输出中的错误，并能采取措施进行修正。

3.3.2. 指令的优化与调整

AI所生成的图像效果高度依赖教师所输入的运行指令，教师如果无法使用精准、详细的语言描述教学所需要的图像细节，那么AI可能生成偏离教学目标的结果。因此，教师需要不断优化和调整指令，以获得符合教学需求的输出结果。例如在上述的例题3中，想要在同一个坐标系内同时生成原极限函数图像与泰勒近似图像，将两个图像进行比较，并能同时展示两个图像的变化情况。在这个过程中，教师需要多次尝试不同的指令表达方式，才能让AI准确理解意图，以达到所需要的图像效果。这不仅需要教师具备良好的沟通能力，还需要有足够的耐心和时间。

3.3.3. 合理把握AI教学工具的使用程度

在教学过程中，教师需要合理把握生成式AI作为教学工具的使用程度，避免过度依赖利用AI生成教学内容，为了追求对AI的使用程度，牺牲了教学内容的科学性和逻辑性，偏离了教学的核心目的。课堂教学中教师的讲解、师生之间的互动以及小组合作等环节具有不可替代的价值，对于学生理解知识、形成思维与培养能力同样重要。如何合理地将AI作为教学工具应用到教学设计与课堂教学中，实现优势互补，是教师面临的一大挑战。

4. 结束语

科技蓬勃发展的时代已经来临，本研究将生成式AI应用到数学分析选讲课程的教学中，可以帮助学生更加直观地理解与掌握求函数极限的方法，吸引学生的学习兴趣。并且利用AI辅助教学也能够帮助教师实现教学资源的优化、教学方式的变革以及教学评价的优化等，引发学生关于科技与所学专业融合的思考，从而促进学生发展成具有数字化能力与创新能力的人才。

促进学生的数字化能力的发展是一个长期且复杂的过程，未来研究应多关注教师应如何巧用新兴科学技术创新教学模式，学校又应该如何支持教师与学生数字化能力发展，进一步推动高校形成具有智能技术支持的新型人才培养模式。

NOTES

^*通讯作者。