抽象函数的性质与赋值法策略的实践研究

Practical Research on the Properties of Abstract Functions and Assignment Method Strategies

摘要: 本文总结了抽象函数的性质，基于维果茨基“最近发展区”理论及Dubinsky的APOS认知发展理论，聚焦赋值法在解题中的核心作用，通过三类典型错误模型揭示认知机制，设计针对性教学干预方案。干预后学生错误率显著下降，证明通过搭建认知支架可有效提升学生抽象函数解题能力，为高中数学教学提供可复制的实践路径。

Abstract: This paper summarizes the properties of abstract functions, drawing on Vygotsky’s “zone of proximal development” theory and Dubinsky’s APOS cognitive development theory. It focuses on the central role of the assignment method in problem-solving, reveals cognitive mechanisms through three typical error models, and designs targeted instructional intervention strategies. Following the intervention, students’ error rates decreased significantly, demonstrating that constructing cognitive scaffolding can effectively enhance students’ ability to solve abstract function problems, providing a replicable practical approach for high school mathematics education.

1. 引言

抽象函数是高中数学函数部分的难点内容，由于其未给出具体的函数表达式，仅通过一些性质和条件来描述函数，使得教学研究呈现多元化趋势。现有研究多聚焦题型分类[1]或运算性质[2]，而[3]虽指出赋值技巧但未建立错误分类体系，[4]中化解方法缺乏认知机制分析，因此对赋值法的错误机制缺乏实证分析。基于“最近发展区”理论[5]，学生解题错误反映其当前认知水平，而系统干预可推动认知发展至潜在水平。本文通过诊断典型错误设计教学策略，进一步融合Dubinsky的APOS理论[6]将赋值法错误归因于过程性概念转化障碍，弥补该领域研究空白。

2. 抽象函数的性质

抽象函数和一般函数一样，通常具有单调性、奇偶性、周期性等性质，下面将对各性质进行详细分析，并给出例题。

2.1. 单调性

抽象函数的单调性判断需结合题目所给的性质和相应的条件，由定义法判断。对$\forall x_1,x_2$ 在所给区间

内比较$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ 与0的大小，或者$\frac{f\left(x_1\right)}{f\left(x_2\right)}$ 与1的大小(要求$f\left(x_1\right)$ 、$f\left(x_2\right)$ 同号)，有时根据需要，需作适当的变形：如$x_2=\frac{x_2}{x_1}\cdot x_1$ 或$x_2=\left(x_2-x_1\right)+x_1$ 等。

例题1：设函数$f\left(x\right)$ 满足对$\forall x,y\in R$ ，$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ ，且当$x>0$ 时，$f\left(x\right)>0$ ，判断$f\left(x\right)$ 的单调性。

分析：$\forall x_1,x_2\in R$ ，且$x_1<x_2$ ，则$x_2-x_1>0$ ，由已知$f\left(x_2-x_1\right)>0$ ， $f\left(x_2\right)=f\left(x_1+\left(x_2-x_1\right)\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2-x_1\right)$ ，所以$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f\left(x_2-x_1\right)>0$ ，即$f\left(x\right)$ 在$R$ 上单调递增。

2.2. 奇偶性

抽象函数的奇偶性判断依据是函数奇偶性的定义。利用$f\left(x\right)$ 与$f\left(-x\right)$ 的关系。在定义域内，且定义域关于原点对称，若$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ ，则函数为奇函数；若$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ ，则函数为偶函数。

例题2：已知函数$f\left(x\right)$ 满足对$\forall x,y\in R$ 都有$f\left(x+y\right)+f\left(x-y\right)=2f\left(x\right)f\left(y\right)$ ，且$f\left(0\right)\ne 0$ ，判断$f\left(x\right)$ 奇偶性。

分析：令$x=0$ ，$y=0$ ，则$f\left(0\right)+f\left(0\right)=2f\left(0\right)f\left(0\right)$ ，解得$f\left(0\right)=1$ 。令$x=0$ ，则 $f\left(y\right)+f\left(-y\right)=2f\left(0\right)f\left(y\right)=2f\left(y\right)$ ，所以$f\left(-y\right)=f\left(y\right)$ ，则函数$f\left(x\right)$ 为偶函数。

2.3. 周期性

抽象函数的周期性判断依据是函数周期性的定义。若存在一个非零常数$T$ ，使得对于任意$x\in D$ (定义域)，均满足$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ ，则函数$f\left(x\right)$ 具有周期性。

例题3：已知函数$f\left(x\right)$ 满足$f\left(x+2\right)=-f\left(x\right)$ ，求证：$f\left(x\right)$ 是周期函数。

分析：因为$f\left(x+4\right)=f\left(\left(x+2\right)+2\right)=-f\left(x+2\right)=f\left(x\right)$ ，所以$f\left(x\right)$ 是周期为4的函数。

此外，还有一些较为复杂的周期性推导情况。例如，若函数$f\left(x\right)$ 满足：$f\left(x+T\right)=f\left(x-T\right)$ ，则可

令$x=x+T$ ，得到$f\left(x+2T\right)=f\left(x\right)$ ，从而确定其周期为$2T$ 。又如，已知$f\left(x+T\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}\left(f\left(x\right)\ne 0\right)$ ，那么$f\left(x+2T\right)=f\left(\left(x+T\right)+T\right)=\frac{1}{f\left(x+T\right)}=f\left(x\right)$ ，此函数周期同样为$2T$ 。这些不同形式的条件都从侧面反

映了抽象函数周期性的多样表现形式以及灵活多变的推导路径，需要在解题过程中细致观察、深入分析并巧妙运用。

2.4. 对称性

抽象函数的对称性包括轴对称和中心对称。对于抽象函数，如果函数$f\left(x\right)$ 满足$f\left(a+x\right)=f\left(b-x\right)$ ，

那么函数的图象关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称；如果函数$f\left(x\right)$ 满足$f\left(a+x\right)+f\left(b-x\right)=2c$ ，那么函数的图象关于点$\left(\frac{a+b}{2},c\right)$ 对称。对称性的研究对于理解函数的图象和性质具有重要意义，在解题中也经常会用到。

例题4：已知函数$f\left(x\right)$ 对$\forall x\in R$ 满足$f\left(x+3\right)=f\left(1-x\right)$ ，判断函数对称性。

分析：$f\left(x+3\right)=f\left(1-x\right)=f\left[2-\left(1+x\right)\right]$ ，令$t=1+x$ ，则$f\left(2+t\right)=f\left(2-t\right)$ ，故$f\left(x\right)$ 关于直线$x=2$ 对称。

3. 赋值法的核心地位与实施策略

赋值法堪称解决抽象函数问题的一把利刃，是解决抽象函数最直接、最简单、最常见的一种方法[7]。它通过巧妙地对函数中的变量赋予特定的数值，能够精准地挖掘出函数所蕴含的一些隐匿性质或者关键关系，进而为解决问题开辟通途。

3.1. 经典应用案例

例题5：已知定义域为R的函数$f\left(x\right)$ 不是常函数，且满足$f\left(x+y\right)+f\left(x-y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ，$f\left(1\right)=0$ ，求${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{2026}f\left(i\right)}$ 的值。

分析：令$y=0$ ，得$2f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(0\right)$ ，又$y=f\left(x\right)$ 不是常函数，所以$f\left(0\right)=2$ ，令$y=1$ ，得$f\left(x+1\right)+f\left(x-1\right)=f\left(x\right)f\left(1\right)$ ，即$f\left(x+1\right)+f\left(x-1\right)=0$ ，则$f\left(x+2\right)=-f\left(x\right)$ ，即$-f\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ ，所以$f\left(x\right)=f\left(x+4\right)$ ，所以函数$f\left(x\right)$ 的周期为4，由$f\left(x+2\right)=-f\left(x\right)$ ，令$x=1$ ，得$f\left(3\right)=-f\left(1\right)=0$ ，$f\left(2\right)=-f\left(0\right)=-2$ ，$f\left(4\right)=f\left(0\right)=2$ ，所以$f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+f\left(4\right)=0$ ，所以

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{2026}f\left(i\right)}=506\left[f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+f\left(4\right)\right]+f\left(2025\right)+f\left(2026\right)\\ =f\left(2025\right)+f\left(2026\right)=f\left(1\right)+f\left(2\right)=-2\end{array}$ 。

例题中，赋值法发挥了极为关键的效能，成为破题的关键步骤与核心思路[8]，根据对$y$ 进行赋值，得到关于$x$ 的等式，从而得到$f\left(x\right)$ 隐含的周期性，周期为4，进而对$x$ 进行赋值，得到 $f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+f\left(4\right)$ 的值从而求解。

注意：当函数不满足连续性时，赋值法可能失效，如Dirichlet函数：$\text{D}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\in Q\\ 0,x\notin Q\end{array}$ ，

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ 但通过赋值$y=0$ 得$f\left(x\right)=2f\left(x\right)$ ，错误推出$f\left(x\right)=0$ ，因此赋值前需确认函数连续性。在教学中，当题目未明确连续条件时，需引导学生优先验证：是否存在特殊点使赋值失效，是否需补充连续性作为隐含条件。

3.2. 赋值法的三类错误及认知根源(基于最近发展区理论)

然而，在实际教学过程中发现，赋值法运用不恰当容易出现错误(见表1)。

Table 1. Three types of errors in the assignment method and their cognitive roots

表1. 赋值法三类错误及认知根源

错误类型	典型案例	认知根源
忽略定义域	已知函数$f\left(x\right)$ 的定义域为$\left(0,+\infty \right)$ ，且满足$f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ ，若错误地令$x=-1$ (超出定义域)，会得到$f\left(-y\right)=f\left(-1\right)+f\left(y\right)$ ，进而作出错误判断	未建立定义域优先意识
漏赋关键值	已知$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ ，若仅令$x=y=1$ 得$f\left(2\right)=2f\left(1\right)$ ，而漏赋$x=y=0$ ，则无法得到$f\left(0\right)=0$ ，后续证明奇偶性时会缺少关键前提	缺乏对零点敏感性
赋值结果未验证	已知$f\left(x\right)$ 是增函数，且$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ 。若错误地令$x=1$ ，$y=-2$ ，得$f\left(-1\right)=f\left(1\right)+f\left(-2\right)$ ，若未结合$f\left(-2\right)=-2f\left(1\right)$ ，可能错误计算出$f\left(-1\right)=-f\left(1\right)$ ，反而与增函数性质矛盾	逻辑验证能力不足

根据Vygotsky理论[5]，表1中的认知根源实则为学生当前发展水平与潜在发展水平间的认知鸿沟。例如定义域忽视源于学生未能将具体函数的定义域意识迁移至抽象场景(最近发展区未搭建支架)，而Dubinsky的APOS理论进一步表明，赋值法的有效运用需经历从具体操作(Action)到策略图式(Schema)的完整认知建构[6]。这三类错误反映了阶段转化障碍，而针对性支架(如关键值赋值序列)正是促进过程内化(Process)的关键干预。

4. 教学干预设计与效果验证

4.1. 干预策略

针对错误类型，给出以下干预策略：赋值前先明确定义域，标出取值范围；优先赋关键值(0、1、−1、$-x$ 、$x+y=0$ 等)，逐步推导性质；结合函数已知性质(单调性、奇偶性等)验证赋值结果，避免矛盾。

具体实施：课时安排2周共8课时(每周4课时)，课上安排用红色笔标记题目定义域训练和抽取卡片组合赋值训练。

4.2. 实证效果

选取本校高三平行班120人(实验组和对照组各60人)，进行2周干预，其中实验组采用定义域标记、优先赋值和验证训练，对照组采用传统例题讲解方式，根据2025年3月月考抽象函数专题统计分析，得到干预前后对照(见表2)。

Table 2. Comparison of error rates before and after teaching intervention

表2. 教学干预前后错误率对比

错误类型	干预前错误率	干预后错误率	降幅
忽略定义域	67.2%	24.3%	42.9%↓
漏赋关键值	52.4%	16.8%	35.6%↓
赋值结果未验证	53.6%	26.5%	27.1%↓

根据学生访谈，我们得到反馈，S1：“以前赋值像猜谜，现在会标出定义域避开雷区”，S2：“按顺序赋0和1，突然发现周期性！”

5. 结论

本研究首创赋值法错误分类模型即忽略定义域、漏赋关键值和赋值结果未验证，通过教学中的常见认知误区，揭示了科学运用教学策略对提升学生解题能力的关键意义[9]。研究表明：首先，赋值法作为破解抽象函数性质的核心工具，其有效应用必须规避三类典型错误，教师需通过结构化训练强化学生的条件转化与边界意识。其次，基于维果茨基“最近发展区”理论及Dubinsky的APOS认知发展理论设计的干预策略显著提升了学生的解题正确率，这些工具通过具象化抽象条件，帮助学生建立清晰的变量关联与性质推导路径，有效促进了数学思维的严谨性与抽象性发展。最后，抽象函数的研究需进一步向综合应用领域拓展，尤其在融合导数分析函数性质、结合不等式求解参数范围等方向上具有广阔空间，这将深化学生对函数本质的理解，并为高阶数学问题的解决提供支撑。未来教学应持续优化分层训练体系，强化错误归因分析，推动抽象函数从解题技巧向数学素养的转化，最终实现学生逻辑思维与创新能力的系统性提升[10]。