块严格局部双对角占优矩阵及其逆的无穷大范数的上界

The Upper Bound of the Infinite Norm of a Block Strictly Locally Doubly Diagonally Dominant Matrix and Its Inverse

摘要: 本文研究了块H-矩阵的一个新子类——块严格局部双对角占优矩阵的性质及应用，给出了块H-矩阵的新判据。同时分析了该矩阵与块H-矩阵的其它子类的关系，并给出了其逆矩阵的无穷大范数上界的估计式。数值算例表明，本文所得结论在一定程度上优于现有的定理结果。

Abstract: This paper studies the properties and applications of a new subclass of the block H-matrices—block strictly locally doubly diagonally dominant matrices, and presents a new criterion for block H-matrices. Meanwhile, the relationship between this matrix and other subclasses of the block H-matrix was analyzed, and the estimation formula of the upper bound of the infinite norm of its inverse matrix was given. Numerical examples show that the conclusions obtained in this paper are superior to the existing theorem results to a certain extent.

1. 引言

在数值代数与矩阵分析中，特殊矩阵类的性质及其应用一直是研究的热点问题之一。其中，对角占优矩阵及其推广形式因其良好的非奇异性、可逆性、稳定性等数值性质，以及在线性方程组求解、矩阵逆的估计、线性互补问题解的误差界估计等方面的广泛应用而备受关注。随着研究的深入，对角占优矩阵的概念被拓展到块矩阵情形。1962年文献[1]首次提出了块对角占优矩阵的概念，并且把经典的Gerschgorin圆盘定理推广到了分块矩阵上。

此后，块对角占优矩阵的理论不断丰富，作为对角占优矩阵的推广，在微分方程数值解、控制理论和经济学模型等领域展现出重要作用。特别是在H-矩阵的研究中发挥了重要作用。近年来，许多学者研究了不同块H-矩阵的子类，如块$\alpha$ -矩阵类[2]、块S-矩阵类等[3]，并探讨了它们的性质应用。然而对于某些具有特定结构的矩阵子类，其性质仍需进一步探索。

本研究基于文献[4]-[6]的理论基础，提出块严格局部双对角占优矩阵的新定义，并建立相应的广义块对角占优矩阵判定准则，拓展了现有判定方法的适用范围。通过数值算例对比分析，验证了新判定准则的有效性。

2. 预备知识

设$C^{n\times n}$ 是$n\times n$ 复矩阵的集合，$N=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，$K=\left\{1,2,\cdots ,k\right\}$ 。设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，且分块如下：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1k}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{k1}& A_{k2}& \cdots & A_{kk}\end{array}\right)$ ， (1)

其中$A_{ii}$ 为$r_i$ 阶方阵，$1\le i\le k$ ，${\displaystyle \sum _{i=1}^k{r}_i}=n$ ，且$A_{ii}$ 非奇异。设$K_1\cup K_2=K$ ，$K_1\cap K_2=\varnothing$ ，在本文中矩阵范数取$\Vert A\Vert ={\Vert A\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}\right\}$ 。定义

${\Lambda }_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}\Vert A_{ij}\Vert },d_i\left(A\right)=\frac{{\Lambda }_i\left(A\right)}{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}},R_i^{K_1}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\Vert A_{it}\Vert },R_i^{K_2}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert },$

则

${\Lambda }_i\left(A\right)=R_i^{K_1}\left(A\right)+R_i^{K_2}\left(A\right)$ 。

分块矩阵$A$ 的块比较矩阵$T\left(A\right)=\left(t_{ij}\right)\in R^{k\times k}$ ，$\forall i,j\in K$ ，其中

$t_{ij}=\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1},& i=j,\end{array}\\ \begin{array}{cc}-\Vert A_{ij}\Vert ,& i\ne j.\end{array}\end{array}$

定义2.1 [1]设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 分块如(1)式所示。如果${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}\ge (>){\Lambda }_i\left(A\right)$ ，称$A$ 为块(严格)对角占优矩阵，记为$A\in BD\left(BSD\right)$ 。如果存在一个$k$ 阶正对角矩阵$X$ ，使得$AX\in BSD$ ，即存在$X=diag\left(x_1,x_2,\cdots ,x_k\right)$ ，$\forall i\in K$ ，$x_i>0$ ，使得

$x_i{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>{\displaystyle \sum _j{x}_j\Vert A_{ij}\Vert }$ ，$\forall i,j\in K$ ，$j\ne i$ ，

则称$A$ 为块H-矩阵，记为$A\in BH$ 。

定义2.2 [7]设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 且分块如(1)式所示，令$S,\overline{S}\subset K$ ，$S\cap \overline{S}=\varnothing$ ，$S\cup \overline{S}=K$ ，如果存在$i\in S$ ，使得${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>R_i^S$ (或存在$j\in \overline{S}$ ，使得${\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}>R_j^{\overline{S}}$ )，且

$\left({\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right)\left({\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right)>R_i^{\overline{S}}{R}_j^S$ ，$\forall i\in S,j\in \overline{S}$ ，

成立，则称$A$ 为严格$S$ 型块对角占优矩阵，记作$A\in BS\text{-}SDD$ 。

引理2.1 [8]设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 且分块如(1)式所示。若$A\in BSD$ ，则

${\Vert A\Vert }^{-1}\le \frac{1}{{\min }_{i\in K}\left\{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\Lambda }_i(A)\right\}}$ 。

引理2.2 [9]设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 且分块如(1)式所示。若$A\in BH$ ，则

$\Vert A^{-1}\Vert \le \Vert {\left[T\left(A\right)\right]}^{-1}\Vert$ 。

引理2.3 [7]设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 且分块如(1)式所示。若$A\in BS\text{-}SDD$ ，则$A\in BH$ 。

引理2.4 [7]设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 且分块如(1)式所示。若$A\in BS\text{-}SDD$ ，其逆矩阵的无穷范数上界满足：

$\Vert A^{-1}\Vert \le \underset{i\in S,j\in \overline{S}}{\max }\max \left\{{\rho }_{ij}^S,{\rho }_{ji}^{\overline{S}}\right\},$

其中

${\rho }_{ij}^S=\frac{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in S,\ne i}\Vert A_{it}\Vert }+{\displaystyle \sum _{t\in S}\Vert A_{jt}\Vert }}{\left({\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in S,\ne i}\Vert A_{it}\Vert }\right)\left({\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S},\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right)-\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert A_{it}\Vert }\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in S}\Vert A_{jt}\Vert }\right)}$ ，

${\rho }_{ji}^{\overline{S}}=\frac{{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S},\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }+{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert A_{it}\Vert }}{\left({\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in S,\ne i}\Vert A_{it}\Vert }\right)\left({\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S},\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right)-\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert A_{it}\Vert }\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in S}\Vert A_{jt}\Vert }\right)}$ 。

3. 主要结果及其证明

我们首先定义一类新的块严格局部双对角占优矩阵，然后利用矩阵自身定义来构造不同的正对角矩阵，并通过不等式的放缩，给出块H-矩阵的新判据。首先，对集合$K$ 进行重新划分，记

$K_1=\left\{i\in K|0<{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}\le {\Lambda }_i\left(A\right)\right\}$ ，$K_2=\left\{i\in K|{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>{\Lambda }_i\left(A\right)\ge 0\right\}$ ，$J\left(A\right)=\left\{\forall i\in K_1|{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\Vert A_{it}\Vert >0}\right\}$ ，

以及

$M=\underset{i\in K_1}{\max }\frac{{\Lambda }_i\left(A\right)}{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\Vert A_{it}\Vert }}$ 。

定义3.1 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 分块如(1)，存在$J\left(A\right)\ne \varnothing$ ，对$\forall i\in K_2,j\in K_1$ 当 ${\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right)>0$ ，${\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t\left(A\right)}>0$ 时，有

$\left({\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}\right)\left({\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t\left(A\right)}\right)>M\left({\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }\right)$ (2)

成立，则称$A$ 为块严格局部双对角占优矩阵，记为$A\in BSLDD$ 。

定理3.1 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 是形如(1)的分块矩阵，若$A\in BSLDD$ ，则$A\in BH$ 。

证明 对$\forall i\in K_2,j\in K_1$ ，令

$Q_i=\frac{{\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right)}{{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }}$ ， $q_j=\frac{M{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }}{{\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t}\left(A\right)}$ 。

(1) ${\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }=0,\forall i\in K_2$ ，则记$Q_i\text{=}+\infty$ ，

由定义3.1知，

${\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right)>0\left(i\in K_2\right),$

于是，有

$\left|c_{ii}\right|-r_i\left(C\right)={\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right)>0.$

(2) ${\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }\ne 0,\forall i\in K_2$ ，

由(2)式可知$\underset{i\in K_2}{\min }{Q}_i>\underset{j\in K_1}{\max }{q}_j$ ，则存在正数$h\in \left(\underset{j\in K_1}{\max }{q}_j,\underset{i\in K_2}{\min }{Q}_i\right)$ 。

构造正对角矩阵

$X=\{\begin{array}{ll}{d}_i\left(A\right),\hfill & i\in K_2,\hfill \\ h,\hfill & i\in K_1.\hfill \end{array}$ (3)

令

$C=T\left(A\right)X=\left(c_{ij}\right),r_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}\left|c_{ij}\right|}.$

则当$i\in K_2$ 时，

$\begin{array}{c}\left|c_{ii}\right|-r_i\left(C\right)=d_i\left(A\right){\Vert A_{ii}{}^{-1}\Vert }^{-1}-\left[{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}+h{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }\right]\\ ={\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}-h{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }\\ >{\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}-Q_i{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }=0.\end{array}$

当$j\in K_1$ 时，

$\begin{array}{c}\left|c_{jj}\right|-r_j\left(C\right)=h\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right]-{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert d_t\left(A\right)}\\ >q_j\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right]-{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }\\ =\frac{M{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }}{{\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t}\left(A\right)}\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right]-{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }\\ ={\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }\left[\frac{M\left({\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right)}{{\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t}\left(A\right)}-1\right]\\ \ge {\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }\left[\underset{i\in K_1}{\max }\frac{{\Lambda }_j\left(A\right)}{{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }}\cdot \frac{\left({\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert }\right)}{{\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t}\left(A\right)}-1\right]\ge 0.\end{array}$

综上可知对$\forall i\in K$ ，$\left|c_{ii}\right|>r_i\left(C\right)$ ，则矩阵$C$ 为$BSD$ 矩阵，故$A$ 是块H-矩阵，即$A\in BH$ 。

推论3.1 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 是形如(1)的$BSLDD$ 矩阵，若$A$ 的对角元均为正，则$\det \left(A\right)>0$ 。

证明 若$A\in BSLDD$ ，由定理3.1可知，存在一个正对角矩阵$X$ ，使得$AX$ 是$BSD$ 矩阵。因此$A$ 是一个块H-矩阵。又矩阵$A$ 和矩阵$X$ 对角元素均为正，故$AX$ 也是对角元素为正的矩阵。易知 $0<\det \left(AX\right)=\det \left(A\right)\det \left(X\right)$ ，即$\det \left(A\right)>0$ 。

引理2.1 可以用来计算$BSD$ 矩阵的逆的无穷范数上界，结合定理3.1式(3)给出的正对角矩阵$X$ ，得到以下结果。

定理3.2 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 是形如(1)的$BSLDD$ 矩阵，则

${\Vert A\Vert }^{-1}\le \frac{\max \left\{\underset{i\in K_2}{\max }{d}_i\left(A\right),\underset{i\in K_1}{\max }h\right\}}{\min \left\{\underset{i\in K_2}{\min }{\sigma }_i,\underset{i\in K_1}{\min }{\eta }_i\right\}}$ ， (4)

其中，$h$ ，${\sigma }_i$ ，${\eta }_i$ 如下定义：

$h\in \left(\underset{j\in K_1}{\max }\frac{M{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }}{{\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t}\left(A\right)},\underset{i\in K_2}{\min }\frac{{\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right)}{{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }}\right)$ ，

${\sigma }_i={\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}-h{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert },\forall i\in K_2$ ，

${\eta }_i=h\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{it}\Vert }\right]-{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right),\forall i\in K_1$ 。

证明 记$C=T\left(A\right)X$ ，$X$ 如式(3)所定义，由定理3.1知矩阵$C$ 为$BSD$ 矩阵，即$A$ 为块H-矩阵。因为${\left[T\left(A\right)\right]}^{-1}=X{C}^{-1}$ ，所以$\Vert {\left[T\left(A\right)\right]}^{-1}\Vert =\Vert X{C}^{-1}\Vert \le \Vert X\Vert \cdot \Vert C^{-1}\Vert$ 。由$X$ 的构造知

$\Vert X\Vert =\underset{i\in K}{\max }\left\{x_i\right\}=\max \left\{\underset{i\in K_2}{\max }{d}_i\left(A\right),h\right\}$ 。 (5)

再由引理2.1知，

${\Vert C\Vert }^{-1}\le \frac{1}{{\min }_{i\in K}\left\{{\Vert C_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\Lambda }_i\left(C\right)\right\}}$ 。

而当$i\in K_2$ 时，

$\begin{array}{c}{\Vert C_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\Lambda }_i\left(C\right)=d_i\left(A\right){\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-\left[{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}+h{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }\right]\\ ={\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}-h{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }\end{array}$

当$i\in K_1$ 时，

${\Vert C_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\Lambda }_i\left(C\right)=h\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\Vert A_{it}\Vert }\right]-{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)}$ ，

故

${\Vert C\Vert }^{-1}\le \frac{1}{{\min }_{i\in K}\left\{{\Vert C_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\Lambda }_i\left(C\right)\right\}}=\frac{1}{\min \left\{\underset{i\in K_2}{\min }{\sigma }_i,\underset{i\in K_1}{\min }{\eta }_i\right\}}$ 。 (6)

综合引理2.2、(5)、(6)，即可得结论(4)。

而当分块形式(1)中的$r_i=1$ ，$1\le i\le n$ ，即集合$K=N$ ，$A$ 为点H-矩阵时，由定理3.1与定理3.2可得如下推论。

推论3.2 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 满足如下条件：存在$\overline{J}\left(A\right)\ne \varnothing$ ，对$\forall i\in K_2,j\in K_1$ 当 $r_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,t\ne i}\left|a_{it}\right|\overline{d_t}\left(A\right)}>0$ ，$r_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,t\ne j}\left|a_{jt}\right|\overline{d_t}\left(A\right)}>0$ 时，有

$\left(r_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,t\ne i}\left|a_{it}\right|\overline{d_t}\left(A\right)}\right)\left(r_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,t\ne j}\left|a_{jt}\right|\overline{d_t}\left(A\right)}\right)>\overline{M}\left({\displaystyle \sum _{t\in K_1}\left|a_{it}\right|}\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in K_2}\left|a_{jt}\right|}\right)$

成立，则称$A$ 为严格局部双对角占优矩阵，记为$A\in SLDD$ ，并且

${\Vert A\Vert }^{-1}\le \frac{\max \left\{\underset{i\in K_2}{\max }\overline{d_i}\left(A\right),\underset{i\in K_1}{\max }\overline{h},\right\}}{\min \left\{\underset{i\in K_2}{\min }\overline{{\sigma }_i},\underset{i\in K_1}{\min }\overline{{\eta }_i}\right\}}.$

其中

$r_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\in K,\ne i}\left|a_{ij}\right|}$ ，$\overline{d_i}\left(A\right)=\frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}$ ，$\overline{J}\left(A\right)=\left\{\forall i\in K_1|\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\left|a_{it}\right|}\right\}$ ，$\overline{M}=\underset{i\in K_1}{\max }\frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\left|a_{it}\right|}}$ ；

$\overline{{\sigma }_i}=r_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,t\ne i}\left|a_{it}\right|\overline{d_i}\left(A\right)}-\overline{h}{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\left|a_{it}\right|},\forall i\in K_2$，$\overline{{\eta }_i}=\overline{h}\left[\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,t\ne i}\left|a_{it}\right|}\right]-{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\left|a_{it}\right|\overline{d_i}}\left(A\right),\forall i\in K_1$ ；

$\overline{h}\in \left(\underset{j\in K_1}{\max }\frac{\overline{M}{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\left|a_{jt}\right|}}{r_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,t\ne j}\left|a_{jt}\right|\overline{d_i}\left(A\right)}},\underset{i\in K_2}{\min }\frac{r_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,t\ne i}\left|a_{it}\right|\overline{d_i}\left(A\right)}}{{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\left|a_{it}\right|}}\right)$ 。

接下来，将考虑$BSLDD$ 矩阵的逆的无穷范数上界最优值的取得条件，为方便表达，先给定一些符号。设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 是形如(1)的$BSLDD$ 矩阵，记

$\alpha =\underset{j\in K_1}{\max }\frac{M{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{jt}\Vert }}{{\Lambda }_j\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne j}\Vert A_{jt}\Vert d_t}\left(A\right)},\beta =\underset{i\in K_2}{\min }\frac{{\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right)}{{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert }},$

由定理3.2，$h\in \left(\alpha ,\beta \right)$ 。同时，令

$u_i={\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne i}\Vert A_{it}\Vert d_t}\left(A\right),v_i={\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{it}\Vert },\forall i\in K_2,$

$x_i={\Lambda }_i\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\Vert A_{it}\Vert },y_i={\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{it}\Vert d_t\left(A\right)},\forall i\in K_1.$

则可得${\sigma }_i=u_i-h{v}_i,\forall i\in K_2,{\eta }_i=h{x}_i-y_i,\forall i\in K_1$ 。

定理3.3 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ 是形如(1)的$BSLDD$ 矩阵，若

$\beta >h>\max \left\{\frac{{\min }_{i\in K_1}{u}_i+{\max }_{i\in K_2}{y}_i}{{\min }_{i\in K_2}{x}_i+{\min }_{i\in K_1}{v}_i},\underset{i\in K_2}{\max }{d}_i\left(A\right)\right\},$

则有

${\Vert A\Vert }^{-1}\le \frac{h}{\underset{i\in K_1}{\min }{\sigma }_i}.$

若

$\alpha <h\le \min \left\{\frac{{\min }_{i\in K_1}{u}_i+{\min }_{i\in K_2}{y}_i}{{\min }_{i\in K_2}{x}_i+{\max }_{i\in K_1}{v}_i},\underset{i\in K_2}{\max }{d}_i\left(A\right)\right\},$

则可得

${\Vert A\Vert }^{-1}\le \frac{\underset{i\in K_2}{\max }{d}_i\left(A\right)}{\underset{i\in K_1}{\min }{\eta }_i}.$

证明 结合文献[10]第三节命题3.1中结论，以及本文定理3.2，即可推出以上$BSLDD$ 矩阵的逆的无穷范数上界的简单充分条件。

4. 数值算例

在本节中，将通过数值算例分析$BSLDD$ 矩阵与现有块H-矩阵子类之间的关系，并对$BSLDD$ 的逆矩阵的无穷范数上界估计式与现有定理结果进行对比。

例1 考虑矩阵

$A=\left(\begin{array}{cccccc}450& 0& \frac{5}{195}& \frac{9}{25}& \frac{1}{4}& \frac{1}{24}\\ -150& 5& \frac{3}{2}& \frac{33}{50}& \frac{1}{10}& \frac{6}{25}\\ 1& \frac{3}{26}& \frac{195}{7}& -\frac{8775}{49}& 0& \frac{1}{10}\\ \frac{4}{5}& \frac{3}{5}& 0& \frac{195}{7}& \frac{1}{117}& \frac{1}{19}\\ 2& 3& 5& 5& \frac{15}{8}& \frac{75}{8}\\ -4& 1& 8& 2.2& 0& \frac{15}{8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right)\left(K=1,2,3\right).$

经计算有

$T\left(A\right)=\left(\begin{array}{ccc}3.75& -2.16& -0.34\\ -1.4& 3.75& -0.1\\ -5& -10.2& 3.2\end{array}\right)$ 。

根据定义2.2，令$S=\left\{1,2\right\}$ ，$\overline{S}=\left\{3\right\}$ ，通过计算可得

$\left({\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-R_1^S\right)\left({\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-R_3^{\overline{S}}\right)=5.088$ ，$R_1^{\overline{S}}{R}_3^S=5.168$ ，

$\left({\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-R_2^S\right)\left({\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-R_3^{\overline{S}}\right)=7.52$ ，$R_2^{\overline{S}}{R}_3^S=1.52$ ，

则$\exists i\in S$ ，$j\in \overline{S}$ ，使得

$\left({\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right)\left({\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right)<R_i^{\overline{S}}{R}_j^S$ 。

不符合定义2.2中$BS\text{-}SDD$ 矩阵的条件。故由引理2.3无法判定该矩阵为块H-矩阵。

而当$K_2=\left\{1,2\right\}$ ，$K_1=\left\{3\right\}$ 时，由本文记号，经计算可得

${\Lambda }_1\left(A\right)=2.5$ ，${\Lambda }_2\left(A\right)=1.5$ ，${\Lambda }_3\left(A\right)=15.2$ ;

${\Lambda }_1\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 1}\Vert A_{1t}\Vert d_t\left(A\right)}=1.636>0,$ ${\Lambda }_2\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 2}\Vert A_{2t}\Vert d_t\left(A\right)}=0.5666>0,$

${\Lambda }_3\left(A\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne 3}\Vert A_{3t}\Vert d_t\left(A\right)}={\Lambda }_3\left(A\right)=15.2>0,$

${\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{1t}\Vert }=0.34,$ ${\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert A_{2t}\Vert }=0.1,$ ${\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert A_{3t}\Vert }=\mathrm{15.2.}$

故$M=\underset{i\in K_1}{\max }\frac{{\Lambda }_i\left(A\right)}{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne i}\Vert A_{it}\Vert }}=\frac{15.2}{3.2}=4.75$ ，又

$1.636\times 15.2=24.8672>4.75\times 0.34\times 15.2=24.548$ ，

$0.5666\times 15.2=8.6123>4.75\times 0.1\times 15.2=7.22$ 。

所以矩阵$A$ 满足本文定义3.1中$BSLDD$ 矩阵的条件，因此由定理3.1可知$A$ 为块H-矩阵。

其次，例2进一步说明$BS\text{-S}DD$ 矩阵也不一定满足$BSLDD$ 矩阵的条件。

例2 考虑矩阵

$\begin{array}{c}B=\left(\begin{array}{ccccccccc}-1.1579& -1.3016& 0.1841& 1.1392& 0.4081& 0.3018& -0.2469& -2.0260& 0.1517\\ -1.5624& 0.1870& -0.8980& 0.1402& 1.5559& 0.0527& 2.1926& 1.1723& -0.7626\\ 0.8926& 2.8796& -1.6496& 0.1709& -4.4152& -1.4220& 0.8640& 1.3182& 0.5709\\ 0.7704& 0.6926& 0.1943& 0.6659& 0.9480& 0.4149& -0.2459& 0.6145& -0.8668\\ -0.9687& 0.0932& 0.3338& -0.5299& 0.3297& 0.0684& 0.5392& -0.2452& -0.9667\\ -0.9750& 0.1848& 0.2658& 0.1299& -0.8231& 0.5657& 0.7261& 1.1700& -0.1026\\ -0.1128& -0.0608& 0.0418& -1.6978& -0.6932& 0.7546& 1.9689& 1.4420& 1.3033\\ -0.0784& -0.0679& 0.1711& 0.9678& 1.3256& 0.7210& -0.6893& -0.3258& -0.3924\\ -0.0091& -0.2358& -0.0556& 0.3087& -1.2669& -0.0116& 0.5605& -0.2708& 0.1184\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right),\left(K=1,2,3\right).\end{array}$

经计算有

$T\left(B\right)=\left(\begin{array}{ccc}10.0767& -6.0081& -4.1275\\ -1.6573& 2.8932& -1.9987\\ -0.3174& -3.1456& 5.7632\end{array}\right)$ 。

根据定义2.2，令$S=\left\{1,2\right\}$ ，$\overline{S}=\left\{3\right\}$ ，通过计算可得

$\left({\Vert B_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-R_1^S\right)\left({\Vert B_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-R_3^{\overline{S}}\right)=23.4482$ ，$\left(R_1^{\overline{S}}\right)\left(R_3^S\right)=14.2935$ ；

$\left({\Vert B_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-R_2^S\right)\left({\Vert B_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-R_3^{\overline{S}}\right)=7.1227$ ，$\left(R_2^{\overline{S}}\right)\left(R_3^S\right)=6.9215$ 。

则$\forall i\in S$ ，$j\in \overline{S}$ ，使得

$\left({\Vert B_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right)\left({\Vert B_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\overline{S}}\right)>\left(R_i^{\overline{S}}\right)\left(R_j^S\right)$ ，

符合定义2.2中$BS\text{-}SDD$ 矩阵条件，故由引理2.3可以判定该矩阵为块H-矩阵。

而令$K_2=\left\{1,2\right\}$ ，$K_1=\left\{3\right\}$ ，经计算$M=2.9582$ ，且

${\Lambda }_1\left(B\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 1}\Vert B_{1t}\Vert d_t\left(B\right)}=2.5434>0,$ ${\Lambda }_2\left(B\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 2}\Vert B_{2t}\Vert d_t\left(B\right)}=1.9890>0,$

${\Lambda }_3\left(B\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne 3}\Vert B_{3t}\Vert d_t\left(B\right)}=3.4630>0,$

${\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert B_{1t}\Vert }=4.1275,$ ${\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert B_{2t}\Vert }=1.9987,$ ${\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert B_{3t}\Vert }=\mathrm{3.4630.}$

而

$2.5434\times 3.463=8.8078<2.9582\times 4.1275\times 3.463=42.2831$ ，

$1.9890\times 3.463=68879<2.9582\times 1.9887\times 3.463=20.3727$ 。

所以$B$ 不满足本文定义3.1中$BSLDD$ 矩阵的条件，因此由定理3.2无法判定$B$ 为块H-矩阵。

综合例1与例2，可以发现$BSLDD$ 矩阵与$BS\text{-}SDD$ 矩阵之间不存在相互包含关系，即：

$\left\{BS-SDD\right\}\not\subset \left\{BSLDD\right\}$ ，$\left\{BSLDD\right\}\not\subset \left\{BS-SDD\right\}$

例3 考虑矩阵

$C={\left(\begin{array}{cccccccc}20I& O& 0.0001E& 0.0004E& 0.1234E& -0.0766E& 0.0762E& 0.0238E\\ O& 20I& 0.0002E& -0.0002E& 0.3839E& 0.0156E& O& 0.0555E\\ 0.1999E& -0.0501E& 20I& O& 0.1881E& 0.0119E& 0.0333E& 0.1667E\\ O& 0.1999E& O& 20I& 0.1119E& 0.1881E& -0.0089E& 0.1559E\\ 0.1234E& 0.1221E& 0.0055E& 0.0045E& 20I& O& 0.0189E& 0.0811E\\ 0.2766E& 0.1234E& 0.0011E& 0.0489E& O& 20I& 0.0314E& -0.0686E\\ 0.0001E& 0.1999E& O& 0.0489E& 0.2336E& O& 20I& O\\ -0.0001E& -0.1999E& 0.0001E& 0.2499E& -0.0789E& 0.4711E& O& 20I\end{array}\right)}_{160\times 160}$ ，

$I={\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)}_{20\times 20}$ ，$E={\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right)}_{20\times 20}$ ，$O={\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)}_{20\times 20}$ 。

将矩阵$C$ 划分成每个子块均为40 × 40阶的分块矩阵

$C=\left(\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}& C_{14}\\ C_{21}& C_{22}& C_{23}& C_{24}\\ C_{31}& C_{32}& C_{33}& C_{34}\\ C_{41}& C_{42}& C_{43}& C_{44}\end{array}\right),\left(K=1,2,3,4\right)$ 。

经计算有

$T\left(C\right)=\left(\begin{array}{cccc}20& -0.01& -7.99& -2\\ -5& 20& -6& -4\\ -8& -1& 20& -2\\ -4& -5& -11& 20\end{array}\right)$ 。

根据定义2.2，令$S=\left\{1,2,3\right\}$ ，$\overline{S}=\left\{4\right\}$ ，通过计算可得

$\begin{array}{l}\left({\Vert C_{11}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in S,\ne 1}\Vert C_{1t}\Vert }\right)\left({\Vert C_{44}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S},\ne 4}\Vert C_{4t}\Vert }\right)-\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert C_{1t}\Vert }\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in S}\Vert C_{4t}\Vert }\right)=200;\\ \left({\Vert C_{22}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in S,\ne 2}\Vert C_{2t}\Vert }\right)\left({\Vert C_{44}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S},\ne 4}\Vert C_{4t}\Vert }\right)-\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert C_{2t}\Vert }\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in S}\Vert C_{4t}\Vert }\right)=100;\\ \left({\Vert C_{33}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in S,\ne 3}\Vert C_{3t}\Vert }\right)\left({\Vert C_{44}^{-1}\Vert }^{-1}-{\displaystyle \sum _{t\in \overline{S},\ne 4}\Vert C_{4t}\Vert }\right)-\left({\displaystyle \sum _{t\in \overline{S}}\Vert C_{3t}\Vert }\right)\left({\displaystyle \sum _{t\in S}\Vert C_{4t}\Vert }\right)=180;\end{array}$

${\rho }_{14}^S=0.16,{\rho }_{24}^S=0.29,{\rho }_{34}^S=0.1722;{\rho }_{41}^{\overline{S}}=0.11,{\rho }_{42}^{\overline{S}}=0.24,{\rho }_{43}^{\overline{S}}=\mathrm{0.1222.}$

由引理2.4可得$\Vert C^{-1}\Vert \le \underset{i\in S,j\in \overline{S}}{\max }\max \left\{{\rho }_{ij}^S,{\rho }_{ji}^{\overline{S}}\right\}=0.29$ 。

而由本文定理3.2，令$K_2=\left\{1,2,3\right\},K_1=\left\{4\right\}$ ，经计算，

${\Lambda }_1\left(C\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 1}\Vert C_{1t}\Vert d_t\left(C\right)}=5.598,{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert C_{1t}\Vert =2;}$ ${\Lambda }_2\left(C\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 2}\Vert C_{2t}\Vert d_t\left(C\right)}=9.2,{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert C_{2t}\Vert =4;}$

${\Lambda }_3\left(C\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_2,\ne 3}\Vert C_{3t}\Vert d_t\left(C\right)}=6.25,{\displaystyle \sum _{t\in K_1}\Vert C_{3t}\Vert =2;}$ ${\Lambda }_4\left(C\right)-{\displaystyle \sum _{t\in K_1,\ne 4}\Vert C_{4t}\Vert d_t\left(C\right)}=20,{\displaystyle \sum _{t\in K_2}\Vert C_{4t}\Vert =20.}$

此时$M=1$ ，$h\in \left(1.0000,2.3000\right)$ ，当$h$ 取1.0001时，取得最佳上界${\Vert C\Vert }^{-1}\le 0.2779$ 。从例3来看定理3.2所得上界优于引理2.4所得上界。

基金项目

吉首大学研究生科研项目(Jdy24042)。

NOTES

^*通讯作者。