基于CFD-DEM的直井多暂堵球运移规律及封堵效率研究

Research on the Transportation Law and Blocking Efficiency of Multi-Temporary Plugging Balls in Vertical Wells Based on CFD-DEM

摘要: 投球暂堵转向压裂技术是有效改造多产层油气藏的重要手段，但在垂直井下暂堵球的运移行为和封堵效率方面存在较大不确定性。基于CFD-DEM的耦合方法，模拟暂堵球在垂直井单簇内运移及转向封堵过程，探究投放位置与孔眼相对距离、投放位置与孔眼相对角度，射孔流量比对运移规律及封堵效率的影响。结果表明：暂堵球位置是影响暂堵球成功坐封的主导因素，投放位置距离孔眼越近封堵率越高，相对孔眼侧位投放易导致暂堵球错过射孔区域，高射孔流量比下暂堵球受朝向拖曳力更强，相较于低射孔流量比下封堵效率更高。

Abstract: Ball drop temporary plugging and steering fracturing technology is an important means to effectively modify multi-layer reservoirs, but there are large uncertainties in the transportation behavior and blocking efficiency of temporary plugging balls in vertical wells. Based on the coupling method of CFD-DEM, we simulate the transportation and steering plugging process of temporary plugging ball in a single cluster of vertical wells, and investigate the effects of the relative distance between the placement position and the borehole, the relative angle between the placement position and the borehole, and the ratio of the injection flow rate on the transportation pattern and the plugging efficiency. The results show that the position of the plugging ball is the dominant factor influencing the success of the plugging ball, the closer the placement position is to the borehole, the higher the plugging rate is, the lateral placement relative to the borehole will easily cause the ball to miss the injection area, and the plugging ball will be dragged more strongly by the direction of the high injection flow rate, which will result in a higher plugging efficiency compared to that of the low injection flow rate.

1. 引言

在垂直井的水力压裂作业中，暂堵转向压裂技术已成为有效改造多产层油气藏的重要手段。该技术以其低成本和高效能的特点，被广泛应用于提高射孔层的裂缝扩展均匀性和改造效果[1]-[3]。在垂直射孔井中，使用暂堵球压裂可比封隔器压裂显著降低成本，同时刺激多个层位[4] [5]。通过注入含有暂堵球的压裂液，暂堵球将沿着井筒运移，部分暂堵球将坐封在射孔孔眼上形成暂堵，抑制优势裂缝的扩展，引导短裂缝的二次扩展[6] [7]。然而，尽管暂堵球技术在实际作业中具有良好的应用前景，其在垂直井中的应用仍然面临一些挑战，尤其是在暂堵球的运移行为和封堵效率方面存在较大不确定性。Brown等[8]最早提出了暂堵球在垂直井中输运的基本方程，认为当球体受到的惯性力大于阻力时，暂堵球可能会错过目标射孔，无法有效封堵。Nozaki等[9]揭示暂堵球封堵效率受井筒方位角与重力影响显著，高流速下效果衰减；Hu等[10]提出页岩气井存在最佳暂堵球投放量，通过增加封堵次数与优化时机可实现多裂缝均衡扩展。Cheng等[11]，李婷婷等[12]通过CFD-DEM耦合模型，模拟暂堵球在水平井筒内的运移封堵过程，发现暂堵球输运性能受流速、密度、尺寸、射孔流量分布及井筒几何等多因素影响。

尽管CFD-DEM方法在理论研究中表现出较强的优势，针对垂直井中单簇射孔下暂堵球的输运规律和封堵特性，现有的研究仍较为有限。因此，本文基于CFD-DEM耦合模型，深入研究垂直井单簇射孔下多颗暂堵球的运移规律、转向过程及封堵效率，探讨不同参数对封堵效率的影响。

2. 数值模拟方法

在研究暂堵球在垂直井筒中的运移和封堵行为时，采用了基于欧拉–拉格朗日耦合方法的数值模型进行模拟与求解。拉格朗日方法提供了一种详细且现实的颗粒传输模型，通过追踪每个颗粒在随机流体场中的运动，能够准确描述颗粒的轨迹、速度及其与流体的相互作用。在这一方法中，流体相被视为连续介质，而颗粒作为离散相在流体场中运动，两者的相互作用通过力学模型进行耦合和计算。针对暂堵球的研究，采用了CFD-DEM (计算流体动力学–离散元法) [13] [14]耦合模型，结合颗粒流和流体流动的物理特性进行求解。根据颗粒直径与网格尺寸的比值，耦合模型可分为解析模型、半解析模型和非解析模型。由于暂堵球直径为13 mm，故采用解析模型是较为合适的选择，因为在该模型中，颗粒与流体的相互作用是通过沿颗粒边界积分得到的，这要求颗粒跨越多个流体单元来实现收敛解。由于暂堵球的尺寸较大，且颗粒与流体的相互作用具有较强的尺度效应，解析模型能够较好地处理这种颗粒流问题，并保证计算结果的精度与稳定性。

解析CFD-DEM通过开源CFDEM软件实现，该软件耦合了OpenFOAM (OpenCFD Ltd., v1906)和LIGGGHTS (LIGGGHTS® 3.8.0)。OpenFOAM实现流体相在欧拉参考系中求解，Liggghts进行固体颗粒相在拉格朗日参考系中跟踪。沉浸边界(IB)法用于求解拉格朗日点与周围流体单元之间的相互作用力。PISO (压力隐含与分割算子)方法用于求解流体相的耦合质量和动量公式。二阶QUICK方案用于离散对流项。发散项和梯度项采用半有限差分法计算。考虑到计算成本和精度，采用标准k-ε模型求解流体相。流体流动受不可压缩Navier-Stokes方程控制，质量和动量公式见式(1)和式(2)。

${\rho }_{fl}\frac{\partial u_{fl}}{\partial t}+{\rho }_{fl}\left(u_{fl}\cdot \nabla \right)u_{fl}=-\nabla p+{\mu }_{fl}{\nabla }^2{u}_{fl}\text{ in }{\Omega }_f$ (1)

$\nabla \cdot u_{fl}=0\text{ in }{\Omega }_f$ (2)

边界条件

$u_{fl}=u_{\Gamma }\text{ on }\Gamma$ (3)

初始条件

$u_{fl}\left(x,t=0\right)=u_0\left(x\right)\text{ in }{\Omega }_f$ (4)

球体–流体界面条件

$u_{fl}=v_b\text{ on }{\Gamma }_s$ (5)

$\sigma \cdot n=t_{\Gamma s}\text{ on }{\Gamma }_s$ (6)

暂堵球的运移采用拉格朗日方式，每个粒子的运动包括平移和旋转，受牛顿第二定律控制

$m_b\frac{\text{d}{v}_b}{\text{d}t}=m_{b}g+F_{b,f}+{\displaystyle \sum F_{b,w}}$ (7)

$I\frac{\text{d}{\omega }_b}{\text{d}t}={\displaystyle \sum T_{c,w}}+T_{b,f}$ (8)

流体对球体的作用力计算公式

$F_{b,f}={\displaystyle \sum _{c\in {\overline{T}}_h}\left(-\nabla p+{\mu }_{fl}{\nabla }^2{u}_{fl}\right)\left(c\right)}\cdot V\left(c\right)$ (9)

其中Ω_f为流体域，Ω_s为固体域，Γ为CFD边界，Γ_s代表流体与固体交互，u_fl为流体速度(m/s)，μ_fl为流体粘度(mPa·s)，ρ_fl为流体密度(kg/m³)，v_b为颗粒速度(m/s)，u_Γ为流体速度的边界条件(m/s)，u₀为流体速度的初始条件(m/s)，$\sigma$ 为应力张量，n为固体表面的单位法向量，t_Γs流体的牵引矢量，g为重力加速度(m/s²)，m_b为颗粒质量(kg)，ω_b为颗粒角速度(rad/s)，I为颗粒的转动惯量(kg·m²)，T_c,w为颗粒与墙的接触扭矩(N·m)，T_b,f流体产生的扭矩(N·m)，F_b,f流体对颗粒的作用力(N)，F_b,w颗粒对墙的作用力，T_h为实体覆盖网格的集合，V为网格体积(m³)。

3. 实验方案

3.1. 模型建立

图1展示了基于现场实际工况参数建立的数值模型。该模型中的井筒垂直长度为2000 mm，井筒入口直径为100 mm，均与现场实际条件相符。模型中设置了六个带倒角的圆锥形射孔，射孔间距为60 mm，且以60˚的相位角均匀分布，从井筒的跟端至趾端。假设无射孔冲蚀现象，每个射孔被理想化为圆形，且流体通过每个射孔时呈均匀流动。每个射孔的直径设定为15 mm，穿透深度为50 mm。在该数值模型中，井筒跟端被设为速度入口，用于引入压裂液和暂堵球，井筒出口则设置为压力出口，以确保流体能够顺利排出。流体域由六面体单元组成，网格尺寸3 mm，网格在每个孔上进行细化，以捕捉流体流动的细节。其他边界条件均采用无滑移的固壁边界条件。为了确保流体能够充分发展并达到稳定流动状态，入口与射孔P1之间的距离设置为1400 mm。最后，井筒趾端被设为完全封堵，以模拟实际工况下的封堵条件。

Figure 1. Model size and fluid mesh

图1. 模型尺寸和流体网格

3.2. 模拟方案

本文通过开展数值模拟实验，系统研究了垂直井筒中暂堵球的运移规律及影响其坐封特性的关键因素。表1列出了所有实验组的具体实验方案，旨在探讨单簇井筒条件下以下参数对暂堵球行为的影响：暂堵球初始投放位置与射孔的相对距离、暂堵球初始投放位置与射孔的相对侧位角度、射孔流量比。其中封堵率为封堵射孔数与总射孔数之比，由公式(10)表示。

$封堵率=\frac{封堵射孔�}{�射孔�}\times 100\text{\%}$ (10)

射孔流量比R_p是通过总的射孔流量与井筒注入流量之比，由公式(11)表示。

$射孔流量比=\frac{射孔流出流量}{井筒注入流量}\times 100\text{\%}$ (11)

考虑到压裂层段中各射孔段因导流作用导致射孔间流量分配的不均匀性，研究中针对单簇井筒实验的射孔流量比参数进行了简化处理，默认设定为80%以便于集中分析其他变量对暂堵球运移和坐封行为的影响。

Table 1. Simulation scheme

表1. 模拟方案

模拟组	注入排量(m^3/min)	暂堵球与孔眼相对距离(mm)	暂堵球与孔眼相对角度(˚)	射孔流量比(%)
1	2	10~35	0	80
2	2	20	0~45	80
3	2	20	0	20~80

4. 结果和分析

4.1. 暂堵球与孔眼相对距离

暂堵球在井筒中与孔眼的相对距离对其封堵效率影响显著。图2显示了6颗环形摆放的暂堵球与射孔的相对距离从30 mm减小到20 mm的运移轨迹及坐封情况，随着暂堵球与射孔相对距离的减小，井筒内的封堵率显著提升。在图2(a)中，可见所有暂堵球与孔眼的间距均精确设定为30 mm，当这些球进入射孔簇区域时，受到螺旋射孔分流的影响，仅有两颗球成功转向坐封趾端孔眼。在图2(b)中，缩短暂堵球与孔眼的间距为25 mm，这种位置差异导致封堵效果的明显提高，井筒内封堵率由33.3%提升至66.6%。在图2(c)中，暂堵球与孔眼的间距缩短至20 mm，这一变化使得其运移轨迹受到其他距离较远孔眼附近流体流动的影响较小，所有暂堵球均能够精确地封堵其对应的射孔，展现了优异的封堵效果。

Figure 2. Trajectory of temporary plugging ball and blocking situation at different distances

图2. 不同距离下暂堵球运移轨迹及封堵情况

如图3所示，统计了暂堵球在与孔眼不同相对距离投放下的封堵率，随着距离增大，封堵效率逐渐降低。孔眼附近存在一个高速流体区域，当暂堵球进入射孔簇范围内，其与射孔的距离是决定其能否受到孔眼分流对其轨迹影响的关键因素。如图4(a)提取了三种相对距离下暂堵球在与射孔1同一水平面时周围的流场云图，可见其与孔眼的初始相对距离越近，在下降至孔眼附近就会越靠近其射孔分流的高速流体范围中心，受到朝向孔眼拖曳力的影响更大。如图4(b)是三种相对距离下球1在射孔1附近所受到的朝向孔眼的拖曳力变化，小球在下降至孔眼附近时所受到的拖曳力逐步上升，其中初始位置相对距离孔眼20 mm的小球在靠近孔眼时所受到的拖曳力增幅最大，成功坐封孔眼；相对距离孔眼30 mm的小球在下降至和射孔1同一水平面几乎没有受到朝向射孔的拖曳力，因而未能转向孔眼。

Figure 3. Blocking efficiency of perforation clusters at different distances

图3. 不同距离下射孔簇封堵效率

Figure 4. Flow velocity distribution and drag force variation at different distances

图4. 不同距离下流速分布及拖曳力变化情况

暂堵球与射孔的相对距离越近，越容易在靠近孔眼时受到流体分流所产生的拖曳力，从而坐封孔眼；其次，多球情况下随着与距离的增大，球的间距更近相互作用更加明显，使其更加容易偏离垂直下落的轨迹，错过高速流体区域，错过射孔。

4.2. 暂堵球与孔眼相对角度

在研究暂堵球与孔眼相对距离的基础上，同样发现暂堵球初始投放位置与孔眼不同相对角度对其在井筒内部的封堵效率也会有不同的影响。为了阐明这一影响因素，将小球与井筒壁面的距离默认设置为20 mm，模拟进行了一系列与暂堵球与孔眼相对角度从0˚到45˚的实验，描绘了6颗初始位置特定角度的小球在井筒中的运动趋势和坐封情况。射孔流量比设置为80%，其他参数与表1一致。由图5可以观察到，随着暂堵球与孔眼相对角度由0˚增加至30˚，偏离孔眼正对位置的小球在经过射孔簇时受流体分流作用较小，井筒内部的封堵效率逐渐下降，当暂堵球与孔眼相对角度为45˚时，6颗小球全部对应坐封距离其最近的孔眼。图6通过统计分析印证了这一现象。

Figure 5. The trajectory of the temporary plugging ball and the blocking situation under different angles

图5. 不同角度下暂堵球运移轨迹及封堵情况

Figure 6. Blocking efficiency of perforated clusters at different angles

图6. 不同角度下射孔簇封堵效率

当暂堵球进入井筒时，其与孔眼的相对角度是影响最终封堵效果的关键因素。这决定了小球在经过射孔簇时，是受到流体分流所产生的拖曳力影响更大还是惯性力影响更大。如图7(a)所示，分别是小球在与孔眼相对侧位15˚和与孔眼相对侧位45˚时，球1 (红色小球)下降至P1和P6的运移轨迹图和井筒内部速度云图，可以看出越靠近趾端射孔，井筒内部流体速度越低，小球更容易受到孔眼分流的影响。如图7(b)所示，提取了球1在四种角度下，射孔簇范围内所受的拖曳力影响情况，在正位时，小球在P1孔眼附近所受的拖曳力就成功促使小球转向坐封；侧位15˚和侧位30˚时由于距离射孔较远，都没能坐封孔眼；当侧位45˚时，下降至P6孔眼附近，所受到的拖曳力急剧增大，因而成功坐封P6射孔。当小球与射孔的相对角度越小，它在下降至射孔簇范围内更容易直接受到从孔眼中高速喷出的流体所产生的拖曳力。这种直接的拖曳力有助于暂堵球更快地减速并朝向孔眼移动，从而提高坐封效率。

Figure 7. Flow velocity distribution and drag force variation at different angles

图7. 不同角度下流速分布及拖曳力变化情况

4.3. 射孔流量比

由于储层非均质性、裂缝间的应力干扰和井眼侵蚀，射孔流量分配在不同的簇之间可能会有所不同，并可能在水力压裂过程中动态变化。在多球模拟下，射孔簇中各射孔的流量大小对暂堵球坐封率影响同样较大。图8中，管道中的流量为2 m³/min，射孔簇的流量范围为0.4 m³/min至1.6 m³/min，暂堵球初始位置均距离孔眼20 mm，显示了簇流量从80%减小到20%暂堵球的运移变化。在相同条件下，簇流量80%时封堵率达到峰值，随着簇流量的降低，封堵率逐渐下降。对比图8(a)模拟发现，随着簇流量的降低，跟端孔眼由能够坐封转变为不能坐封，而趾端孔眼始终都能准确封堵。如图8(b)所示，对比不同簇流量下井筒内部流场速度变化图，井筒内部流体沿着轴线的速度从1.35 m处开始变化，在射孔簇范围内逐渐降低，此时孔眼处高速流体对球体施加的拖曳力更加容易克服小球下落的惯性力，使其转向坐封孔眼。

如图9所示，统计了暂堵球在不同簇流量下的封堵率，随着簇流量的增加，球体的转向强度增大，相同方案下的暂堵球封堵效率明显提高。值得注意的是，当50%簇流量时封堵效率为50%显著低于35%簇流量工况下的66.6%封堵率。通过数值模拟流场分析发现，该异常现象源于球4在运移过程中与孔眼P4下方井壁发生的非弹性碰撞，导致其未能成功坐封。图10的速度场对比研究表明，在50%簇流量工况下，井筒轴向流体的速度相较于35%工况存在明显提升，这一流体动力学特性导致球4进入射孔簇区域的时间缩短。在此过程中，球体受到射孔分流效应产生的横向速度与自身惯性力的协同作用，产生了约60˚的运动轨迹偏移，最终导致与P4孔眼下方位置处的井壁发生碰撞。当射孔簇流量超过50%后，暂堵球在射孔簇区域轴向速度大幅降低，朝向射孔的高速流体范围增大，球体将会更早转向坐封孔眼，因此封堵率大幅提升。

Figure 8. Blocking at different perforation flow ratios

图8. 不同射孔流量比下封堵情况

Figure 9. Blocking efficiency of perforation clusters with different perforation flow ratios

图9. 不同射孔流量比下射孔簇封堵效率

5. 结论

(1) 暂堵球与射孔孔眼的相对距离对封堵效率有显著影响，随着相对距离的减小，井筒内的封堵率显著提高，尤其是当其与孔眼距离缩短至20 mm以下时，所有暂堵球均能精确坐封射孔，表现出优异的封堵效果。

(2) 暂堵球与孔眼的相对角度对封堵效率具有显著影响，当暂堵球与射孔的相对角度较小时，更容易受到来自孔眼喷射流体的拖曳力影响，从而更快减速并精确封堵孔眼，增强封堵效率。

Figure 10. Velocity analysis of temporary plugging balls at two shot hole flow ratios

图10. 暂堵球在两种射孔流量比下速度分析

(3) 当射孔簇流量从80%降低到20%时，封堵率逐渐下降，且随着簇流量的减小，趾端孔眼始终能准确封堵，但跟端孔眼的封堵能力逐步减弱。

基金项目

重庆科技大学研究生创新计划项目“直井多射孔簇暂堵球运移规律及封堵特性研究”(编号：YKJCX2420156)。