“单调有界准则与第二个重要极限”应用实践探索

Exploration of the Application Practice of the “Monotonic Bounded Criterion and the Second Important Limit”

摘要: 本文以高等数学中“单调有界准则与第二个重要极限”的课堂教学为例，探讨了如何通过生活实例引入教学内容，在理论分析与推导过程中合理融入思政，使学生体会数学工具在解决复杂问题中的逻辑链条。

Abstract: This article takes the classroom teaching of “monotonic bounded criteria and the second important limit” in advanced mathematics as an example, explores how to introduce teaching content through life examples and reasonably integrate ideological and political ideas and politics in the process of theoretical analysis and derivation, so that students can understand the logical chain of mathematical tools in solving complex problems.

1. 引言

单调有界准则是高等数学中的两个极限存在准则之一，第二个重要极限是极限理论的重要组成内容，是讨论“${\text{1}}^{\infty }$ ”型极限的重要工具。单调有界准则与第二个重要极限二者间的关系密不可分。单调有界准则是推导第二个重要极限的关键理论依据，为第二个重要极限的存在性提供了严格证明。第二个重要极限的数列形式源于复利问题，具有明确的实际意义。由第二个重要极限定义的无理数ｅ不仅是数学符号，更是自然法则的阐释，在实际应用中具有重要价值[1]。

当前国内外关于“单调有界准则与第二个重要极限”的教学探讨相对较少，相关研究更多集中在理论分析层面，重点关注数学理论本身的性质和应用，较少涉及具体的教学方法和策略。在常见的课堂教学中，多以直接给出单调有界准则的内容，然后分析推导第二个重要极限为授课思路。本文通过实际案例“复利问题”引入第二个重要极限，旨在引导学生主动思考，培养其逻辑思维能力。同时，将课程思政融入教学，如介绍常数e的由来，融入数学史，培养学生追求真理的科学精神。探讨了如何以“提出问题–分析问题–解决问题”为教学主线，激发学生探索欲及求知欲，通过师生互动、生生互动提升学生课堂参与度。此外，对于初学者感到繁琐且不易理解的推导过程，采取了不同于传统教材的处理方式。在注重第二个重要极限在计算方面应用的同时，又拓展了其在解决实际问题方面的实用性。教学过程中合理融入课程思政，实现了知识传授与能力培养的有机统一。

2. 实例引入聚焦问题

2.1. 问题提出与分析

以经济学中的经典案例“复利问题”为切入点，引导学生联系生活实际，分析以下问题：假设把1元钱存入银行，银行每年按100%的利率支付。一年后，1元变成了2元。如果让银行每半年结算一次，半年的利息是50%，半年后1元变成了1.5元；再过半年，1.5元又变成了2.25元。显然比第一种方式多赚了0.25元。以此类推，通过表1给出部分数据。

Table 1. Calculation table of compound interest times and principal and interest income

表1. 复利次数与本息收益计算表

结算周期	本金	复利次数	利率	本息收益计算式	本息收益
按半年计	1	2	1/2 (=50%)	1·(1 + 1/2)·(1 + 1/2)	2.25
按季度计	1	4	1/4 (= 25%)	1·(1 + 1/4)^4	2.44140625
按月计	1	12	1/12	1·(1 + 1/12)^1^2	2.61303529
按周计	1	52	1/52	1·(1 + 1/52)^52	2.692596954
按天计	1	365	1/365	1·(1 + 1/365)^365	2.714567428
. . .	1	. . .	. . .	. . .	. . .

进一步地，引导学生观察对比一年内多种不同结息方式下，本息收益的变化趋势。进而直观上感到似乎一年里复利次数越多，收益就会越多。由此触发学生思考一个大胆有趣的设想：随着复利次数的无限增加，收益是否会无限增长？

2.2. 极限归纳与讨论

不难发现，根据本息收益计算公式，上述问题的答案本质上可归纳为数列$\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}$ 的极限问题。将生活中的实际问题转化为数学问题解决，不仅激发了学生的学习兴趣和探知欲，也再次彰显了学数学、用数学及学以致用的深刻内涵。

鉴于$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 与第二个重要极限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\text{1+}\frac{\text{1}}{x}\right)}^x$ 密不可分，且初学者常常对“${\text{1}}^{\infty }$ ”型极限存在些许错误认知。此处考虑通过课堂讨论，先令学生自行尝试计算$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ ，然后对所暴露出的问题着重予以纠正强调，加深学生体会。

在实际的课堂教学中，学生们对于$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 的计算，有两种典型常见的错误解法：一种为误用极限运算法则。认为$n\to \infty$ 时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 趋于1，$n$ 个$\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的乘积${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 便趋于1。在纠正该错误答案的过程中，再次向学生强调使用理论工具要严谨，忽略条件只重结论的做法不可取；另一种为误判数列变化趋势。想当然地认为$n\to \infty$ 时，${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 底数比1大，指数趋于无穷，故极限是无穷大。此答案是不少初学者较易得出的一种共性认知。作为检验真理的唯一标准，从现实意义看，若答案为无穷大，岂非人人皆可财富自由。

经过以上讨论，课堂教学自然而然地聚焦于$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 究竟等于几？又或者存不存在？

3. 极限论证分析问题

3.1. 知识回顾与举例

通过前面的学习，学生们已经知道何为有界数列及收敛数列一定有界。特别强调了“有界”只是数列收敛的一个必要条件。由此抛出问题：一个有界数列要收敛，还需满足哪些条件？有无明确的判别标准？

为强调“单调性”是有界数列收敛的充分条件，通过举例使学生判断比较两个不同的有界数列$\left\{{\left(-1\right)}^n\right\}$ 和$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 的敛散性。继而引发其思考：同为有界数列，为什么敛散性截然不同？两数列有何本质区别？为便于学生理解，以数形结合方式通过图1进行直观展示。

显然，随着下标n的无限增大，数列$\left\{{\left(-1\right)}^n\right\}$ 的项在1和−1之间来回跳跃，趋势不定；而数列$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 的项从数轴上看，呈现出一个沿着固定方向移动的态势。

3.2. 准则概括与释义

经过上述对比之后，给出数学上诸如数列$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 一般所谓“单调数列”的定义。由此进一步引导学

Figure 1. Changing trend of series items

图1. 数列项的变化趋势

生大胆猜想：一个“有界”数列是否同时具有“单调性”就会收敛？当然，仅凭一个例子不能以偏概全。在学生们的一致质疑中，给出继夹逼准则之后的另一个极限存在准则——单调有界准则，并以几何直观方式解释其收敛原理，如图2所示。

Figure 2. Geometric explanation of convergence of monotone bounded sequence

图2. 单调有界数列收敛的几何解释

根据准则内涵及收敛的单调有界数列的特征，将其升华为对学生的思政教育：生活和工作中要达成一个目标，既要有坚定明确的方向，也应注意红线不越矩！

3.3. 极限回溯与论证

再次回到之前悬而未决的极限问题：$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 存在与否？在学习了单调有界准则之后，便可一探究竟。值得注意的是，传统教材中利用牛顿二项公式论证$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 存在性的思路，有时或多或少会使学生在听课过程中产生一定的畏难情绪。为降低理解门槛，提高课堂效率，这里尝试借助相关学习平台于课前发布预习任务，弱化课上繁琐推导。使学生在现有知识基础上，预先消化所学难点，培养主动探究的学习习惯。

预习任务：设$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n,y_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}\left(n=1,2,\cdots \right)$ 。证明(1) 数列$\left\{x_n\right\}$ 单调增加[2]；(2) 数列$\left\{y_n\right\}$ 单调减少[1]；(3) 数列$\left\{x_n\right\}$ 有上界。

证明 (1) $\because x_n=1\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{n}\right)\le {\left[\frac{1+n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}\right]}^{n+1}={\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}=x_{n+1}$ ，

$\therefore$ 数列$\left\{x_n\right\}$ 单调增加；

(2) $\because \frac{1}{y_n}=1\cdot \frac{n}{n+1}\cdots \frac{n}{n+1}\le {\left[\frac{1+\left(n+1\right)\frac{n}{n+1}}{n+2}\right]}^{n+2}={\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}}$ ，即$y_n\ge y_{n+1}$ ，

$\therefore$ 数列$\left\{y_n\right\}$ 单调减少；

(3) 显然$x_n<y_n$ ，且由(2)知$y_n\le y_1=4$ ，从而$x_n<4$ ，故数列$\left\{x_n\right\}$ 有上界。

注意到，以上证明方法用到了中学常见的均值不等式

$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n},其中a_1,a_2,\cdots ,a_n>0.$

预习任务的设置，一方面是为了检验学生对数列“单调性”、“有界性”相关内容的掌握，另一方面重点在于论证得出“数列$\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}$ 单调增加有上界”。至此便可由单调有界准则得出数列$\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}$ 收敛，进而回答了$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 存在。至于该极限等于几，便成为后续讲授第二个重要极限的切入点。

4. 极限推导解决问题

4.1. 知识补充与拓展

极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 的结果与第二个重要极限具有密切关联，先补充介绍相关数学史知识。如数学家欧

拉通过构造一个无穷级数并估计其和的方式，论证了该极限的存在性，同时证明了该极限结果是一个无理数，并用e来表示它。正是因为有了这个e，才有了指数函数e^x、对数函数lnx以及后来对这些函数相关性质的深入研究。e在现实中的应用非常广泛，数学分析、概率统计、生物繁殖、病毒传播、放射性衰变等各个领域，都能见到它的身影，可谓是无处不在。

通过人们对复利问题产生的“错觉”，可使学生再次深刻意识到：直观感受有时并不等同于事实真相。人的主观认知时常会与客观世界产生偏差。只有超越表象、深度分析，才能在学习、工作和生活中更加清醒地应对复杂问题。

4.2. 极限推导与应用

为引出第二个重要极限，抛出问题引起学生关注：根据海涅定理，可由一个函数极限求出相对应的数列极限。而由一个特殊的数列极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 能否推广到一般的函数极限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\text{1+}\frac{\text{1}}{x}\right)}^x$ ？想法听起来似乎有悖常理，但科学史上的许多重大发现，往往正是始于大胆猜想！

注意到n为正整数，先尝试讨论$x\to +\infty$ 时函数${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 的极限，看其是否存在[3]：

证明 设$n\le x<n+1$ ，则${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n<{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ .

$\because \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}\cdot {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{-1}\right]=\text{e},$

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]=\text{e},$

$\therefore$ 由夹逼准则，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\text{e}$ .

进一步启发学生思考：如何实现极限过程由$x\to +\infty$ 到$x\to \infty$ 的转化？显然，只要能够进一步地证明$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\text{1+}\frac{\text{1}}{x}\right)}^x$ 也等于e，根据极限存在的充要条件便得第二个重要极限。由此不难想到变量代换这一手段：

证明 令$t=-x$ ，则

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{t}\right)}^{-t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{t}{t-1}\right)}^t=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t-1}\right)}^t=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left[{\left(1+\frac{1}{t-1}\right)}^{t-1}\cdot \left(1+\frac{1}{t-1}\right)\right]=\text{e}.$

最后，通过流程图(图3)梳理整个推导过程，使学生领会证明的清晰逻辑：

Figure 3. The proof process of the second important limit

图3. 第二个重要极限的证明流程

第二个重要极限之所以“重要”，是因为它在实际中的应用，几乎渗透到了所有涉及连续增长或衰减的模型、概率统计及复杂系统分析的领域。相关的例子比比皆是，通过国人引以为傲的DeepSeek，可以信手拈来。例如在一些军事问题中，所建立起的空运补给、兵力投送等数学模型，以及军事装备的可靠性分析中，一些关键环节都是通过第二个重要极限得以突破。由此激励学生主动利用AI进行课外知识探索，培养自身的自主学习能力。

在推导得出第二个重要极限后，应向学生强调，第二个重要极限是高等数学中解决“$1^{\infty }$ ”型幂指函数极限问题的重要手段。只要将所给幂指函数的底数形式上拆分为1加无穷小，同时保证指数部分为底数中无穷小的倒数，便可考虑利用第二个重要极限进行计算，如下例[4]：

例 求$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2x+3}{2x\text{+1}}\right)}^{x+1}$ .

解 $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)}^{x+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)}^{x+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)}^{\frac{2x+1}{2}}\cdot \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)}^{\frac{1}{2}}=\text{e}$ .

5. 结论

本文立足于环环相扣、引人入胜的教学理念，尝试探讨了在“单调有界准则与第二个重要极限”的课堂教学中，如何通过复利问题提出疑问，激发学生兴趣，并在理论分析中引发学生反思直觉误区，感受准则价值。课堂教学适时融入思政教育，穿插相关数学史知识与应用背景介绍，使学生体会数学之美及第二个重要极限的重要所在。教学设计一定程度上实现了知识传授与素质提高的有机统一。