热力学与统计物理学的教学研究

Study on Teaching in the Thermodynamics and Statistical Physics

摘要: 热力学与统计物理学是高等学校物理专业的一门很重要的专业课。本文从热力学和统计物理学角度简要地描述了功、热量、熵、焓、自由能等一些热力学函数的物理含义。同时对系综概念和统计物理学中常见的三种系综进行了对比。从教学方法角度，教学实践中，像熵、配分函数等一些抽象的物理量，我们采取讨论式教学，并留给大作业和思考题等方法。这些方法对提高热力学与统计物理学教学质量起重要的作用。

Abstract: The thermodynamics and statistical physics is one of the most important courses in physics major. In this paper, from thermodynamics and statistical physics view, the physical meaning of some thermodynamic quantities such as work, heat, entropy, enthalpy, free energy etc., were briefly described. Meanwhile, the meaning of the ensemble was clarified, and the thermodynamic quantities of the most used three kinds of ensembles in the statistical physics have been compared. From pedagogical view, the discussion mode, and project assignments and reflective questions were applied in the practical teaching. The above methods effectively improve the teaching quality of the thermodynamics and statistical physics.

1. 引言

《热力学与统计物理学》是高等学校物理专业学生的一门核心专业课，也是涉及物理学各方向，能广泛应用于自然界各领域的一门应用性较强的课程。我们在多年的《热力学与统计物理学》教学实践中发现，虽然学生在大学二年级已经学过《热学》课程，但因对物理概念的认识不深、统计物理学解决问题的崭新方法与热力学的研究方法不同、概念和公式多、偏微分推导和积分计算多、内容较抽象等各种原因，学生学习《热力学与统计物理学》这门课程很吃紧，结果学习和教学效果也不太理想。目前，随着高校招生规模的增加，在学生基础水平不均匀，学习能力差距大，教学课时被压缩的情况下，如何顺利完成《热力学与统计物理学》课程的教学任务并保证教学质量是重要的教学研究题目之一。国内各高校的不少学者对此作了不少的研究，提出不同的观点，并建议不同的教学模式，如，根据学生基础和科学研究的新发展编写教材[1]，教材内容中穿插物理学史和计算统计物理内容[2]，在教学实践中将科学前沿与教学内容有机的结合[3]，采用专题化教学模式，把教学内容分解成适当的专题[4]，采用研究性教学模式[5]，改变教学方法，使学生的被动学习改为主动学习[6]等等。同时，探讨了教学方法并总结出了有利于提高教学质量的有效方法，如，重点突出物理思想和物理方法的教学方法[7]，科学归纳法[8]，重视总结法[9]，热力学公式的记忆法[10]，类比法、图像法[11]等等。另外，随着网络信息技术的发展，建设并应用了MCAI课件[12]，慕课(MOOCs) [13]，AI课程[14]及人工智能技术[15]等新型教学模式及新型教学辅助资源。本文，针对学生在学习中面临的困难，如概念抽象、公式繁多等问题，为了提高教学质量，提出了三项具体的教学改革建议：采用讨论式教学、设置综合性大作业、以及利用思考题和AI平台引导学生主动学习。我们根据多年的热力学与统计物理教学经验归纳出了以下三点。

2. 热力学宏观量与微观量的物理含义

在热力学与统计物理学中，抽象的物理量较多，比如，熵、焓、自由能、化学势、态密度、配分函数、系综等等。在教学实践中我们发现学生对热力学宏观量与微观量的物理含义及其关联不是很清楚，下面我们就取功、热量，焓、自由能(Helmholtz及Gibbs)，及熵为例，简要地给出这些物理量所对应的物理含义。

2.1. 功、热量的微观含义与热力学表示

外界对体系做功使改变体系粒子的能级，微分表示为

$\text{<menclose notation="horizontalstrike"> d </menclose>}W={\displaystyle {\sum }_i{a}_i\text{d}{\epsilon }_i}$ . (1)

其中${\epsilon }_i$ 为粒子的第$i$ 个能级，$a_i$ 为粒子的第$i$ 个能级所对应的分布。从热力学角度，在一维(1D)，二维(2D)，三维(3D)情形下，与尺寸有关的功可表示为

$\text{<menclose notation="horizontalstrike"> d </menclose>}W=\{\begin{array}{ll}F\text{d}L,\hfill & \left(\text{1D}\right)\hfill \\ \sigma \text{d}A,\hfill & \left(\text{2D}\right)\hfill \\ -P\text{d}V,\hfill & \left(\text{3D}\right)\hfill \end{array}$ . (2)

其中$F,\sigma ,P$ 分别为作用在1D体系的拉力，2D液体薄膜的表面张力，和3D体系的压强。$L,A,V$ 分别为1D，2D，3D体系的长度，面积和体积。

热交换可改变体系粒子按能级的分布，微分表示为

$\text{<menclose notation="horizontalstrike"> d </menclose>}Q={\displaystyle {\sum }_i{\epsilon }_i\text{d}{a}_i}$ . (3)

从热力学角度，在等容过程、等压过程、绝热过程和等温过程中体系从外界所吸收的热量可表示为

$\text{<menclose notation="horizontalstrike"> d </menclose>}Q=\{\begin{array}{ll}{C}_V\text{d}T,\hfill & \left(等容�程\right)\hfill \\ C_P\text{d}T,\hfill & \left(等��程\right)\hfill \\ 0,\hfill & \left(���程\right)\hfill \\ \text{d}U-\text{<menclose notation="horizontalstrike"> d </menclose>}W,\hfill & \left(等��程\right)\hfill \end{array}$ . (4)

其中$C_V,C_P$ 分别为等容、等压热容量。对等温过程一般不能直接求出热量，而根据热力学第一定律通过求解功和内能来确定。理想气体为例，由于理想气体的内能只是温度的函数，当温度为一定时，体系从外界所吸收的热量等于外界对体系所做的功。

2.2. 焓(Enthalphy)、Helmholtz自由能、Gibbs自由能的物理含义

焓(H)：是内能的一部分($H=U+PV$ )，在等压过程中，焓的增量等于体系所吸收的热量，其微分表示为

$\text{d}H=T\text{d}S+V\text{d}P$ . (5)

Helmholtz自由能(F)：是内能的一部分($F=U-TS$ )，在等温过程中，体系对外界所做的功等于自由能的减少，其微分表示为

$\text{d}F=-S\text{d}T-P\text{d}V$ . (6)

Gibbs自由能(G)：是内能的一部分($G=U-TS+PV$ )，在等温等压过程中，与体积无关的广义力对体系所做的功，其微分表示为

$\text{d}G=-S\text{d}T+V\text{d}P+{\displaystyle {\sum }_i{F}_i\text{d}{X}_i}$ . (7)

其中$F_i,X_i$ 分为与体积无关的其它形式的广义力和广义坐标。如，超导体的Gibbs自由能可写成 $\text{d}G=-S\text{d}T+V\text{d}P-M\text{d}H$ ，在等温等压条件下，外磁场对超导体所做的功为$\text{d}G=-M\text{d}H$ 。

2.3. 熵的热力学与统计物理含义

熵(Entropy)是热力学、统计物理学中的非常重要的而且较难理解的一个物理量，于1865年克劳修斯(Clausius)首次提出熵的概念。现在，熵的概念已经远远超出了热力学与统计物理学范畴，直接扩展到天体物理、宇宙学、生命系统、概率论、社会信息统计、控制理论、以及宏观经济学等领域[16]。除了热学和热力学与统计物理这两门课程里讨论得较多以外，物理专业的其它课程里几乎很少讨论熵，并且熵的概念比较抽象，因此学生较难掌握。从统计物理学角度，熵表示为体系的混乱程度，体系能处于的微观状态的个数越多，熵就越大。对一般的体系随着温度的上升，体系的混乱程度就增多，结果体系能处于的微观状态个数也随温度升高而增多，导致体系熵的增加。

(1) 熵为状态函数，处在温度为一定的平衡态的孤立体系经过自发过程(不可逆)后，体系的熵值不减少，即为熵增加原理。对一般的体系，体系到达平衡态的过程中体系所吸收的净热量(吸收和放出热量的代数和)与体系温度的比值越大，体系熵的变化就越大，既，

$\text{d}S=\text{d}{Q}_{�}/T$ . (8)

熵又是状态参量，作为特性函数可表示出其它的热力学函数。

从统计物理角度，熵值与体系微观状态数成正比，即，通过玻耳兹曼(Boltzmann)关系$S=k\ln \Omega$ (其中，k为玻耳兹曼常数，Ω为体系微观状态数)能关联体系的状态函数熵与体系的微观参数即微观状态数。

(2) 熵值下限：随着温度的降低，体系中粒子的热运动逐渐减弱，粒子的平均动能随着温度的降低而减小。当热力学温度趋于绝对温度的零度时，体系中所有粒子的自由度均为“冻结”，体系内所有粒子处在相同的微观态，即整个体系处于“冻结”状态，则宏观角度体系能处于的微观状态数只有一种状态，结果体系的熵等于零，即体系的熵值取其最小值。因此，熵值最小只能取零，但不能小于零，可看成为绝对熵。

3. “系综”概念并常见三种系综所对应热力学函数的对比

在统计物理学中系综(Ensemble)概念又是一个非常重要的，比较抽象的概念之一，也是教学中的一个难点。国内学者对系综基本概念[17]，和不同系综的比较[18]进行了相关的教学研究[19] [20]。我们尽量简要地描述系综的物理含义，并较全面地比较了三种系综所对应的热力学和统计物理学函数。

(1) 系综概念：玻耳兹曼(Boltzmann)统计不考虑粒子之间的相互作用，当粒子间相互作用不能忽略时要采用系综统计[21]。在教科书中，“系综”被定义为处在相同环境的、结构相同的系统的集合。而，往往被理解为系统本身的简单集合。在Pathria的统计力学[22]书中描述为：“对给定的宏观条件，在任意时刻，统计体系可等概率地处在巨大的、离散的微观状态其中的任意一个状态。随着时间的推移，体系从一个微观状态连续地转移到另一个微观状态，结果，过了足够的时间后，我们可观察到类似于对体系经历的所有微观状态求个平均的行为。因此，在单一时刻，与原体系处在相同宏观状态的、原体系的大量的‘自身拷贝’体系的集合可看成为原体系的所有可能的微观状态。因此，在一般情况下，我们期望系综里对体系的平均表现与给定体系对时间的平均表现一样。”总之，系综可理解为体系的大量微观状态所对应的宏观体系的集合，不是体系内原子或粒子的集合。

(2) 三种常见系综热力学公式的多样化

常见的三种系综既微正则、正则、巨正则系综虽然等效，但大部分教科书中三种系综所讨论的热力学问题也不同，而且热力学公式也较多、多样化，使初学者较难搞明白三种系综的等效性。在表1中，我们归纳比较了常见三种系综所对应的基本热力学和统计物理学函数。内能、压强、粒子数涨落和能量涨落与配分函数的函数关联表达式在三种系综中均一样，但是配分函数在三种系综的函数表达不一样。配分函数和熵函数的表达式均取决于三种系综的具体性质。对巨正则系综，如果系统与粒子源不能交换粒子，则熵函数和配分函数之间的函数关联以及能量的涨落与配分函数之间的函数关联与正则系综的结果一致。对正则系综，如果系统与热源之间不能转换能量，则熵函数和配分函数之间的函数关联与微正则系综的结果一致。

Table 1. The thermodynamic functions of the micro canonical, canonical, and grand canonical ensembles

表1. 微正则、正则、巨正则三种系综热力学函数的比较

属性及函数	微正则系综	正则系综	巨正则系综
接触环境	绝热隔开	热源	热源及粒子源
状态参量	$N,V,E$	$N,V,T$	$\mu ,V,T$
概率分布函数	${\rho }_S=\frac{1}{\Omega }=con$	${\rho }_S=\frac{1}{Z}{\text{e}}^{-\beta E_S}$	${\rho }_{N,S}=\frac{1}{\Xi }{\text{e}}^{-\alpha N-\beta E_S}$
配分函数	$z=\Omega$	$Z={\displaystyle \sum _s{\text{e}}^{-E{\beta }_S}}$	$\Xi ={\displaystyle \sum _N{\text{e}}^{-\alpha N}}{\displaystyle \sum _s{\text{e}}^{-E{\beta }_S}}$
熵	$S=k_B\ln z$	$S=k_B\left(\ln Z-\beta \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }\right)$	$S=k_B\left(\ln \Xi -\beta \frac{\partial \ln \Xi }{\partial \beta }-\alpha \frac{\partial \ln \Xi }{\partial \alpha }\right)$
特性函数	$S=k_B\ln z$	$F=-k_{B}T\ln Z$	$J=-k_{B}T\ln \Xi$
内能	$U=-\frac{\partial \ln z}{\partial \beta }$	$U=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$	$U=-\frac{\partial \ln \Xi }{\partial \beta }$
压强	$P=\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln z}{\partial V}$	$P=\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln Z}{\partial V}$	$P=\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln \Xi }{\partial V}$
粒子数涨落	$\langle N^2\rangle -{\langle N\rangle }^2=0$	$\langle N^2\rangle -{\langle N\rangle }^2=0$	$\langle N^2\rangle -{\langle N\rangle }^2=\frac{{\partial }^2\ln \Xi }{\partial {\alpha }^2}$
能量涨落	$\langle E^2\rangle -{\langle E\rangle }^2=0$	$\begin{array}{c}\langle E^2\rangle -{\langle E\rangle }^2=\frac{{\partial }^2\ln Z}{\partial {\beta }^2}\\ =k_B{T}^2{C}_V\end{array}$	$\begin{array}{c}\langle E^2\rangle -{\langle E\rangle }^2=\frac{{\partial }^2\ln \Xi }{\partial {\beta }^2}\\ =k_B{T}^2{C}_V+{\langle \Delta N\rangle }^2{\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)}_T^2\end{array}$
说明	$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ , $\alpha =\frac{-\mu }{k_{B}T}$

4. 教学方法的改革

4.1. 讨论式教学

教学中改变教师为主讲的传统教学模式，适当的应用互动式的、讨论式的教学模式。教学中提出一些与基本概念、定律有关的问题，激发学生的兴趣和积极性，使更多的学生参与讨论中，通过讨论使学生进一步明确认识或理解基本概念和基本定律。比如，提出如何理解Helmholtz自由能、熵等概念，为何不能制造第二类永动机、为何达不到绝对温度的零度等问题并进行分组讨论。分组讨论将全班35名学生分7组，每组含5人，讨论题目提前一周通知学生理解和准备题目。讨论课开始时，先每个小组组内讨论10分钟，然后每个小组一位代表学生发言3~5分钟，最终教师总结3~5分钟。如，讨论“熵”时，分别从热力学角度和统计物理学角度如何理解熵？熵具有哪些属性？熵的下限、熵的广延性、熵增原理、生物体系的熵、负熵、信息熵等等。

4.2. 大作业

准备一些与日常生活、生产、工业、以及目前科学研究领域中与热现象有关的足够量的多样化题目，让学生根据兴趣自由选题，也让学生自己出题，留给一定的时间，比如，一个月或两月后收起大作业，将大作业评价总结通知给学生，并将优秀的大作业在课堂中演讲交流。以下表2提供了上教学学期给学生提供的大作业参考题目。

Table 2. Reference topics for homework assignment in “thermodynamics and statistical physics”

表2. 《热力学与统计物理学》大作业参考题目

	热力学类	统计物理学类
生活类	1. 基于热力学第一定律的家用热泵热水器 能效优化分析——以不同气候区使用场景为例 2. 热力学第二定律视角下冰箱“结霜问题” 的机理探究与除霜能耗控制策略	1. 统计物理玻耳兹曼分布视角下室内空气污染物 扩散规律的模拟与通风优化 2. 基于麦克斯韦速度分布的家用空调出风口气流 速度场分析与送风均匀性改进
生产类	3. 农业温室大棚温度调控系统的热力学分析 ——基于闭口系统能量方程的能耗优化 4. 食品冻干加工过程中的热力学参数(焓变、 熵变)计算与冻干效率提升方案 5. 小型酿酒厂发酵过程的热力学建模 ——酒精发酵放热对反应速率的影响及控温设计	3. 半导体晶圆制造中“热载流子效应”的统计物理解释 ——载流子能量分布与器件可靠性关联 4. 锂电池充放电过程中电极材料微观粒子热运动的 统计建模——基于玻耳兹曼输运方程的发热预测 5. 粮食仓储过程中霉菌生长的统计热力学分析 ——温度对霉菌孢子热激活能的影响
工业类	6. 火力发电厂汽轮机循环的热力学分析与 热效率提升路径——以超临界CO2发电技术为例 7. 工业余热回收系统的热力学可行性研究 ——基于朗肯循环的余热发电装置参数优化	6. 工业催化反应中催化剂表面分子吸附的统计物理 模型构建——吸附熵变对反应速率的调控机制 7. 光伏电池板热致效率衰减的统计物理分析 ——载流子热运动对光电转换效率的影响
前沿类	8. 基于热力学熵增原理的新型相变储能材料 (PCM)热稳定性分析与循环寿命评估	8. 基于统计物理“非平衡态热力学”的量子点热电子 器件输运特性模拟与性能优化

4.3. 思考题

每次上完课，根据教学内容留给学生两三道思考题，让他们在课外时间自己分析问题，思考问题，在新开课时化10~15分钟时间讨论前节课留给学生的那些思考题。另外，通过AI学习平台，比如，AI智慧树平台，给学生推送相关知识点的思考题。这样，一方面让学生主动复习功课，另一方面可以提高学生的独立思考问题的能力。

Table 3. Detailed learning status information on the knowledge points for the classes

表3. 班级知识点学习情况详情

班级名称	班级人数	班级内知识点 平均掌握度	班级内知识点 平均学习时长	班级内知识点 平均练习次数	班级内知识点 平均练习时长
物理22-1	31人	76%	920分钟	148次	111分钟
物理22-2	35人	74%	1122分钟	133次	83分钟
物理22-3	35人	71%	896分钟	115次	98分钟

Table 4. Overview of the knowledge point learning status

表4. 知识点学习情况总览

掌握较好80%以上	掌握一般60%~80%	掌握较差60%以下
48个	2个	17个

Table 5. Achievement level of competency points by the classes

表5. 各班级能力点达成度

班级名称	课程能力 达成度	计算与分析能力 达成度	课程能力 达成度	理论知识的掌握 达成度	创新能力和家国情怀 达成度
物理22-1	28.7%	26.1%	86.4%	39.8%	20.6%
物理22-2	28.0%	25.5%	84.3%	38.7%	20.1%
物理22-3	27.1%	24.8%	81.7%	37.4%	19.5%

采用线上AI学习和线下教学模式相结合，建立智慧教育公共服务平台(智慧树) AI《热力学·统计物理学》课程库，共8章，共有资源235个，67个知识点。理论知识的掌握占33% (其中热力学基础理解和统计物理基础理解各占50%)，计算与分析能力占33% (其中热力学系统分析占33%，统计物理方法应用占33%，解决复杂问题的综合应用能力占34%)，创新能力和家国情怀占34% (其中专业素质和创新能力占50%，家国情怀和在社会责任感占50%)。三个班级共101人同时进行线上AI学习(参看表3)，其中2班35人平均掌握度91%，最高掌握度达97%，最低掌握度为68%。学习67个知识点中，掌握度超过80%以上的有46个知识点，占总知识点的71.6%。掌握度低于60%的知识点有17个，占总知识点的25.3% (请参看表4)。经过AI学习，各能力大成度在表5中显示。

5. 结论

本文简要阐述了热力学与统计物理学中的功、热量、熵、自由能等一些物理量的物理含义，归纳比较了统计物理学中常见的三种系综所对应的熵、内能、压强、特性函数以及粒子数涨落和能量涨落等热力学函数。在实际教学中针对一些抽象的物理量如、熵、配分函数，我们采取讨论式教学，留给大作业和思考题等方法，通过理论与实践的结合，帮助学生直观理解这些抽象的概念，这些方法对提高热力学与统计物理教学效果起很重要的作用。

基金项目

2024年新疆大学虚拟教研室培育项目“新疆高校物理基础教育虚拟教研室”。