更新风险过程下理赔额的矩研究

On Moments of Claim Amount under the Renewal Risk Process

摘要: 提出带有任意理赔间隔时间分布和理赔额分布的更新风险模型。在该模型下给出破产前最后一次理赔额的各阶矩满足的瑕疵更新方程。由此方程通过拉普拉斯变换获得上述各阶矩(包含破产概率)的显示表达式，并在指数理赔条件下给出破产概率的明确表达式。就理赔额服从指数分布，且理赔间隔时间服从Gamma分布和广义Gamma分布的情形，分别给出数值例子，分析相关参数对破产概率的影响，验证了上述结论的有效性。

Abstract: A renewal risk model is proposed where the interclaim time distribution and the claim amount distribution are assumed to be arbitrary, respectively. Under this model, a defective renewal equation is given that is satisfied by the moments of each order of the last claim before ruin which led to ruin. From this equation, the Laplace transform is used to obtain an explicit expression for the above moments including the ruin probability, and another explicit expression for the ruin probability is given under exponential claim condition. In the case that the claim amount obeys the exponential distribution and the interclaim time obeys the Gamma distribution and the generalized Gamma distribution, numerical examples are given to analyze the influence of the relevant parameters on the ruin probability, and the validity of the above conclusions is verified.

1. 引言

在经典的复合Poisson风险模型中，理赔间隔时间被假定为独立同分布的指数分布随机变量。文献[1]全面介绍了经典风险理论的历史和发展，文献[2]研究了带扩散的复合Poisson风险模型中破产前理赔贴现和扰动贴现的混合矩。更新风险模型(也称为Sparre Andersen风险模型)是对复合Poisson风险模型的一个实质性推广，它允许理赔间隔时间和理赔额均服从更一般的分布。关于更新风险模型的研究进展可参见文献[3]-[5]，这些文献讨论了理赔间隔时间或理赔额服从某些特殊的分布(如Gamma分布)的更新风险模型。在复合Poisson风险模型下，文献[6]引入了破产时罚金折现期望函数(简称Gerber-Shiu函数)，用来分析与破产事件相关的其他函数。此后，Gerber-Shiu函数成为了确定与破产相关的数量的统一工具，大量的破产理论都致力于研究Gerber-Shiu函数，该函数被广泛研究并扩展到不同的盈余过程中[7]-[12]。其中，更新风险模型允许更一般的理赔间隔时间分布。多位研究人员通过对Gerber-Shiu函数的研究，对Sparre Andersen风险模型的分析做出了贡献。

本文把理赔间隔时间服从指数分布等特定分布的风险模型推广到带有任意理赔间隔时间分布和理赔额分布的更新风险模型。在该模型下不考虑折现因素，以Gerber-Shiu函数作为工具，利用盈余过程在理赔时可再生性和重期望公式推出破产前最后一次理赔额(导致破产的理赔额)的各阶矩满足的瑕疵更新方程。对此方程两边进行拉普拉斯变换及逆变换获得上述各阶矩的显示表达式，进而得出破产概率的显示表达式。就理赔额分布为指数分布的情形，给出破产概率的明确表达式。在指数理赔条件下，就理赔计数过程是Erlang(m)过程和广义Erlang(2)过程两种情形，分别给出数值例子，分析相关参数对破产概率的影响。

2. 模型与符号

用$U_t$ 表示保险公司在时刻$t$ 的盈余水平，其定义为

$U_t=u+ct-{\displaystyle \sum _{i=1}^{N_t}{X}_i}$ ，$t\ge 0$ ，(1)

其中$u\ge 0$ 是保险公司的初始盈余，$c>0$ 是保费收入率；$\left\{N_t,t\ge 0\right\}$ 是更新计数过程，$N_t$ 表示时间区间$\left(0,t\right]$ 上的理赔次数；$\left\{X_i,i=1,2,\cdots \right\}$ 是非负独立同分布的随机变量序列，$X_i$ 是第$i$ 次理赔额，$X_i$ 的分布函数为$F\left(x\right)=\text{Pr}\left(X_i\le x\right)$ ，概率密度函数为$f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)$ ，$x>0$ ；$\left\{T_i,i=1,2,\cdots \right\}$ 是非负独立同分布的随机变量序列，$T_i$ 是第$i-1$ 次理赔与第$i$ 次理赔的间隔时间，$T_1$ 是初始时刻$t=0$ 与首次理赔时刻的间隔时间，$T_i$ 的分布函数为${\rm K}\left(t\right)=\text{Pr}\left(T_i\le t\right)$ ，概率密度函数为$\kappa \left(t\right)={{\rm K}}^{\prime }\left(t\right)$ ，$t>0$ 。本文假定：1) $\left\{T_i,i=1,2,\cdots \right\}$ 与$\left\{X_i,i=1,2,\cdots \right\}$ 相互独立；2) 安全负载条件$c\text{E}\left(T_i\right)>\text{E}\left(X_i\right)$ 成立。

在更新风险模型(1)中，定义：破产时刻为$T=\inf \left\{t\ge 0:U_t<0\right\}$ ，其中$\inf \varnothing =\infty$ ；盈余首次低于初始盈余$u$ 的时刻为$T_u=\inf \left\{t\ge 0:U_t<u\right\}$ ；破产概率为$\phi \left(u\right)=\text{Pr}\left(T<\infty |U_0=u\right)$ ；破产前最后一次理赔额的$k$ 阶矩为

${\varphi }_k\left(u\right)=\text{E}\left[{\left(U_{T-}+\left|U_T\right|\right)}^k{\rm I}\left(T<\infty \right)|U_0=u\right]$ ，(2)

其中$k$ 为非负整数，${\rm I}\left(A\right)$ 是随机事件$A$ 的示性函数，$U_{T-}$ 为破产前瞬时盈余，$\left|U_T\right|$ 为破产时赤字，$U_{T-}+\left|U_T\right|$ 为破产前最后一次理赔额(导致破产的理赔额)。显然，$\phi \left(u\right)={\varphi }_0\left(u\right)$ 。关于$U_{T-}$ ，$\left|U_T\right|$ 以及盈余过程$\left\{U_t,t\ge 0\right\}$ 的走势图可参见文献[6]中图1。

3. 矩${\varphi }_k\left(u\right)$ 的更新方程

首先考虑$U_0=u$ 时$T$ ，$U_{T-}$ 和$\left|U_T\right|$ 的有关概率密度函数。

在给定$T=t$ ，$U_{T-}=x$ 的条件下，$\left|U_T\right|$ 的条件概率密度为$f_x\left(y\right)=f\left(x+y\right)/\left(1-F\left(x\right)\right)$ 。

就首次理赔时破产发生的情形，$\left(T,U_{T-},\left|U_T\right|\right)$ 在$\left(t,x,y\right)$ 处的联合概率密度为$\kappa \left(t\right)f\left(x+y\right)$ ，其中$t>0,x=u+ct>u,y>0$ ，进而，$\left(U_{T-},\left|U_T\right|\right)$ 在$\left(x,y\right)$ 处的联合概率密度为

$p_1\left(x,y|u\right)=\frac{1}{c}\kappa \left(\frac{x-u}{c}\right)f\left(x+y\right)$ $=\frac{1}{c}\kappa \left(\frac{x-u}{c}\right)\left(1-F\left(x\right)\right)f_x\left(y\right)$ 。

就首次理赔时破产未发生的情形，$\left(T,U_{T-},\left|U_T\right|\right)$ 在$\left(t,x,y\right)$ 处的联合概率密度记为$p_2\left(t,x,y|u\right)$ ，其中$t>0,0<x<u+ct,y>0$ ，进而，$\left(U_{T-},\left|U_T\right|\right)$ 在$\left(x,y\right)$ 处的联合概率密度为$p_2\left(x,y|u\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{p}_2\left(t,x,y|u\right)\text{d}t}$ 。

给定$U_0=u$ ，$\left(U_{T-},\left|U_T\right|\right)$ 在$\left(x,y\right)$ 处的联合概率密度为

$p\left(x,y|u\right)=p_1\left(x,y|u\right)+p_2\left(x,y|u\right)=f_{U_{T-}}\left(x|u\right)f_x\left(y\right)=f_{U_{T-}}\left(x|u\right)f\left(x+y\right)/\left(1-F\left(x\right)\right)$ ，

其中$f_{U_{T-}}\left(x|u\right)$ 是$U_0=u$ 时$U_{T-}$ 的概率密度。

命题1 矩${\varphi }_k\left(u\right)$ 满足如下瑕疵更新方程

${\varphi }_k\left(u\right)=\alpha {\displaystyle {\int }_0^u{\varphi }_k\left(u-y\right)h\left(y\right)\text{d}y}+{\nu }_k\left(u\right)$ ，$u\ge 0$ ，(3)

其中

$\alpha ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }p\left(x,y|0\right)\text{d}y\text{d}x}}$ ，(4)

$h\left(y\right)=\frac{1}{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }p\left(x,y|0\right)\text{d}x}$ ，(5)

${\nu }_k\left(u\right)={\displaystyle {\int }_u^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(x+y\right)}^{k}p\left(x,y|0\right)\text{d}x\text{d}y}}$ 。(6)

证：考虑如下四种情况：1) $T_u=T_1$ ，且首次理赔时破产未发生；2) $T_u=T_1$ ，且首次理赔时破产发生；3) $T_u>T_1$ ，且$T_u$ 时刻破产未发生；4) $T_u>T_1$ ，且$T_u$ 时刻破产发生。

由盈余过程(1)在任一理赔时刻的可再生性，对上述四种情况应用期望累次法则得

$\begin{array}{c}{\varphi }_k\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^u{\varphi }_k\left(u-y\right)\left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }{p}_1\left(x,y|0\right)\text{d}x}\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_u^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(x+y\right)}^k{p}_1\left(x,y|0\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ +{\displaystyle {\int }_0^u{\varphi }_k\left(u-y\right)\left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }{p}_2\left(x,y|0\right)\text{d}x}\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_u^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(x+y\right)}^k{p}_2\left(x,y|0\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^u{\varphi }_k\left(u-y\right)\left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }p\left(x,y|0\right)\text{d}x}\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_u^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(x+y\right)}^{k}p\left(x,y|0\right)\text{d}x\text{d}y}}\end{array}$ 。(7)

由(4)，(5)，(6)，(7)式得(3)式成立。

类似，应用期望累次法则得

${\varphi }_k\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(x+y\right)}^k\left(p_1\left(x,y|u\right)+p_2\left(x,y|u\right)\right)\text{d}x\text{d}y}}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(x+y\right)}^{k}p\left(x,y|u\right)\text{d}x\text{d}y}}$ ，

上式结合(2)，(4)式得

$0<\alpha ={\varphi }_0\left(0\right)=\text{E}\left[I\left(T<\infty \right)|U_0=0\right]$ $=\text{Pr}\left(T<\infty |U_0=0\right)=\phi \left(0\right)$ ，(8)

由$c\text{E}\left(T_i\right)>\text{E}\left(X_i\right)$ 得$\phi \left(u\right)<1$ (见文献[1]的3.3节)，故$\alpha \in \left(0,1\right)$ 。由(4)，(5)得${\displaystyle {\int }_0^{\infty }h\left(y\right)\text{d}y}=1$ ，故方程(3)为${\varphi }_k\left(u\right)$ 满足的瑕疵更新方程。 □

为求解方程(3)，记函数$\eta \left(x\right)$ ，$x\ge 0$ ，的拉普拉斯变换为$\widehat{\eta }\left(s\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-sx}\eta \left(x\right)\text{d}x}$。对方程(3)两边施行拉普拉斯变换得

${\widehat{\varphi }}_k\left(s\right)=\alpha {\widehat{\varphi }}_k\left(s\right)\widehat{h}\left(s\right)+{\widehat{\nu }}_k\left(s\right)$ ，

${\widehat{\varphi }}_k\left(s\right)=\frac{{\widehat{\nu }}_k\left(s\right)}{1-\alpha \widehat{h}\left(s\right)}={\widehat{\nu }}_k\left(s\right){\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left(\alpha \widehat{h}\left(s\right)\right)}^n}=\frac{{\widehat{\nu }}_k\left(s\right)}{1-\alpha }\left(1-\alpha +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha \right){\alpha }^n{\left(\widehat{h}\left(s\right)\right)}^n}\right)$ 。(9)

构造辅助函数

$g\left(y\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha \right){\alpha }^n{h}^{\ast n}\left(y\right)}$ ，(10)

$G\left(y\right)=1-\overline{G}\left(y\right)=1-\alpha +{\displaystyle {\int }_0^{y}g\left(x\right)\text{d}x}$，$y\ge 0$ ，(11)

其中$h^{\ast n}\left(y\right)$ 是$h\left(y\right)$ 的$n$ 重自卷积。由${\displaystyle {\int }_0^{\infty }h\left(y\right)\text{d}y}=1$ 得${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}^{\ast n}\left(y\right)\text{d}y}=1$ ，进而，

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }g\left(y\right)\text{d}y}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha \right){\alpha }^n=\alpha }\in \left(0,1\right)$ 。

由(10)得

$\widehat{g}\left(s\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha \right){\alpha }^n{\left(\widehat{h}\left(s\right)\right)}^n}$ ，(12)

$1-\alpha \widehat{h}\left(s\right)=\frac{1-\alpha }{1-\alpha +\widehat{g}\left(s\right)}$ 。(13)

由(9)结合(12)或(13)得

${\widehat{\varphi }}_k\left(s\right)=\frac{{\widehat{\nu }}_k\left(s\right)}{1-\alpha }\left(1-\alpha +\widehat{g}\left(s\right)\right)$ $={\widehat{\nu }}_k\left(s\right)+\frac{{\widehat{\nu }}_k\left(s\right)\widehat{g}\left(s\right)}{1-\alpha }$ 。

对上式两边施行拉普拉斯逆变换得${\varphi }_k\left(u\right)$ 的显示表达式为

${\varphi }_k\left(u\right)={\nu }_k\left(u\right)+\frac{1}{1-\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(u-y\right){\nu }_k\left(y\right)\text{d}y}$ 。(14)

由分部积分法，(14)式可写成如下形式

${\varphi }_k\left(u\right)=\frac{1}{1-\alpha }\left({\nu }_k\left(u\right)-{\nu }_k\left(0\right)\overline{G}\left(u\right)-{\displaystyle {\int }_0^u\overline{G}\left(u-y\right){{\nu }^{\prime }}_k\left(y\right)\text{d}y}\right)$。

下面给出破产概率$\phi \left(u\right)$ 的显示表达式。由(14)和$\phi \left(u\right)=\text{E}\left[{\rm I}\left(T<\infty \right)|U_0=u\right]={\varphi }_0\left(u\right)$ 得

$\phi \left(u\right)={\nu }_0\left(u\right)+\frac{1}{1-\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(u-y\right){\nu }_0\left(y\right)\text{d}y}$ ，(15)

其中${\nu }_0\left(u\right)={\displaystyle {\int }_u^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }p\left(x,y|0\right)\text{d}x\text{d}y}}=\alpha {\displaystyle {\int }_u^{\infty }h\left(y\right)\text{d}y}$ 。

为得到破产概率$\phi \left(u\right)$ 的显示表达式的另一种形式，由(11)得$\widehat{\overline{G}}\left(s\right)=\alpha /s-\widehat{g}\left(s\right)/s$ ，把(12)式右端代入该式并整理得

$\widehat{\overline{G}}\left(s\right)=\alpha \widehat{\overline{G}}\left(s\right)\widehat{h}\left(s\right)+\alpha \frac{1-\widehat{h}\left(s\right)}{s}$ 。(16)

对上式两边施行拉普拉斯逆变换得

$\overline{G}\left(u\right)=\alpha {\displaystyle {\int }_0^u\overline{G}\left(u-y\right)h\left(y\right)\text{d}y}+\alpha \left(1-{\displaystyle {\int }_0^{u}h\left(y\right)\text{d}y}\right)=\alpha {\displaystyle {\int }_0^u\overline{G}\left(u-y\right)h\left(y\right)\text{d}y}+{\nu }_0\left(u\right)$，$u\ge 0$ 。(17)

由(3)得

${\varphi }_0\left(u\right)=\alpha {\displaystyle {\int }_0^u{\varphi }_0\left(u-y\right)h\left(y\right)\text{d}y}+{\nu }_0\left(u\right)$ 。(18)

注意到一个瑕疵更新方程唯一定义一个函数，比较(17)，(18)得

$\phi \left(u\right)={\varphi }_0\left(u\right)=\overline{G}\left(u\right)$ 。(19)

由(10)，(11)得

$\overline{G}\left(y\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\left(1-\alpha \right){\alpha }^n{\displaystyle {\int }_y^{\infty }{h}^{\ast n}\left(x\right)\text{d}x}\right)}$，$y\ge 0$ 。(20)

由(19)，(20)得

$\phi \left(u\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\left(1-\alpha \right){\alpha }^n{\displaystyle {\int }_u^{\infty }{h}^{\ast n}\left(y\right)\text{d}y}\right)}$ ，$u\ge 0$ 。(21)

特别，$\phi \left(0\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\left(1-\alpha \right){\alpha }^n{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}^{\ast n}\left(y\right)\text{d}y}\right)}=\alpha$ 。

4. 数值例子

本节我们总是假定理赔额服从指数分布。

设$f\left(x\right)=\beta {\text{e}}^{-\beta x}$ ，则$F\left(x\right)=1-{\text{e}}^{-\beta x}$ ，$\widehat{f}\left(s\right)=\beta /\left(s+\beta \right)$ ，$f_x\left(y\right)=f\left(x+y\right)/\left(1-F\left(x\right)\right)=\beta {\text{e}}^{-\beta y}$ ，

$h\left(y\right)=\frac{1}{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }p\left(x,y|0\right)\text{d}x}=\frac{1}{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{f}_{U_{T-}}\left(x|0\right)f_x\left(y\right)\text{d}x}=\beta {\text{e}}^{-\beta y}$ 。(22)

由(16)，(22)得

$\widehat{\overline{G}}\left(s\right)=\frac{\alpha }{s+\beta }+\alpha \widehat{\overline{G}}\left(s\right)\frac{\beta }{s+\beta }$ $=\frac{\alpha }{s+\beta \left(1-\alpha \right)}$ 。

对上式两边施行拉普拉斯逆变换得破产概率为

$\phi \left(u\right)=\overline{G}\left(u\right)=\alpha {\text{e}}^{-\beta \left(1-\alpha \right)u}$。(23)

为确定$\alpha$ ，考虑首次理赔的时刻$T_1$ 和理赔额$X_1$ ，根据首次理赔时有破产发生和未发生两种可能的结果，由期望累次法则得

${\varphi }_0\left(u\right)=$ ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_{u+ct}^{\infty }{y}^0\beta {\text{e}}^{-\beta y}\kappa \left(t\right)\text{d}y\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{u+ct}{\varphi }_0\left(u+ct-y\right)\beta {\text{e}}^{-\beta y}\kappa \left(t\right)\text{d}y\text{d}t}}$ 。

由${\varphi }_0\left(u\right)=\overline{G}\left(u\right)$ ，上式可写成如下形式

$\overline{G}\left(u\right)=$ ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left({\displaystyle {\int }_0^{u+ct}\overline{G}\left(u+ct-y\right)\beta {\text{e}}^{-\beta y}\text{d}y}+{\text{e}}^{-\beta \left(u+ct\right)}\right)\kappa \left(t\right)\text{d}t}$。(24)

由(17)，(22)得

$\overline{G}\left(u\right)=\alpha {\displaystyle {\int }_0^u\overline{G}\left(u-y\right)\beta {\text{e}}^{-\beta y}\text{d}y}+\alpha {\text{e}}^{-\beta u}$。(25)

由(25)得

${\displaystyle {\int }_0^{u+ct}\overline{G}\left(u+ct-y\right)\beta {\text{e}}^{-\beta y}\text{d}y}+{\text{e}}^{-\beta \left(u+ct\right)}=\frac{1}{\alpha }\overline{G}\left(u+ct\right)$。

把上式右端代入(24)式得

$\alpha \overline{G}\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\overline{G}\left(u+ct\right)\kappa \left(t\right)\text{d}t}$。(26)

由(23)得

$\overline{G}\left(u+ct\right)=\alpha {\text{e}}^{-\beta \left(1-\alpha \right)\left(u+ct\right)}=\overline{G}\left(u\right){\text{e}}^{-\beta \left(1-\alpha \right)ct}$。(27)

把(27)式右端代入(26)式，约去$\overline{G}\left(u\right)$ 得

$\alpha ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\beta \left(1-\alpha \right)ct}\kappa \left(t\right)\text{d}t}=\widehat{\kappa }\left(c\beta \left(1-\alpha \right)\right)$。

综上，破产概率为

$\phi \left(u\right)=\alpha {\text{e}}^{-\beta \left(1-\alpha \right)u}$ ，(28)

其中$\alpha$ 是$\xi$ 的方程

$\xi =\widehat{\kappa }\left(c\beta \left(1-\xi \right)\right)$ 。(29)

在区间$\left(0,1\right)$ 内的唯一实数根。这里唯一性的证明参见文献[7]的3.1节。

在下面的例子中我们将讨论初始盈余、理赔对破产概率的影响。

例1 设理赔计数过程$\left\{N_t,t\ge 0\right\}$ 是Erlang(m)过程，即理赔间隔时间$T_i$ 服从$\Gamma \left(m,\lambda \right)$ 分布，其中$m$ 为正整数。易知

$\kappa \left(t\right)=\frac{{\lambda }^m{\text{e}}^{-\lambda t}{t}^{m-1}}{\left(m-1\right)!}$ ，$\widehat{\kappa }\left(s\right)={\left(\frac{\lambda }{s+\lambda }\right)}^m$ 。

由安全负载条件$c\text{E}\left(T_i\right)>\text{E}\left(X_i\right)$ 得$cm/\lambda >1/\beta$ ，令$c=1.8,\beta =0.6,\lambda =2$ ，为了能看出$\Gamma \left(m,\lambda \right)$ 的参数$m$ 的变化对破产概率$\phi \left(u\right)$ 的影响，让$m$ 分别取值2，4，6，解方程(29)得相应的$\alpha$ 值分别为0.9021，0.2610，0.0911。$u$ 取值从0到10，运用Mathematica12.0软件通过对(28)式的计算，我们给出参数$m$ 的变动对$\phi \left(u\right)$ 的影响，参见图1~3。从图1~3获得$\phi \left(u\right)$ 是$m$ 的递减函数，是$u$ 的递减函数。

Figure 1. Ruin probability when $m=2$

图1. $m=2$ 时破产概率

Figure 2. Ruin probability when $m=4$

图2. $m=4$ 时破产概率

Figure 3. Ruin probability when $m=6$

图3. $m=6$ 时破产概率

例2 设理赔计数过程$\left\{N_t,t\ge 0\right\}$ 是广义Erlang(2)过程，即理赔间隔时间$T_i=T_{i1}+T_{i2}$ 是两个独立的随机变量的和，且$\left\{T_{ij},i=1,2,\cdots \right\}$ 是非负独立同分布的参数为${\lambda }_j$ 的指数分布随机变量序列，$j=1,2$ 。易知

$\widehat{\kappa }\left(s\right)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{\left(s+{\lambda }_1\right)\left(s+{\lambda }_2\right)}$ 。

由安全负载条件$c\text{E}\left(T_i\right)>\text{E}\left(X_i\right)$ 得$c\left(1/{\lambda }_1+1/{\lambda }_2\right)>1/\beta$ ，令$c=1.8,\beta =0.6,{\lambda }_1=1$ ，为了能看出参数${\lambda }_2$ 的变化对$\phi \left(u\right)$ 的影响，让${\lambda }_2$ 分别取值1，3，5，解方程(29)得相应的$\alpha$ 值分别为0.3415，0.6316，0.7367。$u$ 取值从0到10，运用Mathematica12.0软件通过对(28)式的计算，我们给出参数${\lambda }_2$ 的变动对$\phi \left(u\right)$ 的影响，参见图4~6。从图4~6获得$\phi \left(u\right)$ 是${\lambda }_2$ 的递增函数，是$u$ 的递减函数。

Figure 4. Ruin probability when ${\lambda }_2=1$

图4. ${\lambda }_2=1$ 时破产概率

Figure 5. Ruin probability when ${\lambda }_2=3$

图5. ${\lambda }_2=3$ 时破产概率

Figure 6. Ruin probability when ${\lambda }_2=5$

图6. ${\lambda }_2=5$ 时破产概率

5. 结语

本文研究带有一般的理赔间隔时间分布和理赔额分布的风险过程，利用该过程在理赔时可再生性和数学期望的累次法则推出破产前最后一次理赔额(导致破产的理赔额)的各阶矩满足的瑕疵更新方程，由此方程通过拉普拉斯变换获得上述各阶矩(包含破产概率)的显示表达式。就理赔额服从指数分布的情形，给出破产概率的明确表达式，进而，在理赔计数过程是Erlang过程的条件下给出数值例子，分析了相关参数对破产概率的影响。本文所提出的风险模型相较于当前主流的理赔间隔时间服从特定分布的风险模型有着更广泛的适用性。数值例子表明，本文中导致破产的理赔额的矩(包含破产概率)的显示表达式对于保险公司正确计算破产风险和了解其在破产事件中的脆弱性具有一定的应用价值。

基金项目

安徽高校省级自然科学研究项目“基于Erlang风险过程的最优化分红问题研究”(项目编号：KJ0514)。