格上三物种Lotka-Volterra竞争系统的行波

Traveling Waves for a Three Species Lotka-Volterra Competition System on the Lattice

摘要: 本文考虑三物种之间均存在竞争关系的格上Lotka-Volterra竞争系统行波的存在性，主要研究两个外来物种入侵一个弱本土物种和一个外来物种入侵两个弱本土物种这两种情况。首先，在构造上下解的帮助下，利用Schauder不动点定理证明了行波解的存在性；其次，采用压缩矩形法验证了在负无穷远处的稳定波尾极限；最后，通过反证法证明了在某些条件下行波的不存在性。

Abstract: The work is concerned with the existence of two types of traveling waves for Lotka-Volterra competitive system on the lattice with competition among three species. We examine the cases of two alien species invading one weak native species and one alien species invading two weak native species. Firstly, the existence of traveling waves is proved by Schauder’s fixed point theorem with the help of constructing upper-lower solutions. Secondly, using the method of the contracting rectangles, we derive the stable wave tail limit at negative infinity. Finally, the nonexistence of travelling waves is proved under certain conditions.

1. 引言

本文研究以下格上三物种Lotka-Volterra竞争系统(简称L-V竞争系统)：

$\{\begin{array}{l}{u^{\prime }}_j\left(t\right)=d_1{D}_2\left[u_j\right]\left(t\right)+r_1{u}_j\left(t\right)\left(1-u_j\left(t\right)-a_2{v}_j\left(t\right)-a_3{w}_j\left(t\right)\right),j\in \mathbb{Z},t\in ℝ,\hfill \\ {v^{\prime }}_j\left(t\right)=d_2{D}_2\left[v_j\right]\left(t\right)+r_2{v}_j\left(t\right)\left(1-b_1{u}_j\left(t\right)-v_j\left(t\right)-b_3{w}_j\left(t\right)\right),j\in \mathbb{Z},t\in ℝ,\hfill \\ {w^{\prime }}_j\left(t\right)=d_3{D}_2\left[w_j\right]\left(t\right)+r_3{w}_j\left(t\right)\left(1-c_1{u}_j\left(t\right)-c_2{v}_j\left(t\right)-w_j\left(t\right)\right),j\in \mathbb{Z},t\in ℝ,\hfill \end{array}$ (1)

其中，$D_2\left[z_j\right]\left(t\right)=z_{j+1}\left(t\right)+z_{j-1}\left(t\right)-2z_j\left(t\right),z_j=u_j,v_j,w_j$ 。函数$u_j\left(t\right),v_j\left(t\right),w_j\left(t\right)$ 分别表示在空间位置$j$ 时刻$t$ 的物种密度；$d_i\left(i=1,2,3\right)$ 代表物种的扩散系数；$r_i\left(i=1,2,3\right)$ 代表物种的内禀增长率；$a_2,a_3,b_1,b_3,c_1,c_2$ 代表种群间的竞争系数；所有参数都是正常数，且每个物种的承载能力为1。

在生态学研究中，多物种入侵过程不仅对生物多样性的维持与生态系统稳定性具有深远影响，还在生物保护与入侵物种管理中具有重要的现实意义。随着人类活动加剧和全球气候变化，物种的迁移与竞争格局发生了显著变化，理解多个物种在空间中的竞争共存机制，对于预测生物多样性变化、制定自然保护策略以及防控外来物种侵害尤为关键。传统的连续模型通常基于微分方程在均匀空间中对种群动态进行建模，难以捕捉真实生境中普遍存在的空间异质性和离散化特征，如栖息地碎片化、局部扩散限制等。相比之下，晶格模型通过将空间划分为离散单元，能够更直观地体现个体在斑块环境中的迁移、竞争与适应过程，从而更好地模拟实际生态系统中行波的形成与传播动态。本文研究格上的三物种Lotka-Volterra竞争系统，旨在从理论层面揭示多物种竞争互动的空间波形特征，也为理解真实生态系统中物种的共存与更替模式提供更具现实意义的见解。

近年来，具有局部(以拉普拉斯算子为代表)和非局部(以卷积算子为代表)扩散的三物种竞争系统因其比两物种竞争系统具有更加复杂的动力学行为而受到广泛关注[1]-[10]。2015年Guo等人[2]研究了下列扩散的三物种竞争系统行波解的最小速度：

$\{\begin{array}{l}{u}_t=d_1{u}_{xx}+r_{1}u\left(1-u-b_{12}v\right),x,t\in ℝ,\hfill \\ v_t=d_2{v}_{xx}+r_{2}v\left(1-b_{21}u-v-b_{23}w\right),x,t\in ℝ,\hfill \\ w_t=d_3{w}_{xx}+r_{3}w\left(1-b_{32}v-w\right),x,t\in ℝ.\hfill \end{array}$ (2)

作者主要关心的是最小速度的线性确定性，给出了竞争系统参数的若干条件，保证了竞争系统的线性确定性。其中，通过将系统(2)转化为一个单调系统(合作系统)，应用单调迭代方法，证明了连接(1, 0, 1)和(0, 1, 0)行波解的存在性。进一步，Guo等人在文献[3]考虑具有两个弱土著竞争者和一个强外来竞争者的局部三物种竞争系统，研究了以下扩散的L-V竞争系统：

$\{\begin{array}{l}{u}_t=d{u}_{xx}+r_{1}u\left(1-u-a_{2}v-a_{3}w\right),x\in ℝ,t>0,\hfill \\ v_t=d{v}_{xx}+r_{2}v\left(1-b_{1}u-v-b_{3}w\right),x\in ℝ,t>0,\hfill \\ w_t=d{w}_{xx}+r_{3}w\left(1-c_{1}u-c_{2}v-w\right),x\in ℝ,t>0.\hfill \end{array}$ (3)

由于系统(3)的反应项比系统(2)更复杂，不能直接转化为合作系统，因此作者利用Schauder不动点定理证明了连接$\left(0,v_c,w_c\right)$ 和(1, 0, 0)行波的存在性，其中，$v_c:=\frac{1-b_3}{1-b_3{c}_2},w_c:=\frac{1-c_2}{1-b_3{c}_2}$ 。并且通过收缩矩形法推导出稳定波尾极限。研究结果表明，强大的外来竞争对手将消灭本土的两个弱竞争对手。随后，Karen Guo [4]在文献[3]的基础上研究了两个外来物种入侵单个弱本土物种和单个外来物种入侵两个弱本土物种两种情况行波的存在性和不存在性。

由于生态系统中的某些生物可以移动一定距离，它们的运动和相互作用可能发生在不相邻的空间位置之间[6]-[12]，所以2019年Dong Fang-Di等人[6]利用截断问题的极限论证，研究了下列具有非局部各向异性扩散的三物种竞争模型行波的存在性和单调性：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=J_1*u-u+r_{1}u\left(1-u-b_{2}v\right),\hfill \\ \frac{\partial v}{\partial t}=J_2*v-v+r_{2}v\left(1-b_{1}u-v-b_{3}w\right),\hfill \\ \frac{\partial w}{\partial t}=J_3*w-w+r_{3}w\left(1-b_{2}v-w\right),\hfill \end{array}$ (4)

其中，卷积算子$\left(J*\chi \right)\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_{ℝ}J}\left(x-y\right)\chi \left(y,t\right)\text{d}y,\chi =u,v,w$ 。进一步，Wang等人[10]采用上述[3]类似的

方法研究了具有非局部扩散的三物种竞争系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=d_1\left(J*u-u\right)+r_{1}u\left(1-u-a_{2}v-a_{3}w\right),\hfill \\ \frac{\partial v}{\partial t}=d_2\left(J*v-v\right)+r_{2}v\left(1-b_{1}u-v-b_{3}w\right),\hfill \\ \frac{\partial w}{\partial t}=d_3\left(J*w-w\right)+r_{3}w\left(1-c_{1}u-c_{2}v-w\right).\hfill \end{array}$ (5)

在文献[10]中，作者同样考虑了文献[4]中的两种情况。结果表明，一个强的外来竞争物种可以消灭其他两个物种，或者三个弱竞争物种可以共存。

在生物学的背景下，晶格微分方程可以用来研究一个物种在由无限多个斑块组成的栖息地中的空间传播。因此，对于聚集分散，晶格动力系统模型(简称为LDS模型)比连续模型更适合描述物种间竞争现象[13]-[16]。Guo等人[16]考虑以下三分量格上动力系统：

$\{\begin{array}{l}{u^{\prime }}_j\left(t\right)=d_1{D}_2\left[u_j\right]\left(t\right)+r_1{u}_j\left(t\right)\left[1-u_j\left(t\right)-b_2{v}_j\left(t\right)\right],j\in \mathbb{Z},t\in ℝ,\hfill \\ {v^{\prime }}_j\left(t\right)=d_2{D}_2\left[v_j\right]\left(t\right)+r_2{v}_j\left(t\right)\left[1-b_1{u}_j\left(t\right)-v_j\left(t\right)-b_3{w}_j\left(t\right)\right],j\in \mathbb{Z},t\in ℝ,\hfill \\ {w^{\prime }}_j\left(t\right)=d_3{D}_2\left[w_j\right]\left(t\right)+r_3{w}_j\left(t\right)\left[1-b_2{v}_j\left(t\right)-w_j\left(t\right)\right],j\in \mathbb{Z},t\in ℝ,\hfill \end{array}$ (6)

其中，$D_2\left[z_j\right]\left(t\right)=z_{j+1}\left(t\right)+z_{j-1}\left(t\right)-2z_j\left(t\right),z_j=u_j,v_j,w_j$ 。

对于三物种L-V竞争系统，由于竞争强度、扩散率、环境异质性等因素对行波解稳定性和波速的影响，行波解的构造与分析变得困难，因此对其行波解存在性的研究相对较少，尤其对于离散空间中三物种L-V竞争系统行波解的研究。而研究格上三物种L-V竞争系统的行波具有深刻的生物学意义。它不仅有助于理解物种间的竞争与入侵动态，还为生态系统的稳定性、恢复以及多物种共存提供了理论框架。因此，对系统(6)进行推广，研究三物种之间均存在竞争关系的格上三物种L-V竞争系统(1)的行波解。

将$\left(u_j\left(t\right),v_j\left(t\right),w_j\left(t\right)\right)=\left(U\left(\xi \right),V\left(\xi \right),W\left(\xi \right)\right),\xi :=j-ct$ 代入系统(1)得到

$\{\begin{array}{l}{d}_1{\mathcal{D}}_2\left[U\right]\left(\xi \right)+c{U}^{\prime }\left(\xi \right)+r_{1}U\left(\xi \right)\left[1-U\left(\xi \right)-a_{2}V\left(\xi \right)-a_{3}W\left(\xi \right)\right]=0,\xi \in ℝ,\hfill \\ d_2{\mathcal{D}}_2\left[V\right]\left(\xi \right)+c{V}^{\prime }\left(\xi \right)+r_{2}V\left(\xi \right)\left[1-b_{1}U\left(\xi \right)-V\left(\xi \right)-b_{3}W\left(\xi \right)\right]=0,\xi \in ℝ,\hfill \\ d_3{\mathcal{D}}_2\left[W\right]\left(\xi \right)+c{W}^{\prime }\left(\xi \right)+r_{3}W\left(\xi \right)\left[1-c_{1}U\left(\xi \right)-c_{2}V\left(\xi \right)-W\left(\xi \right)\right]=0,\xi \in ℝ,\hfill \end{array}$ (7)

其中，对于函数$Z=Z\left(\xi \right),\xi \in ℝ,{\mathcal{D}}_2\left[Z\right]\left(\xi \right):=Z\left(\xi +1\right)+Z\left(\xi -1\right)-2Z\left(\xi \right)$ 。

在本文中，受文献[4] [10]的启发，我们考虑下述两种情况：两个外来物种入侵一个弱本地物种，需证明满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ 行波解的存在性；一个外来物种入侵了两个弱小的本地物种，转化为证明满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 行波解的存在性。

为了简化计算，假设所有物种都具有相同的扩散系数，即

(H) $d_1=d_2=d_3$ 。

考虑系统(1)对应的齐次方程组，易证其有以下四个平衡点

$e_0:=\left(0,0,0\right),e_1:=\left(1,0,0\right),e_2:=\left(0,1,0\right),e_3:=\left(0,0,1\right),$

其中，$e_0$ 是不稳定的；当$b_1<1$ 或$c_1<1$ 时，$e_1$ 是不稳定的；当$a_2<1$ 或$c_2<1$ 时，$e_2$ 是不稳定的；当$a_3<1$ 或$b_3<1$ 时，$e_3$ 是不稳定的。当$b_3<1$ 且$c_2<1$ ，对应的齐次方程组系统存在半共存状态$e_c^u:=\left(0,v_c,w_c\right)$ ，其中，

$v_c:=\frac{1-b_3}{1-b_3{c}_2}\in \left(0,1\right),w_c:=\frac{1-c_2}{1-b_3{c}_2}\in \left(0,1\right).$

当$\alpha :=1-a_2{v}_c-a_3{w}_c>0$ 即$a_2+a_3<1$ 时，$e_c^u$ 是不稳定。类似地，当$b_1+b_3<1$ 时，存在不稳定的半共存状态$e_c^v$ ；当$c_1+c_2<1$ 时，存在不稳定的半共存状态$e_c^w$ 。当$a_2+a_3<1,b_1+b_3<1,c_1+c_2<1$ 时，对应的齐次方程组系统存在共存状态$e_{*}:=\left(u_{*},v_{*},w_{*}\right),u_{*},v_{*},w_{*}\in \left(0,1\right)$ ，且$e_{*}$ 是稳定的。

本文主要由以下部分组成。第二部分，通过构造恰当的上下解，证明了两种在正无穷远处行波解的存在性；第三部分，利用压缩矩形法，证明了两种在负无穷远处行波解的存在性；第四部分，通过矛盾论证，验证了在某些条件下行波解的不存在性。

2. 行波在正无穷远处的存在性

该部分将构造不同的上下解，利用Schauder不动点定理，分别证明系统(7)在$+\infty$ 处两类不同行波解的存在性，即$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ ，$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 。

首先，给出上下解的定义。为了简化符号，定义

${ℒ}_1\left(U,V,W\right)\left(\xi \right):={\mathcal{D}}_2\left[U\right]\left(\xi \right)+c{U}^{\prime }\left(\xi \right)+r_{1}U\left(\xi \right)\left[1-U\left(\xi \right)-a_{2}V\left(\xi \right)-a_{3}W\left(\xi \right)\right],$

${ℒ}_2\left(U,V,W\right)\left(\xi \right):={\mathcal{D}}_2\left[V\right]\left(\xi \right)+c{V}^{\prime }\left(\xi \right)+r_{2}V\left(\xi \right)\left[1-b_{1}U\left(\xi \right)-V\left(\xi \right)-b_{3}W\left(\xi \right)\right],$

${ℒ}_3\left(U,V,W\right)\left(\xi \right):={\mathcal{D}}_2\left[W\right]\left(\xi \right)+c{W}^{\prime }\left(\xi \right)+r_{3}W\left(\xi \right)\left[1-c_{1}U\left(\xi \right)-c_{2}V\left(\xi \right)-W\left(\xi \right)\right].$

定义2.1 若存在集合$\mathbb{E}=\left\{E_i\in ℝ,i=1,\cdots ,m\right\}$ ，使得对任意$\xi \in ℝ\setminus \mathbb{E}$ ，${\overline{\Phi }}^{″},{\overline{\Phi }}^{\prime },{\underset{\_}{\Phi }}^{″},{\underset{\_}{\Phi }}^{\prime }$ 有界，其中，$\overline{\Phi }:=\left(\overline{U},\overline{V},\overline{W}\right),\underset{\_}{\Phi }:=\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)$，且满足

${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0,{ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0,{ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0,$ (8)

${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0,{ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0,{ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0,$ (9)

则称连续函数$\overline{\Phi }$ 和$\underset{\_}{\Phi }$ 分别为系统(7)的一对上下解。

利用Schauder不动点定理(如[3] [10] [17])，可以得到以下关于行波存在性的结果，在这里省略它的证明。

命题2.2 令$c>0$ 。假设系统(7)存在一对上下解$\left(\overline{U},\overline{V},\overline{W}\right)$ 和$\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)$ ，使得

(1) $\underset{\_}{T}<\overline{T},T=U,V,W$，

(2) $\underset{\xi \to {\xi }^{+}}{\lim }{\overline{T}}^{\prime }\left(\xi \right)\le \underset{\xi \to {\xi }^{-}}{\lim }{\overline{T}}^{\prime }\left(\xi \right),\underset{\xi \to {\xi }^{-}}{\lim }{\underset{\_}{T}}^{\prime }\left(\xi \right)\le \underset{\xi \to {\xi }^{+}}{\lim }{\underset{\_}{T}}^{\prime }\left(\xi \right),\xi \in \mathbb{E},T=U,V,W$.

则系统(7)存在一个解$\left(U,V,W\right)$ ，使得$\underset{\_}{T}\le T\le \overline{T},T=U,V,W$ 。

2.1. 满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ 的行波

定理2.3 令$c^{*}:=\underset{\lambda >0}{\inf }\frac{e^{\lambda }+e^{-\lambda }-2+r_1\left(1-a_3\right)}{\lambda }$ 。假设

$a_3<1,b_3<1,r_1\left(1-a_3\right)=r_2\left(1-b_3\right)\ge r_3\left(c_1+c_2-1\right).$ (10)

则当$c\ge c^{*}$ 时，系统(7)存在一个正解$\left(U,V,W\right)$ 满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ 。

首先，证明$c>c^{*}$ 时，系统(7)满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ 行波的存在性。

定义

${\Lambda }_1\left(\lambda ,c\right):=\left(e^{\lambda }+e^{-\lambda }-2\right)-c\lambda +r_1\left(1-a_3\right).$ (11)

对于$c>c^{*}$ ，设${\lambda }_1$ 和${\lambda }_2\left({\lambda }_1<{\lambda }_2\right)$ 为方程${\Lambda }_1\left(\lambda ,c\right)=0$ 的两个正解，使得对于所有的$\lambda \in \left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right),{\Lambda }_1\left(\lambda ,c\right)<0$ 。

定义

$\overline{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-{\lambda }_1\xi },\hfill & \xi >0,\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-{\lambda }_1\xi }-k_1{e}^{-{\mu }_1\xi },\hfill & \xi >{\xi }_1,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le {\xi }_1,\hfill \end{array}$ (12)

$\overline{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-{\lambda }_1\xi },\hfill & \xi >0,\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}\underset{\_}{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-{\lambda }_1\xi }-k_2{e}^{-{\mu }_1\xi },\hfill & \xi >{\xi }_2,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le {\xi }_2,\hfill \end{array}$ (13)

$\overline{W}\left(\xi \right)=1,\underset{\_}{W}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-{\lambda }_1\xi },\hfill & \xi >0,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}$ (14)

其中，${\mu }_1\in \left({\lambda }_1,\text{min}\left\{{\lambda }_2,2{\lambda }_1\right\}\right),{\xi }_i:=\frac{\ln k_i}{{\mu }_1-{\lambda }_1}>0\left(i=1,2\right),k_i\left(i=1,2\right)$ 均为常数且满足

$k_1>\max \left\{1,\frac{r_1\left(1+a_2\right)}{-{\Lambda }_1\left({\mu }_1,c\right)}\right\},k_2>\max \left\{1,\frac{r_2\left(1+b_1\right)}{-{\Lambda }_1\left({\mu }_1,c\right)}\right\}.$ (15)

下面通过引理来验证上述定义的函数(12)~(14)是系统(7)的上下解。

引理2.4 对给定的$c>c^{*}$ ，假设(10)成立。则定义在(12)-(14)的函数是系统(7)的一对上下解。

证明 当$\xi >0$ 时，有$\overline{U}\left(\xi -1\right)\le e^{-{\lambda }_1\left(\xi -1\right)}$ ，${\overline{U}}^{\prime }\left(\xi \right)=-{\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_1\xi }$ 。则根据${\Lambda }_1\left({\lambda }_1,c\right)=0$ ，可得

${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le e^{-{\lambda }_1\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_1}+e^{{\lambda }_1}-2\right)-c{\lambda }_1+r_1\left(1-a_3\right)\right]+r_1{e}^{-{\lambda }_1\xi }\left[-e^{-{\lambda }_1\xi }-a_2\underset{\_}{V}\left(\xi \right)+a_3{e}^{-{\lambda }_1\xi }\right]\le 0,$

当$\xi <0$ 时，有$\overline{U}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。根据$\underset{\_}{V}\left(\xi \right),\underset{\_}{W}\left(\xi \right)\ge 0$ ，易证${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le r_1\left[-a_2\underset{\_}{V}\left(\xi \right)-a_3\underset{\_}{W}\left(\xi \right)\right]\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。类似地，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

由于${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)=r_3\left[-c_1\underset{\_}{U}\left(\xi \right)-c_2\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\right]$ 且$\underset{\_}{U}\left(\xi \right),\underset{\_}{V}\left(\xi \right)\ge 0$ ，因此，对任意的$\xi \in ℝ$ ，${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >{\xi }_1$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi -1\right)\ge e^{-{\lambda }_1\left(\xi -1\right)}-k_1{e}^{-{\mu }_1\left(\xi -1\right)}$ ，${\underset{\_}{U}}^{\prime }\left(\xi \right)=-{\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_1\xi }+{\mu }_1{k}_1{e}^{-{\mu }_1\xi }$ 。则根据${\Lambda }_1\left({\lambda }_1,c\right)=0$ 和(15)式，可得

${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge e^{-{\mu }_1\xi }\left[-k_1{\Lambda }_1\left({\mu }_1,c\right)-r_1\left(1+a_2\right)\right]\ge 0.$

当$\xi <{\xi }_1$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{{\xi }_1\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。类似地，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{{\xi }_2\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

当$\xi >0$ 时，有$\underset{\_}{W}\left(\xi -1\right)\ge 1-e^{-{\lambda }_1\left(\xi -1\right)}$ ，${\underset{\_}{W}}^{\prime }\left(\xi \right)={\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_1\xi }$ 。则根据${\Lambda }_1\left({\lambda }_1,c\right)=0$ ，可得

${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge r_1\left(1-a_3\right)e^{-{\lambda }_1\xi }+r_3\left(1-e^{-{\lambda }_1\xi }\right)\cdot e^{-{\lambda }_2\xi }\left(1-c_1-c_2\right).$

若$c_1+c_2\le 1$ ，根据$a_3<1$ ，有${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge r_1\left(1-a_3\right)e^{-{\lambda }_1}\ge 0$ ；若$c_1+c_2>1$ ，根据$r_1\left(1-a_3\right)\ge r_3\left(c_1+c_2-1\right)$ ，有${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge e^{-{\lambda }_1\xi }\left[r_1\left(1-a_3\right)-r_3\left(c_1+c_2-1\right)\right]\ge 0$ 。

当$\xi <0$ 时，$\underset{\_}{W}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。证毕。

下面，证明$c=c^{*}$ 的情形。

对于$c=c^{*}$ ，${\Lambda }_1\left(\lambda ,c^{*}\right)=0$ 存在唯一正解${\lambda }^{*}$ ，即

$c^{*}{\lambda }^{*}=\left(e^{{\lambda }^{*}}+e^{-{\lambda }^{*}}-2\right)+r_1\left(1-a_3\right).$ (16)

这也表明

${\left({\Lambda }_1\right)}_{\lambda }\left({\lambda }^{*},c^{*}\right)=\left(e^{{\lambda }^{*}}-e^{-{\lambda }^{*}}\right)-c^{*}=0.$ (17)

令

$g_1\left(\xi \right):={\xi }^2-\xi \sqrt{{\xi }^2+\xi }+\frac{1}{2}\xi ,g_2\left(\xi \right):={\xi }^2-\xi \sqrt{{\xi }^2-\xi }-\frac{1}{2}\xi ,\xi \in \left[1,+\infty \right).$

则$g_1\left(\xi \right),g_2\left(\xi \right)$ 在$\left[1,+\infty \right)$ 上大于零。利用L'Hôpital法则，可得

$\underset{\xi \to +\infty }{\lim }{g}_1\left(\xi \right)=\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\frac{1-{\left(1+\frac{1}{\xi }\right)}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2\xi }}{\frac{1}{{\xi }^2}}=\frac{1}{8}.$

类似地，可得$\underset{\xi \to +\infty }{\lim }{g}_2\left(\xi \right)=\frac{1}{8}$ 。因此，

$s_1:=\underset{\xi >1}{\inf }{g}_1\left(\xi \right)>0,s_2:=\underset{\xi >1}{\inf }{g}_2\left(\xi \right)>0$ (18)

是定义良好的。

令$M^{*}:={\lambda }^{*}e$ 。定义

$\overline{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi },\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }^{*}},\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }^{*}},\hfill \end{array}\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}\left(M^{*}\xi -k_3\sqrt{\xi }\right)e^{-{\lambda }^{*}\xi },\hfill & \xi >{\xi }_3,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le {\xi }_3,\hfill \end{array}$ (19)

$\overline{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi },\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }^{*}},\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }^{*}},\hfill \end{array}\underset{\_}{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}\left(M^{*}\xi -k_4\sqrt{\xi }\right)e^{-{\lambda }^{*}\xi },\hfill & \xi >{\xi }_4,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le {\xi }_4,\hfill \end{array}$ (20)

$\overline{W}\left(\xi \right)=1,\underset{\_}{W}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}1-M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi },\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }^{*}},\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }^{*}},\hfill \end{array}$ (21)

其中，${\xi }_i:={\left(\frac{k_i}{M^{*}}\right)}^2\left(i=3,4\right)$ 且

$k_3>\max \left\{e\sqrt{{\lambda }^{*}},\frac{r_1\left(1+a_2\right){\left(M^{*}\right)}^2{\left(\frac{7}{2e{\lambda }^{*}}\right)}^{\frac{7}{2}}}{s_1{e}^{-{\lambda }^{*}}+s_2{e}^{{\lambda }^{*}}}\right\},k_4>\max \left\{e\sqrt{{\lambda }^{*}},\frac{r_2\left(1+b_1\right){\left(M^{*}\right)}^2{\left(\frac{7}{2e{\lambda }^{*}}\right)}^{\frac{7}{2}}}{s_1{e}^{-{\lambda }^{*}}+s_2{e}^{{\lambda }^{*}}}\right\}.$ (22)

同样通过一个引理来验证定义在(19)-(21)的函数是系统(7)的上下解。

引理2.5 对给定的$c=c^{*}$ ，假设(10)成立。则定义在(19)~(21)的函数是系统(7)的一对上下解。

证明 当$\xi >\frac{1}{{\lambda }^{*}}$ 时，有$\overline{U}\left(\xi -1\right)\le M^{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }^{*}\left(\xi -1\right)},{\overline{U}}^{\prime }\left(\xi \right)=M^{*}{e}^{-{\lambda }^{*}\xi }-{\lambda }^{*}{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }$。则根据(16)~(17)式，可得

${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le r_1{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\cdot M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\left(a_3-1\right)\le 0.$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }^{*}}$ 时，有$\overline{U}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。易证${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }^{*}}\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。类似地，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }^{*}}\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。易证，对任意的$\xi \in ℝ$ ，${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >{\xi }_3$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi -1\right)\ge \left[M^{*}\left(\xi -1\right)-k_3\sqrt{\xi -1}\right]e^{-{\lambda }^{*}\left(\xi -1\right)}$ 。则结合(16)~(17)式，可得

$\begin{array}{c}{ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge k_3\left[\left({\xi }^2-\xi \sqrt{{\xi }^2+\xi }+\frac{1}{2}\xi \right)e^{-{\lambda }^{*}}+\left({\xi }^2-\xi \sqrt{{\xi }^2-\xi }-\frac{1}{2}\xi \right)e^{{\lambda }^{*}}\right]{\xi }^{-\frac{3}{2}}{e}^{-{\lambda }^{*}\xi }\\ -r_1{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\left[\underset{\_}{U}\left(\xi \right)+a_2{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\right].\end{array}$

根据(18)式，知

${\xi }^2-\xi \sqrt{{\xi }^2+\xi }+\frac{1}{2}\xi \ge s_1,{\xi }^2-\xi \sqrt{{\xi }^2-\xi }-\frac{1}{2}\xi \ge s_2$ 。

进一步，结合$\underset{\xi >0}{\sup }\left\{{\xi }^{\kappa }{e}^{-\tau \xi }\right\}\le {\left(\frac{\kappa }{\tau e}\right)}^{\kappa },\kappa ,\tau >0$ 和(22)式，可得

${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge k_3\left(s_1{e}^{-{\lambda }^{*}}+s_2{e}^{{\lambda }^{*}}\right){\xi }^{-\frac{3}{2}}{e}^{-{\lambda }^{*}\xi }-r_1\left(1+a_2\right){\left(M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\right)}^2+r_1{k}_3{M}^{*}{\xi }^{\frac{3}{2}}{e}^{-2{\lambda }^{*}\xi }\ge 0.$

当$\xi <{\xi }_3$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{{\xi }_3\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。类似地，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{{\xi }_4\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$

当$\xi >\frac{1}{{\lambda }^{*}}$ 时，$\underset{\_}{W}\left(\xi -1\right)\ge 1-M^{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }^{*}\left(\xi -1\right)}$ ，${\underset{\_}{W}}^{\prime }\left(\xi \right)=-M^{*}{e}^{-{\lambda }^{*}\xi }+{\lambda }^{*}{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }$ 。则

${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge r_1\left(1-a_3\right)M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }+r_3\left(1-M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\right)\cdot M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\left(1-c_1-c_2\right).$

若$c_1+c_2\le 1$ ，根据$a_3<1$ ，有${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge r_1\left(1-a_3\right)M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\ge 0$ ；若$c_1+c_2>1$ ，根据$r_1\left(1-a_3\right)\ge r_3\left(c_1+c_2-1\right)$ ，可得

${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge r_1\left(1-a_3\right)M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }+r_3{M}^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\left(1-c_1-c_2\right)\ge M^{*}\xi e^{-{\lambda }^{*}\xi }\left[r_1\left(1-a_3\right)-r_3\left(c_1+c_2-1\right)\right]\ge 0.$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }^{*}}$ 时，有$\underset{\_}{W}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }^{*}}\right\}$ ，${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。证毕。

通过上述上下解的构造，应用命题2.2，即可证明定理2.3。

2.2. 满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 的行波

定理2.6 令$c_{*}:=\underset{\lambda >0}{\inf }\frac{e^{\lambda }+e^{-\lambda }-2+r_1\alpha }{\lambda }$ 。假设

$b_3<1,c_2<1,r_1\alpha \ge \max \left\{r_2\left(b_1+b_3{c}_2{v}_c\right),r_3\left(c_1+c_2\left(1-v_c\right)\right)\right\}.$ (23)

则当$c\ge c_{*}$ 时，系统(7)存在一个正解$\left(U,V,W\right)$ 满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 。

定义

${\Lambda }_2\left(\lambda ,c\right):=\left(e^{\lambda }+e^{-\lambda }-2\right)-c\lambda +r_1\alpha .$ (24)

对于$c>c_{*}$ ，设${\lambda }_3$ 和${\lambda }_4\left({\lambda }_3<{\lambda }_4\right)$ 为方程${\Lambda }_2\left(\lambda ,c\right)=0$ 的两个正解，使得对于所有的$\lambda \in \left({\lambda }_3,{\lambda }_4\right),{\Lambda }_2\left(\lambda ,c\right)<0$ 。

定义

$\overline{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-{\lambda }_3\xi },\hfill & \xi >0,\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-{\lambda }_3\xi }-k_5{e}^{-{\mu }_2\xi },\hfill & \xi >{\xi }_5,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le {\xi }_5,\hfill \end{array}$ (25)

$\overline{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{v}_c+\left(1-v_c\right)e^{-{\lambda }_3\xi },\hfill & \xi >0,\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}\underset{\_}{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{v}_c\left(1-e^{-{\lambda }_3\xi }\right),\hfill & \xi >0,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}$ (26)

$\overline{W}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{w}_c+c_2{v}_c{e}^{-{\lambda }_3\xi },\hfill & \xi >0,\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}\underset{\_}{W}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{w}_c\left(1-e^{-{\lambda }_3\xi }\right),\hfill & \xi >0,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le 0,\hfill \end{array}$ (27)

其中，${\mu }_2\in \left({\lambda }_3,\min \left\{{\lambda }_4,2{\lambda }_3\right\}\right),{\xi }_5:=\frac{\ln k_5}{{\mu }_2-{\lambda }_3}>0$ ，$k_5$ 为常数且满足

$k_5>\max \left\{1,\frac{r_1\left[1+a_2\left(1-v_c\right)+a_3{c}_2{v}_c\right]}{-{\Lambda }_2\left({\mu }_2,c\right)}\right\}.$ (28)

下面通过引理来验证上述定义的函数(25)~(27)是系统(7)的上下解。

引理2.7 对给定的$c>c_{*}$ ，假设(23)成立。则定义在(25)~(27)的函数是系统(7)的一对上下解。

证明 当$\xi >0$ 时，有$\overline{U}\left(\xi -1\right)\le e^{-{\lambda }_3\left(\xi -1\right)},{\overline{U}}^{\prime }\left(\xi \right)=-{\lambda }_3{e}^{-{\lambda }_3\xi }$ 。则根据${\Lambda }_2\left({\lambda }_3,c\right)=0$ 和$\alpha \ge 0$ ，可得

${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le -r_1\alpha e^{-2{\lambda }_3\xi }\le 0,$

当$\xi <0$ 时，有$\overline{U}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。根据$\underset{\_}{V}\left(\xi \right),\underset{\_}{W}\left(\xi \right)\ge 0$ ，易证

${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le r_1\left[-a_2\underset{\_}{V}\left(\xi \right)-a_3\underset{\_}{W}\left(\xi \right)\right]\le 0.$

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >0$ 时，有$\overline{V}\left(\xi -1\right)\le v_c+\left(1-v_c\right)e^{-{\lambda }_3\left(\xi -1\right)}$ ，${\overline{V}}^{\prime }\left(\xi \right)=-{\lambda }_3\left(1-v_c\right)e^{-{\lambda }_3\xi }$ 。则根据${\Lambda }_2\left({\lambda }_3,c\right)=0$ ，$1-v_c-b_3{w}_c=0$ 和$v_c<1$ ，可得

${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le -r_1\alpha \left(1-v_c\right)e^{-{\lambda }_3\xi }\le 0.$

当$\xi <0$ 时，有$\overline{V}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。易证${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >0$ 时，有$\overline{W}\left(\xi -1\right)\le w_c+c_2{v}_c{e}^{-{\lambda }_3\left(\xi -1\right)}$ ，${\overline{W}}^{\prime }\left(\xi \right)=-{\lambda }_3{c}_2{v}_c{e}^{-{\lambda }_3\xi }$ 。则根据${\Lambda }_2\left({\lambda }_3,c\right)=0$ 和$1-c_2{v}_c-w_c=0$ ，可得${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le c_2{v}_c{e}^{-{\lambda }_3\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_3}+e^{{\lambda }_3}-2\right)-c{\lambda }_3\right]+r_3\overline{W}\left(\xi \right)\left[\left(1-c_2{v}_c-w_c\right)-c_1\underset{\_}{U}\left(\xi \right)\right]\le -r_1\alpha c_2{v}_c{e}^{-{\lambda }_3\xi }\le 0.$

当$\xi <0$ 时，有$\overline{W}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。易证${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$

当$\xi >{\xi }_5$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi -1\right)\ge e^{-{\lambda }_3\left(\xi -1\right)}-k_5{e}^{-{\mu }_2\left(\xi -1\right)},{\underset{\_}{U}}^{\prime }\left(\xi \right)=-{\lambda }_3{e}^{-{\lambda }_3\xi }+{\mu }_2{k}_5{e}^{-{\mu }_2\xi }$ 。则根据${\Lambda }_2\left({\lambda }_3,c\right)=0$ 和(28)式，可得

${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge e^{-{\mu }_2\xi }\left\{-k_5{\Lambda }_2\left({\mu }_2,c\right)-r_1\left[1+a_2\left(1-v_c\right)+a_3{c}_2{v}_c\right]\right\}\ge 0.$

当$\xi <{\xi }_5$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{{\xi }_5\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

当$\xi >0$ 时，有$\underset{\_}{V}\left(\xi -1\right)\ge v_c\left(1-e^{-{\lambda }_3\left(\xi -1\right)}\right),{\underset{\_}{V}}^{\prime }\left(\xi \right)={\lambda }_3{v}_c{e}^{-{\lambda }_3\xi }$ 。则根据${\Lambda }_2\left({\lambda }_3,c\right)=0$ 和$1-v_c-b_3{w}_c=0$ ，可得${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。 当$\xi <0$ 时，有$\underset{\_}{V}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

当$\xi >0$ 时，有$\underset{\_}{W}\left(\xi -1\right)\ge w_c\left(1-e^{-{\lambda }_3\left(\xi -1\right)}\right)$ ，${\underset{\_}{W}}^{\prime }\left(\xi \right)={\lambda }_3{w}_c{e}^{-{\lambda }_3}$ 。则根据${\Lambda }_2\left({\lambda }_3,c\right)=0$ 和$1-c_2{v}_c-w_c=0$ ，可得

$\begin{array}{c}{ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge -w_c{e}^{-{\lambda }_3\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_3}+e^{{\lambda }_3}-2\right)-c{\lambda }_3\right]\\ +r_3{w}_c\left(1-e^{-{\lambda }_3\xi }\right)\left\{\left(1-c_2{v}_c-w_c\right)-\left[c_1+c_2\left(1-v_c\right)\right]e^{-{\lambda }_3\xi }+w_c{e}^{-{\lambda }_3\xi }\right\}\\ \ge 0.\end{array}$

当$\xi <0$ 时，有$\underset{\_}{W}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{0\right\}$ ，${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。证毕。

对于$c=c_{*}$ ，${\Lambda }_2\left(\lambda ,c_{*}\right)=0$ 存在唯一正解${\lambda }_{*}$ ，即

$c_{*}{\lambda }_{*}=\left(e^{{\lambda }_{*}}+e^{-{\lambda }_{*}}-2\right)+r_1\alpha .$ (29)

这也表明

${\left({\Lambda }_2\right)}_{\lambda }\left({\lambda }_{*},c_{*}\right)=\left(e^{{\lambda }_{*}}-e^{-{\lambda }_{*}}\right)-c_{*}=0.$ (30)

令$M_{*}:={\lambda }_{*}e$ 。定义

$\overline{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi },\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \end{array}\underset{\_}{U}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}\left(M_{*}\xi -k_6\sqrt{\xi }\right)e^{-{\lambda }_{*}\xi },\hfill & \xi >{\xi }_6,\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le {\xi }_6,\hfill \end{array}$ (31)

$\overline{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{v}_c+\left(1-v_c\right)M_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi },\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \end{array}\underset{\_}{V}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{v}_c\left(1-M_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\right),\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \end{array}$ (32)

$\overline{W}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{w}_c+c_2{v}_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi },\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \\ 1,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \end{array}\underset{\_}{W}\left(\xi \right)=\{\begin{array}{ll}{w}_c\left(1-M_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\right),\hfill & \xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \\ 0,\hfill & \xi \le \frac{1}{{\lambda }_{*}},\hfill \end{array}$ (33)

其中，${\xi }_6:={\left(\frac{k_6}{M_{*}}\right)}^2$ 且

$k_6>\max \left\{e\sqrt{{\lambda }_{*}},\frac{r_1\left[1+a_2\left(1-v_c\right)+a_3{c}_2{v}_c\right]{\left(M_{*}\right)}^2{\left(\frac{7}{2e{\lambda }_{*}}\right)}^{\frac{7}{2}}}{s_1{e}^{-{\lambda }_{*}}+s_2{e}^{{\lambda }_{*}}}\right\}.$ (34)

同样通过一个引理来验证定义在(31)~(33)的函数是系统(7)的上下解。

引理2.8 对给定的$c=c_{*}$ ，假设(23)成立。则定义在(31)~(33)的函数是系统(7)的一对上下解。

证明 当$\xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\overline{U}\left(\xi -1\right)\le M_{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }_{*}\left(\xi -1\right)},{\overline{U}}^{\prime }\left(\xi \right)=M_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }-{\lambda }_{*}{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }$。则根据(29)~(30)式和$\alpha \ge 0$ ，可得

${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le -r_1\alpha {\left(M_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\right)}^2\le 0.$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\overline{U}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。易证${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }_{*}}\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\overline{V}\left(\xi -1\right)\le v_c+\left(1-v_c\right)M_{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }_{*}\left(\xi -1\right)}$ ，${\overline{V}}^{\prime }\left(\xi \right)=\left(1-v_c\right)M_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }-{\lambda }_{*}\left(1-v_c\right)M_{*}\xi e^{-\lambda \xi }$ 。则根据(29)~(30)式，$1-v_c-b_3{w}_c=0$ 和$v_c<1$ ，可得

$\begin{array}{c}{ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le \left(1-v_c\right)M_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_{*}}+e^{-{\lambda }_{*}}-2\right)-c{\lambda }_{*}\right]+\left(1-v_c\right)M_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_{*}}-e^{{\lambda }_{*}}\right)+c\right]\\ +r_2\overline{V}\left(\xi \right)\left[\left(1-v_c-b_3{w}_c\right)-b_1\underset{\_}{U}\left(\xi \right)-\left(1-v_c-b_3{w}_c\right)M_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\right]\\ \le 0.\end{array}$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\overline{V}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。易证${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }_{*}}\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\overline{W}\left(\xi -1\right)\le w_c+c_2{v}_c{M}_{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }_{*}\left(\xi -1\right)}$ ，${\overline{W}}^{\prime }\left(\xi \right)=c_2{v}_c{M}_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }-{\lambda }_{*}{c}_2{v}_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }$ 。根据(29)~(30)式和$1-c_2{v}_c-w_c=0$ ，可得

$\begin{array}{c}{ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le c_2{v}_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_{*}}+e^{{\lambda }_{*}}-2\right)-c{\lambda }_{*}\right]+c_2{v}_c{M}_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }\left[\left(e^{-{\lambda }_{*}}-e^{{\lambda }_{*}}\right)+c\right]\\ +r_3\overline{W}\left(\xi \right)\left[\left(1-c_2{v}_c-w_c\right)-c_1\underset{\_}{U}\left(\xi \right)\right]\\ \le -r_1\alpha c_2{v}_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\le 0.\end{array}$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\overline{W}\left(\xi +1\right)\le 1$ 。易证${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }_{*}}\right\}$ ，${ℒ}_3\left(\underset{\_}{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\le 0$ 。

当$\xi >{\xi }_6$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi -1\right)\ge \left[M_{*}\left(\xi -1\right)-k_6\sqrt{\xi -1}\right]e^{-{\lambda }_{*}\left(\xi -1\right)}$ 。则由(29)-(30)式，$\underset{\xi >0}{\sup }\left\{{\xi }^{\kappa }{e}^{-\tau \kappa }\right\}\le {\left(\frac{\kappa }{\tau e}\right)}^{\kappa },\kappa ,\tau >0$ 和(34)式，可得

${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge {\xi }^{-\frac{3}{2}}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }\left\{k_6\left(s_1{e}^{-{\lambda }_{*}}+s_2{e}^{{\lambda }_{*}}\right)-r_1{\left(M_{*}\right)}^2{\left(\frac{7}{2e{\lambda }_{*}}\right)}^{\frac{7}{2}}\left[1+a_2\left(1-v_c\right)+a_3{c}_2{v}_c\right]\right\}\ge 0.$

当$\xi <{\xi }_6$ 时，有$\underset{\_}{U}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{{\xi }_6\right\}$ ，${ℒ}_1\left(\underset{\_}{U},\overline{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

当$\xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\underset{\_}{V}\left(\xi -1\right)\ge v_c\left[1-M_{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }_{*}\left(\xi -1\right)}\right]$ ，${\underset{\_}{V}}^{\prime }\left(\xi \right)=-v_c{M}_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }+{\lambda }_{*}{v}_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }$ 。则根据(29)~(30)式和$1-v_c-b_3{w}_c=0$ ，可得

${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge v_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\left[r_1\alpha -r_2\left(b_1+b_3{c}_2{v}_c\right)\right]\ge 0.$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\underset{\_}{V}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }_{*}}\right\}$ ，${ℒ}_2\left(\overline{U},\underset{\_}{V},\overline{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

当$\xi >\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\underset{\_}{W}\left(\xi -1\right)\ge w_c\left[1-M_{*}\left(\xi -1\right)e^{-{\lambda }_{*}\left(\xi -1\right)}\right]$ ，${\underset{\_}{W}}^{\prime }\left(\xi \right)=-w_c{M}_{*}{e}^{-{\lambda }_{*}\xi }+{\lambda }_{*}{w}_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }$ 。则根据(29)~(30)式和$1-c_2{v}_c-w_c=0$ ，可得

${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge w_c{M}_{*}\xi e^{-{\lambda }_{*}\xi }\left\{r_1\alpha -r_3\left[c_1+c_2\left(1-v_c\right)\right]\right\}\ge 0.$

当$\xi <\frac{1}{{\lambda }_{*}}$ 时，有$\underset{\_}{W}\left(\xi +1\right)\ge 0$ 。易证${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。

因此，对任意的$\xi \in ℝ\setminus \left\{\frac{1}{{\lambda }_{*}}\right\}$ ，${ℒ}_3\left(\overline{U},\overline{V},\underset{\_}{W}\right)\left(\xi \right)\ge 0$ 。证毕。

通过上述上下解的构造，已证$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 。应用命题2.2，即可证明定理2.6。

3. 在负无穷远处的波尾极限

在上一节中，证明了系统(7)具有满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ 或$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 正解的存在性。在本节中，将使用压缩矩形法推导出$\left(U,V,W\right)$ 的左尾极限。

3.1. 满足$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)=\left(1,0,0\right)$ 的波尾极限

定理3.1 当$c\ge c^{*}\left(c\ge c_{*}\right)$ 时，令$\left(U,V,W\right)$ 是在定理2.3 (定理2.6)中证明的行波。假设

$a_2{b}_1\ge 1,a_3{c}_1\ge 1,a_2+a_3<1.$ (35)

则$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)=\left(1,0,0\right)$ 。

设

$T^{-}:=\underset{\xi \to -\infty }{\lim \inf }T\left(\xi \right),T^{+}:=\underset{\xi \to +\infty }{\lim \sup }T\left(\xi \right),T=U,V,W.$

由于$T>0,T=U,V,W$ ，根据最大值原理可知，$0\le T\le 1,T=U,V,W$ 。因此，$0\le T^{-}\le T^{+}\le 1,T=U,V,W$ 。

引理3.2 若$a_2+a_3<1$ ，则$U^{-}\ge {\beta }_0:=1-a_2-a_3>0$ 。

证明 对于下列带有初值的问题

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=u\left(x+1,t\right)+u\left(x-1,t\right)-2u\left(x,t\right)+r_{1}u\left(1-a_2-a_3-u\right),x\in \mathbb{Z},t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),x\in \mathbb{Z}.\hfill \end{array}$ (36)

根据[18]可知，系统(36)的解$u\left(x,t\right)$ 满足对任意$0<\tilde{c}<c_u$ ，

$\underset{t\to +\infty }{\lim \inf }\underset{\left|x\right|<\tilde{c}t}{\inf }u\left(x,t\right)={\beta }_0,$

其中，

$c_u:=\underset{\lambda >0}{\inf }\frac{e^{\lambda }+e^{-\lambda }-2+r_1\left(1-a_2-a_3\right)}{\lambda }.$

由于$V,W\le 1$ ，则$\varphi \left(x,t\right):=U\left(x-ct\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \varphi }{\partial t}\ge \varphi \left(x+1,t\right)+\varphi \left(x-1,t\right)-2\varphi \left(x,t\right)+r_1\varphi \left(1-a_2-a_3-\varphi \right),x\in ℝ,t>0,\hfill \\ \varphi \left(x,0\right)=U\left(x\right),x\in ℝ.\hfill \end{array}$ (37)

根据比较原理，可知对所有的$x\in ℝ,t>0$ ，有$u\left(x,t\right)\le \varphi \left(x,t\right)$ 。因此，

$U^{-}=\underset{\xi \to -\infty }{\lim \inf }U\left(\xi \right)=\underset{\xi \to -\infty }{\lim \inf }\varphi \left(0,-\xi /c\right)\ge \underset{\xi \to -\infty }{\lim \inf }u\left(0,-\xi /c\right)\ge {\beta }_0.$

证毕。

定义

$m_{11}\left(\theta \right):=\left(1-\theta \right)\left({\beta }_0-\epsilon \right)+\theta ,\theta \in \left[0,1\right],$

其中，$\epsilon \in \left(0,{\beta }_0\right)$ 。由于${\beta }_0<1$ ，则$m_{11}\left(\theta \right)$ 在$\theta \in \left[0,1\right]$ 上递增且$m_{11}\left(1\right)=1$ 。令

$\mathcal{A}:=\left\{\theta \in \left[0,1\right)|U^{-}>m_{11}\left(\theta \right)\right\}.$

根据引理3.2，知$0\in \mathcal{A}$ ，${\theta }_0:=\sup \mathcal{A}$ 是定义良好的，且${\theta }_0\in \left(0,1\right]$ 。取极限后，可以得到

$U^{-}\ge m_{11}\left({\theta }_0\right).$ (38)

引理3.3 假设(38)成立，则有

$\{\begin{array}{l}{V}^{+}\le M_{12}\left({\theta }_0\right):=\max \left\{0,1-b_1{m}_{11}\left({\theta }_0\right)\right\},\hfill \\ W^{+}\le M_{13}\left({\theta }_0\right):=\max \left\{0,1-c_1{m}_{11}\left({\theta }_0\right)\right\}.\hfill \end{array}$

证明 对于任何趋于无穷的序列$\left\{{\xi }_n\right\}$ ，假设

$\phi \left(\xi \right):=\underset{n\to \infty }{\lim }V\left(\xi +{\xi }_n\right),\xi \in ℝ,$

存在。根据系统(7)，(38)式及$W\ge 0$ 知，在$ℝ$ 中，

${\mathcal{D}}_2\left[\phi \right]+c{\phi }^{\prime }+r_2\phi \left[1-b_1{m}_{11}\left({\theta }_0\right)-\phi \right]\ge 0.$

由于$V\le 1$ ，根据抛物线比较原理知，$\phi \left(\xi \right)\le \overline{v}\left(0\right),\xi \in ℝ,t>0$ ，其中，$\overline{v}\left(t\right)$ 是下列初值问题的解

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\overline{v}}{\text{d}t}=r_2\overline{v}\left[1-b_1{m}_{11}\left({\theta }_0\right)-\overline{v}\right],t>0,\hfill \\ \overline{v}\left(0\right)=1.\hfill \end{array}$

当$t\to +\infty$ 时，$\overline{v}\left(t\right)\to M_{12}\left({\theta }_0\right)$ 。因此，对任意$\xi \in ℝ,\phi \left(\xi \right)\le M_{12}\left({\theta }_0\right)$ 。由此可知，$V^{+}\le M_{12}\left({\theta }_0\right)$ 。类似可证，$W^{+}\le M_{13}\left({\theta }_0\right)$ 。证毕。

接下来，证明${\theta }_0=1$ 。

假设${\theta }_0\in \left(0,1\right)$ 。根据$m_{11}\left({\theta }_0\right)$ 的连续性，知${\theta }_0\notin \mathcal{A}$ 。结合(38)式，可得

$U^{-}=m_{11}\left({\theta }_0\right).$ (39)

令${\gamma }_1:=1-m_{11}\left({\theta }_0\right)-a_2{M}_{12}\left({\theta }_0\right)-a_3{M}_{13}\left({\theta }_0\right)$ 。根据引理3.3，可得

${\gamma }_1\ge \{\begin{array}{ll}\left(1-a_2-a_3\right)+\left(a_2{b}_1+a_3{c}_1-1\right)m_{11}\left({\theta }_0\right),\hfill & m_{11}\left({\theta }_0\right)<\min \left\{1/b_1,1/c_1\right\},\hfill \\ \left(1-a_2\right)+\left(a_2{b}_1-1\right)m_{11}\left({\theta }_0\right),\hfill & m_{11}\left({\theta }_0\right)\in \left[1/c_1,1/b_1\right),\hfill \\ \left(1-a_3\right)+\left(a_3{c}_1-1\right)m_{11}\left({\theta }_0\right),\hfill & m_{11}\left({\theta }_0\right)\in \left[1/b_1,1/c_1\right).\hfill \end{array}$

结合(35)式，知${\gamma }_1>0$ 。

若当$\xi \to -\infty$ ，$U\left(\xi \right)$ 是最终单调的，则$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }U\left(\xi \right)=m_{11}\left({\theta }_0\right)$ 。对系统(7)的第一个方程从一个负整数$-n$ 到0积分，得到

$c\left[U\left(-n\right)-U\left(0\right)\right]={\displaystyle {\int }_{-n}^0\left[{\mathcal{D}}_2\left[U\right]\left(\xi \right)+r_{1}U\left(\xi \right)\left(1-U-a_{2}V-a_{3}W\right)\left(\xi \right)\right]\text{d}\xi }.$ (40)

由于

$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left\{{\mathcal{D}}_2\left[U\right]\left(\xi \right)+r_{1}U\left(\xi \right)\left(1-U-a_{2}V-a_{3}W\right)\left(\xi \right)\right\}\ge r_1{m}_{11}\left({\theta }_0\right){\gamma }_1\ge 0,$

注意到当$n\to \infty$ 时，(40)式右侧趋于无穷，而(40)式左侧对于所有的$n$ 都是一致有界的，从而得出矛盾。

若当$\xi \to -\infty$ ，$U\left(\xi \right)$ 是振荡的，则存在一个序列$\left\{{\xi }_n\right\}$ 使得$\underset{n\to \infty }{\lim }U\left({\xi }_n\right)=m_{11}\left({\theta }_0\right)$ 。根据系统(7)的第一个方程可得

$\begin{array}{c}0=U\left({\xi }_n+1\right)+U\left({\xi }_n-1\right)-2U\left({\xi }_n\right)+c{U}^{\prime }\left({\xi }_n\right)+r_{1}U\left({\xi }_n\right)\left(1-U-a_{2}V-a_{3}W\right)\left({\xi }_n\right)\\ \ge r_{1}U\left({\xi }_n\right)\left(1-U-a_2{V}_2-a_3{W}_3\right)\left({\xi }_n\right).\end{array}$

对上述不等式在$n\to \infty$ 时取下极限，结合${\gamma }_1>0$ ，产生矛盾。因此，${\theta }_0=1$ 。这表明$U^{-}=1$ ，即$U\left(-\infty \right)=1$ 。

最后，将引理3.3和${\theta }_0=1$ 结合，并考虑$b_1,c_1>1$ ，可以推出$V^{-}=W^{-}=0$ 。

因此，$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)=\left(1,0,0\right)$ 。

3.2. 满足$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)=\left(u_{\ast },v_{\ast },w_{\ast }\right)$ 的波尾极限

定理3.4 当$c\ge c^{*}\left(c\ge c_{*}\right)$ 时，令$\left(U,V,W\right)$ 是在定理2.3 (定理2.6)中证明的行波。假设

$a_2+a_3<1,b_1+b_3<1,c_1+c_2<1.$ (41)

则$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)=\left(u_{*},v_{*},w_{*}\right)$ 。

证明 令

$\{\begin{array}{l}{\beta }_1:=\min \left\{1-a_2-a_3,u_{*}/2\right\},\hfill \\ {\beta }_2:=\min \left\{1-b_1-b_3,v_{*}/2\right\},\hfill \\ {\beta }_3:=\min \left\{1-c_1-c_2,w_{*}/2\right\}.\hfill \end{array}$

显然，${\beta }_i>0,i=1,2,3$ 。因此，根据引理3.2知，

$U^{-}\ge {\beta }_1,V^{-}\ge {\beta }_2,W^{-}\ge {\beta }_3.$

定义

$\{\begin{array}{ll}{m}_{21}\left(\theta \right):=\theta u_{*}+\left(1-\theta \right)\left({\beta }_1-\epsilon \right),\hfill & M_{21}\left(\theta \right):=\theta u_{*}+\left(1-\theta \right)\left(1+\epsilon \right),\hfill \\ m_{22}\left(\theta \right):=\theta v_{*}+\left(1-\theta \right)\left({\beta }_2-\epsilon \right),\hfill & M_{22}\left(\theta \right):=\theta v_{*}+\left(1-\theta \right)\left(1+\epsilon \right),\hfill \\ m_{23}\left(\theta \right):=\theta w_{*}+\left(1-\theta \right)\left({\beta }_3-\epsilon \right),\hfill & M_{23}\left(\theta \right):=\theta w_{*}+\left(1-\theta \right)\left(1+\epsilon \right),\hfill \end{array}$

其中，$\theta \in \left[0,1\right]$ ，$\epsilon$ 是一个正常数且满足$0<\epsilon <\min \left\{{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\right\}$ 。

定义

$ℬ:=\left\{\theta \in \left[0,1\right)|m_{21}\left(\theta \right)<U^{-}\le U^{+}<M_{21}\left(\theta \right),m_{22}\left(\theta \right)<V^{-}\le V^{+}<M_{22}\left(\theta \right),m_{23}\left(\theta \right)<W^{-}\le W^{+}<M_{23}\left(\theta \right)\right\}.$

显然，$0\in ℬ$ ，所以$ℬ\ne \varnothing$ 。

下面，证明$\sup ℬ=1$ 。

利用反证法，假设$\sup ℬ={\theta }_{*}\in \left(0,1\right)$ 。设

$\begin{array}{l}{h}_1\left(\theta \right):=1-m_{21}\left(\theta \right)-a_2{M}_{22}\left(\theta \right)-a_3{M}_{23}\left(\theta \right),l_1\left(\theta \right):=1-M_{21}\left(\theta \right)-a_2{m}_{22}\left(\theta \right)-a_3{m}_{23}\left(\theta \right),\\ h_2\left(\theta \right):=1-b_1{M}_{21}\left(\theta \right)-m_{22}\left(\theta \right)-b_3{M}_{23}\left(\theta \right),l_2\left(\theta \right):=1-b_1{m}_{21}\left(\theta \right)-M_{22}\left(\theta \right)-b_3{m}_{23}\left(\theta \right),\\ h_3\left(\theta \right):=1-c_1{M}_{21}\left(\theta \right)-c_2{M}_{22}\left(\theta \right)-m_{23}\left(\theta \right),l_3\left(\theta \right):=1-c_1{m}_{21}\left(\theta \right)-c_2{m}_{22}\left(\theta \right)-M_{23}\left(\theta \right).\end{array}$

通过计算，结合(41)式可得

$\begin{array}{l}{h}_1\left(\theta \right)=\left(1-\theta \right)\left[\left(1-a_2-a_3-{\beta }_1\right)+\left(1-a_2-a_3\right)\epsilon \right]\ge \left(1-\theta \right)\left(1-a_2-a_3\right)\epsilon >0,\\ h_2\left(\theta \right)=\left(1-\theta \right)\left[\left(1-b_1-b_3-{\beta }_2\right)+\left(1-b_1-b_3\right)\epsilon \right]\ge \left(1-\theta \right)\left(1-b_1-b_3\right)\epsilon >0,\\ h_3\left(\theta \right)=\left(1-\theta \right)\left[\left(1-c_1-c_2-{\beta }_3\right)+\left(1-c_1-c_2\right)\epsilon \right]\ge \left(1-\theta \right)\left(1-c_1-c_2\right)\epsilon >0,\\ l_1\left(\theta \right)=-\left(1-\theta \right)\left[\epsilon +a_2\left({\beta }_2-\epsilon \right)+a_3\left({\beta }_3-\epsilon \right)\right]<0,\\ l_2\left(\theta \right)=-\left(1-\theta \right)[\epsilon +b_1\left({\beta }_1-\epsilon \right)+b_3\left({\beta }_3-\epsilon \right)<0,\\ l_3\left(\theta \right)=-\left(1-\theta \right)\left[\epsilon +c_1\left({\beta }_1-\epsilon \right)+c_2\left({\beta }_2-\epsilon \right)\right]<0,\end{array}$

让$\theta \to {\theta }_{*}$ ，则有

$\{\begin{array}{l}{m}_{21}\left({\theta }_{*}\right)\le U^{-}\le U^{+}\le M_{21}\left({\theta }_{*}\right),\hfill \\ m_{22}\left({\theta }_{*}\right)\le V^{-}\le V^{+}\le M_{22}\left({\theta }_{*}\right),\hfill \\ m_{23}\left({\theta }_{*}\right)\le W^{-}\le W^{+}\le M_{23}\left({\theta }_{*}\right).\hfill \end{array}$ (42)

因此，下列六个等式中必有一个成立

$\{\begin{array}{l}{U}^{-}=m_{21}\left({\theta }_{*}\right),U^{+}=M_{21}\left({\theta }_{*}\right),\hfill \\ V^{-}=m_{22}\left({\theta }_{*}\right),V^{+}=M_{22}\left({\theta }_{*}\right),\hfill \\ W^{-}=m_{23}\left({\theta }_{*}\right),W^{+}=M_{23}\left({\theta }_{*}\right).\hfill \end{array}$

下面，仅考虑$U^{-}=m_{21}\left({\theta }_{*}\right)$ 的情形，剩余五种情形可以类似地讨论。

若当$\xi \to -\infty$ ，$U\left(\xi \right)$ 是最终单调的，则$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }U\left(\xi \right)$ 存在。由于${\displaystyle {\int }_{-\infty }^0{U}^{\prime }\left(\xi \right)\text{d}\xi }=U\left(-\infty \right)-U\left(0\right)$ 是有限的，则存在下列两种情况：对于$\xi \gg 1$ ，若$U^{\prime }\left(\xi \right)>0$ ，$\underset{\xi \to -\infty }{\lim \inf }{U}^{\prime }\left(\xi \right)=0$ ；对于$\xi \gg 1$ ，若$U^{\prime }\left(\xi \right)<0$ ，$\underset{\xi \to -\infty }{\lim \sup }{U}^{\prime }\left(\xi \right)=0$ 。因此，可以找到序列$\left\{{\xi }_n\right\}$ ，使得当$n\to +\infty$ 时，${\xi }_n\to -\infty$ ，且$\underset{n\to +n}{\lim }U\left({\xi }_n\right)=m_{21}\left({\theta }_{*}\right)$ 。

若当$\xi \to -\infty$ ，$U\left(\xi \right)$ 是振荡的，则可以选取由$U$ 的最小值点构成的序列$\left\{{\xi }_n\right\}$ 。根据$U^{-}$ 的定义，可得

$\underset{n\to +\infty }{\lim \inf }U\left({\xi }_n+1\right)\ge U^{-},\underset{n\to +\infty }{\lim \sup }U\left({\xi }_n-1\right)\ge U^{-}$ 。

再结合(42)式，$\underset{n\to +\infty }{\lim \sup }V\left({\xi }_n\right)\le M_{22}\left({\theta }_{*}\right)$ 和$\underset{n\to +\infty }{\lim \sup }W\left({\xi }_n\right)\le M_{23}\left({\theta }_{*}\right)$ ，则有

$\underset{n\to +\infty }{\lim \inf }\left(1-U-a_{2}V-a_{3}W\right)\left({\xi }_n\right)\ge 1-m_{21}\left({\theta }_{*}\right)-a_2{M}_{22}\left({\theta }_{*}\right)-a_3{M}_{23}\left({\theta }_{*}\right)=h_1\left({\theta }_{*}\right)>0.$

这表明

$\begin{array}{c}0=\underset{n\to +\infty }{\lim \inf }\left\{\left[U\left({\xi }_n+1\right)+U\left({\xi }_n-1\right)-2U\left({\xi }_n\right)\right]+c{U}^{\prime }\left({\xi }_n\right)+r_{1}U\left({\xi }_n\right)\left[1-U\left({\xi }_n\right)-a_{2}U\left({\xi }_n\right)-a_{3}U\left({\xi }_n\right)\right]\right\}\\ \ge \left(U^{-}+U^{-}-2U^{-}\right)+r_1{U}^{-}{h}_1\left({\theta }_{*}\right)>0,\end{array}$

矛盾。

因此，$\sup ℬ=1$ 。证得$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)=\left(u_{*},v_{*},w_{*}\right)$ 。证毕。

4. 行波的不存在性

定理4.1 存在以下情况时，系统(7)不存在正解$\left(U,V,W\right)$ 。

(1) 当$c<c^{*}$ 时，若$a_3<1$ ，

$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)\in \left\{\left(1,0,0\right),\left(u_{*},v_{*},w_{*}\right)\right\},\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ ；

(2) 当$c<c_{*}$ 时，若$b_3<1,c_2<1,\alpha >0$ ，

$\left(U,V,W\right)\left(-\infty \right)\in \left\{\left(1,0,0\right),\left(u_{*},v_{*},w_{*}\right)\right\},\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 。

证明 (1)假设对某些$c<c^{*}$ ，系统(7)存在正解$\left(U,V,W\right)$ ，使得$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,1,1\right)$

令${\zeta }_1\left(\xi \right):=\frac{U^{\prime }\left(\xi \right)}{U\left(\xi \right)}$ ，则对系统(7)的第一个方程两边同时除以$U\left(\xi \right)$ 得

$\begin{array}{c}-c{\zeta }_1\left(\xi \right)=\left[\frac{U\left(\xi +1\right)}{U\left(\xi \right)}+\frac{U\left(\xi -1\right)}{U\left(\xi \right)}-2\right]+r_1\left[1-U\left(\xi \right)-a_{2}V\left(\xi \right)-a_{3}W\left(\xi \right)\right]\\ =\left[e^{{\displaystyle {\int }_{\xi }^{\xi +1}{\zeta }_1}\left(s\right)\text{d}s}+e^{{\displaystyle {\int }_{\xi -1}^{\xi }{\zeta }_1}\left(s\right)\text{d}s}-2\right]+r_1\left[1-U\left(\xi \right)-a_{2}V\left(\xi \right)-a_{3}W\left(\xi \right)\right],\xi \in ℝ.\end{array}$

注意到，当$\xi \to +\infty$ 时，$r_1\left[1-U\left(\xi \right)-a_{2}V\left(\xi \right)-a_{3}W\left(\xi \right)\right]\to r_1\left(1-a_3\right)$ 。根据[14]知，$\widehat{{\zeta }_1}:=\underset{\xi \to +\infty }{\lim }{\zeta }_1\left(\xi \right)$ 存在，且满足

$-c\widehat{{\zeta }_1}=e^{\widehat{{\zeta }_1}}+e^{-\widehat{{\zeta }_1}}-2+r_1\left(1-a_3\right).$

由于对任意的$\xi \in ℝ$ ，$U\left(\xi \right)>0$ 且$U\left(+\infty \right)=0$ ，则$\widehat{{\zeta }_1}\le 0$ 。这意味着

$c=\frac{e^{\widehat{{\zeta }_1}}+e^{-\widehat{{\zeta }_1}}-2+r_1\left(1-a_3\right)}{-\widehat{{\zeta }_1}}\ge c^{*},$

矛盾。因此，系统(7)不存在满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0,1\right)$ 的行波。

同理，可证系统(7)不存在满足$\left(U,V,W\right)\left(+\infty \right)=\left(0,v_c,w_c\right)$ 的行波。证毕。

5. 讨论

本研究通过分析格上三物种Lotka-Volterra竞争系统的行波解，从生态学角度揭示了外来物种入侵的两种典型动态：一是两个外来强势物种共同入侵一个本地弱势物种，二是一个外来强势物种入侵两个本地弱势物种。数学上，我们证明了在特定参数条件下存在两类行波解：Type I波连接边界平衡点(0, 0, 1)，Type II波连接半共存平衡点$\left(0,v_c,w_c\right)$ 。关键参数条件如$a_3<1,b_3<1$ 等反映了物种间的竞争强度。进一步，通过构造合适的上下解和控制系统，我们刻画了行波在负无穷远处的渐近行为，表明在强竞争条件下，入侵物种可完全排除本地物种，系统趋于单物种主导状态；而在弱竞争条件下，三物种可达成共存。与以往基于拉普拉斯算子和卷积算子的模型相比，晶格模型通过离散迁移核函数统一描述了从短距离到长距离的扩散行为，突出了空间离散性对入侵速度和模式的关键影响。这一框架为研究破碎化景观中的生物入侵动力学提供了不可替代的数学工具。本研究的结果不仅推广了已有关于两物种和三物种竞争系统的结论，也为理解离散环境中多物种共存与竞争排斥提供了新的理论依据。