若干哈林图的Balaban指标

The Balaban Index of Several Halin Graphs

摘要: 在树的Balaban指标的研究基础上，本文通过列举4阶到10阶内满足条件的若干哈林图，由其特殊性质入手，给出一种新的哈林图的表达方式，探索哈林图类的Balaban指标的变化规律，总结归纳出哈林图类中不同结构下的最大$J\left(G\right)$ 指标和其最大$J$ 指标下的$SJ\left(G\right)$ 指标的一般公式，并给出若干哈林图Balaban指标的上界。

Abstract: Based on the research on the Balaban index of trees, this paper first enumerates several Halin graphs that meet the specified criteria and have orders ranging from 4 to 10. Starting from their special properties, a new expression method for Halin graphs is proposed. Then, the variation law of the Balaban index for the class of Halin graphs is explored. Finally, the general formulas for the maximum $J\left(G\right)$ index under different structures within the Halin graph class and the $SJ\left(G\right)$ index corresponding to this maximum $J\left(G\right)$ index are summarized and concluded, and the upper bounds of the Balaban index for several Halin graphs are provided.

1. 引言

定义1 本文中所涉及的图都是连通的n阶简单图G，顶点数为$V\left(G\right)=n$ ，边数为$\left|E\left(G\right)\right|=m$ 。在图G中，将$d_G\left(u,v\right)$ 记为顶点u和v的距离。其中，任一顶点u到其他各顶点的距离之和记为$D_G\left(u\right)$ ，即

$D_G\left(u\right)={\displaystyle \sum }_{v\in V\left(G\right)}{d}_G\left(u,v\right).$

20世纪80年代Balaban提出了一类关于连通图的基于距离的拓扑指标，称为Balaban指标(或简称为J指标) [1] [2]，即

$J\left(G\right)=\frac{m}{m-n+2}{\displaystyle \sum }_{uv\in E\left(G\right)}\frac{1}{\sqrt{D_G\left(u\right)D_G\left(v\right)}}.$

Balaban指标的研究意义在于其作为分子拓扑学核心工具，能够精准量化分子结构的分支程度与复杂性，为跨学科研究提供关键支撑。此外，Balaban指标与机器学习的深度融合如图神经网络，以及多指标协同优化如结合Wiener指数，进一步拓展了其在复杂分子体系预测与智能决策中的应用潜力。

为进一步研究图结构的不同性质，2010年Deng等人在文献[2]中提出了图的Sum-Balaban指标，也称SJ指标，定义为

$SJ\left(G\right)=\frac{m}{m-n+2}{\displaystyle \sum }_{uv\in E\left(G\right)}\frac{1}{\sqrt{D_G\left(u\right)+D_G\left(v\right)}}.$

树图作为图论中基础图类之一，常被学者用以研究Balaban指标的问题，在文献[3]中，提出了所有树中Sum-Balaban指数最大的树n顶点和直径d，还提供了一个新的结果证明，即在阶数为n的简单图中，星图$S_n$ 是所有树中具有最大Sum-Balaban指数的图。文献[4]中也提到具有n个顶点和最大度Δ或给定度序列或k个下垂顶点的树中具有最大Balaban指标的树。此外，还确定了具有最小Balaban指数和n个顶点以及最大度Δ的树，以及具有最大Balaban指标和n个顶点以及最大度Δ和k个下垂顶点的树，在后续的研究中，可以发现哈林图的Balaban指标与它的最大度及最大度的个数有关，最大度越多说明图中的路多，各点之间的联系更紧密，Balaban指标值也随之改变。

BALABAN A. T.介绍了一种关于连通图的新的拓扑指标，称为Balaban指标。进一步地，在2010年，BALABAN A. T.等人首次研究了Sum-Balaban指标。在化学应用中，这两种指标都具有良好的描述分子性质的作用，因此被广泛应用于定量结构–活性相关(QSAR)和定量结构–性质相关(QSPR)的各方面研究，如文献[5]。通过对图形的化学结构的思考，人们还提出了计算这两类指标的方法。主要的研究内容集中在研究计算图的(Sum)-Balaban指标的上、下界，其中已有不少的简单连通图被研究证明，包括树图、单圈图、双圈图、链图等等，并且部分学者研究确定指标的上下界时还对具有极值指标的极图进行了刻画。文献[2]给出了Balaban指数的若干基本性质，并分别确定了在顶点数固定的树图中，和Balaban指数取得最小值与最大值的树图结构。文献[6]则是(QSAR)和(QSPR)的研究应用。文献[7]对特征树为双星的哈林图的反魔幻性进行研究，依据图的结构把哈林图分成3部分，按照顶点标号和单调递增的顺序依次对每部分的边给出标号，证明了特征树为双星的哈林图是反魔幻图。文献[8]中Knor等人给出了关于n个顶点的r-正则图的Balaban指数的上界，并为富勒烯图提供了更好的上界，他们还建议探索其他拓扑指数的类似界限。文献[9]解决了3正则图Ln的Balaban指数计算问题，采用了分类讨论的方法，给出了Ln的Balaban指数计算公式，并利用该公式，分别得到了该类正则图Balaban指数的易于计算的上、下界。文献[10]给出哈林图是一个平面图$G=T\cup C$ ，其中T是嵌入到平面内的不含2度点且至少有一个顶点度大于等于3的树，C是按顺时针顺序依次连接T中的叶形成的圈。文献[11]给出了有t片树叶的树图对应的哈林图中具有最大和最小零阶广义Randic指标的图类。

定义2 设T是平面内顶点度至少为3或只有叶子点的树(无圈的连通图)，即T中没有度为2的顶点，C是连接T中所有叶子点的圈，称$G=T\cup C$ 为哈林图G，T为G的特征数，C为G的连接圈，圈上的点称为外点。其中，$\left|N\right|=\left|T-C\right|$ 是树中不在圈上的点的个数，这些点被称为内点或中心点。本文主要研究内点所构成的图是一条路的情况。

轮图$W_n=K_{1,n}\cup C_n$ 是特征树为$K_{1,n}$ ，连接圈为$C_n$ 的特殊哈林图。

定义3 双星图$S\left(m,n\right)$ 是指连接星图$S_{1,m}$ 的中心和星图$S_{1,n}$ 的中心，且具有$m+n+2$ 个顶点的图。

多星图$S\left(a,b,c,\cdots ,n\right)$ 指连接$S_{1,a},S_{1,b},S_{1,c},\cdots ,S_{1,n}$ 等s个星图的中心，且具有$a+b+c+\cdots +n+s$ 个顶点的图。

推论1 n阶哈林图G是由树T与圈C构成，设圈上有k个点，则$\left|V\left(C\right)\right|=\left|E\left(C\right)\right|=k$ ，且由内点个数等于图G的顶点个数减去圈上的点数k得$\left|T-C\right|=\left|N\right|=n-k$ ，进一步得到圈上的顶点数就等于图G的顶点数减去内点数$k=n-\left|T-C\right|$ ，故在树T中$\left|V\left(T\right)\right|=n-k$ ，$\left|E\left(T\right)\right|=n-1$ 。综上，哈林图G中的边数$\left|E\left(G\right)\right|=m=\left|E\left(T\right)\right|+\left|E\left(C\right)\right|=n-1+k=2n-1-\left|T-c\right|$ 。

2. 主要结果

在分析哈林图类的Balaban指标时，先确定不同阶数的满足条件的哈林图的结构，再计算它们的指标，根据哈林图的特殊结构性质，研究图中结构的变化如何影响Balaban指标的数值，由改变圈的大小、树的分支结构、最大度等变量，得出一系列对指标的影响规律。如下所示，本文新定义了一种哈林图的结构表达式，为方便哈林图类的进一步研究。

引理1 由定义2和3，哈林图G可看作是树T与圈C构成，树T上的点是内点与外点构成，且本文规定内点所组成的图均为链图，故可将树T中各个内点设为星图的中心点，$DS\left(S_{\ell }^1,C_{\ell }\right)$ 定义为中心点$V_1$ 上悬挂了$\ell$ 条边，边上的点均为叶子点，与圈$C_{\ell }$ 构成了哈林图G。

以图$G_1$ 为例，其哈林图G可看作一个内点为$V_1$ 的单星图$S_3^1$ 与圈$C_3$ 构成，它的结构可以表达为$DS\left(S_3^1,C_3\right)$ (在单星图中有3条悬挂边，故有三个叶子点，则圈上点数为3)；

以图$G_3$ 为例，其哈林图G可看作两个内点为$V_1$ 和$V_2$ 的双星图$S_2^1$ 和$S_2^2$ 与圈$C_4$ 构成，它的结构可以表达为$DS\left(S_2^1,S_2^2,C_4\right)$ (在双星图中有4条悬挂边，故有四个叶子点，则圈上点数为4)；

以图$G_7$ 为例，其哈林图G可看作三个内点为$V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ 的三星图$S_2^1$ 、$S_1^2$ 、$S_2^3$ 与圈$C_5$ 构成，它的结构可以表达为$DS\left(S_2^1,S_1^2,S_2^3,C_5\right)$ (在三星图中有5条悬挂边，故有五个叶子点，则圈上点数为5)；

以此类推，内点有s个时，其哈林图G可看作s个内点为$V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ 、$\cdots$ 、$V_m$ 、$V_n$ 的多星图$S_a^1$ 、$S_b^2$ 、$S_c^3$ 、$\cdots$ 、$S_n^s$ 与圈$C_{a+b+c+\cdots +n}$ 构成，此时，它的结构可以表达为$DS\left(S_a^1,S_b^2,S_c^3,\cdots ,S_n^s,C_{a+b+c+\cdots +n}\right)$ (在多星图中有$a+b+c+\cdots +n$ 条悬挂边，故有$a+b+c+\cdots +n$ 个叶子点，则圈上点数为$a+b+c+\cdots +n$ )。

由哈林图的特殊性质可知其没有度为2的顶点，且阶数大于等于4，故从第4阶开始分析，满足定义的哈林图的结构如下，通过计算得出$J\left(G\right)$ (本文结果均保留小数点后四位)：

(1) 4阶哈林图的结构只有一种，如图1，是特殊的3-正则图：

Figure 1. $DS\left(S_3^1,C_3\right)$ , $J\left(G_1\right)=3$

图1. $DS\left(S_3^1,C_3\right)$ ，$J\left(G_1\right)=3$

(2) 5阶哈林图的结构只有一种，如图2，所示：

Figure 2. $DS\left(S_4^1,C_4\right)$ , $J\left(G_2\right)=2.7111$

图2. $DS\left(S_4^1,C_4\right)$ ，$J\left(G_2\right)=2.7111$

(3) 6阶哈林图的结构有两种，如图3和图4，则：

Figure 3. $DS\left(S_2^1,S_2^2,C_4\right)$ , $J\left(G_3\right)=2.3143$

图3. $DS\left(S_2^1,S_2^2,C_4\right)$ ，$J\left(G_3\right)=2.3143$

Figure 4. $DS\left(S_5^1,C_5\right)$ , $J\left(G_4\right)=2.5991$

图4. $DS\left(S_5^1,C_5\right)$ ，$J\left(G_4\right)=2.5991$

(4) 7阶哈林图的结构有两种，如图5和图6，则：

Figure 5. $DS\left(S_3^1,S_2^2,C_5\right)$ , $J\left(G_5\right)=2.2902$

图5. $DS\left(S_3^1,S_2^2,C_5\right)$ ，$J\left(G_5\right)=2.2902$

Figure 6. $DS\left(S_6^1,C_6\right)$ , $J\left(G_6\right)=2.5426$

图6. $DS\left(S_6^1,C_6\right)$ ，$J\left(G_6\right)=2.5426$

(5) 8阶哈林图的结构有四种，如图7~10，则：

Figure 7. $DS\left(S_2^1,S_1^2,S_2^3,C_5\right)$ , $J\left(G_7\right)=2.0896$

图7. $DS\left(S_2^1,S_1^2,S_2^3,C_5\right)$ ，$J\left(G_7\right)=2.0896$

Figure 8. $DS\left(S_3^1,S_3^2,C_6\right)$ , $J\left(G_8\right)=2.1315$

图8. $DS\left(S_3^1,S_3^2,C_6\right)$ ，$J\left(G_8\right)=2.1315$

Figure 9. $DS\left(S_4^1,S_2^2,C_6\right)$ , $J\left(G_9\right)=2.1967$

图9. $DS\left(S_4^1,S_2^2,C_6\right)$ ，$J\left(G_9\right)=2.1967$

Figure 10. $DS\left(S_7^1,C_7\right)$ , $J\left(G_{10}\right)=2.5097$

图10. $DS\left(S_7^1,C_7\right)$ ，$J\left(G_{10}\right)=2.5097$

(6) 9阶哈林图的结构有五种，如图11~15，则：

Figure 11. $DS\left(S_2^1,S_2^2,S_2^3,C_6\right)$ , $J\left(G_{11}\right)=1.9913$

图11. $DS\left(S_2^1,S_2^2,S_2^3,C_6\right)$ ，$J\left(G_{11}\right)=1.9913$

Figure 12. $DS\left(S_3^1,S_1^2,S_2^3,C_6\right)$ , $J\left(G_{12}\right)=1.9440$

图12. $DS\left(S_3^1,S_1^2,S_2^3,C_6\right)$ ，$J\left(G_{12}\right)=1.9440$

Figure 13. $DS\left(S_4^1,S_3^2,C_7\right)$ , $J\left(G_{13}\right)=2.0691$

图13. $DS\left(S_4^1,S_3^2,C_7\right)$ ，$J\left(G_{13}\right)=2.0691$

Figure 14. $DS\left(S_5^1,S_2^2,C_7\right)$ , $J\left(G_{14}\right)=2.1622$

图14. $DS\left(S_5^1,S_2^2,C_7\right)$ ，$J\left(G_{14}\right)=2.1622$

Figure 15. $DS\left(S_8^1,C_8\right)$ , $J\left(G_{15}\right)=2.4886$

图15. $DS\left(S_8^1,C_8\right)$ ，$J\left(G_{15}\right)=2.4886$

(7) 10阶哈林图的结构有九种，如图16~24，则：

Figure 16. $DS\left(S_2^1,S_1^2,S_1^3,S_2^4,C_6\right)$ , $J\left(G_{16}\right)=1.8483$

图16. $DS\left(S_2^1,S_1^2,S_1^3,S_2^4,C_6\right)$ ，$J\left(G_{16}\right)=1.8483$

Figure 17. $DS\left(S_3^1,S_2^2,S_2^3,C_7\right)$ , $J\left(G_{17}\right)=1.9074$

图17. $DS\left(S_3^1,S_2^2,S_2^3,C_7\right)$ ，$J\left(G_{17}\right)=1.9074$

Figure 18. $DS\left(S_3^1,S_1^2,S_3^3,C_7\right)$ , $J\left(G_{18}\right)=1.8946$

图18. $DS\left(S_3^1,S_1^2,S_3^3,C_7\right)$ ，$J\left(G_{18}\right)=1.8946$

Figure 19. $DS\left(S_4^1,S_1^2,S_2^3,C_7\right)$ , $J\left(G_{19}\right)=1.9365$

图19. $DS\left(S_4^1,S_1^2,S_2^3,C_7\right)$ ，$J\left(G_{19}\right)=1.9365$

Figure 20. $DS\left(S_2^1,S_3^2,S_2^3,C_7\right)$ , $J\left(G_{20}\right)=1.9733$

图20. $DS\left(S_2^1,S_3^2,S_2^3,C_7\right)$ ，$J\left(G_{20}\right)=1.9733$

Figure 21. $DS\left(S_4^1,S_4^2,C_8\right)$ , $J\left(G_{21}\right)=2.0115$

图21. $DS\left(S_4^1,S_4^2,C_8\right)$ ，$J\left(G_{21}\right)=2.0115$

Figure 22. $DS\left(S_5^1,S_3^2,C_8\right)$ , $J\left(G_{22}\right)=2.0459$

图22. $DS\left(S_5^1,S_3^2,C_8\right)$ ，$J\left(G_{22}\right)=2.0459$

Figure 23. $DS\left(S_6^1,S_2^2,C_8\right)$ , $J\left(G_{23}\right)=2.1115$

图23. $DS\left(S_6^1,S_2^2,C_8\right)$ ，$J\left(G_{23}\right)=2.1115$

Figure 24. $DS\left(S_9^1,C_9\right)$ , $J\left(G_{24}\right)=2.4743$

图24. $DS\left(S_9^1,C_9\right)$ ，$J\left(G_{24}\right)=2.4743$

推论2 从以上所得的哈林图类中可知：

1. 正则的哈林图都是完美匹配，反之不然；

2. 因为构成哈林图的树T中不含2度顶点，且在哈林图中，最大度与内点个数有关，所以n阶哈林图中的最大度范围是：$3\le \Delta \le n-1$ 且$\Delta \ne n-2$ ；

3. 当哈林图是轮图时，顶点数越大，则Balaban指数越小，如图$J\left(G_1\right)>J\left(G_2\right)>J\left(G_4\right)>J\left(G_6\right)>J\left(G_{10}\right)>J\left(G_{15}\right)>J\left(G_{24}\right)$ ；

4. 满足3-正则的哈林图只会出现在n为偶数阶时，且顶点数越大，则Balaban指数越小，如图$J\left(G_1\right)>J\left(G_3\right)>J\left(G_7\right)>J\left(G_{16}\right)$ ；

5. 同阶条件下，圈$C_k$ 中外点数k越多，则Balaban指数越大，如图

$n=6$ 时，$J\left(G_3\right)<J\left(G_4\right)$ ；

$n=7$ 时，$J\left(G_5\right)<J\left(G_6\right)$ ；

$n=8$ 时，$J\left(G_7\right)<J\left(G_8\right)$ ，$J\left(G_9\right)<J\left(G_{10}\right)$ ；

$n=9$ 时，$J\left(G_{11}\right)$ ，$J\left(G_{12}\right)<J\left(G_{13}\right)$ ，$J\left(G_{14}\right)<J\left(G_{15}\right)$ ；

$n=10$ 时，$J\left(G_{16}\right)<J\left(G_{17}\right)$ ，$J\left(G_{18}\right)$ ，$J\left(G_{19}\right)$ ，$J\left(G_{20}\right)<J\left(G_{21}\right)$ ，$J\left(G_{22}\right)$ ，$J\left(G_{23}\right)<J\left(G_{24}\right)$ 。

推论3 n阶轮图的(sum)-Balaban指标

满足条件的特殊哈林图是轮图，直径为2时。设内点编号为1，则$d\left(1\right)$ 表示内点到圈上各点的最短距离之和，$i\left(2\le i\le n\right)$ 是圈上各点的编号，$d\left(i\right)$ 表示i点到图中各点的最短距离之和。由轮图的特殊性质可知，内点$d\left(1\right)$ 到圈上各点的最短距离之和就是最大度$\text{Δ}=n-1$ ，而圈上的每个点到其他点的最短距离之和都相等，故：

当$n=4$ 时，在图$G_1$ 中，$d\left(1\right)=n-1=3$ ，$d\left(i\right)=3+2\times 0=3$ ；

当$n=5$ 时，在图$G_2$ 中，$d\left(1\right)=n-1=4$ ，$d\left(i\right)=3+2\times 1=5$ ；

当$n=6$ 时，在图$G_4$ 中，$d\left(1\right)=n-1=5$ ，$d\left(i\right)=3+2\times 2=7$ ；

当$n=7$ 时，在图$G_6$ 中，$d\left(1\right)=n-1=5$ ，$d\left(i\right)=3+2\times 3=9$ ；

当$n=8$ 时，在图$G_{10}$ 中，$d\left(1\right)=n-1=9$ ，$d\left(i\right)=3+2\times 4=11$ ；

$\cdots$

当阶数为n时，$d\left(1\right)=n-1$ ，$d\left(i\right)=3+2\times \left(n-4\right)=2n-5$ 。

另外，轮图时特殊的哈林图且始终只有一个中心点，故哈林图G中的边数$m=\left|E\left(T\right)\right|+\left|E\left(C\right)\right|=n-1+k=2n-1-\left|T-c\right|=2n-2$ 。

此时，由$J\left(G\right)$ 与$SJ\left(G\right)$ 公式计算得：

$\begin{array}{c}J\left(G\right)=\frac{m}{m-n+2}{\displaystyle \sum }_{uv\in E\left(G\right)}\frac{1}{\sqrt{D_G\left(u\right)\cdot D_G\left(v\right)}}\\ =\frac{m}{m-n+2}\cdot \left[\frac{n-1}{\sqrt{\left(n-1\right)\left(2n-5\right)}}+\frac{n-1}{2n-5}\right]\\ =\frac{\left(2n-2\right)\left(n-1\right)}{n}\cdot \left[\frac{1}{\sqrt{\left(n-1\right)\left(2n-5\right)}}+\frac{1}{2n-5}\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}SJ\left(G\right)=\frac{m}{m-n+2}{\displaystyle \sum }_{uv\in E\left(G\right)}\frac{1}{\sqrt{D_G\left(u\right)+D_G\left(v\right)}}\\ =\frac{m}{m-n+2}\cdot \left[\frac{n-1}{\sqrt{\left(n-1\right)+\left(2n-5\right)}}+\frac{n-1}{\sqrt{\left(2n-5\right)+\left(2n-5\right)}}\right]\\ =\frac{2n-2}{n}\cdot \left[\frac{n-1}{\sqrt{3n-6}}+\frac{n-1}{\sqrt{4n-10}}\right]\\ =\frac{2{\left(n-1\right)}^2}{n}\cdot \left[\frac{1}{\sqrt{3n-6}}+\frac{1}{\sqrt{4n-10}}\right]\end{array}$

推论4 哈林图Balaban指标的上界

引理2 设G是具有n个顶点和m条边的简单连通图，设Δ表示图G中最大的度，则

$J\left(G\right)\ge {\left(\frac{n^2}{2}\right)}^{\frac{n\Delta }{m}}\cdot \frac{n^2}{m-n+2}$

由上述引理和结论2.3中最大度的范围可知：

推论4.1 在一般n阶哈林图中，当$\Delta =n-3$ 时，边$m=2n-3$ ，故

$J\left(G\right)\ge {\left(\frac{n^2}{2}\right)}^{\frac{n\left(n-3\right)}{2n-3}}\cdot \frac{n^2}{2n-3-n+2}={\left(\frac{n^2}{2}\right)}^{\frac{n^2-3n}{2n-3}}\cdot \frac{n^2}{n-1}$

推论4.2 在特殊哈林图即轮图中，当$\Delta =n-1$ 时，边$m=2n-2$ ，故

$J\left(G\right)\ge {\left(\frac{n^2}{2}\right)}^{\frac{n\left(n-1\right)}{2n-2}}\cdot \frac{n^2}{2n-2-n+2}={\left(\frac{n^2}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}\cdot n$

推论5 直径为3时n阶哈林图的最大Balaban指标

由推论4可知，哈林图的Balaban指标有上界，但无法具体到对应图，要确定指标最大时的哈林图，则需固定直径的长度，根据定义条件，构造具有最大度的哈林图，进而计算指标。如，若固定哈林图中直径的为3，此时内点数相同为2，若悬挂边越多，最大度Δ越大，则$J\left(G\right)$ 和$SJ\left(G\right)$ 指标就越大，如图$G_8$ 和图$G_9$ 中图8的最大度${\Delta }_8=4$ 小于图9的最大度${\Delta }_9=5$ ，所以$J\left(G_8\right)<J\left(G_9\right)$ ；图$G_{12}$ 、图$G_{13}$ 和图$G_{14}$ 中${\text{Δ}}_{12}<{\text{Δ}}_{13}<{\text{Δ}}_{14}$ ，所以$J\left(G_{12}\right)<J\left(G_{13}\right)<J\left(G_{14}\right)$ ；图$G_{16}$ 、图$G_{17}$ 、$G_{21}$ 和图$G_{24}$ 中比较$J\left(G\right)$ 大小都可得到验证。故引申至$n\left(n\ge 11\right)$ 阶哈林图中，由下图25所示，固定直径为3时的最大$J{\left(G\right)}_{\max }$ 指标和最大J指标下的$SJ\left(G\right)$ 指标计算公式为：

Figure 25. $DS\left(S_{n-4}^1,S_2^2,C_{n-2}\right)$

图25. $DS\left(S_{n-4}^1,S_2^2,C_{n-2}\right)$

1、直径为3，则最大度为$n-3$ ，内点数为2，故$m=2n-3$ ；

2、哈林图的结构表示为$DS\left(S_{n-4}^1,S_2^2,C_{n-2}\right)$ ，其中编号$i\left(6\le i\le n-1\right)$ ；

3、内点1到其他各点的距离之和为：$d\left(1\right)=n+1$

内点2到其他各点的距离之和为：$d\left(2\right)=2n-5$

外点3到其他各点的距离之和为：$d\left(3\right)=3n-12$

外点4到其他各点的距离之和为：$d\left(4\right)=3n-12$

外点5到其他各点的距离之和为：$d\left(5\right)=2n-5$

外点6到其他各点的距离之和为：$d\left(6\right)=2n-4$

4、从第7个点起，设标号$i\left(7\le i\le n-1\right)$ 表示圈上外点的编号，则：

外点7到其他各点的距离之和为：$d\left(7\right)=13+2\left(n-8\right)=2n-3$

外点8到其他各点的距离之和为：$d\left(8\right)=15+2\left(n-9\right)=2n-3$

外点9到其他各点的距离之和为：$d\left(9\right)=17+2\left(n-10\right)=2n-3$

……

外点i到其他各点的距离之和为：$d\left(i\right)=\left(2i-1\right)+2\left[n-\left(i+1\right)\right]=2n-3$ ，距离与编号数i无关

……

外点$n-1$ 到其他各点的距离之和：$d\left(n-1\right)=2n-3$

外点$n$ 到其他各点的距离之和：$d\left(n\right)=2n-5$

5、综上可由Balaban指标的定义，得出固定n阶哈林图直径为3时的最大Balaban指标公式，以及在最大Balaban指标时的Sum-Balaban指标：

$\begin{array}{c}J{\left(G\right)}_{max}=\frac{m}{m-n+2}{\displaystyle \sum }_{uv\in E\left(G\right)}\frac{1}{\sqrt{D_G\left(u\right)\cdot D_G\left(v\right)}}\\ =\frac{2n-3}{2n-3-n+2}\cdot [\frac{3}{\sqrt{\left(n+1\right)\left(2n-5\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)\left(2n-4\right)}}\\ +\frac{n-7}{\sqrt{\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}}+\frac{1}{3n-12}+\frac{4}{\sqrt{\left(2n-5\right)\left(3n-12\right)}}\\ +\frac{1}{\sqrt{\left(2n-5\right)\left(2n-4\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(2n-4\right)\left(2n-3\right)}}+\frac{n-8}{2n-3}\\ +\frac{1}{\sqrt{\left(2n-3\right)\left(2n-5\right)}}]\end{array}$

$\begin{array}{c}SJ\left(G\right)=\frac{m}{m-n+2}{\displaystyle \sum }_{uv\in E\left(G\right)}\frac{1}{\sqrt{D_G\left(u\right)+D_G\left(v\right)}}\\ =\frac{2n-3}{2n-3-n+2}\cdot [\frac{3}{\sqrt{\left(n+1\right)+\left(2n-5\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)+\left(2n-4\right)}}\\ +\frac{n-7}{\sqrt{\left(n+1\right)+\left(2n-3\right)}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(3n-12\right)}}+\frac{4}{\sqrt{\left(2n-5\right)+\left(3n-12\right)}}\\ +\frac{1}{\sqrt{\left(2n-5\right)+\left(2n-4\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(2n-4\right)+\left(2n-3\right)}}+\frac{n-8}{\sqrt{2\left(2n-3\right)}}\\ +\frac{1}{\sqrt{\left(2n-3\right)+\left(2n-5\right)}}]\\ =\frac{2n-3}{n-1}\cdot [\frac{3}{\sqrt{3n-4}}+\frac{1}{\sqrt{3n-3}}+\frac{n-7}{\sqrt{3n-2}}+\frac{1}{\sqrt{6n-24}}+\frac{4}{\sqrt{5n-17}}\\ +\frac{1}{\sqrt{4n-9}}+\frac{1}{\sqrt{4n-7}}+\frac{n-8}{\sqrt{4n-6}}+\frac{1}{\sqrt{4n-8}}]\end{array}$

3. 结论与展望

在Balaban指标的研究中，对树图、圈图、双星图等图的研究成熟且完善，基于这些研究等基础上研究树图加圈图再限制一定条件成新图的研究也存在，但哈林图的Balaban研究还较少，另一方面，本文给出双星图加圈的构造方式，进一步完善对星图的Balaban的补充刻画，另外哈林图类的Balaban研究也给出了一种新的定义方法，在限制直径的情况下，由新的构造方式，得出了最大Balaban指标公式，最后计算出哈林图Balaban指标的上界，为后续研究提供条件。

本文对于哈林图Balaban指标的研究还处于初步阶段，后续可以考虑图运算下的Balaban指标的变化，也可以在Balaban指标变化d的基础上，对比双星图加圈前后Balaban指标的变化，给出改变指标值的原因。