带有平均曲率算子的离散问题在无穷区间上解的存在性

Existence of Solutions for a Discrete Problems with the Mean Curvature Operator on Infinite Interval

摘要: 运用Avery-Peterson不动点定理讨论无穷区间上带有平均曲率算子的离散问$\{\begin{array}{l}\Delta \left(\phi \left(\Delta u\left(x-1\right)\right)\right)+q\left(x\right)f\left(x,u\left(x\right),\Delta u\left(x-1\right)\right)=0,x\in N,\\ \Delta u\left(0\right)=\lambda u\left(0\right),\Delta u\left(\infty \right)=0\end{array}$ 解的存在性。其中$\Delta u\left(x\right)=u\left(x+1\right)-u\left(x\right)$ 为前项差分算子，$\mathbb{N}=\left\{1,2,\cdots ,\infty \right\},f:\mathbb{N}\times {ℝ}_{+}\times \left(-1,1\right)\to {ℝ}_{+}$ ，$q:\mathbb{N}\to {ℝ}_{+}$ 连续，$\lambda >0$ 为常数，${ℝ}_{+}=\left[0,+\infty \right)$ ，$\Delta u\left(\infty \right)=\underset{x\to \infty }{lim}\Delta u\left(x\right)$ ，$\phi \left(s\right)=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}},s\in \left(-1,1\right)$ 。

Abstract: In this paper, by using the Avery-Peterson theory, we are concerned with the existence of the following problems: $\{\begin{array}{l}\Delta \left(\phi \left(\Delta u\left(x-1\right)\right)\right)+q\left(x\right)f\left(x,u\left(x\right),\Delta u\left(x-1\right)\right)=0,x\in N,\\ \Delta u\left(0\right)=\lambda u\left(0\right),\Delta u\left(\infty \right)=0\end{array}$ where $\Delta u\left(x\right)=u\left(x+1\right)-u\left(x\right)$ is the forward difference operator, $\mathbb{N}=\left\{1,2,\cdots ,\infty \right\},f:\mathbb{N}\times {ℝ}_{+}\times \left(-1,1\right)\to {ℝ}_{+}$ , $q:\mathbb{N}\to {ℝ}_{+}$ are continuous, $\lambda >0$ is a constant, ${ℝ}_{+}=\left[0,+\infty \right)$ , $\Delta u\left(\infty \right)=\underset{x\to \infty }{lim}\Delta u\left(x\right)$ , $\phi \left(s\right)=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}},s\in \left(-1,1\right)$ .

1. 引言

近年来，带平均曲率算子微分方程边值问题在微分几何、图像处理、材料科学和生物等领域有着广泛的应用，获得了许多重要的结论，参见文[1]-[4]。差分方程是刻画离散现象的重要工具，其理论研究备受关注，众多学者借助非线性分析方法探究有限区间上离散问题解的存在性，并取得了相关成果[5]-[9]。离散问题不仅在数值分析、计算机科学、经济学等领域广泛应用，也是数学理论体系的关键部分。无穷区间上的离散问题因其复杂与特殊，成为研究热点，参见文[10]-[13]。由于无穷区间上工作空间缺乏紧性，证明问题在该区间上解的存在性远比有限区间困难，Avery-Peterson不动点定理[14]是不动点理论的重要成果，为解决这类复杂非线性问题提供了有力手段，参见文[15]。本文将利用Avery-Peterson不动点定理，构造合适工作空间，克服无穷区间带来的困难。

2008年，Ge等人在文[15]中运用Avery-Peterson不动点定理，得到了二阶非线性微分方程问题

$\{\begin{array}{l}{\left({\varphi }_p\left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }+q\left(t\right)f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),0<t<\infty ,\\ u^{\prime }\left(0\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{m-2}{\alpha }_i}u\left({\xi }_i\right),u^{\prime }\left(\infty \right)=0\end{array}$

在无穷区间上至少三个正解的存在性。其中${\varphi }_p\left(s\right)={\left|s\right|}^{p-2}s,p>1,0\le {\xi }_1\le {\xi }_2\le \cdots \le {\xi }_{m-2}<\infty .$

2019年，Chen等人在文[5]运用上下解、拓扑度、临界点理论等方法，得到了Minkowski空间中带平均曲率算子的离散边值问题

$\{\begin{array}{l}\Delta \left(\frac{\Delta u_{k-1}}{\sqrt{1-{\left(\Delta u_{k-1}\right)}^2}}\right)+\lambda {\mu }_k{\left(u_k\right)}^q=0,k\in {\left[2,n-1\right]}_{\mathbb{Z}},\\ \Delta u_1=0=u_n\end{array}$

正解的多重性结果。其中参数$\lambda >1,N>4,q>1.$

2024年，Wu等人在文[13]中，运用离散Arzelà-Ascoli定理和锥上的不动点定理，得到了二阶离散Sturm-Liouville边值问题

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }^{2}u\left(x-1\right)=f\left(x,u\left(x\right),\Delta u\left(x-1\right)\right),x\in \mathbb{N},\\ u\left(0\right)-a\Delta u\left(0\right)=B,\Delta u\left(\infty \right)=C\end{array}$

在无穷区间上正解的存在性问题。$f:\mathbb{N}\times {ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+}$ 是连续函数，$a>0,B,C$ 是非负常数。

受以上文献的启发，本文主要运用Avery-Peterson不动点定理研究在无穷区间上带有平均曲率算子的离散问题

$\{\begin{array}{l}\Delta \left(\phi \left(\Delta u\left(x-1\right)\right)\right)+q\left(x\right)f\left(x,u\left(x\right),\Delta u\left(x-1\right)\right)=0,x\in \mathbb{N},\\ \Delta u\left(0\right)=\lambda u\left(0\right),\Delta u\left(\infty \right)=0\end{array}$ (1)

解的存在性。

本文总假定：

(H1) 函数$f:\mathbb{N}\times {ℝ}_{+}\times \left(-1,1\right)\to {ℝ}_{+}$ 连续，对于所有$R>0,$

$\tilde{f}\left(x,R,z\right)=\underset{0<\omega <R}{\max }f\left(x,\left(1+x\right)\omega ,z\right),$ $x\in \mathbb{N},\underset{}{}\underset{}{0\le z\le 1}$ ，

且$\tilde{f}$ 满足$1\le {\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }\tilde{f}}\left(x,R,z\right)<\infty$ 。

(H2) 函数$q:\mathbb{N}\to {ℝ}_{+}$ 连续，且满足$1\le {\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{s=1}^{\infty }q}\left(s\right)\right)<\infty$ 。

为方便后续证明，记：${\mathbb{N}}_0=\left\{0,1,2，\cdots ，\infty \right\}$ ，设$\mathbb{Z}$ 是整数集，对任意的$k\in \mathbb{Z}$ ，记${\left[0,k\right]}_{\mathbb{Z}}=\left\{0,1,2,\cdots k\right\}$ 。

本文的主要结果如下：

定理1 假定(H1)~(H2)成立。设$0<a<b\le \frac{d}{2\left(k+1\right)\lambda },$ $c=\left(2\lambda +1\right)\left(k+1\right)b$ 。若$f$ 满足

(H3) 对于任意的$x\in {\mathbb{N}}_0$ ，当$\frac{u\left(x\right)}{1+x}\in \left[0,\frac{d}{\lambda }\right],\Delta u\left(x\right)\in \left[0,d\right]$ 时，

$f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)\le \phi \left(\frac{d}{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{s=1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)}\right).$

(H4) 对于任意的$x\in {\left[0,k\right]}_{\mathbb{Z}}$ ，当$\frac{u\left(x\right)}{1+x}\in \left[b,c\right],\Delta u\left(x\right)\in \left[0,d\right]$ 时，

$f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)\ge \phi \left(\frac{b\lambda \left(1+k\right)}{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{s=1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)}\right).$

(H5) 对于任意的$x\in {\mathbb{N}}_0$ ，当$\frac{u\left(x\right)}{1+x}\in \left[0,a\right],\Delta u\left(x\right)\in \left[0,d\right]$ 时，

$f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)\le \phi \left(\frac{a\lambda }{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)}\right).$

则离散问题(1)至少有三个正解$u_1,u_2,u_3$ ，使得

$\gamma \left(u_i\right)\le d\left(i=1,2,3\right),\psi \left(u_1\right)<a,$

$a<\psi \left(u_2\right)$ ，且$\alpha \left(u_2\right)<b,\alpha \left(u_3\right)>b,$

其中，$\alpha \left(u\right)=\underset{x\in {\left[0,k\right]}_{\mathbb{Z}}}{\max }\frac{u\left(x\right)}{1+x},\gamma \left(u\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\Delta u\left(x\right),\psi \left(u\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{u\left(x\right)}{1+x}$ 。

2. 预备知识

定义空间

$E=\left\{u|u:{\mathbb{N}}_0\to {ℝ}_{+},\underset{x\to \infty }{\lim }\Delta u\left(x\right)=0,\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{\left|u\left(x\right)\right|}{1+x}<+\infty \right\},$

则$E$ 在范数$\Vert u\Vert ={\Vert u\Vert }_1+{\Vert u\Vert }_2$ 下构成Banach空间，其中

${\Vert u\Vert }_1=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{\left|u\left(x\right)\right|}{1+x},{\Vert u\Vert }_2=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left|\Delta u\left(x\right)\right|.$

定义$E$ 上的锥$P$

$P=\left\{u\in E|\Delta u\left(0\right)=\lambda u\left(0\right),u\ge 0,\Delta u\ge 0,{\Delta }^{2}u\le 0\right\}.$

定义1 设$P$ 为Banach空间$E$ 的一个锥。如果$\alpha :P\to \left[0,\infty \right)$ 满足对于所有的$u,v\in P$ 以及$0\le t\le 1$ ，都有

$\alpha \left(tu+\left(1-t\right)v\right)\ge t\alpha \left(u\right)+\left(1-t\right)\alpha \left(v\right),$

且$\alpha$ 是连续的，则称$\alpha$ 为$P$ 上的非负连续凹泛函。

类似地，若对于锥$P$ 上的连续映射$\gamma$ ，满足对于所有的$u,v\in P$ ，以及$0\le t\le 1$ ，都有

$\gamma \left(tu+\left(1-t\right)v\right)\le t\gamma \left(u\right)+\left(1-t\right)\gamma \left(v\right),$

则称$\gamma$ 为非负连续凸泛函。

根据定义1可知，$\alpha$ 为锥$P$ 上的非负连续凹泛函，$\gamma ,\psi$ 为锥$P$ 上的非负连续凸泛函，对于任意的$u\in P$ ，再定义锥$P$ 上的非负连续凸泛函$\theta$ ，

$\theta \left(u\right)=\psi \left(u\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{u\left(x\right)}{1+x}.$

引理1 对于任意的$u\in P$ ，有$\Vert u\Vert \le \left(1+\frac{1}{\lambda }\right){\Vert u\Vert }_2.$

证明 由$\Delta u\left(0\right)=\lambda u\left(0\right)$ ，可得$u\left(0\right)=\frac{1}{\lambda }\Delta u\left(0\right)$ ，因此，

$\begin{array}{c}\frac{u\left(x\right)}{1+x}=\frac{1}{1+x}\left({\displaystyle \sum _{t=1}^x\Delta u\left(t-1\right)+u\left(0\right)}\right)\\ \le \frac{1}{1+x}\left(x\Delta u\left(0\right)+\frac{1}{\lambda }\Delta u\left(0\right)\right)\le \frac{1}{\lambda }\Delta u\left(0\right),\end{array}$

故有

$\begin{array}{c}\Vert u\Vert ={\Vert u\Vert }_1+{\Vert u\Vert }_2\\ \le \underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{\left|u\left(x\right)\right|}{1+x}+\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left|\Delta u\left(x\right)\right|\\ \le \frac{1}{\lambda }\Delta u\left(0\right)+\Delta u\left(0\right)=\left(1+\frac{1}{\lambda }\right){\Vert u\Vert }_2.\end{array}$

引理2问题(1)等价于下列算子方程

$Tu\left(x\right)=\frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)+{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=t}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)},x\in \mathbb{N}.$ (2)

证明 对(1)的方程两边同时从$x$ 到$\infty$ 求和分并结合$\Delta u\left(\infty \right)=0$ ，得

$-\phi \left(\Delta u\left(x-1\right)\right)=-{\displaystyle \sum _{t=x}^{\infty }f\left(t,u\left(t\right),\Delta u\left(t-1\right)\right)},x\in \mathbb{N}.$

对上式两边同时作用${\phi }^{-1}$ 有

$\Delta u\left(x-1\right)={\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x}^{\infty }f\left(t,u\left(t\right),\Delta u\left(t-1\right)\right)}\right),x\in \mathbb{N}.$ (3)

再对(3)式两边同时从1到$x$ 求和分得

$u\left(x\right)=u\left(0\right)+{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=t}^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)},x\in \mathbb{N}.$ (4)

结合(3)式及$\Delta u\left(0\right)=\lambda u\left(0\right)$ ，可得$u\left(0\right)=\frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)$ ，带入(4)式得

$u\left(x\right)=\frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)+{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=t}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)},x\in \mathbb{N}.$

即问题(1)的解等价于算子方程(2)的不动点。

引理2 假设(H1)~(H2)成立。则算子$T:P\to P$ 是全连续的。

证明 对于任意的$u\in P$ ，$x\in \mathbb{N}$ ，由(2)式可得$Tu\left(x\right)>0$ 。另一方面，结合(H1)~(H2)，

$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{\lim }\Delta \left[\left(Tu\right)\left(x\right)\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\left(Tu\right)\left(x+1\right)-\left(Tu\right)\left(x\right)\right]\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \sum _{t=1}^{x+1}{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)}-{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)}\right]\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ =0，\end{array}$

以及

$\begin{array}{c}\Delta \left[\left(Tu\right)\left(0\right)\right]={\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ =\lambda \frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ =\lambda \left(Tu\right)\left(0\right),\end{array}$

此外，结合(H1)~(H2)中函数$q,f,\phi$ 的性质，

$\begin{array}{c}\Delta \left[\left(Tu\right)\left(x\right)\right]=\left[\left(Tu\right)\left(x+1\right)-\left(Tu\right)\left(x\right)\right]\\ ={\displaystyle \sum _{t=1}^{x+1}{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)}-{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)}\\ ={\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ >0,\end{array}$

对于二阶差分${\Delta }^2\left(Tu\left(x\right)\right)=\Delta \left(\Delta \left(Tu\left(x\right)\right)\right)$ ，结合上述一阶差分结果可得

$\begin{array}{c}\Delta \left(\Delta \left(Tu\left(x\right)\right)\right)=\Delta \left(Tu\left(x+1\right)\right)-\Delta \left(Tu\left(x\right)\right)\\ ={\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+2}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\end{array}$

由于

${\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}=q\left(x+1\right)f\left(x+1,u\left(x+1\right),\Delta u\left(x\right)\right)+{\displaystyle \sum _{s=x+2}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}$ ，

显然有

${\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\ge {\displaystyle \sum _{s=x+2}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}$ ，

又因${\phi }^{-1}$ 单调递增，故

${\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+2}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\le 0$ 。

综上，算子$T$ 作用于锥$P$ 中元素$u$ 时，$Tu$ 满足$\Delta (Tu)\ge 0,\underset{}{}{\Delta }^2(Tu)\le 0$ 。那么$T:P\to P$ 。

接下来，我们证明$T$ 是全连续的。分为连续性证明和紧性证明两部分，其中紧性证明依赖离散的Arzelà-Ascoli定理。

首先证明$T$ 是连续的。设$\left\{u^{\left(m\right)}\right\}\subset P$ ，且$u^{\left(m\right)}\to 0\left(m\to \infty \right)$ ，则由引理1及${\phi }^{-1}，f$ 的连续性可得

$\begin{array}{c}\Vert T{u}^{\left(m\right)}-Tu\Vert \le \left(1+\frac{1}{\lambda }\right){\Vert T{u}^{\left(m\right)}-Tu\Vert }_2\\ =\left(1+\frac{1}{\lambda }\right)\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left|\Delta \left[T{u}^{\left(m\right)}\left(x\right)\right]-\Delta \left[Tu\left(x\right)\right]\right|\\ =\left(1+\frac{1}{\lambda }\right)\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }|{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u^{\left(m\right)}\left(s\right),\Delta u^{\left(m\right)}\left(s-1\right)\right)}\right)\\ -{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)|\\ \le \left(1+\frac{1}{\lambda }\right){\phi }^{-1}\left[{\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)\left|f\left(s,u^{\left(m\right)}\left(s\right),\Delta u^{\left(m\right)}\left(s-1\right)\right)-f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)\right|}\right]\\ \to 0,m\to \infty .\end{array}$

因此$\Vert T{u}^{\left(m\right)}-Tu\Vert \to 0,\left(m\to \infty \right)$ 。即$T$ 是连续的。

其次，我们将证明$T$ 是紧的。设$B:=\left\{u|u\in P,\Vert u\Vert \le R\right\}$ ，则对于任意的$u\in R$ 结合(H1)~(H2)，我们有

$\begin{array}{l}{\Vert Tu\Vert }_1=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{Tu\left(x\right)}{1+x}\\ =\frac{1}{1+x}\left(\frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)+{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=t}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)}\right)\\ \le \frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)+\frac{1}{1+x}{\displaystyle \sum _{t=1}^x{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=t}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)}\\ \le \frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)+{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=t}^{\infty }q\left(s\right)\tilde{f}\left(s,R,\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ <\infty ,\end{array}$

${\Vert Tu\Vert }_2=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left|\Delta Tu\left(x\right)\right|=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x+1}^{\infty }q\left(s\right)\tilde{f}\left(s,R,\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)<\infty .$

则有$\Vert Tu\Vert ={\Vert Tu\Vert }_1+{\Vert Tu\Vert }_2<\infty$ ，可得$T\left(B\right)$ 是一致有界的。由于

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left|\Delta \left[Tu\left(x\right)\right]\right|=\underset{x\to \infty }{\lim }\left|{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{t=x+1}^{\infty }q\left(t\right)f\left(t,u\left(t\right),\Delta u\left(t-1\right)\right)}\right)\right|=0,$

故对于任意的$\epsilon >0$ ，存在$N_1>0$ ，当$x_1,x_2>N_1$ 时

$\Delta \left[Tu\left(x_1\right)\right]<\frac{\epsilon }{2},\Delta \left[Tu\left(x_2\right)\right]<\frac{\epsilon }{2}$ ，

可得

$\left|\Delta \left(Tu\left(x_1\right)\right)-\Delta \left(Tu\left(x_2\right)\right)\right|\le \left|\Delta \left(Tu\left(x_1\right)\right)\right|+\left|\Delta \left(Tu\left(x_2\right)\right)\right|<\epsilon .$

结合引理1，又有$\underset{x\to \infty }{\lim }\left|\frac{Tu\left(x\right)}{1+x}\right|=0$ ，因此对于任意的$\epsilon >0$ ，存在$N_2>0$ ，当$x_1,x_2>N_2$ 时

$\left|\frac{Tu\left(x_1\right)}{1+x_1}\right|<\frac{\epsilon }{2},\left|\frac{Tu\left(x_2\right)}{1+x_2}\right|<\frac{\epsilon }{2},$

故有

$\left|\frac{Tu\left(x_1\right)}{1+x_1}-\frac{Tu\left(x_2\right)}{1+x_2}\right|<\epsilon ,$

取$N=\max \left\{N_1,N_2\right\}$ ，则当$x_1,x_2>N_{}$ 时，$T\left(B\right)$ 等度收敛。结合离散的Arzelà-Ascoli定理[13]，我们可证明$T\left(B\right)$ 是相对紧的。

综上所述，$T:P\to P$ 是全连续的。

下面引入本文使用的工具Avery-Peterson不动点定理，先引入锥$P$ 中的子集

$P_1=\left\{u\in P|\gamma \left(u\right)<d\right\},$

$P_2=\left\{u\in P|b\le \alpha \left(u\right),\gamma \left(u\right)<d\right\},$

$P_3=\left\{u\in P|b\le \alpha \left(u\right),\theta \left(u\right)\le c,\gamma \left(u\right)<d\right\},$

$P_4=\left\{u\in P|a\le \psi \left(u\right),\gamma \left(u\right)<d\right\}.$

引理4 (Avery-Peterson不动点定理)假设$P$ 为Banach空间$E$ 中的一个锥。$\gamma$ 和$\theta$ 是锥$P$ 上的非负连续凸泛函，$\alpha$ 是$P$ 上的非负连续凹泛函，$\psi$ 是锥$P$ 上的非负连续泛函，且对于$0\le \mu \le 1$ ，满足$\psi \left(\mu u\right)\le \mu \psi \left(u\right)$ 。对于某些正数$M$ 和$d$ ，对所有$u\in {\overline{P}}_1$ ，有

$\alpha \left(u\right)\le \psi \left(u\right)，\Vert u\Vert \le M\gamma \left(u\right)$

假设$T:{\overline{P}}_1\to {\overline{P}}_1$ 是全连续的，并且存在正数$a$ 、$d$ 和$c$ (其中$a<b$ )，使得

(S1) $\left\{u\in P_3|\alpha \left(u\right)>b\right\}\ne \varnothing$ ，且对于$u\in P_3$ ，有$\alpha \left(Tu\right)>b$ 。

(S2) 对于$u\in P_2$ ，且$\theta \left(Tu\right)>c$ ，有$\alpha \left(Tu\right)>b$ 。

(S3) $0\notin P_4$ ，对于$u\in P_4$ 且$\psi \left(u\right)=a$ ，有$\psi \left(Tu\right)<a$ 。那么$T$ 在${\overline{P}}_1$ 中至少有三个不动点$u_1,u_2,u_3\in {\overline{P}}_1$ ，使得

$\gamma \left(u_i\right)\le d,\left(i=1,2,3\right)\psi \left(u_1\right)<a,$

$a<\psi \left(u_2\right)且\alpha \left(u_2\right)<b,\alpha \left(u_3\right)>b.$

3. 主要结果的证明

定理1的证明 对于任意的$u\in {\overline{P}}_1$ ，$\gamma \left(u\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\Delta u\left(x\right)\le d$ ，结合条件(H3)可得

$\begin{array}{c}\gamma \left(Tu\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left|\Delta Tu\left(x\right)\right|\\ =\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ \le {\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u\left(s-1\right)\right)}\right)\\ \le {\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)\cdot \frac{d}{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)}=d\end{array}$

因此$T:{\overline{P}}_1\to {\overline{P}}_1$ 。

令$u\left(x\right)=\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{1}{\lambda }\right)\left(k+1\right)\lambda b$ 。对于任意的$x\in {\mathbb{N}}_0$ ，有

$\begin{array}{c}\gamma \left(u\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left|\Delta u\left(x\right)\right|=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\left(\frac{2x+2}{2+x}-\frac{2x}{1+x}\right)\left(k+1\right)\lambda b\\ \le 2\left(k+1\right)\lambda b\le d,\end{array}$

$\begin{array}{c}\theta \left(u\right)=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{u\left(x\right)}{1+x}=\underset{x\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }\frac{1}{1+x}\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{1}{\lambda }\right)\left(k+1\right)\lambda b\\ \le \left(2+\frac{1}{\lambda }\right)\left(k+1\right)\lambda b=\left(2+1\right)\left(k+1\right)b=c,\end{array}$

$\begin{array}{c}\alpha \left(u\right)=\underset{x\in {[0,k]}_{\mathbb{Z}}}{\min }\frac{Tu\left(x\right)}{1+x}=\underset{x\in {[0,k]}_{\mathbb{Z}}}{\min }\frac{1}{1+x}\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{1}{\lambda }\right)\left(k+1\right)\lambda b\\ \ge \frac{1}{1+k}\left(0+\frac{1}{\lambda }\right)\left(k+1\right)\lambda b=b.\end{array}$

因此，$\left\{u\in P_3|\alpha \left(u\right)>b\right\}\ne \varnothing$ ，且对于$u\in P_3$ ，结合条件(H4)可得

$\begin{array}{c}\alpha \left(Tu\right)=\underset{x\in {\left[0,k\right]}_{\mathbb{Z}}}{\min }\frac{Tu\left(x\right)}{1+x}\\ \ge \frac{1}{\lambda \left(1+k\right)}\lambda {\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),\Delta u(s-1)\right)}\right)\\ >\frac{1}{\lambda \left(1+k\right)}{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)\frac{b\lambda \left(1+k\right)}{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)}=b.\end{array}$

即证得引理4中的(S1)成立。对于$u\in P_2$ ，$\theta \left(Tu\right)>c$ ，有$\alpha \left(Tu\right)\ge b$ ，即引理4中的(S2)成立。另一方面，因为$\psi \left(0\right)=0<a$ ，所以$0\notin P_4$ ，对于$u\in P_4$ 且$\psi \left(u\right)=a$ ，结合条件(H5)可得，

$\begin{array}{c}\psi \left(Tu\right)=\theta \left(Tu\right)\le \frac{1}{\lambda }y\left(Tu\right)\\ <\frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)}f(s,u(s),\Delta u(s-1))\right)\\ <\frac{1}{\lambda }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)\frac{a\lambda }{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle \sum _{s=x+1}^{\infty }q\left(s\right)}\right)}=a.\end{array}$

综上所述，应用引理4可知，$T$ 在${\overline{P}}_1$ 中至少有三个不动点$u_1,u_2,u_3\in {\overline{P}}_1$ ，且满足

$\gamma \left(u_i\right)\le d,\left(i=1,2,3\right)\psi \left(u_1\right)<a,$

$a<\psi \left(u_2\right)且\alpha \left(u_2\right)<b,\alpha \left(u_3\right)>b.$

本文运用Avery-Peterson不动点定理讨论无穷区间上带有平均曲率算子的离散问题解的存在性，但该方法也存在局限性，对非线性项$f$ 的约束过强，且仅针对特定平均曲率算子展开，算子反函数的特性是证明核心，无法直接推广到其他广义算子。未来可从多方向拓展。将算子推广至p-Laplacian等广义类型，重构锥结构与算子表达式，丰富边界条件至多点、积分约束等，并拓展定义域至非均匀网格。采用Leggett-Williams定理等弱化对$f$ 的约束。或将一维问题延伸到高维离散系统，探索高维下的等度收敛性验证与解理论。

基金项目

国家自然科学基金青年科学基金(批准号：11801453；11901464)。