高阶F连续的扩展Bézier样条

High-Order F-Continuous Extended Bézier Spline

摘要: 为实现曲线在$C^3\cap F^4$ 连续性约束下的光滑拼接，并能够在保持控制点不变的前提下灵活调整曲线形状，本文提出了一种结构类似于Bézier曲线的新型曲线。首先，构建了调配函数初始形式。随后，依据目标样条的性质，推导该调配函数在端点处应满足的特性，并据此建立方程组；通过求解该方程组，确定调配函数的具体形式。最终，将调配函数与控制点进行线性组合，定义出一种新的7次扩展Bézier曲线。该曲线不仅继承了Bézier曲线的凸包性、几何不变性和仿射不变性等基本性质，还在拼接过程中具备保持$C^3$ 连续的同时自动满足$F^4$ 连续的能力。因此，在不改变控制点、连续性条件的前提下，仍可灵活调控曲线形状。

Abstract: In order to achieve the smooth splicing of curves under the constraint of $C^3\cap F^4$ continuity and to flexibly adjust the shape of the curve while keeping the control points unchanged, this paper proposes a new type of curve with a structure similar to that of a Bézier curve. First, the initial form of the blending function is constructed. Subsequently, based on the properties of the target spline, the characteristics that the blending function should satisfy at the endpoints are derived, and an equation system is established accordingly. By solving this equation system, the specific form of the blending function is determined. Finally, the blending function is linearly combined with the control points to define a new type of 7th-order extended Bézier curve. This curve not only inherits the basic properties of Bézier curves, such as the convex hull property, geometric invariance, and affine invariance, but also has the ability to maintain $C^3$ continuity while automatically satisfying $F^4$ continuity during the splicing process. Therefore, it is still possible to flexibly adjust the shape of the curve without changing the control points and the continuity conditions.

1. 引言

在计算机辅助几何设计(CAGD)中，曲线与曲面的构建是核心研究内容之一。Bézier方法作为一种经典的曲线构造方法，通过调整控制点来改变曲线或曲面的形态，适用于生成复杂几何形状。

基于Bernstein基函数，文献[1]-[7]给出了新的含参调配函数，由此定义了一类扩展Bézier曲线。给定控制顶点，该类曲线可以通过改变参数灵活调控曲线形状。然而，单一曲线段往往难以准确表达复杂的几何结构。Bézier及其扩展方法中任何局部控制点的变动都会影响整体曲线形态。尽管提高曲线阶数可增强调控能力，但在实际应用中，其阶数通常不超过10次[8]。

为更精确地刻画复杂曲线，通常采用多段曲线拼接策略。但扩展Bézier曲线在拼接过程中，常需对形状参数添加更多限制，这带来了额外的困难。此外，随着连续性阶数的提升，Bézier曲线及其多数扩展形式在拼接时对控制点的数量要求显著增加，导致拼接条件愈加繁琐，难以满足。文献[9]提出了一种新型扩展Bézier曲线，使得在相对简单拼接条件下即可实现高阶光滑连接。

Frenet标架连续性[8]是一种基于几何不变量的连续性定义，其依赖于高维空间中的广义曲率。若一条曲线在其弧长参数化下，其Frenet标架向量及前$n-1$ 阶广义曲率均保持连续，则称该曲线为阶Frenet标架连续，记作$F^n$ 。实际应用中，在综合考虑参数选择与几何连续性的前提下，$F^n$ 连续性是一种既合理又实用的光滑性标准。文献[10]-[14]提出了一类带形状参数的扩展Bézier曲线，该类曲线在满足$C^2$ 的连续性约束的同时，能够直接实现$F^3$ 连续。若能进一步在任意维欧氏空间中构造具有类似结构的扩展Bézier曲线，并引入更多形状参数以增强曲线的可调性与光滑性，将具有重要的理论与应用价值。本文正是围绕这一目标展开研究。

为了实现对单段曲线及多段拼接曲线形状的灵活调控，同时尽可能降低拼接条件的复杂性，本文在d维欧氏空间$R^d$ 中提出了一种满足$C^3$ 连续性约束条件的7次扩展Bézier样条曲线，且该曲线直接满足$F^4$ 连续性约束。首先，构造7次多项式调配函数的一般表达式。其次，定义了一种带参数的7次扩展Bézier曲线，其形状变化可以通过参数调整来实现。随后，推出了扩展Bézier样条曲线实现$C^3$ 连续所需满足的条件，并证明此时样条可直接达到$F^4$ 连续。最后，通过数值实验验证了该构造方法的合理性及其在形状调控方面的有效性。

2. 预备知识

Frenet标架连续性是几何不变量连续性，其建立在高维空间的广义曲率基础上。一条曲线是$n$ 阶Frenet标架连续的(记为$F^n$ )，当且仅当它的弧长参数化的Frenet标架矢量和广义曲率是连续的。

一条曲线$P\left(u\right)$ 是$F^n$ 连续的，当且仅当存在一个下三角的$n+1$ 阶关联矩阵$M$ 使得如下约束关系成立

$\left[\begin{array}{c}{P}_{+}\\ {P^{\prime }}_{+}\\ ⋮\\ P_{+}^{\left(n\right)}\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}{P}_{-}\\ {P^{\prime }}_{-}\\ ⋮\\ P_{-}^{\left(n\right)}\end{array}\right].$

其中$M$ 的主对角元素与Beta约束的关联矩阵[8]相同。除左上角元素外，其余首行与首列元素均为零，但下三角中的其他的$\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ 的子对角元素可取任意值。通常称$M$ 为Frenet标架矩阵[8]。

3. 含参扩展Bézier曲线

3.1. 调配函数

在曲线设计中，调配函数起着关键作用。具体而言，曲线的性质在很大程度上取决于所使用的调配函数。因此，若希望获得具有特定性质及形状的曲线，可以从目标曲线出发，反推出所需调配函数应具备的性质。同时引入参数，通过调整调配函数中的参数，可以实现对曲线局部或整体形态的灵活控制。

基于7次Bernstein基函数的多条特殊性质，为了满足调配函数端点插值、高阶导数可控等目标，设计了以下调配函数。

定义1 对于$t\in \left[0,1\right]$ ，$\lambda =\left[{\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_{\text{2}},{\lambda }_{\text{3}},{\lambda }_{\text{4}},{\lambda }_{\text{5}}\right]$ ，${\lambda }_s\in \left[0,1\right],s=0,1,\cdots ,\text{5}$ 称关于$t$ 的5个7次多项式

${\left[\begin{array}{c}{b}_0\left(t;\lambda \right)\\ \begin{array}{l}{b}_1\left(t;\lambda \right)\\ b_{\text{2}}\left(t;\lambda \right)\end{array}\\ b_{\text{3}}\left(t;\lambda \right)\\ b_{\text{4}}\left(t;\lambda \right)\end{array}\right]}^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{B}_0^{\text{7}}\left(t\right)\\ B_{\text{1}}^{\text{7}}\left(t\right)\\ \begin{array}{l}{B}_{\text{2}}^{\text{7}}\left(t\right)\\ B_{\text{3}}^{\text{7}}\left(t\right)\\ B_{\text{4}}^{\text{7}}\left(t\right)\\ B_{\text{5}}^{\text{7}}\left(t\right)\\ B_{\text{6}}^{\text{7}}\left(t\right)\end{array}\\ B_{\text{7}}^{\text{7}}\left(t\right)\end{array}\right]}^{\prime }\left[\begin{array}{ccccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}& \text{0}& \text{0}\\ 1-{\lambda }_0& {\lambda }_0& \text{0}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& {\lambda }_1& 1-{\lambda }_1& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{0}& 1-{\lambda }_{\text{2}}& {\lambda }_{\text{2}}& \text{0}\\ \text{0}& {\lambda }_{\text{3}}& 1-{\lambda }_3& \text{0}& \text{0}\\ \begin{array}{l}\text{0}\\ \text{0}\end{array}& \begin{array}{l}\text{0}\\ \text{0}\end{array}& \begin{array}{c}1-{\lambda }_4\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}{\lambda }_{\text{4}}\\ {\lambda }_{\text{5}}\end{array}& \begin{array}{l}\text{0}\\ 1-{\lambda }_{\text{5}}\end{array}\\ \text{0}& \text{0}& \text{0}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right].$ (1)

为调配函数，其中$B_k^7\left(t\right)=C_7^k{t}^k{\left(1-t\right)}^{7-k}$ 为Bernstein基函数。

显然调配函数中含有6个参数，在不引起歧义的情况下，可以简单表示为$b_j\left(t\right),j=0,1,\cdots ,4$ 。不难证明其满足如下性质。

(1) 规范性。${\displaystyle \sum _{j=0}^4{b}_j\left(t\right)=1}$ 。

(2) 非负性。对$\forall t\in \left[0,1\right]$ ，有$b_j\left(t\right)\ge 0$ 。

(3) 对称性。当参数满足${\lambda }_0={\lambda }_5,{\lambda }_1={\lambda }_4,{\lambda }_2={\lambda }_3$ 时，有$b_j\left(t\right)=b_{n-j}\left(1-t\right)$ 。

(4) 线性无关性。调配函数$b_0\left(t\right),b_1\left(t\right),\cdots ,b_4\left(t\right)$ 之间线性无关。

3.2. 曲线的构造及性质

利用上文引入的调配函数，我们就可以构造一条新型的Bézier曲线。

定义2 在欧氏空间$R^d$ 中，给定5个点$P_{\text{0}},P_1,P_2,P_3,P_4$ ，对于$t\in \left[0,1\right]$ ，$\lambda =\left[{\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_{\text{2}},{\lambda }_{\text{3}},{\lambda }_{\text{4}},{\lambda }_{\text{5}}\right]$ ，${\lambda }_s\in \left[0,1\right],s=0,1,\cdots ,\text{5}$ 称多项式曲线

$R\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^4{P}_j{b}_j\left(t;\lambda \right)}$ (2)

为7次扩展Bézier曲线，$P_j\left(j=0,1,\cdots ,4\right)$ 为控制顶点。

结合式(1)，7次扩展Bézier曲线$R\left(t\right)$ 也可以有如下矩阵表示形式

$R\left(t\right)={\left[\begin{array}{c}{B}_0^7\left(t\right)\\ B_{\text{1}}^7\left(t\right)\\ ⋮\\ B_7^7\left(t\right)\end{array}\right]}^{\prime }\left[\begin{array}{ccccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}& \text{0}& \text{0}\\ 1-{\lambda }_0& {\lambda }_0& \text{0}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& {\lambda }_1& 1-{\lambda }_1& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{0}& 1-{\lambda }_{\text{2}}& {\lambda }_{\text{2}}& \text{0}\\ \text{0}& {\lambda }_{\text{3}}& 1-{\lambda }_3& \text{0}& \text{0}\\ \begin{array}{l}\text{0}\\ \text{0}\end{array}& \begin{array}{l}\text{0}\\ \text{0}\end{array}& \begin{array}{c}1-{\lambda }_4\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}{\lambda }_{\text{4}}\\ {\lambda }_{\text{5}}\end{array}& \begin{array}{l}\text{0}\\ 1-{\lambda }_{\text{5}}\end{array}\\ \text{0}& \text{0}& \text{0}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ \begin{array}{l}{P}_2\\ P_3\end{array}\\ P_4\end{array}\right].$ (3)

由式(3)可知，7次扩展Bézier曲线$R\left(t\right)$ 可以理解为特殊的Bézier曲线。实际上，7次扩展Bézier曲线$R\left(t\right)$ 可以改写成

$R\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^7{Q}_k{B}_k^7}\left(t\right),$ (4)

其中点$Q_0,Q_{\text{1}},\cdots ,Q_7$ 与点$P_0,P_{\text{1}},\cdots ,P_4$ 关系如下：

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{Q}_k=\left(1-{\lambda }_{k-1}\right)P_{k-1}+{\lambda }_{k-1}{P}_k,k为奇数,0\le k\le 3,\\ Q_k={\lambda }_{k-1}{P}_{k-1}+\left(1-{\lambda }_{k-1}\right)P_k,k为偶数,0\le k\le 3.\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{Q}_k=\left(1-{\lambda }_{k-1}\right)P_{k-3}+{\lambda }_{k-1}{P}_{k-2},k为奇数,4\le k\le 7,\\ Q_k={\lambda }_{k-1}{P}_{k-3}+\left(1-{\lambda }_{k-1}\right)P_{k-2},k为偶数,4\le k\le 7.\end{array}\end{array}$

由此可以得出7次扩展Bézier曲线的性质。

(1) 几何不变性。7次扩展Bézier曲线的形状与坐标系的建立方式无关。

(2) 凸包性。7次扩展Bézier曲线位于由控制顶点$P_j\left(j=0,1,\cdots ,4\right)$ 形成的凸包之内。

(3) 对称性。当参数满足${\lambda }_0={\lambda }_5,{\lambda }_1={\lambda }_4,{\lambda }_2={\lambda }_3$ 时，将控制顶点$P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$ 顺序取反，不改变曲线形状。

(4) 形状可调性。在控制顶点$P_j\left(j=0,1,\cdots ,4\right)$ 确定的前提下，可以通过改变形状参数来调整曲线形状。

(5) 端点性质。7次扩展Bézier曲线$R\left(t\right)$ 在端点处直至4阶导矢为

$\{\begin{array}{l}R\left(1\right)=Q_7=P_4,\\ R\left(0\right)=Q_0=P_0.\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{R}^{\left(1\right)}\left(1\right)=7\left(-Q_6+Q_7\right)=7{\lambda }_5\left(P_4-P_3\right),\\ R^{\left(1\right)}\left(0\right)=7\left(-Q_0+Q_1\right)=7{\lambda }_0\left(P_1-P_0\right).\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{R}^{\left(2\right)}\left(1\right)=42\left(Q_5-2Q_6+Q_7\right)=\text{42}\left[\left(2{\lambda }_5-1\right)\left(P_4-P_3\right)+\left({\lambda }_4-1\right)\left(P_3-P_2\right)\right],\\ R^{\left(2\right)}\left(0\right)=42\left(Q_0-2Q_1+Q_2\right)=\text{42}\left[\left(1-2{\lambda }_0\right)\left(P_1-P_0\right)+\left(1-{\lambda }_1\right)\left(P_2-P_1\right)\right].\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{R}^{\left(3\right)}\left(1\right)=210\left(-Q_4+3Q_5-3Q_6+Q_7\right)\\ =\text{210}\left[\left(3{\lambda }_5-2\right)\left(P_4-P_3\right)+\left(3{\lambda }_4-2\right)\left(P_3-P_2\right)+{\lambda }_3\left(P_2-P_1\right)\right],\\ R^{\left(3\right)}\left(0\right)=210\left(-Q_0+3Q_1-3Q_2+Q_3\right)\\ =210\left[\left(3{\lambda }_0-2\right)\left(P_1-P_0\right)+\left(3{\lambda }_1-2\right)\left(P_2-P_1\right)+{\lambda }_2\left(P_3-P_2\right)\right].\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{R}^{\left(4\right)}\left(1\right)=840\left(Q_3-4Q_4+6Q_5-4Q_6+Q_7\right)\\ =840\left[\left(4{\lambda }_5-3\right)\left(P_4-P_3\right)+\left(6{\lambda }_4+{\lambda }_3-3\right)\left(P_3-P_2\right)+4{\lambda }_3\left(P_2-P_1\right)\right],\\ R^{\left(4\right)}\left(0\right)=840\left(Q_0-4Q_1+6Q_2-4Q_3+Q_4\right)\\ =840\left[\left(3-4{\lambda }_0\right)\left(P_1-P_0\right)+\left(3-6{\lambda }_1-{\lambda }_3\right)\left(P_2-P_1\right)-4{\lambda }_2\left(P_3-P_2\right)\right].\end{array}$

4. 曲线的拼接

4.1. $C^3$ 连续性约束

由于单一曲线段在表达复杂几何形态时存在局限性，通常需将多段曲线进行拼接，以构造出适用范围更广的样条曲线。为实现曲线的光滑拼接，相邻曲线段必须满足特定的连续性约束。依据不同的光滑性度量标准，所需的拼接条件亦有所区别。下面将重点探讨7次扩展Bézier曲线在$C^3$ 连续性下的拼接条件。

对于$P_{i,j}\in R^d$ ，${\lambda }_{i,s}\in \left[0,1\right]$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，$j=0,1,\cdots ,4$ ，$s=0,1,\cdots ,5$ ，给定$n$ 段7次扩展Bézier曲线

$R_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^n{P}_{i,j}{b}_j}\left(t;{\lambda }_{\left(i\right)}\right),$

其中$t\in \left[0,1\right]$ ，${\lambda }_{\left(i\right)}=\left[{\lambda }_{i,0},{\lambda }_{i,1},{\lambda }_{i,2},{\lambda }_{i,3},{\lambda }_{i,4},{\lambda }_{i,5}\right]$ 。

定理1 相邻两段7次扩展Bézier曲线满足$C^3$ 连续性拼接的充要条件是

$\{\begin{array}{l}{P}_{i,4}=P_{i+1,0},\\ {\Delta }_{i+1;1}=\frac{{\lambda }_{i,5}}{{\lambda }_{i+1,0}}{\Delta }_{i;4},\\ {\Delta }_{i+1;2}=\frac{2{\lambda }_{i,5}-1}{1-{\lambda }_{i+1,1}}{\Delta }_{i;4}+\frac{{\lambda }_{i,4}-1}{1-{\lambda }_{i+1,1}}{\Delta }_{i;3}+\frac{2{\lambda }_{i+1,0}-1}{1-{\lambda }_{i+1,1}}{\Delta }_{i+1;1},\\ {\Delta }_{i+1;3}=\frac{3{\lambda }_{i,5}-2}{{\lambda }_{i+1,2}}{\Delta }_{i;4}+\frac{3{\lambda }_{i,4}-2}{{\lambda }_{i+1,2}}{\Delta }_{i;3}+\frac{{\lambda }_{i,3}}{{\lambda }_{i+1,2}}{\Delta }_{i;2}+\frac{2-3{\lambda }_{i+1,0}}{{\lambda }_{i+1,2}}{\Delta }_{i+1;1}+\frac{2-3{\lambda }_{i+1,1}}{{\lambda }_{i+1,2}}{\Delta }_{i+1;2},\end{array}$

其中，${\Delta }_{i;j}=P_{i,j}-P_{i,j-1}$ $\left(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,3,4\right)$ 。

证明：由于第$i$ 段与第$i+1$ 段7次扩展Bézier曲线满足$C^3$ 连续性拼接当且仅当

$\{\begin{array}{l}{R}_i\left(1\right)=R_{i+1}\left(0\right),\\ R_i^{\left(1\right)}\left(1\right)=R_{i+1}^{\left(1\right)}\left(0\right),\\ R_i^{\left(2\right)}\left(1\right)=R_{i+1}^{\left(2\right)}\left(0\right),\\ R_i^{\left(3\right)}\left(1\right)=R_{i+1}^{\left(3\right)}\left(0\right).\end{array}$

结合7次扩展Bézier曲线的性质(5)有

$\{\begin{array}{l}{P}_{i,4}=P_{i+1,0},\\ {\lambda }_{i,5}{\Delta }_{i;4}={\lambda }_{i+1,0}{\Delta }_{i+1,1},\\ \left(2{\lambda }_{i,5}-1\right){\Delta }_{i,4}+\left({\lambda }_{i,4}-1\right){\Delta }_{i,3}=\left(1-2{\lambda }_{i+1,0}\right){\Delta }_{i+1,1}+\left(1-{\lambda }_{i+1,1}\right){\Delta }_{i+1,2},\\ \left(3{\lambda }_{i,5}-2\right){\Delta }_{i,4}+\left(3{\lambda }_{i,4}-2\right){\Delta }_{i,3}+{\lambda }_{i,3}{\Delta }_{i,2}=\left(3{\lambda }_{i+1,0}-2\right){\Delta }_{i+1,1}+\left(3{\lambda }_{i+1,1}-2\right){\Delta }_{i+1,2}+{\lambda }_{i+1,2}{\Delta }_{i+1,3}.\end{array}$ (5)

整理即证。

4.2. $C^3\cap F^4$ 连续性约束

下面进一步讨论样条曲线的$F$ 连续性。

定理2 若相邻两段7次扩展Bézier曲线满足$C^3$ 连续拼接，则二者也满足$F^4$ 连续拼接。

证明：由7次扩展Bézier曲线的性质(5)可知

$\{\begin{array}{l}{R}_i^{\left(4\right)}\left(1\right)=\text{840}\left[\left(4{\lambda }_{i,5}-3\right){\Delta }_{i;4}+\left(6{\lambda }_{i,4}+{\lambda }_{i,3}-3\right){\Delta }_{i;3}+4{\lambda }_{i,3}{\Delta }_{i;2}\right],\\ R_{i+1}^{\left(4\right)}\left(0\right)=\text{84}0\left[\left(3-4{\lambda }_{i+1,0}\right){\Delta }_{i+1;1}+\left(3-6{\lambda }_{i+1,1}-{\lambda }_{i+1,3}\right){\Delta }_{i+1;2}-4{\lambda }_{i+1,2}{\Delta }_{i+1;3}\right].\end{array}$ (6)

设$R^{\left(1\right)}=R_{i+1}^{\left(1\right)}\left(0\right)=R_i^{\left(1\right)}\left(1\right),R^{\left(2\right)}=R_{i+1}^{\left(2\right)}\left(0\right)=R_i^{\left(2\right)}\left(1\right),R^{\left(3\right)}=R_{i+1}^{\left(3\right)}\left(0\right)=R_i^{\left(3\right)}\left(1\right)$ ，则由性质(5)有

$\{\begin{array}{l}{\Delta }_{i;4}=\frac{R^{\left(1\right)}}{7{\lambda }_{i,5}},\\ {\Delta }_{i+1;1}=\frac{R^{\left(1\right)}}{7{\lambda }_{i+1,0}}.\end{array}$ (7)

由性质(5)和式(7)可得

$\{\begin{array}{l}{\Delta }_{i;3}=\frac{1-2{\lambda }_{i,5}}{7{\lambda }_{i,5}\left({\lambda }_{i,4}-1\right)}{R}^{\left(1\right)}+\frac{1}{42\left({\lambda }_{i,4}-1\right)}{R}^{\left(2\right)},\\ {\Delta }_{i+1;2}=\frac{2{\lambda }_{i+1,0}-1}{7{\lambda }_{i+1,0}\left(1-{\lambda }_{i+1,1}\right)}{R}^{\left(1\right)}+\frac{1}{42\left(1-{\lambda }_{i+1,1}\right)}{R}^{\left(2\right)}.\end{array}$ (8)

再由性质(5)和式(7) (8)可得

$\{\begin{array}{l}{\Delta }_{i;2}=\frac{3{\lambda }_{i,4}{\lambda }_{i,5}-{\lambda }_{i,4}-{\lambda }_{i,5}}{7{\lambda }_{i,3}{\lambda }_{i,5}\left({\lambda }_{i,4}-1\right)}{R}^{\left(1\right)}+\frac{2-3{\lambda }_{i,4}}{42{\lambda }_{i,3}\left({\lambda }_{i,4}-1\right)}{R}^{\left(2\right)}+\frac{1}{\text{210}{\lambda }_{i,3}}{R}^{\left(3\right)},\\ {\Delta }_{i+1;3}=\frac{-3{\lambda }_{i+1,0}{\lambda }_{i+1,1}-{\lambda }_{i+1,0}+{\lambda }_{i+1,1}}{7{\lambda }_{i+1,0}{\lambda }_{i+1,2}\left(1-{\lambda }_{i+1,1}\right)}{R}^{\left(1\right)}+\frac{2-3{\lambda }_{i+1,1}}{42{\lambda }_{i+1,2}\left(1-{\lambda }_{i+1,1}\right)}{R}^{\left(2\right)}+\frac{1}{\text{210}{\lambda }_{i+1,2}}{R}^{\left(3\right)}.\end{array}$ (9)

将式(7)~(9)代入式(6)可得

$\{\begin{array}{l}{R}_i^{\left(4\right)}\left(1\right)={\theta }_1{R}^{\left(1\right)}+{\theta }_2{R}^{\left(2\right)}+{\theta }_3{R}^{\left(3\right)},\\ R_{i+1}^{\left(4\right)}\left(0\right)={\theta }_4{R}^{\left(1\right)}+{\theta }_5{R}^{\left(2\right)}+{\theta }_6{R}^{\left(3\right)}.\end{array}$

其中

$\{\begin{array}{l}{\theta }_1=\frac{120\left({\lambda }_{i,3}-{\lambda }_{i,4}-2{\lambda }_{i,5}-2{\lambda }_{i,3}{\lambda }_{i,5}+4{\lambda }_{i,4}{\lambda }_{i,5}\right)}{{\lambda }_{i,5}\left({\lambda }_{i,4}-1\right)}\\ {\theta }_2=\frac{20\left({\lambda }_{i,3}-6{\lambda }_{i,4}+5\right)}{{\lambda }_{i,4}-1}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{\theta }_3=16\\ {\theta }_4=\frac{120\left(6{\lambda }_{i+1,0}-{\lambda }_{i+1,1}+{\lambda }_{i+1,3}+4{\lambda }_{i+1,0}{\lambda }_{i+1,1}-2{\lambda }_{i+1,0}{\lambda }_{i+1,3}\right)}{{\lambda }_{i+1,0}\left(1-{\lambda }_{i+1,1}\right)}\\ {\theta }_5=\frac{\text{20}\left(6{\lambda }_{i+1,1}-{\lambda }_{i+1,3}-5\right)}{1-{\lambda }_{i+1,1}}\\ {\theta }_6=-16\end{array}$

则有

$R_{i+1}^{\left(4\right)}\left(0\right)={\omega }_1{R}_i^{\left(1\right)}\left(1\right)+{\omega }_2{R}_i^{\left(2\right)}\left(1\right)+{\omega }_3{R}_i^{\left(3\right)}\left(1\right)+R_i^{\left(4\right)}\left(1\right),$

其中${\omega }_1={\theta }_4-{\theta }_1,{\omega }_2={\theta }_5-{\theta }_2,{\omega }_3={\theta }_6-{\theta }_3$ 。此时关联矩阵为

$M=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& {\omega }_1& {\omega }_2& {\omega }_3& 1\end{array}\right)$ 。

证毕。

5. 曲线的可调控性实验

(a) Only change ${\lambda }_{i,0}$ (b) Only change ${\lambda }_{i,1}$ (c) Only change ${\lambda }_{i,2}$

(a) 仅改变${\lambda }_{i,0}$ (b) 仅改变${\lambda }_{i,1}$ (c) 仅改变${\lambda }_{i,2}$

(d) Only change ${\lambda }_{i,3}$ (e) Only change ${\lambda }_{i,4}$ (f) Only change ${\lambda }_{i,5}$

(d) 仅改变${\lambda }_{i,3}$ (e) 仅改变${\lambda }_{i,4}$ (f) 仅改变${\lambda }_{i,5}$

Figure 1. The variation trend of the curve segment when the shape parameter changes

图1. 形状参数改变时曲线段的变化趋势

本小节通过实验结果验证所构造7次扩展Bézier曲线的可调性。在欧氏空间中固定控制顶点位置，通过比较不同参数取值下的7次扩展Bézier曲线图像，展示参数对曲线形状的影响。实验中用$P_{i,j}$ 表示第i段曲线的控制顶点，${\lambda }_{i,j}$ 表示第i段的局部形状参数。

以第i段曲线为例，图1展示了在不改变控制顶点的前提下，每次仅将其中一个参数值依次调整为$\frac{1}{10},\frac{2}{5},\frac{7}{10},1$ ，其他参数均为$\frac{1}{2}$ 时，曲线的变化趋势，曲线1至4分别对应相应的结果。由图1可以看出随着参数的变化，曲线段的移动方向也随之改变，体现了形状参数对曲线局部形状的调控能力，这为后续实现曲线的精细调整提供了有效支持。

下面进一步说明7次扩展Bézier样条的可调控性。图2给出了由两段曲线$R_1\left(t\right)$ 与$R_2\left(t\right)$ 拼接构成的样条曲线，其中$R_1\left(t\right)$ 的全部控制顶点以及$R_2\left(t\right)$ 的末控制顶点给定，形状参数均为$\frac{1}{2}$ 。在$C^3\cap F^4$ 连续性约束下，可得$R_2\left(t\right)$ 的其余控制顶点，如图2(a)~(f)中“原控制顶点”以及“原曲线”。依次改变各参数得到新的控制顶点以及曲线，如图2(a)~(f)中“改变参数后控制顶点”以及“改变参数后曲线”所示。实验进一步验证了在保持其他参数不变的前提下，仅调整某一形状参数即可显著改变曲线的形状，从而获得更理想的效果。由此可知，为了实现对曲线形状的精细调整，使其更符合预期效果，可通过改变局部的形状参数取值来优化曲线形状。

(a) Change ${\lambda }_{1,0},{\lambda }_{2,0}$ to $\frac{4}{5}$ (b) Change ${\lambda }_{1,2}$ to $\frac{1}{5}$ (c) Change ${\lambda }_{1,3}$ to $\frac{4}{5}$

(a) 改变${\lambda }_{1,0},{\lambda }_{2,0}$ 为$\frac{4}{5}$ (b) 改变${\lambda }_{1,2}$ 为$\frac{1}{5}$ (c) 改变${\lambda }_{1,3}$ 为$\frac{4}{5}$

(d) Change ${\lambda }_{2,2}$ to $\frac{1}{5}$ (e) Change ${\lambda }_{\text{2},\text{0}},{\lambda }_{\text{2},1}$ to $\frac{4}{5}$ (f) Change ${\lambda }_{2,3},{\lambda }_{2,4},{\lambda }_{2,5}$ to $\frac{1}{5}$

(d) 改变${\lambda }_{2,2}$ 为$\frac{1}{5}$ (e) 改变${\lambda }_{\text{2},\text{0}},{\lambda }_{\text{2},1}$ 为$\frac{4}{5}$ (f) 改变${\lambda }_{2,3},{\lambda }_{2,4},{\lambda }_{2,5}$ 为$\frac{1}{5}$

Figure 2. The influence of shape parameters on spline curves

图2. 形状参数对样条曲线的影响

6. 结语

本文提出了一种可自动满足$F^4$ 连续性约束的7次扩展Bézier样条拼接方法。与传统扩展Bézier曲线相比，7次扩展Bézier样条具备多项优势。首先，该曲线支持在更高维空间中实现更高阶的连续性，在满足$C^3$ 连续性约束的基础上，能够自动满足$F^4$ 连续性约束。其次，其几何形状可通过更多的形状参数实现精细调节，且局部参数的修改仅影响相邻两段曲线，在保持整体连续性和控制顶点不变的前提下，实现对局部形态的精细控制，更贴合复杂造型设计的需求。此外，在部分控制顶点已设定的情况下，其余顶点的选择具有较大灵活性，借助合理设置形状参数，可以确保曲线段之间实现在$C^3\cap F^4$ 连续性约束下的拼接。

得益于上述特性，该曲线模型在工业设计、动画路径构建以及机器人轨迹规划等多个领域展现出良好的应用潜力。本文的研究成果为设计者提供了更强的形控能力，有助于构建更复杂、更精准的几何结构。同时，其所具备的高阶连续性在视觉表现上呈现出极高的平滑性，适用于高端图形渲染与精密工程设计。

该方法也存在一定局限：其调配函数涉及较高次数的多项式，且参数数量较多，可能在一定程度上增加计算负担，对效率提出更高要求。

NOTES

^*通讯作者。